高考數(shù)學(xué)立體幾何常見的二級結(jié)論及其應(yīng)用

高考數(shù)學(xué)立體幾何常見的二級結(jié)論及其應(yīng)用V21.稱二測畫法貢觀圖面積為原圏形面積的一倍4備注：在用斜二測畫法畫直觀圖時，首先在平面上畫出對應(yīng)的x軸和y軸，兩軸相交于點(diǎn)O，且使zxOy=45°(或135°)，在已知圖形平行于x軸的線段，在直觀圖中畫成平行于x軸，長度保持不變；在已知圖形平行于y軸的線段，在直觀圖中畫成平行于y軸，且長度為原來的一半。2.n面體購表面積為S,體積為V.則內(nèi)切球的半輕3V證明二將肉切球的球沁n面粼心書的各頂點(diǎn)連經(jīng).就能將逵個釜面休分割成n個棱錐’此時各棱推的高就是內(nèi)切球的半徑r:設(shè)n面體休積為V,各面面積分別溝Si,S2Sn,各棱雒術(shù)只分別為Vl,g......,則有：V=V1+V2+……+VnTOC\o"1-5"\h\z111V=-Sir4--S2r+-+-Sr「333V=-r(S1+&2+-+Sm)V=|rS3V即p備注：對于棱錐而言，只有三棱錐一定有內(nèi)切球，內(nèi)切球的球心在三個側(cè)面與底面形成的三個二面角的角平分面的交點(diǎn)上。對于n棱錐(n?4)，只有正n棱錐才有內(nèi)切球。監(jiān)設(shè)點(diǎn)A為面上一點(diǎn)，過點(diǎn)A的斜繪AO在面上的射影為AB「另外AC為面上任奩一奈直線,則^OAC,zBAC和NOAB三甬的余弦值存在如下的關(guān)系,被稱為三余弦定理:<aszOAC=co￡2BAC-co5ZOAB證明：在A匚上找一點(diǎn)匚便得，^匸丄人匚，連接O匸玄［］下所ABcoszOAB=—0AACcosZBAC=一AB'.'AC丄BGOB丄AE4匸丄面OB匸「.A匸丄O匸AC..coszOAC=—OA由①?③可知；coszOA0亡0￡也￡/\匸吧0蛀0畠直例題：已知直線L與平面口所成甬為45°,L在cc內(nèi)的射影為m,n為口內(nèi)前直堆,且直線n與m所成角為45a,則酉線L與n所咸甬為寥少？解：根搞三余弓如里可知::cos0=cos45Qcos45a=-又丁兩條直翁的夾甫范圍為,死°]4.面枳1寸影左理:設(shè)宇面0（外的^ABC在平面cc內(nèi)的身JgS^ABO,^glJffi-ABC與出ABO的面積為S和S1JB^ABC所在的平面與平面c（所成的一面角為B,SJ則荷:CO￡0=-SCZZ/0/w/備注：當(dāng)面角的范圍為的』讓0]時」cos9=—5證明：過點(diǎn)匸柞C：D丄竝B于點(diǎn)D,連接OD.CD丄AB又OD丄面ABO,..CO丄AB..AB丄面CDO'.AB丄OD「?二面桶CABD的平面桶即為ZCDOS￡ABC=—CDAB』S￡ABO=—ODAB例題：在正三IgllABC-A1B1C1中f2AB=AAi,D為BBi上的中點(diǎn),求平面ACiD與平面ABC所成甬翁正弦值°B解：設(shè)AB“■則BBi=2,又D是BBi的中點(diǎn)，???BD=BiD=l.'?AD=CiD=\/2又可算出ACi=\'3vis二S^A€1D=又S-ABC=——4設(shè)平面ACiD與平面ABC所成角為G.且可知o<e<9o°SaAC1D5■平面ACiD與平面ABC所成角的正弦值：“45.正四面體的常用結(jié)論:假設(shè)1E四面萍的邊長為「則肓：V6_?^=—afS^m=V3a2rV腳二o_1@招鄰兩個面的—面甫:to&fl=-,(a=70.5a)V3?三條惻棱與扃面的夾珀:cosp=—?(p?54.7a)夕展球和內(nèi)切球的球心重合.且球心在高對應(yīng)的罐段上,它是高的四等分點(diǎn),球心到頂點(diǎn)的距離為外接球的半gR=—a,球心到庶面的距離為內(nèi)切球的-\；;6_r=—a,El此R:r=3:112頂點(diǎn)在庚面的射影是底面三角形的中心f四心■合一)對棱互S垂直，且對揍中點(diǎn)的連繪為對棱前公垂線F距離為號目,三對對揍公垂線交于_點(diǎn),此點(diǎn)為該正四面體外接球破內(nèi)切球｝閑球心。針對結(jié)論⑥?證明如下：已知三棱錐P-AB-C為正四面體”且PA=a,苜先分別做PA和甌的中點(diǎn)匕F.連結(jié)匚乙PF”FA如下圖所示；根可知:FA=FP'又IE是PA的中點(diǎn)”二丁丄RA同理連結(jié)BIE,CE可得；EF丄BCEF是PA與BC的鐮絨在二PAF中,可知PA=m”PF=AF二一a2V2■可得EF=a2再取PC和AB的中點(diǎn)M』g連結(jié)MN』EM』NF如下圏所示::爭園#90#VO君率蜩0歲鳥瑋睛垂月國闿代轡緬回中冏幻右NIAIMO目’O學(xué)一壬亞芋幻號NW.'回沖63:TN'IATm羅目'紐063馬圭弘DNIAI3紐榮???dN=N3*dNHN3,.*z,DV-=dN目'DVUdN：3回Iz,DV-=N3HDVlim:臨巨農(nóng)T'蒂垂書陰4寫曲晉沿NIATdGGON丄”且N為AB的中點(diǎn)可知:OA=OB同理連結(jié)OP」oc可證:OA=OP,OP=OC”O(jiān)C=OAOA=OB=OOOD0是四面體的球心例題1:已知球0的直徑PA=2rrB,C是該球面上的兩點(diǎn),且BC=PB=PC=r,則三棱惟P-ABC的32^2體枳為二一,則試求球O的表面枳。

