高等代數(shù)(北大)第5章習(xí)題參考答案

高等代數(shù)(北大版)第5章習(xí)題參照答案高等代數(shù)(北大版)第5章習(xí)題參照答案/高等代數(shù)(北大版)第5章習(xí)題參照答案第五章二次型1．用非退化線性替代化以下二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，并利用矩陣驗(yàn)算所得結(jié)果。1）4x1x22x1x32x2x3；2）x122x1x22x224x2x34x32；3）x123x222x1x22x1x36x2x3；4）8x1x42x3x42x2x38x2x4；5）x1x2x1x3x1x4x2x3x2x4x3x4；6）x122x22x424x1x24x1x32x1x42x2x32x2x42x3x4；7）x12x22x32x422x1x22x2x32x3x4。解1）已知fx1,x2,x34x1x22x1x32x2x3，先作非退化線性替代x1y1y2x2y1y2（1）x3y3則fx1,x2,x34y124y224y1y34y124y1y3y32y324y222y1y33y324y22，再作非退化線性替代y11z11z322y2z2（2）y3z3則原二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為fx1,x2,xz24z2z2，3123最后將（2）代入（1），可得非退化線性替代為x11z1z21z322x21z1z21（3）2z32x3z3于是相應(yīng)的替代矩陣為1011011102222T110111100，00100120201且有100TAT040。0012）已知fx1,x2,x3x122x1x22x224x2x34x32，由配方法可得fx1,x2,x3x122x1x2x22x224x2x34x32xx2x22x2，123于是可令y1x1x2y2x22x3，y3x3則原二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為fx1,x2,x3y12y22，且非退化線性替代為x1y1y22y3x2y22y3，x3y3相應(yīng)的替代矩陣為112T012，001且有100110112100TAT110122012010。221024001000（3）已知fx1,x2,x3x123x222x1x22x1x36x2x3，由配方法可得fx,x,x3x22xx22xx32x2x3x2x24x24xxx212111232233x1x2x322x2x32，于是可令y1x1x2x3y22x2x3，y3x3則原二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為fx,x2,x3y2y2，112且非退化線性替代為x1y11y23y322x21y21y3，22x3y3相應(yīng)的替代矩陣為1

