新課標(biāo)人教A版高中數(shù)學(xué)必修4全套教案

高中數(shù)學(xué)教案（人教A版必修全套）【必修4教案｜全套】目錄第一章三角函數(shù) 11.1任意角和弧度制 21.1.2弧度制 71.2.1任意角的三角函數(shù) 141.2.2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系 301.3三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式 361.4.1正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象 461.4.2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì) 521.4.3正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象 631.5函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象 711.6三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用 85第二章平面向量 962.2.1向量加法運(yùn)算及其幾何意義 1032.2.2向量減法運(yùn)算及其幾何意義 1112.2.3向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義 1162.3.1平面向量基本定理 1212.3.2平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示 1212.3.3平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 1302.3.4平面向量共線的坐標(biāo)表示 1302.4.1平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義 1382.4.2平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角 1442.5.1平面幾何中的向量方法 1492.5.2向量在物理中的應(yīng)用舉例 157第三章三角恒等變換 1623.1.1兩角差的余弦公式 1633.1.2兩角和與差的正弦、余弦、正切公式 1713.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式 1863.2簡(jiǎn)單的三角恒等變換 194第147頁(yè)第一章三角函數(shù)本章教材分析1.本章知識(shí)結(jié)構(gòu)如下:2.本章學(xué)習(xí)的內(nèi)容主要是:三角函數(shù)的定義、圖象、性質(zhì)及應(yīng)用.三角函數(shù)是高中教材中的一種重要函數(shù),與其他的函數(shù)相比,具有許多重要的特征:它以角為自變量,是周期函數(shù).三角函數(shù)是解決其他問題的重要工具,是高中階段學(xué)習(xí)的最后一個(gè)基本初等函數(shù),是深化函數(shù)性質(zhì)的極好素材.本章的認(rèn)知基礎(chǔ)主要是幾何中圓的性質(zhì)、相似形的有關(guān)知識(shí),特別強(qiáng)調(diào)了單位圓的直觀作用,借助單位圓直觀地認(rèn)識(shí)任意角、任意角的三角函數(shù).3.本章教學(xué)的重點(diǎn)是三角函數(shù)的定義,同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,正弦函數(shù)的圖象及基本性質(zhì).難點(diǎn)是弧度制和圖象變換的準(zhǔn)確理解和掌握.關(guān)鍵是學(xué)好三角函數(shù)定義.從實(shí)際教學(xué)情況來看,教學(xué)中應(yīng)重視學(xué)生的畫圖.“五點(diǎn)畫圖”雖然簡(jiǎn)單,但卻易學(xué)難掌握.在本章教學(xué)中,教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和已有的數(shù)學(xué)知識(shí),通過列舉熟知的實(shí)例,創(chuàng)設(shè)豐富的情境,使學(xué)生體會(huì)三角函數(shù)模型的意義.教學(xué)時(shí),可結(jié)合本章引言的章頭圖,讓學(xué)生圍繞這些問題展開討論,通過思考,讓學(xué)生知道三角函數(shù)可以刻畫這些周期變化規(guī)律,從而激發(fā)學(xué)生的求知欲.4.三角函數(shù)的內(nèi)容一直是高考的重要內(nèi)容,特別是三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),及結(jié)合三角形的基礎(chǔ)知識(shí)為背景的三角函數(shù)知識(shí),頻頻在各省高考試題中出現(xiàn),難度雖有降低,卻是經(jīng)久不衰的高考考查內(nèi)容.5.本章教學(xué)時(shí)間約需16課時(shí),具體分配如下(僅供參考):標(biāo)題課時(shí)1.1任意角和弧度制約2課時(shí)1.2任意角的三角函數(shù)約3課時(shí)1.3三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式約2課時(shí)1.4三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)約4課時(shí)1.5函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象約2課時(shí)1.6三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用約2課時(shí)本章復(fù)習(xí)約1課時(shí)1.1任意角和弧度制1.1.1任意角整體設(shè)計(jì)教學(xué)分析教材首先通過實(shí)際問題的展示,引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突,然后通過具體例子,將初中學(xué)過的角的概念推廣到任意角,在此基礎(chǔ)上引出終邊相同的角的集合的概念.這樣可以使學(xué)生在已有經(jīng)驗(yàn)(生活經(jīng)驗(yàn)、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn))的基礎(chǔ)上,更好地認(rèn)識(shí)任意角、象限角、終邊相同的角等概念.讓學(xué)生體會(huì)到把角推廣到任意角的必要性,引出角的概念的推廣問題.本節(jié)充分結(jié)合角和平面直角坐標(biāo)系的關(guān)系,建立了象限角的概念.使得任意角的討論有一個(gè)統(tǒng)一的載體.教學(xué)中要特別注意這種利用幾何的直觀性來研究問題的方法,引導(dǎo)學(xué)生善于利用數(shù)形結(jié)合的思想方法來認(rèn)識(shí)問題、解決問題.讓學(xué)生初步學(xué)會(huì)在平面直角坐標(biāo)系中討論任意角.能熟練寫出與已知角終邊相同的角的集合,是本節(jié)的一個(gè)重要任務(wù).學(xué)生的活動(dòng)過程決定著課堂教學(xué)的成敗,教學(xué)中應(yīng)反復(fù)挖掘“探究”欄目及“探究”示圖的過程功能,在這個(gè)過程上要不惜多花些時(shí)間,讓學(xué)生進(jìn)行操作與思考,自然地、更好地歸納出終邊相同的角的一般形式.也就自然地理解了集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}的含義.如能借助信息技術(shù),則可以動(dòng)態(tài)表現(xiàn)角的終邊旋轉(zhuǎn)的過程,更有利于學(xué)生觀察角的變化與終邊位置的關(guān)系,讓學(xué)生在動(dòng)態(tài)的過程中體會(huì),既要知道旋轉(zhuǎn)量,又要知道旋轉(zhuǎn)方向,才能準(zhǔn)確刻畫角的形成過程的道理,更好地了解任意角的深刻涵義.三維目標(biāo)1.通過實(shí)例的展示,使學(xué)生理解角的概念推廣的必要性,理解并掌握正角、負(fù)角、零角、象限角、終邊相同角的概念及表示,樹立運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn),并由此深刻理解推廣之后的角的概念.2.通過自主探究、合作學(xué)習(xí),認(rèn)識(shí)集合S中k、α的準(zhǔn)確含義,明確終邊相同的角不一定相等,終邊相同的角有無限多個(gè),它們相差360°的整數(shù)倍.這對(duì)學(xué)生的終身發(fā)展,形成科學(xué)的世界觀、價(jià)值觀具有重要意義.3.通過類比正、負(fù)數(shù)的規(guī)定,讓學(xué)生認(rèn)識(shí)正角、負(fù)角并體會(huì)類比、數(shù)形結(jié)合等思想方法的運(yùn)用,為今后的學(xué)習(xí)與發(fā)展打下良好的基礎(chǔ).重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn):將0°—360°范圍的角推廣到任意角,終邊相同的角的集合.教學(xué)難點(diǎn):用集合來表示終邊相同的角.課時(shí)安排1課時(shí)教學(xué)過程導(dǎo)入新課圖1思路1.(情境導(dǎo)入)如圖1,在許多學(xué)校的門口都有擺設(shè)的一些游戲機(jī),只要指針旋轉(zhuǎn)到陰影部分即可獲得高額獎(jiǎng)品.由此發(fā)問:指針怎樣旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)多少度才能贏?還有我們所熟悉的體操運(yùn)動(dòng)員旋轉(zhuǎn)的角度,自行車車輪旋轉(zhuǎn)的角度,螺絲扳手的旋轉(zhuǎn)角度,這些角度都怎樣解釋?在學(xué)生急切想知道的渴望中引入角的概念的推廣.進(jìn)而引入角的概念的推廣的問題.思路2.(復(fù)習(xí)導(dǎo)入)回憶初中我們是如何定義一個(gè)角的?所學(xué)的角的范圍是什么?用這些角怎樣解釋現(xiàn)實(shí)生活的一些現(xiàn)象,比如你原地轉(zhuǎn)體一周的角度,應(yīng)怎樣修正角的定義才能解釋這些現(xiàn)象?由此讓學(xué)生展開討論,進(jìn)而引入角的概念的推廣問題.推進(jìn)新課新知探究提出問題①你的手表慢了5分鐘,你將怎樣把它調(diào)整準(zhǔn)確?假如你的手表快了1.25小時(shí),你應(yīng)當(dāng)怎樣將它調(diào)整準(zhǔn)確?當(dāng)時(shí)間調(diào)整準(zhǔn)確后,分針轉(zhuǎn)過了多少度角?②體操運(yùn)動(dòng)中有轉(zhuǎn)體兩周,在這個(gè)動(dòng)作中,運(yùn)動(dòng)員轉(zhuǎn)體多少度?