高考數(shù)學立體幾何常見的二級結論及其應用

高考數(shù)學立體幾何常見的二級結論及其應用V21.稱二測畫法貢觀圖面積為原圏形面積的一倍4備注：在用斜二測畫法畫直觀圖時，首先在平面上畫出對應的x軸和y軸，兩軸相交于點O，且使zxOy=45°(或135°)，在已知圖形平行于x軸的線段，在直觀圖中畫成平行于x軸，長度保持不變；在已知圖形平行于y軸的線段，在直觀圖中畫成平行于y軸，且長度為原來的一半。2.n面體購表面積為S,體積為V.則內切球的半輕3V證明二將肉切球的球沁n面粼心書的各頂點連經(jīng).就能將逵個釜面休分割成n個棱錐’此時各棱推的高就是內切球的半徑r:設n面體休積為V,各面面積分別溝Si,S2Sn,各棱雒術只分別為Vl,g......,則有：V=V1+V2+……+VnTOC\o"1-5"\h\z111V=-Sir4--S2r+-+-Sr「333V=-r(S1+&2+-+Sm)V=|rS3V即p備注：對于棱錐而言，只有三棱錐一定有內切球，內切球的球心在三個側面與底面形成的三個二面角的角平分面的交點上。對于n棱錐(n?4)，只有正n棱錐才有內切球。監(jiān)設點A為面上一點，過點A的斜繪AO在面上的射影為AB「另外AC為面上任奩一奈直線,則^OAC,zBAC和NOAB三甬的余弦值存在如下的關系,被稱為三余弦定理:<aszOAC=co￡2BAC-co5ZOAB證明：在A匚上找一點匚便得，^匸丄人匚，連接O匸玄［］下所ABcoszOAB=—0AACcosZBAC=一AB'.'AC丄BGOB丄AE4匸丄面OB匸「.A匸丄O匸AC..coszOAC=—OA由①?③可知；coszOA0亡0￡也￡/\匸吧0蛀0畠直例題：已知直線L與平面口所成甬為45°,L在cc內的射影為m,n為口內前直堆,且直線n與m所成角為45a,則酉線L與n所咸甬為寥少？解：根搞三余弓如里可知::cos0=cos45Qcos45a=-又丁兩條直翁的夾甫范圍為,死°]4.面枳1寸影左理:設宇面0（外的^ABC在平面cc內的身JgS^ABO,^glJffi-ABC與出ABO的面積為S和S1JB^ABC所在的平面與平面c（所成的一面角為B,SJ則荷:CO￡0=-SCZZ/0/w/備注：當面角的范圍為的』讓0]時」cos9=—5證明：過點匸柞C：D丄竝B于點D,連接OD.CD丄AB又OD丄面ABO,..CO丄AB..AB丄面CDO'.AB丄OD「?二面桶CABD的平面桶即為ZCDOS￡ABC=—CDAB』S￡ABO=—ODAB例題：在正三IgllABC-A1B1C1中f2AB=AAi,D為BBi上的中點,求平面ACiD與平面ABC所成甬翁正弦值°B解：設AB“■則BBi=2,又D是BBi的中點，???BD=BiD=l.'?AD=CiD=\/2又可算出ACi=\'3vis二S^A€1D=又S-ABC=——4設平面ACiD與平面ABC所成角為G.且可知o<e<9o°SaAC1D5■平面ACiD與平面ABC所成角的正弦值：“45.正四面體的常用結論:假設1E四面萍的邊長為「則肓：V6_?^=—afS^m=V3a2rV腳二o_1@招鄰兩個面的—面甫:to&fl=-,(a=70.5a)V3?三條惻棱與扃面的夾珀:cosp=—?(p?54.7a)夕展球和內切球的球心重合.且球心在高對應的罐段上,它是高的四等分點,球心到頂點的距離為外接球的半gR=—a,球心到庶面的距離為內切球的-\；;6_r=—a,El此R:r=3:112頂點在庚面的射影是底面三角形的中心f四心■合一)對棱互S垂直，且對揍中點的連繪為對棱前公垂線F距離為號目,三對對揍公垂線交于_點,此點為該正四面體外接球破內切球｝閑球心。針對結論⑥?證明如下：已知三棱錐P-AB-C為正四面體”且PA=a,苜先分別做PA和甌的中點匕F.連結匚乙PF”FA如下圖所示；根可知:FA=FP'又IE是PA的中點”二丁丄RA同理連結BIE,CE可得；EF丄BCEF是PA與BC的鐮絨在二PAF中,可知PA=m”PF=AF二一a2V2■可得EF=a2再取PC和AB的中點M』g連結MN』EM』NF如下圏所示::爭園#90#VO君率蜩0歲鳥瑋睛垂月國闿代轡緬回中冏幻右NIAIMO目’O學一壬亞芋幻號NW.'回沖63:TN'IATm羅目'紐063馬圭弘DNIAI3紐榮???dN=N3*dNHN3,.*z,DV-=dN目'DVUdN：3回Iz,DV-=N3HDVlim:臨巨農T'蒂垂書陰4寫曲晉沿NIATdGGON丄”且N為AB的中點可知:OA=OB同理連結OP」oc可證:OA=OP,OP=OC”O(jiān)C=OAOA=OB=OOOD0是四面體的球心例題1:已知球0的直徑PA=2rrB,C是該球面上的兩點,且BC=PB=PC=r,則三棱惟P-ABC的32^2體枳為二一,則試求球O的表面枳。

