2023年北京市第一次普通高中學(xué)業(yè)水平合格性考試數(shù)學(xué)仿真模擬試卷A帶講解

2022年12月北京市普通高中學(xué)業(yè)水平合格性考試數(shù)學(xué)仿真模擬試卷A考生須知1.考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2.本試卷分為兩個(gè)部分，第一部分為選擇題，共60分；第二部分為非選擇題，共40分。3．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。4．考試結(jié)束后，考生應(yīng)將試卷、答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。參考公式：錐體的體積公式，其中為錐體的底面積，為錐體的高.第一部分選擇題一、選擇題.本部分共20小題，每小題3分，共60分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)備選答案中，只有一個(gè)是符合題目要求的.1．已知集合M，P滿足M∪P＝M，則一定有（）A．M＝P B．M?P C．M∩P＝M D．M?PB【解答】解：已知集合M，P滿足M∪P＝M，∴P中元素全部在集合M內(nèi)由子集的定義得P?M故選：B．2．若a，b，c，d∈R，則下列說法正確的是（）A．若a＞b，c＞d，則ac＞bd B．若a＞b，則ac2＞bc2 C．若a＜b＜0，則＜ D．若a＞b，則a3＞b3D【解答】解：A．根據(jù)a＞b，c＞d，取a＝1，b＝﹣1，c＝2，d＝﹣2，則ac＞bd不成立，故A錯(cuò)誤；B．取c＝0，則ac2＞bc2不成立，故B錯(cuò)誤；C．由a＜b＜0，取a＝﹣2，b＝﹣1，則不成立，故C錯(cuò)誤；D．若a＞b，則由不等式的基本性質(zhì)知，a3＞b3成立，故D正確．故選：D．3．下列圖象中，表示函數(shù)關(guān)系y＝f（x）的是（）A． B． C． D．D．【解答】解：根據(jù)函數(shù)的定義知，一個(gè)x有唯一的y對應(yīng)，由圖象可看出，只有選項(xiàng)D的圖象滿足這一點(diǎn)．故選：D．4．在菱形ABCD中，下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．D．【解答】解：A，∵四邊形ABCD為菱形，∴＝，∴A錯(cuò)誤，B，∵﹣＝，∴B錯(cuò)誤，C，∵四邊形ABCD為菱形，∴||與||不一定相等，∵|+|＝||，|﹣|＝||，∴C錯(cuò)誤，D，∵四邊形ABCD為菱形，∴⊥，∵（+）?（﹣）＝?＝0，∴（+）⊥（﹣），∴D正確，故選：D．5．函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢．（1，4] B．（1，4） C．[1，4] D．[1，4）A【解答】解：由題意，解得1＜x≤4，故選：A．6．為了得到函數(shù)的圖象，只需要將函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)A．向左平移個(gè)單位長度 B．向左平移個(gè)單位長度 C．向右平移個(gè)單位長度 D．向右平移個(gè)單位長度【詳解】，把函數(shù)的圖形向右平移個(gè)單位可得到函數(shù)．7．計(jì)算：＝（）A．﹣3 B． C．3 D．D【解答】解：＝[（﹣3）3]×＝（﹣3）2×3﹣3＝9×＝．故選：D．8．函數(shù)y＝（a2﹣4a+4）ax是指數(shù)函數(shù)，則a的值是（）A．4 B．1或3 C．3 D．1C【解答】解：由題意得，，解得，a＝3，故選：C．9．設(shè)x∈R，則“x＝1”是“復(fù)數(shù)z＝（x2﹣1）+（x+1）i為純虛數(shù)”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件C【解答】解：由于復(fù)數(shù)z＝（x2﹣1）+（x+1）i為純虛數(shù)，則，解得x＝1，故“x＝1”是“復(fù)數(shù)z＝（x2﹣1）+（x+1）i為純虛數(shù)”的充要條件．故選：C．10．某人用如圖所示的紙片沿折痕折后粘成一個(gè)四棱錐形的“走馬燈“，正方形做燈底，且有一個(gè)三角形面上寫上了“年”字，當(dāng)燈旋轉(zhuǎn)時(shí)，正好看到“新年快樂”的字樣，則在①、②、③處可依次寫上（）A．樂、新、快 B．快、新、樂 C．新、樂、快 D．樂、快、新B【解答】解：根據(jù)四棱錐圖形，正好看到“新年快樂”的字樣，可知順序?yàn)棰谀辎佗?