13211T0，2001且有11310011122100110133011010。TAT222213000003110122（4）已知fx1,x2,x3,x48x1x22x3x42x2x38x2x4，先作非退化線性替代x1y1y4x2y2，x3y3x4y4則fx1,x2,x3,x48y1y48y422y3y42y2y38y2y428y422y41y11y21y31y11y21y322822881y11y221y32y2y322881y11y21y321y32y42y1y22y2y3，2284再作非退化線性替代y1z1y2z2z3，y3z2z3y4z4則81z15z23z325z23z32fx1,x2,x3,x4z42z1288442z22z2，23再令w1z15x23x344w2z2，w3z3w41z15z23z3z4288則原二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為fx1,x2,x3,x42w122w222w328w42，且非退化線性替代為x11w15w23w3w4244x2w2w3，x3w2w3x41w1w42相應(yīng)的替代矩陣11，0010012且有20000200TAT020。00008（5）已知fx1,x2,x3,x4x1x2x1x3x1x4x2x3x2x4x3x4，先作非退化線性替代x12y1y2x2y2，x3y3x4y4則fx1,x2,x3,x42y1y2y222y1y32y2y32y1y42y2y4y3y41y42y1y2y3y42y33y42y12，24再作非退化線性替代z1y1z2y1y2y3y4z3y31y4，2z4y4即y1z1y2z1z2z31z42，1y3z3z42y4z4則原二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為fx1,x2,x3,x4z12z22z323z42，4且非退化線性替代為x1z1z2z31z421z4x2z1z2z3，2x3z31z4x4z42相應(yīng)的替代矩陣為11112T11112，001120001且有1000TAT01000010。00034（6）已知fx1,x2,x3,x4x122x22x424x1x24x1x32x1x42x2x32x2x42x3x4，由配方法可得fx1,x2,x3,x4x22x2x22x3x2x22xx2114342x22x3x422x22x422x2x32x2x42x3x43x31x42x12x22x3x422x21x3x42，222于是可令y1x12x22x3x4y2x23x31x4，22y3x3x4y4x4則原二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為fy122y221y32，2且非退化線性替代為x1y12y2y3y4x2y23y3y4，2x3y3y4x4y4故替代矩陣為121101312T0，0110001且有1000TAT0200001。200000（7）已知fx1,x2,x3,x4x12x22x32x422x1x22x2x32x3x4，由配方法可得fx1,x2,x3,x4x222x2x1x3x1x322x1x32x3x4x42x1x2x322x1x3x322x3x4x42x32xx2x2xx22xxx2x2x2133413311x12x1x2x32x3x42x1x32，于是可令y1x1y2x1x2x3，y3x3x4y4x1x3則原二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為fy12y22y22y42，且非退化線性替代為x1y1x2y2y4，x3y1y4x4y1y3y4相應(yīng)的替代矩陣為10000101T00，111011且有10000100TAT01。000001（Ⅱ）把上述二次型進(jìn)一步化為規(guī)范形，分實(shí)系數(shù)、復(fù)系數(shù)兩種情況；并寫出所作的非退化線性替代。解1）已求得二次型fx1,x2,x34x1x22x1x32x2x3的標(biāo)準(zhǔn)形為fy124y223y32，且非退化線性替代為x11y1y21y322x21y21y1y3，22x3y3（1）在實(shí)數(shù)域上，若作非退化線性替代y1z3y21z2，2y3z1可得二次型的規(guī)范形為fz12z22z32。（2）在復(fù)數(shù)域上，若作非退化線性替代y1iz1y21z2，2y3z1可得二次型的規(guī)范形為fz12z22z32。2）已求得二次型fx1,x2,x3x122x1x22x224x2x34x32的標(biāo)準(zhǔn)形為fy12y22，且非退化線性替代為x1y1y22y3x2y22y3，x3y3故該非退化線性替代已將原二次型化為實(shí)數(shù)域上的規(guī)范形和復(fù)數(shù)域上的規(guī)范形fy12y22。3）已求得二次型fx1,x2,x3x123x222x1x22x1x36x2x3的標(biāo)準(zhǔn)形為fy12y22，且非退化線性替代為x1y11y23y322x21y21y3，22x3y3（1）在實(shí)數(shù)域上，上邊所作非退化線性替代已將二次型化為規(guī)范形，即fy12y22。（2）在復(fù)數(shù)域上，若作非退化線性替代y1z1y2iz2。y3z3可得二次型的規(guī)范形為fz12z22。（3）已求得二次型fx1,x2,x3,x48x1x22x3x42x2x38x2x4的標(biāo)準(zhǔn)形為f2y122y222y328y42，且非退化線性替代為x11y15y23y3y4244x2y2y3，x3y2y3x41y1y42（1）在實(shí)數(shù)域上，若作非退化線性替代y11z42y21z22，1y3z32y41z122可得二次型的規(guī)范形為fz12z22z32z22。（2）在復(fù)數(shù)域上，若作非退化線性替代iy1z11y2z22，iy3z31y4z422可得二次型的規(guī)范形為fz12z22z32z22。（5）已求得二次型fx1,x2,x3,x4x1x2x1x3x1x4x2x3x2x4x3x4的標(biāo)準(zhǔn)形為fy12y22y323y42，4且非退化線性替代為x1y1y2y31y42x2y1y2y31y4，1y42x3y32x4y4（1）在實(shí)數(shù)域上，若作非退化線性替代y1z2y2z1y3z3，2y4z43可得二次型的規(guī)范形為fz12z22z32z42。（2）在復(fù)數(shù)域上，若作非退化線性替代y1iz1y2z2y3iz3，2y4iz43可得二次型的規(guī)范形為fz2z2z2z2。12346）已求得二次型fx1,x2,x3,x4x122x22x424x1x24x1x32x1x42x2x32x2x42x3x4的標(biāo)準(zhǔn)形為fy122y221y32，2且非退化線性替代為x1y12y2y3y4x2y23y3y4。2x3y3y4x4y4（1）在實(shí)數(shù)域上，若作非退化線性替代y1z2y21z32，y32z1y4z4可得二次型的規(guī)范形為fz12z22z32。（2）在復(fù)數(shù)域上，若作非退化線性替代y1iz1y2iz22，y32z3y4z4可得二次型的規(guī)范形為fz12z22z32。7）已求得二次型fx1,x2,x3,x4x122x22x424x1x24x1x32x1x42x2x32x2x42x3x4的標(biāo)準(zhǔn)形為fy12y22y22y42，且非退化線性替代為x1y1x2y2y4。x3y1y4x4y1y3y4（1）在實(shí)數(shù)域上，上邊所作非退化線性替代已將二次型化為規(guī)范形，即fy12y22y22y42。（2）在復(fù)數(shù)域上，若作非退化線性替代y1z1y2z2y3z3

