費馬定理在等差數(shù)列關(guān)系下的類半圓結(jié)構(gòu),及二元二次換元式的還原性

費馬定理與等差數(shù)列的關(guān)聯(lián)，及二元二次換元式的還原性本篇講述的主要是費馬定理與正整數(shù)等差數(shù)列之間的關(guān)系，以及如何運用這種等差關(guān)系，來建立一個等價的二元二次方程，最后通過數(shù)值分析的方法來解釋費馬定理。我個人認(rèn)為本篇最有價值的地方在于構(gòu)建了一個全新的數(shù)學(xué)模式，并不是對不定方程Xt+yt-ztHO做個形式上的變換，而是利用數(shù)的特征來構(gòu)模，與其他的方法相比思路是完全不同的。在整個論述的過程中，并沒有假設(shè)命題的成立或者是不成立。而是將兩種因素都考慮在了其中，在極力找到命題成立的依據(jù)的同時，也不排除命題不成立的可能，因此整個證明過程都保證了較高的客觀性。本文的結(jié)構(gòu)大致為，第一構(gòu)建數(shù)模第二得出xt+yt-zt的換元式，第三xt+yt-zt的等價命題及證明第四換元式的還愿性（包括還愿性的定義，還原性的證明，還愿性存在的有原因，還原性的適用范圍，還原性的使用條件）第五xt+yt-ztHO的證明值得注意的是：（1） 換元式及換元式的還原性的適用范圍為Xt1+Yt2-Zt其中XYZ,互素且都為正整數(shù)，YVXVZ,3WtWtWt或3WtW122t]Wt。換句話來說，不定方程Xti+Y12HZt,也是成立的。而費馬定理的完整表述應(yīng)該為Xt1+Y12HZt，即一個正整數(shù)的t次方不等于另外兩個正整數(shù)的小于或等于t次方之和。3Wt,另外兩個正整數(shù)的指數(shù)3WtWt或3WtWt。1221（2） 需要強調(diào)的是換元式及換元式的還原性的適用范圍不包括二次方，具體原因，在下面文章中會有解釋。第一節(jié)平方數(shù)的特征及運用即數(shù)模的構(gòu)建相信除了勾股定理，平方數(shù)還有其他很多的特征。下面的一個特征，相信很多人都知道。比如52很多但還有一個規(guī)律，在命題的轉(zhuǎn)換以及證明中都發(fā)揮了關(guān)鍵的作用：那就是52=1+2+3+4+5+4+3+2+1，62=1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1,X2=l+2+3+4+...X+....4+3+2+1.除此之外，還可以給這一特征建立一個同樣很有規(guī)律的線段圖。及以一個單位長度表示1。做底邊長為2X的一個等腰直角三角形。然后將底邊進(jìn)行2X等分，通過個等分點，做垂直于底邊的直線。各直線與兩腰相交，等分點到交點的各垂線段之和等于1+2+3+4+..X+.4+3+2+1,也就是剛好為雖說XtYt乙也存在類似的數(shù)模，但和平方數(shù)相比，在內(nèi)容上和形狀山個都發(fā)生了改變。首先一點不能再做成一個等腰直角三角形的形狀（這是由正整數(shù)的平方數(shù)的特征所決定的）。那么什么樣的形狀更適合于一個正整數(shù)的大于等于3次方的數(shù)模呢？我選擇的是類半圓曲線。如上因為X2=1+2+3+4+...X+....4+3+2+1,Xt=Xt-2X2所以Xt=1Xt-2+2Xt-2+3Xt-2+4Xt-2+.XXt-2+..4Xt-2+3Xt-2+2Xt-2+1Xt-2。Xt的數(shù)?？梢员硎緸椋阂砸粋€單位長度表示1，以2X的長度為一條弦，通過這條弦做一個近似于半圓的曲線。然后將這條弦進(jìn)行2X等分，通過個等分點做

與曲線相交的垂線段。從左至右，各線段分別表示為1Xt-2,2Xt-2,3Xt-2,4Xt-2，…xXt-2,....4Xt-2,3Xt-2,2Xt-2,1Xt-2。如圖所示同理：Yt乙分別可以表示為下面的兩個數(shù)模。Z//—\0 1z2z3z z-1zz-1 3z2z1z0居然求證的是Xt，Yt，乙之間的和差關(guān)系，所以把三個數(shù)模給予整合,在取同一單位的情況下（即以同樣長的一個單位長度來表示1）,將Yt的數(shù)模平齊的放在乙數(shù)模的左端，Xt數(shù)模也是平齊的放在乙數(shù)模的右端。三條弦在同