③請(qǐng)兩名男生(或女生、或多名男女學(xué)生)起立,做由“面向黑板轉(zhuǎn)體背向黑板”的動(dòng)作.在這個(gè)過程中,他們各轉(zhuǎn)體了多少度?活動(dòng):讓學(xué)生到講臺(tái)利用準(zhǔn)備好的教具——鐘表,實(shí)地演示撥表的過程.讓學(xué)生站立原地做轉(zhuǎn)體動(dòng)作.教師強(qiáng)調(diào)學(xué)生觀察旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)量,并思考怎樣表示旋轉(zhuǎn)方向.對(duì)回答正確的學(xué)生及時(shí)給予鼓勵(lì)、表?yè)P(yáng),對(duì)回答不準(zhǔn)確的學(xué)生提示引導(dǎo)考慮問題的思路.角可以看作是平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形,設(shè)一條射線的端點(diǎn)是O,它從起始位置OA按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到終止位置OB,則形成了一個(gè)角α,點(diǎn)O是角的頂點(diǎn),射線OA、OB分別是角α的始邊和終邊.我們規(guī)定:一條射線繞著它的端點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做正角,按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做負(fù)角.鐘表的時(shí)針和分針在旋轉(zhuǎn)過程中所形成的角總是負(fù)角,為了簡(jiǎn)便起見,在不引起混淆的前提下,“角α”或“∠α”可以簡(jiǎn)記作“α”.如果一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn),我們稱它形成了一個(gè)零角,零角的始邊和終邊重合,如果α是零角,那么α=0°.討論結(jié)果:①順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)了30°;逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)了450°.②順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)了720°或逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)了720°.③-180°或+180°或-540°或+540°或900°或1080°……提出問題①能否以同一條射線為始邊作出下列角:210°,-45°,-150°.②如何在坐標(biāo)系中作出這些角,象限角是什么意思?0°角又是什么意思?活動(dòng):先讓學(xué)生看書、思考、并討論這些問題,教師提示、點(diǎn)撥,并對(duì)回答正確的學(xué)生及時(shí)表?yè)P(yáng),對(duì)回答不準(zhǔn)確的學(xué)生,教師提示、引導(dǎo)考慮問題的思路.學(xué)生作這樣的角,使用一條射線作為始邊,沒有固定的參照,所以會(huì)作出很多形式不同的角.教師可以適時(shí)地提醒學(xué)生:如果將角放到平面直角坐標(biāo)系中,問題會(huì)怎樣呢?并讓學(xué)生思考討論在直角坐標(biāo)系內(nèi)討論角的好處:使角的討論得到簡(jiǎn)化,還能有效地表現(xiàn)出角的終邊“周而復(fù)始”的現(xiàn)象.今后我們?cè)谧鴺?biāo)系中研究和討論角,為了討論問題的方便,我們使角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合.那么角的終邊在第幾象限,我們就說這個(gè)角是第幾象限角.要特別強(qiáng)調(diào)角與直角坐標(biāo)系的關(guān)系——角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合.討論結(jié)果:①能.②使角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合.角的終邊在第幾象限,我們就說這個(gè)角是第幾象限角.這樣:210°角是第三象限角;-45°角是第四象限角;-150°角是第三象限角.特別地,終邊落在坐標(biāo)軸上的角不屬于任何一個(gè)象限,比如0°角.可以借此進(jìn)一步設(shè)問:銳角是第幾象限角?鈍角是第幾象限角?直角是第幾象限角?反之如何?將角按照上述方法放在直角坐標(biāo)系中,給定一個(gè)角,就有唯一一條終邊與之對(duì)應(yīng),反之,對(duì)于直角坐標(biāo)系中的任意一條射線OB,以它為終邊的角是否唯一?如果不唯一,那么終邊相同的角有什么關(guān)系?提出問題①在直角坐標(biāo)系中標(biāo)出210°,-150°的角的終邊,你有什么發(fā)現(xiàn)?它們有怎樣的數(shù)量關(guān)系?328°,-32°,-392°角的終邊及數(shù)量關(guān)系是怎樣的?終邊相同的角有什么關(guān)系?②所有與α終邊相同的角,連同角α在內(nèi),怎樣用一個(gè)式子表示出來?活動(dòng):讓學(xué)生從具體問題入手,探索終邊相同的角的關(guān)系,再用所準(zhǔn)備的教具或是多媒體給學(xué)生演示:演示象限角、終邊相同的角,并及時(shí)地引導(dǎo):終邊相同的一系列角與0°到360°間的某一角有什么關(guān)系,從而為終邊相同的角的表示作好準(zhǔn)備.為了使學(xué)生明確終邊相同的角的表示方法,還可以用教具作一個(gè)32°角,放在直角坐標(biāo)系內(nèi),使角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,形成-32°角后提問學(xué)生這是第幾象限角?是多少度角?學(xué)生對(duì)后者的回答是多種多樣的.至此,教師因勢(shì)利導(dǎo),予以啟發(fā),學(xué)生對(duì)問題探究的結(jié)果已經(jīng)水到渠成,本節(jié)難點(diǎn)得以突破.同時(shí)學(xué)生也在這一學(xué)習(xí)過程中,體會(huì)到了探索的樂趣,激發(fā)起了極大的學(xué)習(xí)熱情,這是比學(xué)習(xí)知識(shí)本身更重要的.討論結(jié)果:①210°與-150°角的終邊相同;328°,-32°,-392°角的終邊相同.終邊相同的角相差360°的整數(shù)倍.設(shè)S={β｜β=-32°+k·360°,k∈Z},則328°,-392°角都是S的元素,-32°角也是S的元素(此時(shí)k=0).因此,所有與-32°角的終邊相同的角,連同-32°在內(nèi),都是集合S的元素;反過來,集合S的任何一個(gè)元素顯然與-32°角終邊相同.②所有與α終邊相同的角,連同角α在內(nèi),可以構(gòu)成一個(gè)集合S={β｜β=k·360°+α,k∈Z}.即任一與角α終邊相同的角,都可以表示成α與整數(shù)個(gè)周角的和.適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí):①k∈Z;②α是任意角;③終邊相同的角不一定相等,終邊相同的角有無數(shù)多個(gè),它們相差360°的整數(shù)倍.應(yīng)用示例例1在0°—360°范圍內(nèi),找出與-950°12′角終邊相同的角,并判定它是第幾象限角.解:-950°12′=129°48′-3×360°,所以在0°—360°的范圍內(nèi),與-950°12′角終邊相同的角是129°48′,它是第二象限的角.點(diǎn)評(píng):教師可引導(dǎo)學(xué)生先估計(jì)-950°12′大致是360°的幾倍,然后再具體求解.例2寫出終邊在y軸上的角的集合.活動(dòng):終邊落在y軸上,應(yīng)分y軸的正方向與y軸的負(fù)方向兩個(gè).學(xué)生很容易分別寫出所有與90°,270°的終邊相同的角構(gòu)成集合,這時(shí)應(yīng)啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考:能否化簡(jiǎn)這兩個(gè)式子,用一個(gè)式子表示出來.讓學(xué)生觀察、討論、思考,并逐漸形成共識(shí),教師再規(guī)范地板書出來.并強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)捷性.在數(shù)學(xué)表達(dá)式子不唯一的情況下,注意采用簡(jiǎn)約的形式.圖2解:在0°—360°范圍內(nèi),終邊在y軸上的角有兩個(gè),即90°和270°角,如圖2.因此,所有與90°的終邊相同的角構(gòu)成集合S1={β｜β=90°+k·360°,k∈Z}.而所有與270°角的終邊相同的角構(gòu)成集合S2={β｜β=270°+k·360°,k∈Z}.于是,終邊在y軸上的角的集合S=S1∪S2={β｜β=90°+2k·180°,k∈Z}∪{β｜β=90°+180°+2k·180°,k∈Z}={β｜β=90°+2k·180°,k∈Z}∪{β｜β=90°+(2k+1)·180°,k∈Z}={β｜β=90°+n·180°,n∈Z}.點(diǎn)評(píng):本例是讓學(xué)生理解終邊在坐標(biāo)軸上的角的表示.教學(xué)中,應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)用集合表示終邊相同的角時(shí),表示方法不唯一,要注意采用簡(jiǎn)約的形式.變式訓(xùn)練①寫出終邊在x軸上的角的集合.②寫出終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合.答案:①S={β｜β=(2n+1)·180°,n∈Z}.②S={β｜β=n·90°,n∈Z}.例3寫出終邊在直線y=x上的角的集合S,并把S中適合不等式-360°≤β<720°的元素β寫出來.圖3解:如圖3,在直角坐標(biāo)系中畫出直線y=x,可以發(fā)現(xiàn)它與x軸夾角是45°,在0°—360°范圍內(nèi),終邊在直線y=x上的角有兩個(gè):45°和225°,因此,終邊在直線y=x上的角的集合S={β｜β=45°+k·360°,k∈Z}∪{β｜β=225°+k·360°,k∈Z}.S中適合-360°≤β<720°的元素是:45°-2×180°=-315°,45°-1×180°=-135°,45°+0×180°=45°,45°+1×180°=225°,45°+2×180°=405°,45°+3×180°=585°.點(diǎn)評(píng):本例是讓學(xué)生表示終邊在已知直線的角,并找出某一范圍的所有的角,即按一定順序取k的值,應(yīng)訓(xùn)練學(xué)生掌握這一方法.例4寫出在下列象限的角的集合:①第一象限;②第二象限;③第三象限;④第四象限.