基于三角的遞推公式體系

基于三角的遞推公式體系

作為一種通用的保守動力學(xué)系統(tǒng)，彈球系統(tǒng)在力學(xué)、光學(xué)、聲音等領(lǐng)域進(jìn)行了廣泛的研究，發(fā)現(xiàn)了許多動態(tài)行為。一些研究人員使用圖像分析方法來驗(yàn)證系統(tǒng)的軸向運(yùn)動特征。為了更有效地揭示系統(tǒng)的運(yùn)動規(guī)律，本文在三角形球系統(tǒng)的基礎(chǔ)上建立了一系列序列參數(shù)體系，并在此基礎(chǔ)上研究了三角形球系統(tǒng)的獨(dú)立行為特征。1內(nèi)角nn一個典型的三角形彈球系統(tǒng)就相當(dāng)于在封閉的三角形區(qū)域內(nèi)傳播的一束光線或者聲線,在到達(dá)邊界之前,射線在空間內(nèi)沿直線傳播,遇到邊界時,就按照光線和聲線的反射定律——反射角等于入射角發(fā)生反射,接著繼續(xù)沿直線傳播.考慮一任意三角形(圖1),在建立遞推公式之前,我們首先對本系統(tǒng)中所要用到的概念及符號作一些規(guī)定:第n次反射的出發(fā)邊為當(dāng)前邊,如圖1中AB邊即為當(dāng)前邊;各邊的正方向定義為逆時針環(huán)繞方向,在圖1中由各邊上的箭頭示出;sn為出射點(diǎn)到出射邊左端點(diǎn)之距離與出射邊邊長之比,圖1中sn=AO/AB(0<sn<1);αn為當(dāng)前邊左端之三角形內(nèi)角,βn為當(dāng)前邊右端之三角形內(nèi)角;φn為射線與當(dāng)前邊正方向之間的夾角(0<φn,αn,βn<π).由圖1a可知,當(dāng)AE<AD時,反射發(fā)生在當(dāng)前邊左側(cè)的邊上,相反地,當(dāng)AE>AD時,反射發(fā)生在右側(cè)的邊上.利用幾何關(guān)系可以得到,當(dāng)sn＜sin(φn-αn)sinβnsinφnsin(αn+βn)(1a)sn＜sin(φn?αn)sinβnsinφnsin(αn+βn)(1a)時,反射發(fā)生在左側(cè)邊上(圖1b中射線OR).這時有以下遞推關(guān)系:sn+1=1-snsin(αn+βn)sinφnsinβnsin(φn-αn)?(2a)φn+1=π+αn-φn?(3a)αn+1=π-(αn+βn)?(4a)βn+1=αn.(5a)sn+1=1?snsin(αn+βn)sinφnsinβnsin(φn?αn)?(2a)φn+1=π+αn?φn?(3a)αn+1=π?(αn+βn)?(4a)βn+1=αn.(5a)相反地,當(dāng)sn＞sin(φn-αn)sinβnsinφnsin(αn+βn)(1b)sn＞sin(φn?αn)sinβnsinφnsin(αn+βn)(1b)時,反射發(fā)生在右側(cè)邊上(圖1b中射線OR′).這時有以下遞推關(guān)系:sn+1=(1-sn)sin(αn+βn)sinφnsinαnsin(φn+βn)?(2b)φn+1=π-βn-φn?(3b)αn+1=βn?(4b)sn+1=(1?sn)sin(αn+βn)sinφnsinαnsin(φn+βn)?(2b)φn+1=π?βn?φn?(3b)αn+1=βn?(4b)βn+1=π-(αn+βn).(5b)(1)—(5)式就是三角形彈球反射系統(tǒng)的遞推公式的最終形式.根據(jù)這一組公式,可以計(jì)算每一次反射的(sn,φn),構(gòu)成一個時間序列,這實(shí)際上也代表了射線的一條軌跡.根據(jù)這樣的時間序列,就可以考察三角形彈球系統(tǒng)中射線運(yùn)動的動力學(xué)特性.2sn的變化對射線軌跡收斂特性的影響對于具體的三角形彈球反射模型,首先需要知道其運(yùn)動是否穩(wěn)定,軌跡收斂還是發(fā)散.