一直線上。各半圓，及半圓內(nèi)的各線段重合相交。除去共有的部分。于是：Xt+Yt-Zt就等價于圖中A所截取的線段之和，減去B所截取的線段之和。第二節(jié)不定方程的換元不定方程Xt+Yt-Zt的換元，輔助線，輔助點，輔助區(qū)的引入。以上圖為基礎(chǔ)，根據(jù)等差線段的特征，以及求證的需要劃定abcdefg七個區(qū)，劃定的各個區(qū)內(nèi)所包含的線段都滿足等差數(shù)列特征。e為輔助區(qū)，g為含有輔助區(qū)e的一個區(qū)。其它abcdf各區(qū)為上圖中陰影部分中的實區(qū)。其中a為弧線AA和線段AAAA區(qū)域所截得的所有是線段之121323和；b為弧線BB和線段BBBB區(qū)域所截得的所有是線段之和231312c為弧線CCCC和線段CC區(qū)域內(nèi)所截得的所有實線段之和；121323d為弧線DDDD和線段DD所圍成的區(qū)域內(nèi)所截得的線段之和122313f為弧線FFFCC和線段FC所圍成的區(qū)域內(nèi)截得的所有的線段1211222之和g為弧線GGGDD輔助弧線GE和線段ED圍成區(qū)域內(nèi)所截121212221得的所有線段與輔助區(qū)e內(nèi)所包含的所有輔助線段之和,e包含在g中e為輔助區(qū)，由弧線GE和輔助弧線GE以及輔助線段EE所圍成212212的區(qū)域，其所包含的值為延長后的實線段在該區(qū)內(nèi)所截得的線段總長之和。該區(qū)位輔助區(qū)，故該區(qū)內(nèi)組成值的線段也為輔助線段關(guān)于輔助線，輔助區(qū)的說明。GE為輔助曲線它的作用是使原本不符合等差計算的區(qū)域（或區(qū)域內(nèi)不22含等差線段）。通過增設(shè)e區(qū)，和原來弧線GGE和弧線GDD所含線段組合后，122121形成有規(guī)律的g區(qū)。原來的值等于g-e弧線CC和弧線DD也同為輔助線，它們的作用是劃分，將一個不1212符合等差線段排列的區(qū)域，劃分為兩個符合等差線段排列的區(qū)域?；【€CC的作用12是將現(xiàn)有弧線FF弧線FCC所圍的區(qū)域劃分為c和f；弧線DD是將由弧線1211312GGE和弧線GDD（包含輔助區(qū)e在內(nèi)）所圍得的區(qū)域劃分為d和g,d和g同時122121符合等差線段排列特質(zhì)。換元未知數(shù)n和m1虛線L與實線段FAEB，虛線為輔助線，實線段為Xt，Yt，Zt2311半圓等差線段群中的一個完整線段，或者是一個部分。L為經(jīng)過Xt半圓曲線與Yt半圓曲線的交點且平行于各實線段（或垂直于各弦)的一條輔助虛線。線段FAEB為乙半圓分析圖中的兩條是線段，虛線L在這兩條線2311段的中間，兩條線段的距離為一個單位長，或者是“1”未知數(shù)n和m的引入未知數(shù)n的實際含義為線段AA的長度，m的實際含義為線段BB的1212長度，n與m的大小，以及比例關(guān)系，恰好反映了Xt，Yt，乙，之間的比例大小關(guān)系，更重要的一點所設(shè)的七個區(qū)的值，亦可以表示為與nm相關(guān)的幾組代數(shù)式。因為Xt+Yt-Zt等價于上圖中A中所含的是線段的值，減去B區(qū)中所包含的所有是線段的總長，又因為A區(qū)中的的值等于a+b;B區(qū)中的值等于c+d-e+f+g。故可以把Xt+Yt-Zt換元為與nm相關(guān)的一組代數(shù)式。亦可以假設(shè)n和m使這租代數(shù)式的值為0然后求出nm..若nm的值符合Xt，Yt，乙半圓曲線圖的特征，或能反映出Xt+Yt-Zt=0的組合要求。那么所提出的命題Xt+YtHZt，就為錯誤，相反，即為正確。七個區(qū)abdefg與nm相關(guān)代數(shù)式根據(jù)前面所設(shè)，以及一個正整數(shù)大于大于3次方的等差數(shù)列組合特征，所設(shè)七個區(qū)中每個區(qū)所含的各個線段長度均符合，等差數(shù)列特征。