解：霍OB”O(jiān)G可得三棱錐O-BCP是棱長為r的正四面休V5■'■V<)-bcf=—12

解二根可知:AB為正四面休的一SIS由結論■⑥可知，M為AB對棱的中點過點蘭作MN丄必B與N,如下圖則MN湖對棱的公垂線MN=\/2AB=2■'■S^abm=—AB-MN=V22缶直三棱拄的外接球半色:R=Jr2+^)2,具中r為囁面三莆形的外接園豐徑「L制W棱覽如果直三棱柱有內切球時『則內切球半徑:RJ扌￡備注：⑴三角腸隱II半徑的求法有兩種：①恨據(jù)①恨據(jù)I矗定理；2abc2sinA2sinE2sinC1②結合正弦定理和解三角形求面積公式(5石訪血°abc可得:r=——4S(2)三甬形內切圜半徑公式淘；尸三一a+b+c例題:已知正三棱柱的廟面邊長為2^3,側棱長為2,A.B分別為該正三棱柱內切球和外接球上的動點’則試求久B兩點問的距離最大直解：由題意可知:正三棱拄的夕強球半徑:只十+【護邊辰為2待，可知：r=—^―==22sinA2sm60又L=2’則■'■R=/S正三棱拄的內切球半徑:卍二匕丄■A.B分別是內切球隱球上的點”則lABl^VS+17.正方體與三棱推的關系在正方體的8個頂點中取4個，可組成的三棱誰有:備注:田正方體的4個頂點組成的三棱錐的夕屈球的半徑與正方體的夕矗球半徑是一樣的。①每個面都是正三角形的正四面體1此正四面體的體積為正方體體積的6②每個面都是盲角三角形的三棱錐（也被禰作鱉瞎體）1此鱉瞎體的體積為正方體體積的；6?有三個面為直甬的四面體(也被稱件墻甬的111汨甬體的律積為正方體體積的；6圖1圖1備注:在長方休中.同樣可以找到蹩劇*ffl墳毎休④如下圏,共底面的正P9M(A-BCD)和正三嘶(E-BCD)它忙I的高之比為2;1,且它們的高均在體對?iSAE±,且把體對角線的長分為2:1,eaAO:OE=211(0為AE與面BCD的交點)ECEC例題：已知三瞬介BCD的外接球夠球SBC與-ACD都是以AC為斜邊的直角三馬形,-BCD是IUBD為釋邊的等腰直角三甬形，且BD“靳向量——2nDA與AB,則試求球O的表面積。?aJ解：根可知:此三棱推有三個直常三汨形’即為堵角體”BD=V2.可知BC=CD=1.——Sr——JrSIT又DA-^AB的夾垢為一.-ZBAD=-*即MBD是正三角形,符合上面結論的的圏像2；可知此墳角休對應的IE方休的邊長為1.又曄體的夕區(qū)球與對應的正方體的夕儲球一樣「則S=4nR2=3n&三融P-ABC中『點P在平面ABC中的射影為點。二@若PA=PB=PCf則點