活動(dòng):本題關(guān)鍵是寫出第一象限的角的集合,其他象限的角的集合依此類推即可,如果學(xué)生閱讀例題后沒有解題思路,或者把①中的范圍寫成0°—90°,可引導(dǎo)學(xué)生分析360°—450°范圍的角是不是第一象限的角呢?進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生寫出所有終邊相同的角.解:①終邊在第一象限的角的集合:{β｜n·360°<β<n·360°+90°,n∈Z}.②終邊在第二象限的角的集合:{β｜n·360°+90°<β<n·360°+180°,n∈Z}.③終邊在第三象限的角的集合:{β｜n·360°+180°<β<n·360°+270°,n∈Z}.④終邊在第四象限的角的集合:{β｜n·360°+270°<β<n·360°+360°,n∈Z}.點(diǎn)評(píng):教師給出以上解答后可進(jìn)一步提問:以上的解答形式是唯一的嗎?充分讓學(xué)生思考、討論后形成共識(shí),并進(jìn)一步深刻理解終邊相同角的意義.知能訓(xùn)練課本本節(jié)練習(xí).解答:1.銳角是第一象限角,第一象限角不一定是銳角;直角不屬于任何一個(gè)象限,不屬于任何一個(gè)象限的角不一定是直角;鈍角是第二象限角,但是第二象限角不一定是鈍角.點(diǎn)評(píng):要深刻認(rèn)識(shí)銳角、直角、鈍角和象限角的區(qū)別與聯(lián)系,并理解記憶.為弄清概念的本質(zhì)屬性,還可以再進(jìn)一步啟發(fā)設(shè)問:銳角一定小于90°嗎?小于90°的角一定是銳角嗎?鈍角一定大于90°嗎?大于90°的角一定是鈍角嗎?答案當(dāng)然是:不一定.讓學(xué)生展開討論,在爭(zhēng)論中,將對(duì)問題的認(rèn)識(shí)進(jìn)一步升華,并牢牢的記憶這些基礎(chǔ)知識(shí).2.三、三、五.點(diǎn)評(píng):本題的目的是將終邊相同的角的符號(hào)表示應(yīng)用到其他周期性問題上.題目聯(lián)系實(shí)際,把教科書中除數(shù)360換成每個(gè)星期的天數(shù)7,利用了“同余”來確定7k天后、7k天前也是星期三,這樣的練習(xí)難度不大,可以口答.3.(1)第一象限角.(2)第四象限角.(3)第二象限角.(4)第三象限角.點(diǎn)評(píng):能作出給定的角,并判斷是第幾象限的角.4.(1)305°42′,第四象限角.(2)35°8′,第一象限角.(3)249°30′,第三象限角.點(diǎn)評(píng):能在給定的范圍內(nèi)找出與指定角終邊相同的角,并判斷是第幾象限的角.5.(1){β｜β=1303°8′+k·360°,k∈Z},-496°42′,-136°42′,223°18′.(2){β｜β=-225°+k·360°,k∈Z},-585°,-225°,135°.點(diǎn)評(píng):用集合表示法和符號(hào)語(yǔ)言寫出與指定角終邊相同的角的集合,并在給定的范圍內(nèi)找出與指定的角的終邊相同的角.課堂小結(jié)以提問的方式與學(xué)生一起回顧本節(jié)所學(xué)內(nèi)容并簡(jiǎn)要總結(jié):讓學(xué)生自己回憶:本節(jié)課都學(xué)習(xí)了哪些新知識(shí)?你是怎樣獲得這些新知識(shí)的?你從本節(jié)課上都學(xué)到了哪些數(shù)學(xué)方法?讓學(xué)生自己得到以下結(jié)論:本節(jié)課推廣了角的概念,學(xué)習(xí)了正角、負(fù)角、零角的定義,象限角的概念以及終邊相同的角的表示方法,零角是射線沒有作任何旋轉(zhuǎn).一個(gè)角是第幾象限的角,關(guān)鍵是看這個(gè)角的終邊落在第幾象限,終邊相同的角的表示有兩方面的內(nèi)容:(1)與角α終邊相同的角,這些角的集合為S={β｜β=k·360°+α,k∈Z};(2)在0°—360°內(nèi)找與已知角終邊相同的角α,其方法是用所給的角除以360°,所得的商為k,余數(shù)為α(α必須是正數(shù)),α即為所找的角.數(shù)形結(jié)合思想、運(yùn)動(dòng)變化觀點(diǎn)都是學(xué)習(xí)本課內(nèi)容的重要思想方法.作業(yè)①課本習(xí)題1.1A組1、3、5.②預(yù)習(xí)下一節(jié):弧度制.設(shè)計(jì)感想1.本節(jié)課設(shè)計(jì)的容量較大,學(xué)生的活動(dòng)量也較大,若用信息技術(shù)輔助教學(xué)效果會(huì)很好.教師可充分利用多媒體做好課件,在課堂上演示給學(xué)生;有條件的學(xué)校,可以讓學(xué)生利用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器進(jìn)行探究,讓學(xué)生在動(dòng)態(tài)中掌握知識(shí)、提煉方法.2.本節(jié)設(shè)計(jì)的指導(dǎo)思想是加強(qiáng)直觀.利用幾何直觀有利于對(duì)抽象概念的理解.在學(xué)生得出象限角的概念后,可以充分讓學(xué)生討論在直角坐標(biāo)系中研究角的好處.前瞻性地引導(dǎo)學(xué)生體會(huì):在直角坐標(biāo)系中角的“周而復(fù)始”的變化規(guī)律,為研究三角函數(shù)的周期性奠定基礎(chǔ).3.幾點(diǎn)說明:(1)列舉不在0°—360°的角時(shí),應(yīng)注意所有的角在同一個(gè)平面內(nèi),且終邊在旋轉(zhuǎn)的過程中,角的頂點(diǎn)不動(dòng).(2)在研究終邊相同的兩個(gè)角的關(guān)系時(shí),k的正確取值是關(guān)鍵,應(yīng)讓學(xué)生獨(dú)立思考領(lǐng)悟.(3)在寫出終邊相同的角的集合時(shí),可根據(jù)具體問題,對(duì)相應(yīng)的集合內(nèi)容進(jìn)行復(fù)習(xí).1.1.2弧度制整體設(shè)計(jì)教學(xué)分析在物理學(xué)和日常生活中,一個(gè)量常常需要用不同的方法進(jìn)行度量,不同的度量方法可以滿足我們不同的需要.現(xiàn)實(shí)生活中有許多計(jì)量單位,如度量長(zhǎng)度可以用米、厘米、尺、碼等不同的單位制,度量重量可以用千克、斤、噸、磅等不同的單位制,度量角的大小可以用度為單位進(jìn)行度量,并且一度的角等于周角的,記作1°.通過類比引出弧度制,給出1弧度的定義,然后通過探究得到弧度數(shù)的絕對(duì)值公式,并得出角度和弧度的換算方法.在此基礎(chǔ)上,通過具體的例子,鞏固所學(xué)概念和公式,進(jìn)一步認(rèn)識(shí)引入弧度制的必要性.這樣可以盡量自然地引入弧度制,并讓學(xué)生在探究過程中,更好地形成弧度的概念,建立角的集合與實(shí)數(shù)集的一一對(duì)應(yīng),為學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù)奠定基礎(chǔ).通過探究討論,關(guān)鍵弄清1弧度角的定義,使學(xué)生建立弧度的概念,理解弧度制的定義,達(dá)到突破難點(diǎn)之目的.通過電教手段的直觀性,使學(xué)生進(jìn)一步理解弧度作為角的度量單位的可靠性、可行性.通過周角的兩種單位制的度量,得到角度與弧度的換算公式.使學(xué)生認(rèn)識(shí)到角度制、弧度制都是度量角的制度,二者雖單位不同,但卻是互相聯(lián)系、辯證統(tǒng)一的.進(jìn)一步加強(qiáng)對(duì)辯證統(tǒng)一思想的理解,滲透數(shù)學(xué)中普遍存在、相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化的觀點(diǎn).三維目標(biāo)1.通過類比長(zhǎng)度、重量的不同度量制,使學(xué)生體會(huì)一個(gè)量可以用不同的單位制來度量,從而引出弧度制.2.通過探究使學(xué)生認(rèn)識(shí)到角度制和弧度制都是度量角的制度,通過總結(jié)引入弧度制的好處,學(xué)會(huì)歸納整理并認(rèn)識(shí)到任何新知識(shí)的學(xué)習(xí),都會(huì)為解決實(shí)際問題帶來方便,從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn):理解弧度制的意義,并能進(jìn)行角度和弧度的換算.教學(xué)難點(diǎn):弧度的概念及其與角度的關(guān)系.課時(shí)安排1課時(shí)教學(xué)過程導(dǎo)入新課思路1.(類比導(dǎo)入)測(cè)量人的身高常用米、厘米為單位進(jìn)行度量,這兩種度量單位是怎樣換算的?家庭購(gòu)買水果常用千克、斤為單位進(jìn)行度量,這兩種度量單位是怎樣換算的?度量角的大小除了以度為單位度量外,還可采用哪種度量角的單位制?它們是怎樣換算的?思路2.(情境導(dǎo)入)利用古代度量時(shí)間的一種儀器——日晷,或者利用普遍使用的鐘表.實(shí)際上我們使用的鐘表是用時(shí)針、分針和秒針角度的變化來確定時(shí)間的.無論采用哪一種方法,度量一個(gè)確定的量所得到的量數(shù)必須是唯一確定的.在初中,已學(xué)過利用角度來度量角的大小,現(xiàn)在來學(xué)習(xí)角的另一種度量方法——弧度制.要使學(xué)生真正了解弧度制,首先要弄清1弧度的含義,并能進(jìn)行弧度與角度換算的關(guān)鍵.在引入弧度制后,可以引導(dǎo)學(xué)生建立弧與圓心角的聯(lián)系——弧的度數(shù)等于圓心角的度數(shù).隨著角的概念的推廣,圓心角和弧的概念也隨之推廣:從“形”上說,圓心角有正角、零角、負(fù)角,相應(yīng)的,弧也就有正弧、零弧、負(fù)弧;從“數(shù)”上講,圓心角與弧的度數(shù)有正數(shù)、０、負(fù)數(shù).圓心角和弧的正負(fù)實(shí)際上表示了“角的不同方向”,就像三角函數(shù)值的正負(fù)可以用三角函數(shù)線(有向線段)的方向來表示一樣.每一個(gè)圓心角都有一條弧與它對(duì)應(yīng),并且不同的圓心角對(duì)應(yīng)著不同的弧,反之亦然.推進(jìn)新課新知探究提出問題問題①:在初中幾何里,我們學(xué)習(xí)過角的度量,1°的角是怎樣定義的呢?問題②:我們從度量長(zhǎng)度和重量上知道,不同的單位制能給我們解決問題帶來方便.那么角的度量是否也能用不同單位制呢?圖1活動(dòng):教師先讓學(xué)生思考或討論問題,并讓學(xué)生回憶初中有關(guān)角度的知識(shí),提出這是認(rèn)識(shí)弧度制的關(guān)鍵,為更好地理解角度弧度的關(guān)系奠定基礎(chǔ).討論后教師提問學(xué)生,并對(duì)回答好的學(xué)生及時(shí)表?yè)P(yáng),對(duì)回答不準(zhǔn)確的學(xué)生提示引導(dǎo)考慮問題的關(guān)鍵.