xt-2(l+n)n ,yt-2(1+m)m其中a= ,b=22c=yt-2(y-m)(y-m-1) d=xt-2(x-n)(x-n-1)(zt-2-yt-2)(2y-m)(2y-m-1)e=zt-2(1+m-2y+z)(m-2y+z) f=(zt-2-xt-2)(2x-n)(2x-n-1)g=設(shè)nm使a+b-c-d-f-g+e=0,方程兩邊同時乘以2，化去含有分?jǐn)?shù)的項2a=xt-2(1+n)n 2b=yt-2(1+m)m=xt-2(n2+n) =yt-2(m2+m)=n2xt-2+nxt2-1 =m2yt-2+myt-22c=2yt-2(y-m)(y-m-l)=2yt-2(y2-my-y-my+m2+m)=2yt-4myt-l-2yt-l+2m2yt-2+2myt-22d=2xt-2(x-n)(x-n-l)=2xt-2(x2-nx-x-nx+n2+n)=2xt-4nxt-l-2xt-l+2n2xt-2+2nxt-22f=(zt-2-yt-2)(2y-m)(2y-m-l)=(zt-2-yt-2)(4y2-4my+m2-2y+m)=4y2zt-2-4myzt-2+m2zt-2-2yzt-2+mzt-2-4yt+4myt-l-m2yt-2+2yt-l-myt-22g=(zt-2-xt-2)(2x-n)(2x-n-l)=(zt-2-xt-2)(4x-4n+n-2x+n)=4x2zt-2-4nzt-2+n2zt-2-2xzt-2+nzt-2-4xt+4nxt-l-n2xt-2+2xt-l-nxt-22e=zt-2(l+m-2y+z)(m-2y+z)=zt-2(m-2y+z+m2-4my+2mz+4y2-4yz+z2)=2mzt-2-4yzt-2+2zt-l+2m2zt-2-8myzt-2+4mzt-l+8y2zt-2-8yzt-l+2zt合并各代數(shù)式化簡得出換元方程n2xt-2+nxt-2+m2yt-2+myt-2-2yt+4myt-l+2yt-l-2m2yt-2-2myt-2-2xt+4nxt-l+2xt-l-2n2xt-2-2nxt-2-4y2zt-2+4myzt-2-m2zt-2+2yzt-2-mzt-2+4yt-4myt-l+m2yt-2-2yt-l+myt-l-4x2zt-2+4nxzt-2-n2zt-2+2xzt-2-nzt-2+4xt+4nxt-l+n2xt-2-2xt-l+nxt-2+2mzt-2-4yzt-2+2zt-l+2m2zt-2-8myzt-2+4mzt-l+8y2zt-2-8yzt-l+2zt=0方程兩邊同時乘以-1，化簡整理后得：-m2zt-2+4myzt-2-4mzt-l-mzt-2+4x2zt-2-2xzt-2+2yzt-2-2zt-1-4y2zt-2+8yzt-1-2yt-2xt-2zt+n2zt-2+nzt-2-4nxzt-2=0上述的這個關(guān)于nm的二元二次方程就是一個關(guān)于Xt+Yt-Zt值的換元方程。因為nm的值的大小取決于Xt，Yt，乙半圓曲線分析圖相互間的大小以及比例關(guān)系，也就是Xt，Yt，乙相互間的比例以及大小關(guān)系。故通過分析nm可以側(cè)面反映出Xt，Yt，乙間的大小以及比例關(guān)系，而Xt+Yt-Zt的值就取絕于Xt，Yt，乙間的大小以及比例關(guān)系。故通過分析nm在邏輯上可以判斷Xt+Yt-Zt的值。第四xt+yt-zt的等價命題及證明命題(1)：Xt+Yt-Zt=0等價于方程：-m2zt-2+4myzt-2-4mzt-1-mzt-2+4x2zt-2-2xzt-2+2yzt-2-2zt-1-4y2zt-2+8yzt-1-2yt-2xt-2zt+n2zt-2+nzt-2-4nxzt-2=0，其中有一組關(guān)于nm的解的和等于2x+2y-2z-l。相反若找不到一組解的和等于2x+2y-2z-1，那么Xt+Yt-Zt工0。備注：此命題是通過，半圓曲線分析圖得出的，即Xt+Yt-Zt若等于0,那么n與m的和必定符合Xt，Yt，乙三個半圓曲線分析圖的組合規(guī)律?