，故選：B．11．袋中有10個(gè)除顏色以外完全相同的球，其中5個(gè)白球，3個(gè)黑球，2個(gè)紅球．從中任意取出一球，已知它不是白球，則它是黑球的概率是A． B． C． D．【詳解】根據(jù)題意，袋中除白球外共有5個(gè)小球，其中黑球有3個(gè)，所以從袋中任取一個(gè)已知不是白球的小球是黑球的概率為．12．已知，則A． B． C． D．【詳解】因?yàn)?，所以?3．青少年視力是社會普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測量．通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)和五分記錄法的數(shù)據(jù)滿足，已知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9，則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為（注A．0.6 B．0.8 C．1.2 D．1.5【詳解】在中，，所以，即，解得，所以其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為0.8．14．若角α滿足α＝45°+k?180°，k∈Z，則角α的終邊落在（）A．第一或第二象限 B．第一或第三象限 C．第二或第四象限 D．第三或第四象限B【解答】解：α＝45°+k?180°，k∈Z；當(dāng)k＝0時(shí)，α＝45°，此時(shí)α為第一象限角；當(dāng)k＝1時(shí)，α＝225°，此時(shí)α是第三象限角；∴角α的終邊落在第一或第三象限角．故選：B．15．已知向量，若∥，則實(shí)數(shù)m的值為（）A． B． C．3 D．﹣3A【解答】解：∵；∴1﹣2m＝0；∴．故選：A．16．在中，，，，那么的面積等于A． B． C． D．1【詳解】，，，的面積等于．17．已知直線、與平面、，，，則下列命題中正確的是A．若，則必有 B．若，則必有 C．若，則必有 D．若，則必有【詳解】．如圖所示，設(shè)，，滿足條件，但是與不平行，因此不正確；．假設(shè)，，，，則滿足條件，但是與不垂直，因此不正確；．若，，根據(jù)線面垂直的判定定理可得，故正確；．設(shè)，若，，雖然，但是可有，因此，不正確．綜上可知：只有正確．18．用平行于圓錐底面的平面截圓錐，所得截面面積與底面面積的比是1：3，這截面把圓錐母線分成的兩段的比是（）A．1：3 B．1：（﹣1） C．1：9 D．：2B【解答】解：用平行于圓錐底面的平面截圓錐，截去的小圓錐與大圓錐為相似體，∵截面面積與底面面積的比是1：3，故小圓錐和大圓錐的相似比為：1：，故小圓錐和大圓錐的母線長比為：1：，故小圓錐和所得圓臺的母線長比為：1：（﹣1），故選：B．19．已知函數(shù)f（x）＝，則f（f（﹣1））＝（）A．0 B．﹣1 C．1 D．2C【解答】解：根據(jù)f（x）的解析式即可求出：f（f（﹣1））＝f（0）＝1．故選：C．20．從某班50名同學(xué)中選出5人參加戶外活動，利用隨機(jī)數(shù)表法抽取樣本時(shí)，先將50名同學(xué)按01，02，……50進(jìn)行編號，然后從隨機(jī)數(shù)表的第1行第5列和第6列數(shù)字開始從左往右依次選取兩個(gè)數(shù)字，則選出的第5個(gè)個(gè)體的編號為（）（注：表為隨機(jī)數(shù)表的第1行與第2行）0347437386369647366146986371629774246792428114572042533237321676A．24 B．36 C．46 D．47A【解答】解：由題知從隨機(jī)數(shù)表的第1行第5列和第6列數(shù)字開始，由表可知依次選取43，36，47，46，24．故選：A．第二部分非選擇題（共40分）二、填空題共4小題，每小題3分，共12分21．已知a，b，x均為正數(shù)，且a＞b，則＜（填“＞”、“＜”或“＝”）．<【解答】解：∵a＞b，x＞0，∴ax＞bx，∴ax+ab＞bx+ab，∴a（b+x）＞b（x+a），∴．故答案為：＜．22．據(jù)統(tǒng)計(jì)，中國大陸最近每年新能源汽車產(chǎn)量的年平均增長率為，按此增長速度，大約___________年后新能源汽車的產(chǎn)量會翻兩番．（取，【詳解】設(shè)今年的產(chǎn)量為，年后翻兩番，，，23．設(shè)向量，滿足||＝2，||＝1，|+|＝，則|﹣|＝2．2【解答】解：∵||＝2，||＝1，|+|＝，∴|+|2＝+2+|，∴2＝1，|﹣|2＝﹣2+|＝4，∴|﹣|＝2，答案為：2．