，y4iz4可得二次型的規(guī)范形為fz2z2z2z2。12342．證明：秩等于r的對(duì)稱矩陣能夠表成r個(gè)秩等于1的對(duì)稱矩陣之和。證由題設(shè)知AA且rank(A)r，于是存在可逆矩陣C使CACD，且D為對(duì)角陣，又因?yàn)镃,C1,C1C1均為可逆矩陣，所以有CACD1D2Dr，此中0d10d200D10,,Drdr,D20000于是AC1D1D2DrC1C1D1C1C1D2C1C1DrC1。因rankC1DiC11i1,2,,r，且C1DiC1C1DiC1CDC即C1DiC1都是對(duì)稱矩陣，故A可表成r個(gè)秩為1的對(duì)稱矩陣之和。3．證明：1i12與i2nin合同，此中i1i2in是1,2,,n的一個(gè)擺列。證題中兩個(gè)矩陣分別設(shè)為A,B，與它們相應(yīng)的二次型分別為fA1x122x22nxn2，fBi1y12i2y22inyn2，作非退化的線性替代ytxitt1,2,,n，則fB可化成fA。故A與B合同。4．設(shè)A是一個(gè)n階矩陣，證明：1）A是反對(duì)稱矩陣當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任一個(gè)n維向量X，有XAX0。2）假如A是對(duì)稱矩陣，且對(duì)任一個(gè)n維向量X有XAX0，那么A0。證1）必需性。因?yàn)锳A，即aii0,aijajiij，所以XAXaijxixjaijajixixji,jij因?yàn)閍ijaji0，故XAXaijajixixj0。ij充分性。因?yàn)閄Rn，有XAX0，即a11x12a12a21x1x2x1nan1x1xna22x22a2nan2x2xnannxn20，這說明原式是一個(gè)多元零多項(xiàng)式，故有a11a22ann0,aijajiij，即AA。2）因?yàn)锳是對(duì)稱的，且XAX0，即a11x122a12x1x22a1nx1xna22x22axxnannx20，22n2n這說明XAX為一個(gè)多元零多項(xiàng)式，故有a11a22ann0，2aij0aijaji0，即A0。5．假如把實(shí)n階對(duì)稱矩陣按合同分類，即兩個(gè)實(shí)n階對(duì)稱矩陣屬于同一類當(dāng)且僅當(dāng)它們合同，問共有幾類解實(shí)對(duì)稱矩陣A與B合同的充要條件為存在可逆矩陣T與C使d1d2TBTCACdrD。00下邊考慮對(duì)角矩陣D的相應(yīng)二次型的合同分類狀況，在dii1,2,,r中可分為r個(gè)正，0個(gè)負(fù)r1個(gè)正，1個(gè)負(fù)2個(gè)正，r2個(gè)負(fù)1個(gè)正，r1個(gè)負(fù)0個(gè)正，r個(gè)負(fù)合計(jì)r1個(gè)合同類。但秩r又可分別取n,n1,,2,1,0，故共有123nn1n1n22個(gè)合同類。6．證明：一個(gè)實(shí)二次型能夠分解成兩個(gè)實(shí)系數(shù)的一次齊次多項(xiàng)式的乘積的充分必需條件是：它的秩等于2且符號(hào)差等于0，或許秩等于1。證必需性。設(shè)fx1,x2,,xna1x1a2x2anxnb1x1b2x2bnxn，此中ai,bii1,2,,n均為實(shí)數(shù)。1）若上式右側(cè)的兩個(gè)一次式系數(shù)成比率，即bikaii1,2,,n不失一般性，可設(shè)a10，則可作非退化線性替代y1a1x1a2x2anxnyixii2,,n使二次型化為fx1,x2,,xnky12，故二次型fx1,x2,,xn的秩為1。2）若兩個(gè)一次式系數(shù)不行比率，不如設(shè)a1a2，則可作非退化線性替代b1b2y1a1x1y2b1x1yixi使