因為n和m的值的意義就是使兩個影陰影部分AB相減的值為零，若Xt+Yt-Zt=0，那么半圓曲線圖中(A)(B)相減的值本來就為零，所以n與m的和必定符合XtYt，乙三個半圓曲線分析圖的組合規(guī)律.，即n與m的和必定等于2x+2y-2z-1；相反若Xt+Yt-Zt工0，nm要使半圓曲線圖中(A)(B)相減的值為零，即組合代數(shù)式的值為零，那么n與m的和，必定不能等于2x+2y-2z-1命題(2)：同時Xt+Yt-Zt=0也等價于方程：-m2zt-2+4myzt-2-4mzt-1-mzt-2+4x2zt-2-2xzt-2+2yzt-2-2zt-1-4y2zt-2+8yzt-1-2yt-2xt-2zt+n2zt-2+nzt-2-4nxzt-2=0，其中有一組關(guān)于nm的解的差(n-m)等于2x+2y-2z。同理若找不到一組解的差等于2x+2y-2z，那么Xt+Yt-Zt工0。(Xt+Yt-Zt會否等于0，也可以理解為已知函數(shù)f(m)-m2zt-2+4myzt-2-4mzt-1-mzt-2+4x2zt-2-2xzt-2+2yzt-2-2zt-1-4y2zt-2+8yzt-1-2yt-2xt-2zt是否存在一個函數(shù)f(n)n2zt-2+nzt-2-4nxzt-2,在n+m=2x+2y-2z-1的取值范圍內(nèi)兩個函數(shù)的對應(yīng)的函數(shù)值相加總等于0，因為兩個函數(shù)都是一元二次，而一元二次函數(shù)都具有對稱性，故存在另一組等價的取值范圍n-m=2x+2y-2z，兩個取值范圍，實際上就是兩個函數(shù)坐標(biāo)圖頂點橫坐標(biāo)的和以及差。因為命題（1）和命題命題（2）是等價命題，故證明了其中的一個也就證明了另外的一個。同時，因為只要否定了一組解不等于或不會出現(xiàn)上述兩種情況中的其中一種，就可以否定命題Xt+Yt-Zt=O。所以即沒有必要同時證明命題（1）和命題命題（2），也沒有必要去討論多組解。于是：命題（3）Xt+Yt-ZtHO,等價于方程：-m2zt-2+4myz-2-4mzt-1-mzt-2+4x2zt-2-2xzt-2+2yzt-2-2zt-1-4y2zt-2+8yzt-1-2yt-2xt-2zt+n2zt-2+nzt-2-4nxzt-2=0,當(dāng)m=n+1（n-m=-1,2x+2y-2zH-1）時，n+mH2x+2y-2z-1。命題（3）的證明：把m=n+1，代入不定方程-m2zt-2+4myzt-2-4mzt-1-mzt-2+4x2zt-2-2xzt-2+2yzt-2-2zt-1-4y2zt-2+8yzt-1-2yt-2xt-2zt+n2zt-2+nzt-2-4nxzt-2=0,求出nm的值計算過程如下-（n+1）2zt-2+4（n+1）yzt-2-4（n+1）zt-1-（n+1）zt-2+4x2zt-2-2xzt-2+2yzt-2-2zt-1-4y2zt-2+8yzt-1-2yt-2xt-2zt+n2zt-2+nzt-2-4nxzt-2=0-n2zt-2-2nzt-2-zt-2+4nyzt-2+4yzt-2-4nzt-1-4zt-1-nzt-2-zt-2+4x2zt-2-2xzt-2+2yzt-2-2zt-1-4y2zt-2+8yzt-1-2yt-2xt-2zt+n2zt-2+nzt-2-4nxzt-2=0-2nzt-2+4nyzt-2-4nzt-1-4nxzt-2=2zt-2-4yzt-2+4zt-1-4x2zt-2+2xzt-2-2yzt-2+2zt-1+4y2zt-2-8yzt-1+2yt+2xt+2ztn(-2zt-2+4yzt-2-4zt-1-4xzt-2)=2zt-2+6zt-1-4x2zt-2+2xzt-2-6yzt-2+4y2zt-2-8yzt-1+2yt+2xt+2ztn=2zt-2+6zt-1—4x2zt-2+2xzt-2—6yzt-2+4y2zt-2—8yzt-1+2yt+2xt+2zt—2zt-2+4yzt-2-4zt-1-4xzt-2-2zt-1—4x2zt-2—2xzt-2—2yzt-2+4y2zt-2—8yzt-1+2yt+2xt+2ztm=n+1=—2zt-2+