教師板書弧度制的定義:規(guī)定長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角.以弧度為單位來度量角的制度叫做弧度制;在弧度制下,1弧度記作1rad.如圖1中,的長(zhǎng)等于半徑r,AB所對(duì)的圓心角∠AOB就是1弧度的角,即=1.討論結(jié)果:①1°的角可以理解為將圓周角分成360等份,每一等份的弧所對(duì)的圓心角就是1°.它是一個(gè)定值,與所取圓的半徑大小無關(guān).②能,用弧度制.提出問題問題①:作半徑不等的甲、乙兩圓,在每個(gè)圓上作出等于其半徑的弧長(zhǎng),連結(jié)圓心與弧的兩個(gè)端點(diǎn),得到兩個(gè)角,將乙圖移到甲圖上,兩個(gè)角有什么樣的關(guān)系?問題②:如果一個(gè)半徑為r的圓的圓心角α所對(duì)的弧長(zhǎng)是l,那么α的弧度數(shù)是多少?既然角度制、弧度制都是角的度量制,那么它們之間如何換算?活動(dòng):教師引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)總結(jié)和歸納角度制和弧度制的關(guān)系,提問學(xué)生歸納的情況,讓學(xué)生找出區(qū)別和聯(lián)系.教師給予補(bǔ)充和提示,對(duì)表現(xiàn)好的學(xué)生進(jìn)行表?yè)P(yáng),對(duì)回答不準(zhǔn)確的學(xué)生提示和鼓勵(lì).引入弧度之后,應(yīng)與角度進(jìn)行對(duì)比,使學(xué)生明確:第一,弧度制是以“弧度”為單位來度量角的單位制,角度制是以“度”為單位來度量角的單位制;第二,1弧度是等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角(或這條弧)的大小,而1°的角是周角的;第三,無論是以“弧度”還是以“度”為單位,角的大小都是一個(gè)與半徑大小無關(guān)的定值.教師要強(qiáng)調(diào)為了讓學(xué)生習(xí)慣使用弧度制,本教科書在后續(xù)的內(nèi)容中盡量采用弧度制.討論結(jié)果:①完全重合,因?yàn)槎际?弧度的角.②α=;將角度化為弧度:360°=2πrad,1°=rad≈0.01745rad,將弧度化為角度:2πrad=360°,1rad=()°≈57.30°=57°18′.弧度制與角度制的換算公式:設(shè)一個(gè)角的弧度數(shù)為αrad=()°,n°=n(rad).提出問題問題①:引入弧度之后,在平面直角坐標(biāo)系中,終邊相同的角應(yīng)該怎么用弧度來表示?扇形的面積與弧長(zhǎng)公式用弧度怎么表示?問題②:填寫下列的表格,找出某種規(guī)律.的長(zhǎng)OB旋轉(zhuǎn)的方向∠AOB的弧度數(shù)∠AOB的度數(shù)r逆時(shí)針方向2πr逆時(shí)針方向R12r-2-π0180°360°活動(dòng):教師先給學(xué)生說明教科書上為什么設(shè)置這個(gè)“探究”?其意圖是先根據(jù)所給圖象對(duì)一些特殊角填表,然后概括出一般情況.教師讓學(xué)生互動(dòng)起來,討論并總結(jié)出規(guī)律,提問學(xué)生的總結(jié)情況,讓學(xué)生板書,教師對(duì)做正確的學(xué)生給予表?yè)P(yáng),對(duì)沒有總結(jié)完全的學(xué)生進(jìn)行簡(jiǎn)單的提示.檢查完畢后,教師做個(gè)總結(jié).由上表可知,如果一個(gè)半徑為r的圓的圓心角α所對(duì)的弧長(zhǎng)是l,那么α的弧度數(shù)的絕對(duì)值是這里,應(yīng)當(dāng)注意從數(shù)學(xué)思想的高度引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)“換算”問題,即角度制、弧度制都是角的度量制,那么它們一定可以換算.推而廣之,同一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象用不同方式表示時(shí),它們之間一定有內(nèi)在聯(lián)系,認(rèn)識(shí)這種聯(lián)系性也是數(shù)學(xué)研究的重要內(nèi)容之一.教師給學(xué)生指出,角的概念推廣后,在弧度制下,角的集合與實(shí)數(shù)集R之間建立起一一對(duì)應(yīng)關(guān)系:每一個(gè)角都有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)(即這個(gè)角的弧度數(shù))與它對(duì)應(yīng);反過來,每一個(gè)實(shí)數(shù)也都有唯一的一個(gè)角(即弧度數(shù)等于這個(gè)實(shí)數(shù)的角)與它對(duì)應(yīng).值得注意的是:今后在表示與角α終邊相同的角時(shí),有弧度制與角度制兩種單位制,要根據(jù)角α的單位來決定另一項(xiàng)的單位,即兩項(xiàng)所用的單位制必須一致,絕對(duì)不能出現(xiàn)k·360°+或者2kπ+60°一類的寫法.在弧度制中,與角α終邊相同的角,連同角α在內(nèi),可以寫成β=α+2kπ(k∈Z)的形式.如圖2為角的集合與實(shí)數(shù)集R之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.圖2討論結(jié)果:①與角α終邊相同的角,連同角α在內(nèi),可以寫成β=α+2kπ(k∈Z)的形式.弧度制下關(guān)于扇形的公式為l=αR,S=αR2,S=lR.②的長(zhǎng)OB旋轉(zhuǎn)的方向∠AOB的弧度數(shù)∠AOB的度數(shù)πr逆時(shí)針方向Π180°2πr逆時(shí)針方向2π360°R逆時(shí)針方向157.3°2r順時(shí)針方向-2-114.6°πr順時(shí)針方向-π-180°0未旋轉(zhuǎn)00°πr逆時(shí)針方向Π180°2πr逆時(shí)針方向2π360°應(yīng)用示例例1下列諸命題中,真命題是()A.一弧度是一度的圓心角所對(duì)的弧B.一弧度是長(zhǎng)度為半徑的弧C.一弧度是一度的弧與一度的角之和D.一弧度是長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角,它是角的一種度量單位活動(dòng):本例目的是讓學(xué)生在教師的指導(dǎo)下理解弧度制與角度制的聯(lián)系與區(qū)別,以達(dá)到熟練掌握定義.從實(shí)際教學(xué)上看,弧度制不難理解,學(xué)生結(jié)合角度制很容易記住.根據(jù)弧度制的定義:我們把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧和所對(duì)的圓心角叫做一弧度的角.對(duì)照各項(xiàng),可知D為真命題.答案:D點(diǎn)評(píng):本題考查弧度制下角的度量單位:1弧度的概念.變式訓(xùn)練下列四個(gè)命題中,不正確的一個(gè)是()A.半圓所對(duì)的圓心角是πradB.周角的大小是2πC.1弧度的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)等于該圓的半徑D.長(zhǎng)度等于半徑的弦所對(duì)的圓心角的大小是1弧度答案:D例2將下列用弧度制表示的角化為2kπ+α(k∈Z,α∈［0,2π))的形式,并指出它們所在的象限:①-;②;③-20;④-.活動(dòng):本題的目的是讓學(xué)生理解什么是終邊相同的角,教師給予指導(dǎo)并討論歸納出一般規(guī)律.即終邊在x軸、y軸上的角的集合分別是:{β｜β=kπ,k∈Z},{β｜β=kπ,k∈Z}.第一、二、三、四象限角的集合分別為:{β｜2kπ<β<2kπ+,k∈Z},{β｜2kπ+<β<2kπ+π,k∈Z},{β｜2kπ+π<β<2kπ+,k∈Z},{β｜2kπ+<β<2kπ+2π,k∈Z}.解:①=-4π+,是第一象限角.②=10π+,是第二象限角.③-20=-3×6.28-1.16,是第四象限角.④-23≈-3.464,是第二象限角.點(diǎn)評(píng):在這類題中對(duì)于含有π的弧度數(shù)表示的角,我們先將它化為2kπ+α(k∈Z,α∈［0,2π))的形式,再根據(jù)α角終邊所在的位置進(jìn)行判斷,對(duì)于不含有π的弧度數(shù)表示的角,取π=3.14,化為k×6.28+α,k∈Z,｜α｜∈［0,6.28)的形式,通過α與,π,比較大小,估計(jì)出角所在的象限.變式訓(xùn)練(1)把-1480°寫成2kπ+α(k∈Z,α∈［0,2π))的形式;(2)若β∈［-4π,0),且β與(1)中α終邊相同,求β.解:(1)∵-1480°=-=-10π+,0≤<2π,∴-1480°=2(-5)π+.(2)∵β與α終邊相同,∴β=2kπ+,k∈Z.又∵β∈［-4π,0),∴β1=,β2=.例3已知0<θ<2π,且θ與7θ相同,求θ.活動(dòng):本例目的是讓學(xué)生在教師的指導(dǎo)下會(huì)用弧度制求終邊相同的角,并通過獨(dú)立完成課后練習(xí)真正領(lǐng)悟弧度制的要領(lǐng),最終達(dá)到熟練掌握.從實(shí)際教學(xué)來看,用弧度制解決角的問題要很容易卻難掌握,很有可能記錯(cuò)或者混淆或者化簡(jiǎn)錯(cuò)誤,學(xué)生需多做些這方面的題來練基本功.可先讓學(xué)生多做相應(yīng)的隨堂練習(xí),在黑板上當(dāng)場(chǎng)演練,教師給予批改指導(dǎo),對(duì)易出錯(cuò)的地方特別強(qiáng)調(diào).對(duì)學(xué)生出現(xiàn)的種種失誤,教師不要著急,在學(xué)生的練習(xí)操作中一一糾正,這對(duì)以后學(xué)習(xí)大有好處.解:由已知,得7θ=2kπ+θ,k∈Z,即6θ=2kπ.∴θ=π.又∵0<θ<2π,∴0<π<2π.∵k∈Z,當(dāng)k=1、2、3、4、5時(shí),θ=、、π、、.點(diǎn)評(píng):本題是在一定的約束條件下,求與角α終邊相同的角,一般地,首先將這樣的角表示為2kπ+α(k∈Z,α∈［0,2π))的形式,然后在約束條件下確定k的值,進(jìn)而求適合條件的角.例4已知一個(gè)扇形的周長(zhǎng)為a,求當(dāng)扇形的圓心角多大時(shí),扇形的面積最大,并求這個(gè)最大值.活動(dòng):這是一道應(yīng)用題,并且考查了函數(shù)思想,教師提示學(xué)生回顧一下用函數(shù)法求最值的思路與步驟,教師提問學(xué)生對(duì)已學(xué)知識(shí)的掌握和鞏固,并對(duì)回答好的學(xué)生進(jìn)行表?yè)P(yáng),對(duì)回答不全面的學(xué)生給予一定的提示和鼓勵(lì).教師補(bǔ)充,函數(shù)法求最值所包括的五個(gè)基本環(huán)節(jié):(1)選取自變量;(2)建立目標(biāo)函數(shù);(3)指出函數(shù)的定義域;(4)求函數(shù)的最值;(5)作出相應(yīng)結(jié)論.