本文將運(yùn)用穩(wěn)定性理論考察三角形彈球系統(tǒng)的穩(wěn)定性.考慮離散映射:Xn+1=F(Xn).(6)在本節(jié)討論的模型中Xn=(sn,φn,αn,βn)T.(7)對于給定的三角形,αn和βn總是三角形的兩個內(nèi)角,也就是說,αn和βn分別只能取三個固定的離散值.需要考察的是(sn,φn)的穩(wěn)定性.對Xn取差分有Δn+1=JnΔn.(8)式中Δn為對Xn的差分,Jn為雅可比矩陣.根據(jù)遞推(1)—(5)式,當(dāng)反射發(fā)生在左側(cè)邊上時,有Jn=(-sin(αn+βn)sinφnsinβnsin(φn-αn)0-snsin(αn+βn)sinβnsin(φn-αn)[cosφn-sinφnctg(φn-αn)]-1)Τ?(9)此時Jn關(guān)于sn和φn的特征值分別為λsn=-sin(αn+βn)sinφnsinβnsin(φn-αn)和λφn=-1.(10)當(dāng)反射發(fā)生在右側(cè)邊上時,雅可比矩陣為Jn=(-sin(αn+βn)sinφnsinβnsin(φn+αn)0(1-sn)sin(αn+βn)sinαnsin(φn+βn)[cosφn-sinφnctg(φn+βn)]-1)Τ?這種情況下Jn關(guān)于sn和φn的特征值分別為λsn=-sin(αn+βn)sinφnsinαnsin(φn+βn)和λφn=-1.由于λiφn的絕對值為1,因而φn的差分不會被放大.從(10)式可以看出,λsn隨著每次反射而變化,因此我們將考察λsn的變化對射線軌跡收斂特性的影響.通過數(shù)值計(jì)算我們發(fā)現(xiàn),各步迭代中λsn的絕對值小于1和絕對值大于1交替出現(xiàn),這表明軌跡的收斂特性在跳躍變化.并且各步迭代特征值的乘積|n∏i=1λsi|在經(jīng)歷若干步迭代之后總會重復(fù)出現(xiàn)1,也就是說,從長期過程來看,射線軌跡處于某個臨界狀態(tài),既不收斂,也不發(fā)散.對于有理三角形而言,通過數(shù)值計(jì)算,可以觀察到,λsn總是呈現(xiàn)一定的周期性,其特征值乘積在迭代若干步之后重復(fù)出現(xiàn)1,見表1.表中所給三角形左底角50°,右底角80°,初始條件s0=0.8,φ0=27°.對于無理三角形而言,λsn一般不存在周期性,特征值絕對值小于1和絕對值大于1交替出現(xiàn),總乘積在1附近(表2).表中三角形左底角49+√π度,右底角65+√2度,初始條件s0=0.1,φ0=34°.以上觀察結(jié)果說明,三角形反射系統(tǒng)處于穩(wěn)定與不穩(wěn)定之間的臨界狀態(tài),其軌跡既不收斂,也不發(fā)散.這個結(jié)論也可以通過觀察得到驗(yàn)證.用圖解分析的方法來考察任意三角形當(dāng)初始條件受到擾動之后射線軌跡的變化情況.圖2給出一無理三角形,左底角為55+√2π度,右底角為43+√π/2度.圖2a為初始入射點(diǎn)位置相差百分之一度的兩條相鄰射線,經(jīng)過200次反射之后射線的分離情況,其中φ0=32°,實(shí)線對應(yīng)初始入射點(diǎn)位置s0=0.3°,虛線對應(yīng)s0=0.31.圖2b為初始入射角相差百分之一度的兩條相鄰射線,經(jīng)過200次反射之后射線的分離情況,其中s0=0.3,實(shí)線對應(yīng)初始入射角φ0=32°,虛線對應(yīng)φ0=32.01°.可以看到,當(dāng)初始條件發(fā)生微小偏差時,經(jīng)過長達(dá)200次的反射,射線軌跡的偏差仍然很小,也就是說初始條件的微小擾動沒有被放大.有理三角形中的反射具有同樣的特點(diǎn).這進(jìn)一步證實(shí)了上面的斷言——三角形反射不發(fā)散.同時,我們也看到,射線軌跡沒有進(jìn)一步靠近的趨勢,即它也是不收斂的.3基于初始條件