4yzt-2—4zt-1—4xzt-22zt-2+8zt-1—8x2zt-2—8yzt-2+8y2zt-2—16yzt-1+4yt+4xt+4ztn+m=——2zt-2+4yzt-2—4zt-1—4xzt-2若當(dāng)m=n+1(n-m=-1,2x+2y-2zH—1)時，n+m=2x+2y-2z-1,貝U：2zt-2+8zt-1—8x2zt-2—8yzt-2+8y2zt-2—16yzt-1+4yt+4xt+4zt_2x+2y—2zt-2+4yzt-2—4zt-1—4xzt-22z-12zt-2+8zt-1—8x2zt-2—8yzt-2+8y2zt-2—16yzt-1+4yt+4xt+4zt=(2x+2y-2z-1)(—2zt-2+4yzt-2—4zt-1—4xzt-2)2zt-2+8zt-1—8x2zt-2—8yzt-2+8y2zt-2—16yzt-1+4yt+4xt+4zt=-4xzt-2+8xyzt-2-8xzt-1-8x2zt-2-4yzt-2+8y2zt-2-4yzt-1-8xyzt-2+4zt-1-8yzt-1+8zt+8xzt-1+2zt-2-4yzt-2+4zt-1+4xzt-2移項化簡后得：4xt+4yt-4zt=0xt+yt-zt=0,也就是說當(dāng)xt+yt-zt=0時，在m=n+1(n-m=-1，2x+2y-2z#—1)的條件下n+m=2x+2y-2z-1。相反當(dāng)xt+yt-zt#0時在m=n+1(n-m=-1,2x+2y-2z#—1)的條件下n+m#2x+2y-2z-1。故命題(3)成立，也就是：Xt+Yt—Zt#0，等價于方程：-m2zt-2+4myzt-2-4mzt-1-mzt-2+4x2zt-2-2xzt-2+2yzt-2-2zt-1-4y2zt-2+8yzt-1-2yt-2xt-2zt+

n2zt-2+nzt-2-4nxzt-2=0,當(dāng)m=n+1(n-m=-l,2x+2y-2zH-1)時，n+mH2x+2y-2z-l。第四換元式的還原性以及費馬定理的本質(zhì)在這一節(jié)里主要回答兩個問題：第一為什么費馬定理要規(guī)定t$3,第二不定方程Xt+Yt-ZtHO的正確性以及可證性。費馬定理Xt+Yt-ZtHO與不定方程Xti+Y12-ZtHO其中XYZ,互素且都為正整數(shù)，YVXVZ,3WtWtWt或3WtWtWt,l2 2lXti+Y12-ZtHO,包括t=t=t$32lt二t>t$32lt=t>t$3等,三種主要形式。費馬定理屬于第一種情況。l2而這些不等式都是成立的,且成立原因都是一樣的。它們都可以列出一個換元式,而這些換元式,都缺少條件的限制。即換元式都可以被還原。這就是費馬定理或類費馬定理不定方程的的本質(zhì)。命題：和為2x+2y-2z-1的兩個數(shù)對代數(shù)式即Xt+Yt-Zt的換元式-m2zt-2+4myzt-2-4mzt-l-mzt-2+4x2zt-2-2xzt-2+2yzt-2-2zt-1-4y2zt-2+8yzt-1-2yt-2xt-2zt+n2zt-2+nzt-2-4nxzt-2的還原性。還原性是指：當(dāng)兩個數(shù)之和為2x+2y-2z-1時,把其中的一個數(shù)代入換元式中的n,另一個數(shù)代入換元式中的m,化簡整理后總能得到注本來換元式應(yīng)該為：-2(Xt+Yt-Zt)注本來換元式應(yīng)該為：-m2zt-2+4myzt-2-4mzt-1-mzt-2+4x2zt-2-2xzt-2+2yzt-2-2zt-1-4y2zt-2+8yzt-1-2yt2-xt1-2zt+n2zt-2+nzt-2-4nxzt-2),化簡的結(jié)果頁應(yīng)該為Xt1+Yt2-Zt,但出于習(xí)慣,除去了換元式中的分母,以及保證n2項的系數(shù)為正整數(shù)，將換元式，做了適當(dāng)?shù)恼{(diào)整。但本身并不影響命題的證明。即若-2(Xt+Yt-Zt)=0與Xt+Yt-Zt=0并沒有多大區(qū)別。