24．已知函數(shù)，則的值為___________【詳解】函數(shù)，，．三、解答題共4小題，共28分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程25．已知函數(shù)，．（1）求的值；（2）求函數(shù)的最小正周期；（3）若，，求的值域．（1）；（2）；（3），【詳解】（1），所以；（2）由（1）可得函數(shù)的最小正周期；（3），時(shí)，，所以函數(shù)的值域?yàn)?，?6．如圖，正三棱柱的所有棱長均為2，為線段的中點(diǎn)，為正方形對角線的交點(diǎn)．(1)求證：面；(2)求三棱錐的體積．(1)見解析(2)(1)證明：為正方形對角線的交點(diǎn)，即為的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，在中為中位線，可得，面，面，由線面平行的判定定理可得面；解：∵為等邊三角形，且邊長為2，∴,又因?yàn)槔庵鶠檎庵?，則面，27．如圖，在△ABC中，AC＝2，AB＝4．點(diǎn)D在邊BC上，且．（1），，求；（2），AD恰為BC邊上的高，求角A；（3）AD＝3，求t的取值范圍．（1）推導(dǎo)出＝（+），從而＝（+2?，由此能求出．（2）由，AD恰為BC邊上的高，設(shè)CD＝x，BD＝4x，在Rt△ACD中，AD2＝4﹣x2，在Rt△ABD中，AD2＝16﹣16x2，列方程求出x2＝，BC2＝25x2＝20，由余弦定理求出∠BAC．（3）推導(dǎo)出，則?（1﹣t），結(jié)合﹣1＜cosA＜1且0＜t＜1，能求出t的取值范圍．【解答】解：（1）∵，∴D為BC的中點(diǎn)，∴＝（+），∵AC＝2，AB＝4，，∴＝（+2?）＝[16+4+2×4×2×（﹣）]＝3，∴＝．（2）由，AD恰為BC邊上的高，設(shè)CD＝x，BD＝4x，在Rt△ACD中，AD2＝4﹣x2，在Rt△ABD中，AD2＝16﹣16x2，∴4﹣x2＝16﹣16x2，∴x2＝，∴BC2＝25x2＝20，由余弦定理得cos∠BAC＝＝＝0，∴∠BAC＝90°．（3）由題，，則＝＝＝t，∵AD＝3，且AC＝2，AB＝4，∴+（1﹣t）2+2t，則9＝16t2+4（1﹣2t+t2）+（16t﹣16t2）cosA，∴cosA＝，∵﹣1＜cosA＜1，∴﹣1＜，∵0＜t＜1，∴16t2﹣16t＜0，解得，∴t的取值范圍是（）．28．某校設(shè)計(jì)了如下有獎(jiǎng)闖關(guān)游戲：參賽選手按第一關(guān)、第二關(guān)、第三關(guān)的順序依次闖關(guān)，若闖關(guān)成功，分別獲得5個(gè)學(xué)豆、10個(gè)學(xué)豆、20個(gè)學(xué)豆的獎(jiǎng)勵(lì)．游戲還規(guī)定，當(dāng)選手闖過一關(guān)后，可以選擇帶走相應(yīng)的學(xué)豆，結(jié)束游戲；也可以選擇繼續(xù)闖下一關(guān)，若有任何一關(guān)沒有闖關(guān)成功，則全部學(xué)豆歸零，游戲結(jié)束．設(shè)選手甲第一關(guān)、第二關(guān)、第三關(guān)闖關(guān)成功的概率分別為，，，選手選擇繼續(xù)闖關(guān)的概率均為，且各關(guān)之間闖關(guān)成功與否互不影響．（Ⅰ）求選手甲第一關(guān)闖關(guān)成功且所得學(xué)豆為零的概率；（Ⅱ）求該選手所得學(xué)豆總個(gè)數(shù)不少于15的概率．（Ⅰ）；（Ⅱ）．【分析】（Ⅰ）設(shè)“甲第一關(guān)闖關(guān)成功且所得學(xué)豆為零”為事件A，“第一關(guān)闖關(guān)成功第二關(guān)闖關(guān)失敗”為事件A1，“前兩關(guān)闖關(guān)成功第三關(guān)闖關(guān)失敗”為事件A2，則A1，A2互斥，利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出選手甲第一關(guān)闖關(guān)成功且所得學(xué)豆為零的概率；（Ⅱ）由題意得該選手所得學(xué)豆個(gè)數(shù)可能為0，5，15，35，利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式分別求出“該選手所得學(xué)豆個(gè)數(shù)為15”的概率和“該選手所得學(xué)豆個(gè)數(shù)為35”的概率，再利用互斥事件概率加法公式能求出該選手所得學(xué)豆總個(gè)數(shù)不少于15的概