其中自變量的選取不唯一,建立目標(biāo)函數(shù)結(jié)合有關(guān)公式進(jìn)行,函數(shù)定義域要根據(jù)題意確定,有些函數(shù)是結(jié)構(gòu)確定求最值的方法,并確保在定義域內(nèi)能取到最值.解:設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為l,半徑為r,圓心角為α,面積為S.由已知,2r+l=a,即l=a-2r.∴S=l·r=(a-2r)·r=-r2+r=-(r-)2+.∵r>0,l=a-2r>0,∴0<r<.∴當(dāng)r=時(shí),Smax=.此時(shí),l=a-2·=,∴α==2.故當(dāng)扇形的圓心角為2rad時(shí),扇形的面積取最大值.點(diǎn)評(píng):這是一個(gè)最大值問題,可用函數(shù)法求解,即將扇形的面積S表示成某個(gè)變量的函數(shù),然后求這個(gè)函數(shù)的最大值及相應(yīng)的圓心角.變式訓(xùn)練已知一個(gè)扇形的周長(zhǎng)為+4,圓心角為80°,求這個(gè)扇形的面積.解:設(shè)扇形的半徑為r,面積為S,由已知知道,扇形的圓心角為80×=,∴扇形的弧長(zhǎng)為r,由已知,r+2r=+4,∴r=2.∴S=·r2=.故扇形的面積為.點(diǎn)評(píng):求扇形的關(guān)鍵是求得扇形的圓心角、半徑、弧長(zhǎng)三個(gè)量中的任意兩個(gè)量.相反,也可由扇形的面積結(jié)合其他條件,求扇形的圓心角、半徑、弧長(zhǎng).解題時(shí)要注意公式的靈活變形及方程思想的運(yùn)用.知能訓(xùn)練課本本節(jié)練習(xí).解答:1.(1);(2);(3).點(diǎn)評(píng):能進(jìn)行角度與弧度的換算.2.(1)15°;(2)-240°;(3)54°.點(diǎn)評(píng):能進(jìn)行弧度與角度的換算.3.(1){α|α=kπ,k∈Z};(2){α|α=+kπ,k∈Z}.點(diǎn)評(píng):用弧度制表示終邊分別在x軸和y軸上的角的集合.4.(1)cos0.75°>cos0.75;(2)tan1.2°<tan1.2.點(diǎn)評(píng):體會(huì)同數(shù)值不同單位的角對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值可能不同,并進(jìn)一步認(rèn)識(shí)兩種單位制.注意在用計(jì)算器求三角函數(shù)值之前,要先對(duì)計(jì)算器中角的模式進(jìn)行設(shè)置.如求cos0.75°之前,要將角模式設(shè)置為DEG(角度制);求cos0.75之前,要將角模式設(shè)置為RAD(弧度制).5.m.點(diǎn)評(píng):通過分別運(yùn)用角度制和弧度制下的弧長(zhǎng)公式,體會(huì)引入弧度制的必要性.6.弧度數(shù)為1.2.點(diǎn)評(píng):進(jìn)一步認(rèn)識(shí)弧度數(shù)的絕對(duì)值公式.課堂小結(jié)由學(xué)生總結(jié)弧度制的定義,角度與弧度的換算公式與方法.教師強(qiáng)調(diào)角度制與弧度制是度量角的兩種不同的單位制,它們是互相聯(lián)系的,辯證統(tǒng)一的;角度與弧度的換算,關(guān)鍵要理解并牢記180°=πrad這一關(guān)系式,由此可以很方便地進(jìn)行角度與弧度的換算;三個(gè)注意的問題,同學(xué)們要切記;特殊角的弧度數(shù),同學(xué)們要熟記.重要的一點(diǎn)是,同學(xué)們自己找到了角的集合與實(shí)數(shù)集R的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,對(duì)弧度制下的弧長(zhǎng)公式、扇形面積公式有了深刻的理解,要把這兩個(gè)公式記下來,并在解決實(shí)際問題中靈活運(yùn)用,表?yè)P(yáng)學(xué)生能總結(jié)出引入弧度制的好處,這種不斷總結(jié),不斷歸納,梳理知識(shí),編織知識(shí)的網(wǎng)絡(luò),特別是同學(xué)們善于聯(lián)想、積極探索的學(xué)習(xí)品質(zhì),會(huì)使我們終生受用,這樣持之以恒地堅(jiān)持下去,你會(huì)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)王國(guó)的許多寶藏,以服務(wù)于社會(huì),造福于人類.作業(yè)①課本習(xí)題1.1A組6、8、10.②課后探究訓(xùn)練:課本習(xí)題1.1B組題.設(shè)計(jì)感想本節(jié)課的設(shè)計(jì)思想是:在學(xué)生的探究活動(dòng)中通過類比引入弧度制這個(gè)概念并突破這個(gè)難點(diǎn).因此一開始要讓學(xué)生從圖形、代數(shù)兩方面深入探究,不要讓開始的探究成為一種擺設(shè).如果學(xué)生一開始沒有很好的理解,那么以后有些題怎么做就怎么難受.通過探究讓學(xué)生明確知識(shí)依附于問題而存在,方法為解決問題的需要而產(chǎn)生.將弧度制的概念的形成過程自然地貫徹到教學(xué)活動(dòng)中去,由此把學(xué)生的思維推到更寬的廣度.本節(jié)設(shè)計(jì)的特點(diǎn)是由特殊到一般、由易到難,這符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律;讓學(xué)生在探究中積累知識(shí),發(fā)展能力,對(duì)形成科學(xué)的探究未知世界的嚴(yán)謹(jǐn)作風(fēng)有著良好的啟迪.但由于學(xué)生知識(shí)水平的限制,本節(jié)不能擴(kuò)展太多,建議讓學(xué)有余力的學(xué)生繼續(xù)總結(jié)歸納用弧度來計(jì)量角的好處并為后續(xù)三角函數(shù)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).根據(jù)本節(jié)特點(diǎn)可考慮分層推進(jìn)、照顧全體.對(duì)優(yōu)等生,重在引導(dǎo)他們變式思維的訓(xùn)練,培養(yǎng)他們求同思維、求異思維的能力,以及思維的靈活性、深刻性與創(chuàng)造性.鼓勵(lì)他們獨(dú)立思考,勇于探索,敢于創(chuàng)新,對(duì)正確的要予以肯定,對(duì)暴露出來的問題要及時(shí)引導(dǎo)、剖析糾正,使課堂學(xué)習(xí)成為再發(fā)現(xiàn)再創(chuàng)造的過程.1.2任意角的三角函數(shù)1.2.1任意角的三角函數(shù)整體設(shè)計(jì)教學(xué)分析學(xué)生已經(jīng)學(xué)過銳角三角函數(shù),它是用直角三角形邊長(zhǎng)的比來刻畫的.銳角三角函數(shù)的引入與“解三角形”有直接關(guān)系.任意角的三角函數(shù)是刻畫周期變化現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型,它與“解三角形”已經(jīng)沒有什么關(guān)系了.因此,與學(xué)習(xí)其他基本初等函數(shù)一樣,學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù),關(guān)鍵是要使學(xué)生理解三角函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì),并能用三角函數(shù)描述一些簡(jiǎn)單的周期變化規(guī)律,解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.本節(jié)以銳角三角函數(shù)為引子,利用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)定義三角函數(shù).由于三角函數(shù)與單位圓之間的這種緊密的內(nèi)部聯(lián)系,使得我們?cè)谟懻撊呛瘮?shù)的問題時(shí),對(duì)于研究哪些問題以及用什么方法研究這些問題等,都可以從圓的性質(zhì)(特別是對(duì)稱性)中得到啟發(fā).三角函數(shù)的研究中,數(shù)形結(jié)合思想起著非常重要的作用.利用信息技術(shù),可以很容易地建立角的終邊和單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)、單位圓中的三角函數(shù)線之間的聯(lián)系,并在角的變化過程中,將這種聯(lián)系直觀地體現(xiàn)出來.所以,信息技術(shù)可以幫助學(xué)生更好地理解三角函數(shù)的本質(zhì).激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)研究的熱情,培養(yǎng)學(xué)生勇于發(fā)現(xiàn)、勇于探索、勇于創(chuàng)新的精神;通過學(xué)生之間、師生之間的交流合作,實(shí)現(xiàn)共同探究、教學(xué)相長(zhǎng)的教學(xué)情境.三維目標(biāo)1.通過借助單位圓理解并掌握任意角的三角函數(shù)定義,理解三角函數(shù)是以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù),并從任意角的三角函數(shù)定義認(rèn)識(shí)正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域,理解并掌握正弦、余弦、正切函數(shù)在各象限內(nèi)的符號(hào).2.通過對(duì)任意角的三角函數(shù)定義的理解,掌握終邊相同角的同一三角函數(shù)值相等.3.正確利用與單位圓有關(guān)的有向線段,將任意角α的正弦、余弦、正切函數(shù)值表示出來,即用正弦線、余弦線、正切線表示出來.4.能初步應(yīng)用定義分析和解決與三角函數(shù)值有關(guān)的一些簡(jiǎn)單問題.重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn):任意角的正弦、余弦、正切的定義,終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等.教學(xué)難點(diǎn):用角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)來刻畫三角函數(shù);三角函數(shù)符號(hào);利用與單位圓有關(guān)的有向線段,將任意角α的正弦、余弦、正切函數(shù)值用幾何形式表示.課時(shí)安排2課時(shí)教學(xué)過程第1課時(shí)導(dǎo)入新課思路1.我們把角的范圍推廣了,銳角三角函數(shù)的定義還能適用嗎?