當(dāng)然也可以采用-2(-m2zt-2+4myzt-2-4mzt-1-mzt-2+4x2zt-2-2xzt-2+2yzt-2-2zt-1-4y2zt-2+8yzt-1-2yt-2xt-2zt+n2zt-2+nzt-2-4nxzt-2)=0作為換元方程，只不過求出的值，以及換元式，和換元式的還原性的內(nèi)容有所變化，但一切的不同，都只是形式上的不同，并不會影響對不定方程Xt+Yt-ZtHO的證明。如果要用的話，無非是對還原性，做個重1新的定義。即和為2x+2y-2z-l的兩個數(shù)對，換兀式-(-m2zt-2+4myzt-2-4mzt-1-mzt-2+4x2zt-2-2xzt-2+2yzt-2-2zt-1-4y2zt-2+8yzt-1-2yt-2xt-2zt+n2zt-2+nzt-2-4nxzt-2)，具有還原性，把其中的一個數(shù)代入換元式中的n,另一個數(shù)代入換元式中的m,化簡整理后總能得到Xt+Yt-Zt。故所用的換元方程不同，所做的論述也會發(fā)生不同，但實質(zhì)和原理不會發(fā)生改變。本次論述選擇的是以作為換元方程，-m2zt-2+4myzt-2-4mzt-1-mzt-2+4x2zt-2-2xzt-2+2yzt-2-2zt-1-4y2zt-2+8yzt-1-2yt-2xt-2zt+n2zt-2+nzt-2-4nxzt-2作為換元式。還原性的存在原因：第一個就是最小指數(shù)大于等于3的條件，這也是為什么費馬定理會成立的一個原因，當(dāng)然也是不定方程Xt1+Yt2-ZtH0成立的一個原因。為什么呢？這是因為對應(yīng)的換元式的還原性，需要最小指數(shù)大于等于3.而換元式的還原性才是命題Xt+Yt-ZtHO,成立的本質(zhì)原因。還原性的實質(zhì)是條件的非控制性,也就是缺少條件的控制。由于缺少條件的控制，使換元方程擁有無數(shù)個符合條件的解。當(dāng)Xt+Yt-Zt=0時，就必須要求這些解的和等于2x+2y-2z-1，或差等于2x+2y-2z。居然解的和是等于2x+2y-2z-1，那么這個解勢必也要具有還原性。如果沒有還原性，說明，它的和并不等于我們所要的條件，根據(jù)前面對命題（3）的證明，就可以推出Xt+Yt-ZtHO。事實上，沒有一組數(shù)既是解又能具有還原性的，解的實質(zhì)無非就是把換元式還原成O（Xt+Yt-Zt）。而在兩數(shù)之和為2x+2y-2z-l時，無論Xt+Yt-Zt的值如何，都能將其對應(yīng)換元式還原。這個條件很重要，這保證命題的證明，不是在假設(shè)Xt+Yt-Zt等于0,的條件下，去尋找不符合事實的依據(jù)，因為在Xt+Yt-Zt這個代數(shù)式中包含了，太多太多的數(shù)，你無法否定所有的可能，這可能也是為什么費馬定理很難證明的一個原因。而在本篇論述中并沒有這樣的假設(shè)。因為還原性，僅與兩個數(shù)的和是否等于2x+2y-2z-1有關(guān)（與Xt+Yt-Zt的值無關(guān)）。如果某組數(shù)，不具有還原性，僅僅是因為它不滿足還原性的條件，即和不等于2x+2y-2z-1?；氐角懊娴恼撌?，還原性是因為條件限制不夠，或者是條件無法限制，而條件無法限制是因為最小指數(shù)大于等于3.因為當(dāng)t$3時，nxt-2Hmyt-2，也就是線段FAEB所代表的值并不相2311等。這是因為xy互素，故要使nxt-2=myt-2，n的最小值是y-2，m的最小值是xt-2，但在半圓曲線分析圖中對nm的取值都做了明確的要求及nVx,mVy，或者在Xt，Yt的等差值線段表達(dá)圖中，至少有一個值是不存在的，即在Yt的等差線段圖中不存在那條線段值為xt-2Xyt-2°（因為yVx,Yt中的最大線段值肯定小于xt-2Xyt-2），故在值為nxt-2，myt-2的兩條線段間也就是線段FAEB存在著一個單位2311“1”的距離。這使得在建立換元式的過程中，對nm之間的數(shù)學(xué)關(guān)系無法界定，或者缺少條件的控制。而在平方的情況下即X2Y2Z2的線段圖中是不存在對應(yīng)的“1”的差距的，這樣在建立對應(yīng)的換元方程的時候就會對nm有嚴(yán)格的規(guī)定，即球出的nm必定是確定且唯一的。