解：霍OB”O(jiān)G可得三棱錐O-BCP是棱長為r的正四面休V5■'■V<)-bcf=—12

解二根可知:AB為正四面休的一SIS由結(jié)論■⑥可知，M為AB對棱的中點(diǎn)過點(diǎn)蘭作MN丄必B與N,如下圖則MN湖對棱的公垂線MN=\/2AB=2■'■S^abm=—AB-MN=V22缶直三棱拄的外接球半色:R=Jr2+^)2,具中r為囁面三莆形的外接園豐徑「L制W棱覽如果直三棱柱有內(nèi)切球時『則內(nèi)切球半徑:RJ扌￡備注：⑴三角腸隱II半徑的求法有兩種：①恨據(jù)①恨據(jù)I矗定理；2abc2sinA2sinE2sinC1②結(jié)合正弦定理和解三角形求面積公式(5石訪血°abc可得:r=——4S(2)三甬形內(nèi)切圜半徑公式淘；尸三一a+b+c例題:已知正三棱柱的廟面邊長為2^3,側(cè)棱長為2,A.B分別為該正三棱柱內(nèi)切球和外接球上的動點(diǎn)’則試求久B兩點(diǎn)問的距離最大直解：由題意可知:正三棱拄的夕強(qiáng)球半徑:只十+【護(hù)邊辰為2待，可知：r=—^―==22sinA2sm60又L=2’則■'■R=/S正三棱拄的內(nèi)切球半徑:卍二匕丄■A.B分別是內(nèi)切球隱球上的點(diǎn)”則lABl^VS+17.正方體與三棱推的關(guān)系在正方體的8個頂點(diǎn)中取4個，可組成的三棱誰有:備注:田正方體的4個頂點(diǎn)組成的三棱錐的夕屈球的半徑與正方體的夕矗球半徑是一樣的。①每個面都是正三角形的正四面體1此正四面體的體積為正方體體積的6②每個面都是盲角三角形的三棱錐（也被禰作鱉瞎體）1此鱉瞎體的體積為正方體體積的；6?有三個面為直甬的四面體(也被稱件墻甬的111汨甬體的律積為正方體體積的；6圖1圖1備注:在長方休中.同樣可以找到蹩劇*ffl墳毎休④如下圏,共底面的正P9M(A-BCD)和正三嘶(E-BCD)它忙I的高之比為2;1,且它們的高均在體對?iSAE±,且把體對角線的長分為2:1,eaAO:OE=211(0為AE與面BCD的交點(diǎn))ECEC例題：已知三瞬介BCD的外接球夠球SBC與-ACD都是以AC為斜邊的直角三馬形,-BCD是IUBD為釋邊的等腰直角三甬形，且BD“靳向量——2nDA與AB,則試求球O的表面積。?aJ解：根可知:此三棱推有三個直常三汨形’即為堵角體”BD=V2.可知BC=CD=1.——Sr——JrSIT又DA-^AB的夾垢為一.-ZBAD=-*即MBD是正三角形,符合上面結(jié)論的的圏像2；可知此墳角休對應(yīng)的IE方休的邊長為1.又曄體的夕區(qū)球與對應(yīng)的正方體的夕儲球一樣「則S=4nR2=3n&三融P-ABC中『點(diǎn)P在平面ABC中的射影為點(diǎn)。二@若PA=PB=PCf則點(diǎn)