譬如三角形內(nèi)角和為180°,那么sin200°的值還是三角形中200°的對(duì)邊與斜邊的比值嗎?類比角的概念的推廣,怎樣修正三角函數(shù)定義?由此展開新課.另外用“單位圓定義法”單刀直入給出定義,然后再在適當(dāng)時(shí)機(jī)聯(lián)系銳角三角函數(shù),這也是一種不錯(cuò)的選擇.思路2.教師先讓學(xué)生看教科書上的“思考”,通過這個(gè)“思考”提出用直角坐標(biāo)系中角的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)的問題,以引導(dǎo)學(xué)生回憶銳角三角函數(shù)概念,體會(huì)引進(jìn)象限角概念后,用角的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)比表示銳角三角函數(shù)的意義,從而為定義任意角的三角函數(shù)奠定基礎(chǔ).教科書在定義任意角的三角函數(shù)之前,作了如下鋪墊:直角三角形為載體的銳角三角函數(shù)→象限角為載體的銳角三角函數(shù)→單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)表示的銳角三角函數(shù).推進(jìn)新課新知探究提出問題問題①:在初中時(shí)我們學(xué)了銳角三角函數(shù),你能回憶一下銳角三角函數(shù)的定義嗎?問題②:你能用直角坐標(biāo)系中角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)來表示銳角三角函數(shù)嗎?活動(dòng):教師提出問題,學(xué)生口頭回答,突出它是以銳角為自變量,邊的比值為函數(shù)值的三角函數(shù),教師并對(duì)回答正確的學(xué)生進(jìn)行表?yè)P(yáng),對(duì)回答不出來的同學(xué)給予提示和鼓勵(lì).然后教師在黑板上畫出直角三角形.教師提示:前面我們對(duì)角的概念已經(jīng)進(jìn)行了擴(kuò)充,并且學(xué)習(xí)了弧度制,知道了角的集合與實(shí)數(shù)集是一一對(duì)應(yīng)的,在此基礎(chǔ)上,我們來研究任意角的三角函數(shù).教師在直角三角形所在的平面上建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,畫出角α的終邊;學(xué)生給出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),并用坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù).圖1如圖1,設(shè)銳角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合,始邊與x軸的正半軸重合,那么它的終邊在第一象限.在α的終邊上任取一點(diǎn)P(a,b),它與原點(diǎn)的距離>0.過P作x軸的垂線,垂足為M,則線段OM的長(zhǎng)度為a,線段MP的長(zhǎng)度為b.根據(jù)初中學(xué)過的三角函數(shù)定義,我們有sinα==,cosα==,tanα==.討論結(jié)果:①銳角三角函數(shù)是以銳角為自變量,邊的比值為函數(shù)值的三角函數(shù).②sinα==,cosα==,tanα==.提出問題問題①:如果改變終邊上的點(diǎn)的位置,這三個(gè)比值會(huì)改變嗎?為什么?問題②:你利用已學(xué)知識(shí)能否通過取適當(dāng)點(diǎn)而將上述三角函數(shù)的表達(dá)式簡(jiǎn)化?活動(dòng):教師先讓學(xué)生們相互討論,并讓他們動(dòng)手畫畫圖形,看看從圖形中是否能找出某種關(guān)系來.然后提問學(xué)生,由學(xué)生回答教師的問題,教師再引導(dǎo)學(xué)生選幾個(gè)點(diǎn),計(jì)算一下對(duì)應(yīng)的比值,獲得具體認(rèn)識(shí),并由相似三角形的性質(zhì)來證明.最后可以發(fā)現(xiàn),由相似三角形的知識(shí),對(duì)于確定的角α,這三個(gè)比值不會(huì)隨點(diǎn)P在α的終邊上的位置的改變而改變.過圖形教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行對(duì)比,學(xué)生通過對(duì)比發(fā)現(xiàn)取到原點(diǎn)的距離為1的點(diǎn)可以使表達(dá)式簡(jiǎn)化.此時(shí)sinα==b,cosα==a,tanα==.在引進(jìn)弧度制時(shí)我們看到,在半徑為單位長(zhǎng)度的圓中,角α的弧度數(shù)的絕對(duì)值等于圓心角α所對(duì)的弧長(zhǎng)(符號(hào)由角α的終邊的旋轉(zhuǎn)方向決定).在直角坐標(biāo)系中,我們稱以原點(diǎn)O為圓心,以單位長(zhǎng)度為半徑的圓為單位圓.這樣,上述P點(diǎn)就是α的終邊與單位圓的交點(diǎn).銳角三角函數(shù)可以用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)表示.同樣地,我們可以利用單位圓定義任意角的三角函數(shù).圖2如圖2所示,設(shè)α是一個(gè)任意角,它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y),那么:(1)y叫做α的正弦,記作sinα,即sinα=y;(2)x叫做α的余弦,記作cosα,即cosα=x;(3)叫做α的正切,記作tanα,即tanα=(x≠0).所以,正弦、余弦、正切都是以角為自變量,以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù),我們將它們統(tǒng)稱為三角函數(shù).教師出示定義后,可讓學(xué)生解釋一下定義中的對(duì)應(yīng)關(guān)系.教師應(yīng)指出任意角的正弦、余弦、正切的定義是本節(jié)教學(xué)的重點(diǎn).用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)表示任意角的三角函數(shù),與學(xué)生在銳角三角函數(shù)學(xué)習(xí)中建立的已有經(jīng)驗(yàn)有一定的距離,與學(xué)生在數(shù)學(xué)必修一的學(xué)習(xí)中建立起來的經(jīng)驗(yàn)也有一定的距離.學(xué)生熟悉的函數(shù)y=f(x)是實(shí)數(shù)到實(shí)數(shù)的一一對(duì)應(yīng),而這里給出的三角函數(shù)首先是實(shí)數(shù)(弧度數(shù))到點(diǎn)的坐標(biāo)的對(duì)應(yīng),然后才是實(shí)數(shù)(弧度數(shù))到實(shí)數(shù)(橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo))的對(duì)應(yīng),這就給學(xué)生的理解造成一定的困難.教師在教學(xué)中可以在學(xué)生對(duì)銳角三角函數(shù)已有的幾何直觀認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上,先建立直角三角形的銳角與第一象限角的聯(lián)系,在直角坐標(biāo)系中考查銳角三角函數(shù),得出用角的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)(比值)表示銳角三角函數(shù)的結(jié)論,然后再“特殊化”引出用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)的結(jié)論.在此基礎(chǔ)上,再定義任意角的三角函數(shù).在導(dǎo)學(xué)過程中教師應(yīng)點(diǎn)撥學(xué)生注意,盡管我們從銳角三角函數(shù)出發(fā)來引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù),但任意角的三角函數(shù)與銳角三角函數(shù)之間并沒有一般與特殊的關(guān)系.教師在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)使學(xué)生體會(huì)到,用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù),不僅簡(jiǎn)單、方便,而且反映本質(zhì).教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過分析三角函數(shù)定義中的自變量是什么,對(duì)應(yīng)關(guān)系有什么特點(diǎn),函數(shù)值是什么.特別注意α既表示一個(gè)角,又是一個(gè)實(shí)數(shù)(弧度數(shù)).“它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y)”包含兩個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系.從而可以把三角函數(shù)看成是自變量為實(shí)數(shù)的函數(shù).值得注意的是:(1)正弦、余弦、正切、余切、正割、余割都是以角為自變量,以比值為函數(shù)值的函數(shù).(2)sinα不是sin與α的乘積,而是一個(gè)比值;三角函數(shù)的記號(hào)是一個(gè)整體,離開自變量的“sin”“tan”等是沒有意義的.討論結(jié)果:①這三個(gè)比值與終邊上的點(diǎn)的位置無關(guān),根據(jù)初中學(xué)過的三角函數(shù)定義,有sinα==,cosα==,tanα==.由相似三角形的知識(shí),對(duì)于確定的角α,這三個(gè)比值不會(huì)隨點(diǎn)P在α的終邊上的位置的改變而改變.②能.提出問題問題①:學(xué)習(xí)了任意角,并利用單位圓表示了任意角的三角函數(shù),引入一個(gè)新的函數(shù),我們可以對(duì)哪些問題進(jìn)行討論?問題②:根據(jù)三角函數(shù)的定義,正弦、余弦、正切的定義域、值域是怎樣的?活動(dòng):教師引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合在數(shù)學(xué)必修一中的有關(guān)函數(shù)的問題,讓學(xué)生回顧所學(xué)知識(shí),并總結(jié)回答老師的問題,教師對(duì)學(xué)生總結(jié)的東西進(jìn)行提問,并對(duì)回答正確的學(xué)生進(jìn)行表?yè)P(yáng),回答不正確或者不全面的學(xué)生給予提示和補(bǔ)充.教師讓學(xué)生完成教科書上的“探究”,教師提問或讓學(xué)生上黑板板書.