而那些不能界定或無需界定的情況，雖存在理論意義生的唯但可以求出的解都是無窮多的。在Xt+Yt-Zt=0時，必然要求這些解去滿足換元式的還原性，這就為證明提供了方法。這些解必然不會具有還原性。還原性在方程的構(gòu)建過程來說：是因為在命題的換元過程中，在abcdefg的分區(qū)計算中隱性的用到了n+m=2x+2y-2z-l這個條件。所以在把這個條件用到換元式的時候，必然將換元式，還原成原來的樣子，當(dāng)然換句話來說，如果帶進(jìn)去的值不是規(guī)定的范圍，那也是不能還原換元式的。換元式的還原性與Xt+Yt-Zt的值無關(guān)。僅僅是和為2x+2y-2z-1的兩個數(shù)與換元式之間的一種特殊的邏輯關(guān)系。換言之，換元式的一個最大的作用就是可以檢驗兩個數(shù)的和是否等于2x+2y-2z-1，如果是的話具有還原性，如果不是那么對于換元式來說就不會具有還原性。還原性的證明n+m=2x+2y-2z-1， 對換元式-m2z t-2 +4myz t-2 -4mz t-1 -m zt-2 +4x2zt-2-2xzt-2+2yzt-2-2zt-1-4y2zt-2+8yzt-1-2yt-2xt-2zt+n2zt-2+nzt-2-4nxzt-2的還原作用。是指將和為2x+2y-2z-1兩個數(shù)，其中一個數(shù)代入式中的n,另一個數(shù)，代入式中的m,經(jīng)化簡以后，無論，Xt+Yt-Zt的值為什么，最后的結(jié)果都是-2(Xt+Yt-Zt)證明：假設(shè)其中的一個數(shù)就是n,則另一個數(shù)為(2x+2y-2z-1-n)代入換元式(或者是檢驗式)得：-zt-2(2x+2y-2z-1-n)2+4yzt-2(2x+2y-2z-1-n)-4(2x+2y-2z-1-n)zt-1-zt-2(2x+2y-2z-1-n)+4x2zt-2-2xzt-2+2yzt-2-2zt-1-4y2zt-2+8yzt-1-2yt-2xt-2zt+n2zt-2+nzt-2-4nxzt-2=-4x2zt-2-4xyzt-2+4xzt-1+2xzt-2+2nxzt-2-4xyzt-2-4y2zt-2+4yzt-1+2yzt-2+2nyzt-2+4xzt-1+4yzt-1-4zt-2zt-1-2nzt-1+4xzt-1+2xzt-2+2yzt-2-2zt-1-2zt-2-nzt-2+2nxzt-2+2nyzt-2-2nzt-1-nzt-2-n2zt-2+8xyzt-2+8y2zt-2-8yzt-1-4yzt-2-4nyzt-2-8xzt-1-8yzt-1+8zt+4zt-1+4nzt-1-2xzt-2-2yzt-2+2zt-1+zt-2+nzt-2+4x2zt-2-2xzt-2+2yzt-2-2zt-1-4y2zt-2+8yzt-1-2xt-2yt-2zt+n2zt-2+nzt-2-4nxzt-2=-42zt-2xt-2yt-2zt+8zt=-2xt-2yt+2zt=-2(xt+2yt-2zt)第五命題xt+yt-ztHO的證明根據(jù)命題(3),因為xt+yt-ztHO等價于2zt-2+6zt-i—4x2zt-2+2xzt-2—6yz-2+4y2zt-2—8yz-i+2yt+2xt+2zt—2zt-2+4yzt-2—4zt-1—4xzt-2+2zt-1-4x2zt-2-2xzt-2-2yzt-2+4y2zt-2—8yzt-1+2yt+2xt+2zt 豐—2zt-2+4yzt-2—4zt-1—4xzt-22x+2y-2z-1同時因為，和為2x+2y-2z-1的兩個數(shù)對換元式(-m2zt-2+4myzt-2-4mzt-1-mzt-2+4x2zt-2-2xzt-2+2yzt-2-2zt-1-4y2zt-2+8yzt-1-2yt-2xt-2zt+n2zt-2+nzt-2-4nxzt-2 )具有還原性，故要證2zt-2+6zt-1—4x2zt-2+2xzt-2—6yzt-2+4y2zt-2—8yzt-1+2yt2+2xt1+2zt—2zt-2+4yzt-2—4zt-1—4xzt-22zt-1-4x2zt-2-2xzt-2-2yzt-2+4y2zt-2—8yzt-1+2yt2+2xt1+2zt 豐—2zt-2+4yzt-2—4zt-1—4xzt-22x+2y-2z-l，僅需證明，這兩個代數(shù)式，對換元式不具有還原性，具體的作法是把第一個代數(shù)式代入表達(dá)式中的m，把第二個代數(shù)式代入表達(dá)式中的n，實際上就是將換元方程當(dāng)m=n+1(n-m=-l,)時的解，進(jìn)行互調(diào)將m的值代入換元式中的n,將n的值代入換元式中的m。