a2x2anxnb2x2bnxn，i3,,nfx1,x2,,xny1y2。再令y1z1z2y2z1z2，yizii3,,n則二次型可化為fx1,x2,,xny1y2z12z22，故二次型fx1,x2,,xn的秩為2，且符號(hào)差為0。充分性。1）若fx1,x2,,xn的秩為1，則可經(jīng)非退化線性替代ZCY使二次型化為fx1,x2,,xnky12，此中y1為x1,x2,,xn的一次齊次式，即y1a1x1a2x2anxn，且fx1,x2,,xnka1x1a2x2anxn2ka1x1ka2x2kanxna1x1a2x2anxn。2）若fx1,x2,,xn的秩為2，且符號(hào)差為0，則可經(jīng)非退化線性替代ZCY使二次型化為fx1,x2,,xny12y22y1y2y1y2a1x1a2x2anxnb1x1b2x2bnxn，故fx1,x2,,xn可表成兩個(gè)一次齊次式的乘積。7．判斷以下二次型能否正定：1）99x1212x1x248x1x3130x2260x2x371x32；2）10x12n23）xin24）xi

8xx24xx2x228x2x3x2；121323xixj；1ijnn1xixi1。i1解1）二次型的矩陣為99624A613030，243071因?yàn)?990,9960,3A0，26130故原二次型為正定二次型。2）二次型的矩陣為10412A4214，12141因?yàn)锳0，所以原二次型非正定。3）記二次型的矩陣為Aaijnn，此中1,ijaij1,ij，2即111122211112221A111，2221111222因?yàn)锳的隨意k階次序主子式所對(duì)應(yīng)的矩陣Ak與A為同種類的對(duì)稱矩陣，且kAk1k10k1,2,,n，2故原二次型為正定二次型。4）記二次型的矩陣為Aaijnn，則A的k級(jí)次序主子式為1122111k1221Ak121212112122100031021k4k00010，23k12000k1k故原二次型為正定二次型。8．t取什么值時(shí)，以下二次型是正定的：1）x2x25x22tx1x2xx34x2x3123212）x124x22x322tx1x210x1x36x2x3解1）二次型的矩陣為1t1At12，125因?yàn)锳的各階次序主子式為110，當(dāng)原二次型為正準(zhǔn)時(shí)，有解上邊不等式組，可得2）二次型的矩陣為

1t2t0，11t13At120，1251t20，5t24t040。t51t5At43，531當(dāng)A的全部次序主子式都大于零時(shí)，即110，1t4t20，2t41t53At43t230t1050，531由原二次型為正定得4t20，t230t1050但此不等式組無解，即不存在t值使原二次型為正定。9．證明：假如A是正定矩陣，那么A的主子式全大于零。所謂主子式，就是行指標(biāo)與列指標(biāo)同樣的子式。設(shè)正定矩陣Aann證nn，作正定二次型aijxixj，并令iji1j1xj0jk1,k2,,ki,k1k2ki，則可得新二次型kikiaijxixj，ik1jk1由正定二次型的定義知該二次型是正定的，故A的全部i級(jí)主子式Ai0i1,2,,n。10．設(shè)A是實(shí)對(duì)稱矩陣，證明：當(dāng)實(shí)數(shù)t充分大以后，tEA是正定矩陣。證ta11a12a1ntEAa21ta22a2n，an1an2tann它的k級(jí)次序主子式為ta11a12a1kkta21ta22a2kak1ak2takk當(dāng)t充分大時(shí)，kt為嚴(yán)格主對(duì)角占優(yōu)矩陣的隊(duì)列式，且taiiaiji1,2,,n，ji故kt0k1,2,,n，從而tEA是正定的。11．證明：假如A是正定矩陣，那么A1也是正定矩陣。證因A是正定矩陣，故XAX為正定二次型，作非退化線性替代XA1Y，又A1也是對(duì)稱矩陣，故YA1YYA1AA1YXAX0，從而YA1Y為正定二次型，即證A1為正定矩陣。12．設(shè)A為一個(gè)n級(jí)實(shí)對(duì)稱矩陣，且A0，證明：必存在實(shí)n維向量X0，使XAX0。證因?yàn)榉峭嘶€性替代