按照這樣的思路,我們一起來探究如下問題:請(qǐng)根據(jù)任意角的三角函數(shù)定義,先將正弦、余弦、正切函數(shù)在弧度制下的定義域填入下表,再將這三種函數(shù)的值在各象限的符號(hào)填入圖3中的括號(hào)內(nèi).三角函數(shù)定義域sinαcosαtanα圖3教師要注意引導(dǎo)學(xué)生從定義出發(fā),利用坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的特征得定義域、函數(shù)值的符號(hào)等結(jié)論.對(duì)于正弦函數(shù)sinα=y,因?yàn)閥恒有意義,即α取任意實(shí)數(shù),y恒有意義,也就是說sinα恒有意義,所以正弦函數(shù)的定義域是R;類似地可寫出余弦函數(shù)的定義域;對(duì)于正切函數(shù)tanα=,因?yàn)閤=0時(shí),無意義,即tanα無意義,又當(dāng)且僅當(dāng)角α的終邊落在縱軸上時(shí),才有x=0,所以當(dāng)α的終邊不在縱軸上時(shí),恒有意義,即tanα恒有意義,所以正切函數(shù)的定義域是α≠+kπ(k∈Z).(由學(xué)生填寫下表)三角函數(shù)定義域sinαRcosαRtanα{α|α≠+kπ,k∈Z}三角函數(shù)的定義告訴我們,各三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號(hào),取決于x,y的符號(hào),當(dāng)點(diǎn)P在第一、二象限時(shí),縱坐標(biāo)y>0,點(diǎn)P在第三、四象限時(shí),縱坐標(biāo)y<0,所以正弦函數(shù)值對(duì)于第一、二象限角是正的,對(duì)于第三、四象限角是負(fù)的(可制作課件展示);同樣地,余弦函數(shù)在第一、四象限是正的,在第二、三象限是負(fù)的;正切函數(shù)在第一、三象限是正的,在第二、四象限是負(fù)的.從而完成上面探究問題.即“一全正,二正弦,三正切,四余弦”.討論結(jié)果:①定義域、值域、單調(diào)性等.②y=sinα與y=cosα的定義域都是全體實(shí)數(shù)R,值域都是[-1,1].y=tanα的定義域是{α｜α≠+kπ(k∈Z)},值域是R.應(yīng)用示例思路1例1已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P0(-3,-4),求角α的正弦、余弦和正切值.活動(dòng):教師留給學(xué)生一定的時(shí)間,學(xué)生獨(dú)立思考并回答.明確可以用角α終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)來定義任意角的三角函數(shù),但用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)來定義,既不失一般性,又簡(jiǎn)單,更容易看清對(duì)應(yīng)關(guān)系.教師要點(diǎn)撥引導(dǎo)學(xué)生習(xí)慣畫圖,充分利用數(shù)形結(jié)合,但要提醒學(xué)生注意α角的任意性.如圖4,設(shè)α是一個(gè)任意角,P(x,y)是α終邊上任意一點(diǎn),點(diǎn)P與原點(diǎn)的距離r=>0,那么:圖4①叫做α的正弦,即sinα=;②叫做α的余弦,即cosα=;③叫做α的正切,即tanα=(x≠0).這樣定義三角函數(shù),突出了點(diǎn)P的任意性,說明任意角α的三角函數(shù)值只與α有關(guān),而與點(diǎn)P在角的終邊上的位置無關(guān),教師要讓學(xué)生充分思考討論后深刻理解這一點(diǎn).解:由已知,可得OP0==5.圖5如圖5,設(shè)角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y).分別過點(diǎn)P、P0作x軸的垂線MP、M0P0,則|M0P0|=4,|MP|=-y,|OM0|=3，|OM|=-x,△OMP∽△OM0P0,于是sinα=y====;cosα=x====;tanα===.點(diǎn)評(píng):本例是已知角α終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo),求角α的三角函數(shù)值問題.可以先根據(jù)三角形相似將這一問題化歸到單位圓上,再由定義得解.變式訓(xùn)練求的正弦、余弦和正切值.圖6解:在平面直角坐標(biāo)系中,作∠AOB=,如圖6.易知∠AOB的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為(,),所以sin=,cos=,tan=.例2求證:當(dāng)且僅當(dāng)下列不等式組成立時(shí),角θ為第三象限角.活動(dòng):教師引導(dǎo)學(xué)生討論驗(yàn)證在不同的象限內(nèi)各個(gè)三角函數(shù)值的符號(hào)有什么樣的關(guān)系,提示學(xué)生從三角函數(shù)的定義出發(fā)來探究其內(nèi)在的關(guān)系.可以知道:三角函數(shù)的定義告訴我們,各三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號(hào),取決于x,y的符號(hào),當(dāng)點(diǎn)P在第一、二象限時(shí),縱坐標(biāo)y>0,點(diǎn)P在第三、四象限時(shí),縱坐標(biāo)y<0,所以正弦函數(shù)值對(duì)于第一、二象限角是正的,對(duì)于第三、四象限角是負(fù)的;同樣地,余弦函數(shù)在第一、四象限是正的,在第二、三象限是負(fù)的;正切函數(shù)在第一、三象限是正的,在第二、四象限是負(fù)的.證明:我們證明如果①②式都成立,那么θ為第三象限角.因?yàn)棰賡inθ<0成立,所以θ角的終邊可能位于第三或第四象限,也可能位于y軸的非正半軸上;又因?yàn)棰谑絫anθ>0成立,所以θ角的終邊可能位于第一或第三象限.因?yàn)棰佗谑蕉汲闪?所以θ角的終邊只能位于第三象限.于是角θ為第三象限角.反過來請(qǐng)同學(xué)們自己證明.點(diǎn)評(píng):本例的目的是認(rèn)識(shí)不同位置的角對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值的符號(hào),其條件以一個(gè)不等式出現(xiàn),在教學(xué)時(shí)要讓學(xué)生把問題的條件、結(jié)論弄清楚,然后再給出證明.這一問題的解決可以訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)能力.變式訓(xùn)練(2007北京高考)已知cosθ·tanθ<0,那么角θ是()A.第一或第二象限角B.第二或第三象限角C.第三或第四象限角D.第一或第四象限角答案:C例3求下列三角函數(shù)值:(1)sin390°;(2)cos;(3)tan(-330°).活動(dòng):引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)終邊相同角的表示法有什么特點(diǎn),終邊相同的角相差2π的整數(shù)倍,那么這些角的同一三角函數(shù)值有何關(guān)系?為什么?引導(dǎo)學(xué)生從角的終邊的關(guān)系到角之間的關(guān)系再到函數(shù)值之間的關(guān)系進(jìn)行討論,然后再用三角函數(shù)的定義證明.由三角函數(shù)的定義,可以知道:終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等.由此得到一組公式(公式一):sin(α+k·2π)=sinα,cos(α+k·2π)=cosα,tan(α+k·2π)=tanα,其中k∈Z.利用公式一,可以把求任意角的三角函數(shù)值,轉(zhuǎn)化為求0到2π(或0°到360°)角的三角函數(shù)值.這個(gè)公式稱為三角函數(shù)的“誘導(dǎo)公式一”.解:(1)sin390°=sin(360°+30°)=sin30°=;(2)cosπ=cos(2π+π)=cosπ=;(3)tan(-330°)=tan(-360°+30°)=tan30°=.點(diǎn)評(píng):本題主要是對(duì)誘導(dǎo)公式一的考查,利用公式一將任意角都轉(zhuǎn)化到0—2π范圍內(nèi)求三角函數(shù)的值.思路2例1已知角α的終邊在直線y=-3x上,則10sinα+3secα=.活動(dòng):要讓學(xué)生獨(dú)立思考這一題目,本題雖然是個(gè)填空題,看似簡(jiǎn)單但內(nèi)含分類討論思想,可以找兩個(gè)學(xué)生來板演這個(gè)例題.對(duì)解答思路正確的學(xué)生給以鼓勵(lì),對(duì)思路受阻的學(xué)生要引導(dǎo)其思路的正確性.并適時(shí)地點(diǎn)撥學(xué)生:假如是個(gè)大的計(jì)算題應(yīng)該怎樣組織步驟.解:設(shè)角α終邊上任一點(diǎn)為P(k,-3k)(k≠0),則x=k,y=-3k,r==｜k｜.(1)當(dāng)k>0時(shí),r=,α是第四象限角,sinα===,secα===,∴10sinα+3secα=10×+3=-3+3=0.(2)當(dāng)k<0時(shí),r=,α為第二象限角,sinα===,secα===,∴10sinα+3secα=10×+3×()=3-3=0.綜合以上兩種情況均有10sinα+3secα=0.點(diǎn)評(píng):本題的解題關(guān)鍵是要清楚當(dāng)k>0時(shí),P(k,-3k)是第四象限內(nèi)的點(diǎn),角α的終邊在第四象限;當(dāng)k<0時(shí),P(k,-3k)是第二象限內(nèi)的點(diǎn),角α的終邊在第二象限內(nèi),這與角α的終邊在y=-3x上是一致的.變式訓(xùn)練設(shè)f(x)=sinx,求f(1)+f(2)+f(3)+…+f(72)的值.解:∵f(1)=sin=,f(2)=sin=,f(3)=sinπ=0,f(4)=sin=,f(5)=sin=,f(6)=sin2π=0,∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0.而f(7)=sin=sin,f(8)=sin=sin,…,f(12)=sin=sin2π,∴f(7)+f(8)+f(9)+f(10)+f(11)+f(12)=0.同理f(13)+f(14)+f(15)+f(16)+f(17)+f(18)=0,…,f(67)+f(68)+…+f(72)=0,∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(72)=0.求函數(shù)y=+tanα的定義域.活動(dòng):讓學(xué)生先回顧求函數(shù)的定義域需要注意哪些特點(diǎn),并讓學(xué)生歸納出一些常見函數(shù)有意義的要求,根據(jù)函數(shù)有意義的特征來求自變量的范圍.