同時取兩個代數(shù)式的值相差為1,在計算中有如下作用，第一是起到了簡化計算的作用，第二是可以保證，兩個數(shù)的差不等于2x+2y-2z，因為2x+2y-2zH-1。具體的步驟以及計算過程如下:因為還原式總共有16項比較多，而且需要代入換元的兩個代數(shù)式也是個含有多個項，所以整個計算過程，按換元式的各項的順序依次展開，每一項的展開做一個相對獨立的計算，然后算完所有的項以后，在做整合處理。同時為了計算的間化，把，其中的幾項n2z-2,-m2zt-2,nzt-2，-mzt-2并在一起計算。即:n2zt-2-m2zt-2=(n+m)(n-m)zt-2=(n+m)zt-22zt-2+8zt-1—8x2zt-2—8yzt-2+8y2zt-2—16yz{-1+4yt+4xt+4zt)—2zt-2+4yzt-2—4zt-1—4xzt-22z2t-4+8z2t-3—8x2z2t-4—8yz2t-4—16yz2t-3+4xtz2t-2+4ytzt-2+4z2t-2+8y2z2t-4—2zt-2+4yzt-2—4zt-1—4xzt-2nzt-2-mzt-2=(n-m)zt-2=zt-2=—2z2t-4+4yz2t-4—4z2t-3—4xz2t-3—2zt-2+4yzt-2—4zt-1—4xzt-24myzt-24yzt-2(2zt-2+6zt-1—4x2zt-2+2xzt-2—6yzt-2+4y2zt-2—8yzt-1+2yt+2xt+2zt)—2zt-2+4yzt-2—4zt-1—4xzt-28yz2t-4+24yz2t-3—16x2y?-4+8xy^-4—24y2z力-4—3紉zz+8xtyz^-2+8yt+1zt-2+8yzt-2+16y3z2t-4—2zt-2+4yz^-2—4zt-1—4x^-2-4mzt-i—4zt-i(2zt-2+6zt-i-4x2zt-i+2xzt-2-6yzt-2-8yzt-i+2xt+2yt+2zt+4y2zt-2)-2z+4yz—4z—4xz—8z2t-3—24z2t-2+16x2z2t-3—8xz2t-3+24yz2t-3+32yz2t-2—8xtz—8ytzt-1—8z2t-1—16y2z2t-3—2zt-2+4yzt-2—4zt-1—4xzt-24x2zt-2=4x2zt-2(—2zt-2+4yzt-2—4zt-1—4xzt-2)—2zt-2+4yzt-2—4zt-1—4xzt-2=—8x2z2t-4+16x2yz2t-4—16x2z2t-3—16x3z2t-4—2zt-2+4yzt-2—4zt-1—4xzt-2-2xzt-2=—2xzt-2(—2zt-2+4yzt-2—4zt-1—4xzt-2)—2zt-2+4yzt-2—4zt-1—4xzt-2=4xz2t-4—8xyz2t-4+8xz2t-3+8xz2t-4—2zt-2+4yzt-2—4zt-1—4xzt-22yzt-2=2yzt-2(—2zt-2+4yzt-2—4zt-1—4xzt-2)—2zt-2+4yzt-2—4zt-1—4xzt-2=—4yz2t-4+8y2z2t-4—8yz2t-3—8xyz2t-4—2zt-2+4yzt-2—4zt-1—4xzt-2-2zt-1=-2zt-i(—2zt-2+4yzt-2-4z-i-4xz-2)—2zt-2+4yzt—2-4zt-1-4xzt—2=4z2t-3—8yz2t-3+8z2t-2+8xz2t-3—2zt-2+4yzt-2—4zt-1—4xzt-2-4y2zt-2=-4y2zt-2(-2zt-2+4yzt-2-4zt-1-4xzt-2)—2zt-2+4yzt-2—4zt-1—4xzt-2=8y2z2t-4—1