A0，于是A0，所以rankAn，且A不是正定矩陣。故必存在XC1Y使XAXYC1ACYYBYy12y22yp2yp21y2p2yn2，且在規(guī)范形中必含帶負(fù)號(hào)的平方項(xiàng)。于是只需在ZC1Y中，令y1y2yp0,yp1yp2yn1,則可得一線性方程組c11x1c12x2c1nxn0cp1x1cp2x2cpnxn0cp1,1x1cp1,2x2cp，1,nxn1cn1x1cn2x2cnnxn1因?yàn)镃0，故可得獨(dú)一組非零解Xsx1s,x2s,,xns使XsAXs000111np0，即證存在X0，使XAX0。13．假如A,B都是n階正定矩陣，證明：AB也是正定矩陣。證因?yàn)锳,B為正定矩陣，所以XAX,XBX為正定二次型，且XAX0，XBX0，所以XABXXAXXBX0，于是XABX必為正定二次型，從而AB為正定矩陣。14．證明：二次型fx1,x2,,xn是半正定的充分必需條件是它的正慣性指數(shù)與秩相等。證必需性。采納反證法。若正慣性指數(shù)p秩r，則pr。即fx1,x2,,xny12y22yp2yp21yr2，若令y1y2yp0，yp1yr1，則可得非零解x1,x2,,xn使fx1,x2,,xn0。這與所給條件fx1,x2,,xn0矛盾，故pr。充分性。由pr，知fx1,x2,,xny12y22y2p，故有fx1,x2,,xn0，即證二次型半正定。n15．證明：ni1n證nxi2i1nx12x22x12x22n1x122x2xn

n2xi2i1xi是半正定的。n2xii1xn2xn22x1x22x1xn2x2x32x2xn2xn1xnx22xn2（2x1x22x1xn2x2x32xn1xn）x22xx2x2x22xx3x2x22xn1xnx2112113n1nxixj2。1ijn可見：1）當(dāng)x1,x2,,xn不全相等時(shí)fx1,x2,,xnxixj20。1ijn2）當(dāng)x1x2xn時(shí)fx1,x2,,xnxixj20。1ijn故原二次型fx1,x2,,xn是半正定的。16．設(shè)fx1,x2,,xnXAX是一實(shí)二次型，如有實(shí)n維向量X1,X2使X1AX0，X2AX20。證明：必存在實(shí)n維向量X00使X0AX00。設(shè)A的秩為r，作非退化線性替代XCY將原二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型XAXd1y12d2y22dryr2，此中dr為1或-1。由已知，必存在兩個(gè)向量X1,X2使X1AX10和X2AX20，故標(biāo)準(zhǔn)型中的系數(shù)d1,,dr不行能全為1，也不行能全為-1。不如設(shè)有p個(gè)1，q個(gè)-1，且pqr，即XAXy12y2py2p1yp2q，這時(shí)p與q存在三種可能：pq，pq，pq下邊僅談?wù)損q的情況，其余近似可證。令y1yq1，yq1yp0，yp1ypq1，則由ZCY可求得非零向量X0使X0AX0y12y2pyp21yp2q0，即證。17．A是一個(gè)實(shí)矩陣，證明：rankAArankA。證因?yàn)閞ankArankAA的充分條件是AX0與AAX0為同解方程組，故只需證明AX0與AAX0同解即可。事實(shí)上AX0AAX0XAAX0AXAX0AX0，即證AX0與AAX0同解，故rankAArankA。注該結(jié)論的另一證法詳見本章第三部分（增補(bǔ)題精解）第2題的證明，此處略。一、增補(bǔ)題參照解答1．用非退化線性替代化以下二次型為標(biāo)準(zhǔn)型，并用矩陣驗(yàn)算所得結(jié)果：1）x1x2nx2x2n1x2x2n1xnxn1；2）x1x2x2x3xn1xn；n3）xi2xixj；i11ijnn2x1x2xn。4）xix，此中xi1n解1）作非退化線性替代x1y1y2nx2y2y2n1xnynyn1，xnynyn11x2n1y2y2n1x2ny1y2n即XTY，則原二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為fy2y2y2y2y2y2，12nn12n12n且替代矩陣10010110T11，1101101001使11TAT，11此中1212A。12122）若y1x1x2x3，y2x1x2x3，22則y12y22y1y2y1y2x1x2x2x3，于是當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，作變換yixixi1xi22yixixi1xi2i1,3,5,,n2，12ynxn則xx2xxxn1xny2y2y2y2y2y2，1231234n2n1且當(dāng)n4k1時(shí)，得非退化替代矩陣為1111111110000011111T11000，1101當(dāng)n4k3時(shí)，得非退化替代矩陣為1111111110000011111T11000，1101故當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，都有111TAT1。110當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，作非退化線性替代yixixi1xi22yixixi1xi212i1,3,5,,n3，xn1xnyn12ynxn1xn2則xx2xxxn1xny2y2y2y2y2y2，1231234n1n于是當(dāng)n4k時(shí)，得非退化替代矩陣為1111111100001111T1100，1111于是當(dāng)n4k2時(shí)，得非退化替代矩陣為1111111100001111T1100，1111故當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，都有111TAT1。113）由配方法可得1n21n2fx1xj3x2xj2j243j3n1xn2n1xn2，1xn12nn2n于是可令y1x11n2jxj2y2x21n3jxj3，yn1xn11xnnynxn則非退化的線性替代為x1y11y21y31yn11yn23n1nx2y21y31yn11yn3n1n，xn1yn11ynnxnyn且原二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為fy123y22nyn21n1yn2，42n12n相應(yīng)的替代矩陣為1111123n1n011113n1nT001111，nn00011n00001又因?yàn)?1112221111222A，11112221111222所以10000030004400006TAT。000n02n10000n1n4）令y1x1xy2x2x，yn1xn1xynxn則nx12y1i2yinx2y12y2yii3。n2xn1yi2yn1yn1nyn因?yàn)閚nyixin1xx，i1i1則n1n2n1n12原式y(tǒng)i2ynyiyi2yii1i1i1i1n12yi2yiyji11ijn12z123z22nzn2142n12z123z22nzn21，2n1此中所作非退化的線性替代為y1z11z21z31zn123n1y2z21z31z41zn134n1，yn1zn1ynzn故非退化的替代矩陣為111102111123n112111011103n1121111T001011121n1000010001000001200011300124110123。011n123n101000又2x1xnx2xxixx1x,x2x,,xnxi1xnxn111n111x1nnnnnnx1,x2,,xx1n111n11x2nnnnnn11n111n1xnnnnnnnn111x1nnnx1,x2,,xx1n11x2nnn11n1xnnnnZAZ，所以200000300024TAT00003。000n0n0001002．設(shè)實(shí)二次型s2fx1,x2,,xni1ai1x1ai2x2ainxn，證明：fx1,x2,,xn的秩等于矩陣a11a12a1nAa21a22a2nas1as2asn的秩。證設(shè)rankAr，因fx1,x2,,xnXAAX，下邊只需證明rankAr即可。因?yàn)閞ankArankA，故存在非退化矩陣P,Q使PAQEr0或PAEr01，000Q0從而PAAPEr0Q1Q1Er0，0000令Q1Q1BrC，DM則PAAPEr0BrCEr0Br000DM000。0因?yàn)镼1Q1是正定的，所以它的r級(jí)次序主子式Br0，從而AA的秩為r。即證rankArankAA。3．設(shè)fx1,x2,,xnl12l22lp2lp21lp2q。此中l(wèi)ii1,2,,pq是x1,x2,,xn的一次齊次式，證明：fx1,x2,,xn的正慣性指數(shù)p，負(fù)慣性指數(shù)q。證設(shè)libi1x1bi2x2binxni1,2,,pq，12,,xn的正慣性指數(shù)為s，秩為r，則存在非退化線性替代fx,xyici1x1ci2x2cinxni1,2,,n，使得fx1,x2,,xnl12l22lp2lp21lp2qy12ys2ys21yr2。下邊證明sp。采納反證法。設(shè)sp，考慮線性方程組b11x1b1nxn0bp1x1

bpnxn

0，cs1,1x1

cs1,nxn

0cn1x1cnnxn0該方程組含pns個(gè)方程，小于未知量的個(gè)數(shù)n，故它必有非零解a1,a2,,an，于是fa1,a2,,anlp21lp2qy12ys2，上式要建立，必有l(wèi)p1lpq0，y1ys0，這就是說，關(guān)于x1a1,x2a2,,xnan這組非零數(shù)，有y10，y20,,yn0，這與線性替代YCX的系數(shù)矩陣非退化的條件矛盾。所以sp。同理可證負(fù)慣性指數(shù)rsp，即證。4．設(shè)AA11A12A21A22是一對(duì)稱矩陣，且A110，證明：存在TEXA110表示一0E使TAT，此中0個(gè)級(jí)數(shù)與A22同樣的矩陣。E0E1A12，證只需令T，則TA11A21A111E0E注意到A12A21，A111A111，則有TATE0A11A12EA111A12A21A111EA21A220EA11A12EA111A120A21A111A12A220EA110。0即證。5．設(shè)A是反對(duì)稱矩陣，證明：A合同于矩陣11001。1000證采納概括法。當(dāng)n1時(shí)，A0合同于0，結(jié)論建立。下邊設(shè)A為非零反對(duì)稱矩陣。當(dāng)n2時(shí)0a12第2行乘a12101A0第2列乘a121，a121001故A與合同，結(jié)論建立。10假定nk時(shí)結(jié)論建立，今觀察nk1的情況。這時(shí)0a1ka1,k1A0，a1kak,k1a1,k1ak,k10假如最后一行（列）元素全為零，則由概括假定，結(jié)論已證。若否則，經(jīng)過隊(duì)列的同時(shí)對(duì)調(diào)，不如設(shè)ak,k10，并將最后一行和最后一列都乘以1，則A可化成ak,k10a1kb1，a1k01b110再將最后兩行兩列的其余非零元bi,aiki1,2,,k化成零，則有0b1,k100b1,k1000，00010010由概括假定知0b1,k01110與b1,k10合同，從而A合同于矩陣1100110，00110再對(duì)上邊矩陣作行互換和列互換，便知結(jié)論對(duì)k1級(jí)矩陣也建立，即證。6．設(shè)A是n階實(shí)對(duì)稱矩陣，證明：存在一正實(shí)數(shù)c，使對(duì)任一個(gè)實(shí)n維向量X都有XAXcXX。證因?yàn)閄AXaijxixjaijxixj，i,ji,j令amaxaij，則i,jXAXaxixj。i,jxi2x2j利用xixj可得2XAXxi2x2jan2cXX，a2xii,ji此中can，即證。7．主對(duì)角線上全部是1的上三角矩陣稱為特別上三角矩陣。1）設(shè)A是一對(duì)稱矩陣，T為特別上三角矩陣，而BTAT，證明：A與B的對(duì)應(yīng)次序主子式有同樣的值；2）證明：假如對(duì)稱矩陣A的次序主子式全不為零，那么必定有一特別上三角矩陣T使AT成對(duì)角形；3）利用以上結(jié)果證明：假如矩陣A的次序主子式全大于零，則XAX是正定二次型。證1）采納概括法。當(dāng)n2時(shí)，設(shè)Aa11a12，T1b，a21a2201則10a11a121ba11BTAT1a21a2201。b考慮

B的兩個(gè)次序主子式：

B的一階次序主子式為

a11，而二階次序主子式為BTAT

1?A?1

A，與A的各階次序主子式同樣，故此時(shí)結(jié)論建立。概括假定結(jié)論對(duì)n1階矩陣建立，今觀察n階矩陣，將A,T寫成分塊矩陣Tn1，AAn1，T10ann此中Tn1為特別上三角矩陣。于是Tn10An1Tn1B1ann01Tn1An1Tn1Bn1。由概括假定，B的全部n1階的次序主子式，即Bn1Tn1An1Tn1的次序主子式與An1的次序主子式有同樣的值，而B的n階次序主子式就是B，由BTAT1?A?1A，知B的n階次序主子式也與A的n階次序主子式相等，即證。2）設(shè)n階對(duì)稱矩陣Aaij，因a110，同時(shí)對(duì)A的第一行和第一列進(jìn)行同樣的第三種初等變換，能夠化成對(duì)稱矩陣a1100A0b22b2na1100，Bn10bn2bnna1100，從而b220，再對(duì)Bn1進(jìn)行近似的初等變換，使矩陣A1的于是由1）知b220第二行和第二列中除b22外其余都化成零；這樣連續(xù)下去，經(jīng)過若干次隊(duì)列同時(shí)進(jìn)行的第三種初等變換，便能夠?qū)化成對(duì)角形12B。n因?yàn)槊窟M(jìn)行一次行、列的第三種初等變換，相當(dāng)于右乘一個(gè)上三角形陣Ti，左乘一個(gè)下三角形陣Ti，而上三角形陣之積仍為上三角形陣，故存在TT1,T2,,Ts，使TATB，命題得證。3）由2）知，存在T使1TAT2B。n又由1）知B的全部次序主子式與A的全部次序主子式有同樣的值，故1a11a1201a110，a12a22，2所以20。1a11a1i20，ai1aiii所以0i1,2,,n，因XTY是非退化線性替代，且XAXYTATY1y122y22nyn2，因?yàn)?,2,,n都大于零，故XAX是正定的。8。證明：1）假如nnaijxixjai