對(duì)于三角函數(shù)這種特殊的函數(shù)在解三角不等式時(shí)要結(jié)合三角函數(shù)的定義進(jìn)行.求含正切函數(shù)的組合型三角函數(shù)的定義域時(shí),正切函數(shù)本身的定義域往往被忽略,教師提醒學(xué)生應(yīng)引起注意這種情況.同時(shí),函數(shù)的定義域是一個(gè)集合,所以結(jié)論要用集合形式表示.解:要使函數(shù)y=+tanα有意義,則sinα≥0且α≠kπ+(k∈Z).由正弦函數(shù)的定義知道,sinα≥0就是角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)非負(fù).∴角α的終邊在第一、二象限或在x軸上或在y軸非負(fù)半軸上,即2kπ≤α≤π+2kπ(k∈Z).∴函數(shù)的定義域是{α｜2kπ≤α<+2kπ或+2kπ<α≤(2k+1)π,k∈Z}.點(diǎn)評(píng):本題的關(guān)鍵是弄清楚要使函數(shù)式有意義,必須sinα≥0,且tanα有意義,由此推導(dǎo)出α的取值范圍就是函數(shù)的定義域.變式訓(xùn)練求下列函數(shù)的定義域:(1)y=sinx+cosx;(2)y=sinx+tanx;(3)y=;(4)y=+tanx.解:(1)∵使sinx,cosx有意義的x∈R,∴y=sinx+cosx的定義域?yàn)镽.(2)要使函數(shù)有意義,必須使sinx與tanx有意義.∴有∴函數(shù)y=sinx+tanx的定義域?yàn)閧x｜x≠kπ+,k∈Z}.(3)要使函數(shù)有意義,必須使tanx有意義,且tanx≠0.∴有(k∈Z),∴函數(shù)y=的定義域?yàn)閧x｜x≠,k∈Z}.(4)當(dāng)sinx≥0且tanx有意義時(shí),函數(shù)有意義,∴有(k∈Z).∴函數(shù)y=+tanx的定義域?yàn)椋?kπ,2kπ+)∪(2kπ+,(2k+1)π］(k∈Z).知能訓(xùn)練課本本節(jié)練習(xí).解答:1.sin=;cos=;tan=點(diǎn)評(píng):根據(jù)定義求某個(gè)特殊角的三角函數(shù)值.2.sinθ=;cosθ=;tanθ=.點(diǎn)評(píng):已知角α終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo),由定義求角α的三角函數(shù)值.3.角α0°90°180°270°360°角α的弧度數(shù)0Π2πsinα010-10cosα10-101tanα0不存在0不存在0點(diǎn)評(píng):熟悉特殊角的三角函數(shù)值,并進(jìn)一步地理解公式一.4.當(dāng)α為鈍角時(shí),cosα和tanα取負(fù)值.點(diǎn)評(píng):認(rèn)識(shí)與三角形內(nèi)角有關(guān)的三角函數(shù)值的符號(hào).5.(1)正;(2)負(fù);(3)零;(4)負(fù);(5)正;(6)正.點(diǎn)評(píng):認(rèn)識(shí)不同位置的角對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值的符號(hào).6.(1)①③或①⑤或③⑤;(2)①④或①⑥或④⑥;(3)②④或②⑤或④⑤;(4)②③或②⑥或③⑥.點(diǎn)評(píng):認(rèn)識(shí)不同象限的角對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值的符號(hào).7.(1)0.8746;(2);(3)0.5;(4)1.點(diǎn)評(píng):求三角函數(shù)值,并進(jìn)一步地認(rèn)識(shí)三角函數(shù)的定義及公式一.課堂小結(jié)本節(jié)課我們給出了任意角三角函數(shù)的定義,并且討論了正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域,任意角的三角函數(shù)實(shí)質(zhì)上是銳角三角函數(shù)的擴(kuò)展,是將銳角三角函數(shù)中邊的比變?yōu)樽鴺?biāo)與距離、坐標(biāo)與坐標(biāo)的比,記憶方法可用銳角三角函數(shù)類比記憶,至于三角函數(shù)的定義域可由三角函數(shù)的定義分析得到.本節(jié)課我們重點(diǎn)討論了兩個(gè)內(nèi)容,一是三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號(hào),二是一組公式,兩者的作用分別是:前者確定函數(shù)值的符號(hào),后者將任意角的三角函數(shù)化為0°到360°角的三角函數(shù),這兩個(gè)內(nèi)容是我們?nèi)蘸髮W(xué)習(xí)的基礎(chǔ),經(jīng)常要用,請(qǐng)同學(xué)們熟記.作業(yè)課本習(xí)題1.2A組題1—9.設(shè)計(jì)感想關(guān)于三角函數(shù)定義法,總的說來就兩種:“單位圓定義法”與“終邊定義法”.這兩種方法本質(zhì)上是一致的.正因?yàn)榇?各種數(shù)學(xué)出版物中,兩種定義方法都有采用.在學(xué)習(xí)本節(jié)的過程中可以與初中學(xué)習(xí)的三角函數(shù)定義進(jìn)行類比、學(xué)習(xí).理解任意角三角函數(shù)的定義不但是學(xué)好本節(jié)內(nèi)容的關(guān)鍵,也是學(xué)好本章內(nèi)容的關(guān)鍵.在教學(xué)中,教師應(yīng)該充分調(diào)動(dòng)學(xué)生獨(dú)立思考和總結(jié)的能力,以鞏固對(duì)知識(shí)的理解和掌握.教師在教學(xué)中,始終引導(dǎo)學(xué)生緊扣三角函數(shù)的定義,善于利用數(shù)形結(jié)合.在利用三角函數(shù)定義進(jìn)行求值時(shí),應(yīng)特別強(qiáng)調(diào)要注意橫向聯(lián)系,即不僅僅能求出該值,還要善于觀察該值與其他三角函數(shù)值之間的聯(lián)系,找出規(guī)律來求解.(設(shè)計(jì)者：房增鳳)第2課時(shí)導(dǎo)入新課思路1.(情境導(dǎo)入)同學(xué)們都在一些旅游景地或者在公園中見過大觀覽車,大家是否想過大觀覽車在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中,座椅離地面的高度隨著轉(zhuǎn)動(dòng)角度的變化而變化,二者之間有怎樣的相依關(guān)系呢?思路2.(復(fù)習(xí)導(dǎo)入)我們研究了三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號(hào),學(xué)習(xí)了將任意角的三角函數(shù)化成0°—360°角的三角函數(shù)的一組公式,前面還分析討論了三角函數(shù)的定義域,這些內(nèi)容的研究,都是建立在任意角的三角函數(shù)定義之上的,這些知識(shí)在以后我們繼續(xù)學(xué)習(xí)“三角”內(nèi)容時(shí),是經(jīng)常、反復(fù)運(yùn)用的,請(qǐng)同學(xué)們務(wù)必在理解的基礎(chǔ)上要加強(qiáng)記憶.由三角函數(shù)的定義我們知道,對(duì)于角α的各種三角函數(shù)我們都是用比值來表示的,或者說是用數(shù)來表示的,今天我們?cè)賮韺W(xué)習(xí)正弦、余弦、正切函數(shù)的另一種表示方法——幾何表示法.我們知道,直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)與坐標(biāo)軸的方向有關(guān).因此自然產(chǎn)生一個(gè)想法是以坐標(biāo)軸的方向來規(guī)定有向線段的方向,以使它們的取值與點(diǎn)的坐標(biāo)聯(lián)系起來.推進(jìn)新課新知探究提出問題問題①:回憶上節(jié)課學(xué)習(xí)的三角函數(shù)定義并思考:三角函數(shù)的定義能否用幾何中的方法來表示,應(yīng)怎樣表示呢?問題②:回憶初中學(xué)過的線段,若加上方向會(huì)怎樣呢?什么是有向線段?活動(dòng):指導(dǎo)學(xué)生在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出單位圓,設(shè)任意角α的頂點(diǎn)在原點(diǎn),始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,終邊與單位圓相交于點(diǎn)P(x,y),x軸的正半軸與單位圓相交于A(1,0),過P作x軸的垂線,垂足為M;過A作單位圓的切線,這條切線必平行于y軸(垂直于同一條直線的兩直線平行),設(shè)它與角α的終邊或其反向延長(zhǎng)線交于點(diǎn)T.教師點(diǎn)撥學(xué)生觀察線段的方向與點(diǎn)P的坐標(biāo).顯然,線段OM的長(zhǎng)度為|x|,線段MP的長(zhǎng)度為|y|,它們都只能取非負(fù)值.當(dāng)角α的終邊不在坐標(biāo)軸上時(shí),我們可以把OM、MP都看作帶有方向的線段:如果x>0,OM與x軸同向,規(guī)定此時(shí)OM具有正值x;如果x<0,OM與x軸正向相反(即反向),規(guī)定此時(shí)OM具有負(fù)值x,所以不論哪一種情況,都有OM=x.如果y>0,把MP看作與y軸同向,規(guī)定此時(shí)MP具有正值y;如果y<0,把MP看作與y軸反向,規(guī)定此時(shí)MP具有負(fù)值y,所以不論哪一種情況,都有MP=y.引導(dǎo)學(xué)生觀察OM、MP都是帶有方向的線段,這種被看作帶有方向的線段叫做有向線段.于是,根據(jù)正弦、余弦函數(shù)的定義,就有sinα===y=MP,cosα===x=OM.這兩條與單位圓有關(guān)的有向線段MP、OM分別叫做角α的正弦線、余弦線.類似地,我們把OA、AT也看作有向線段,那么根據(jù)正切函數(shù)的定義和相似三角形的知識(shí),就有tanα===AT.這條與單位圓有關(guān)的有向線段AT,叫做角α的正切線.討論結(jié)果:①能.②被看作帶有方向的線段叫做有向線段.提出問題問題①:怎樣把三角函數(shù)線與有向線段聯(lián)系在一起?問題②:正弦線、余弦線、正切線在平面直角坐標(biāo)系中是怎樣規(guī)定的?當(dāng)角α的終邊變化時(shí),它們有什么變化?活動(dòng):師生共同討論,最后一致得出以下幾點(diǎn):(1)當(dāng)角α的終邊在y軸上時(shí),余弦線變成一個(gè)點(diǎn),正切線不存在.(2)當(dāng)角α的終邊在x軸上時(shí),正弦線、正切線都變成點(diǎn).(3)正弦線、余弦線、正切線都是與單位圓有關(guān)的有向線段,所以作某角的三角函數(shù)線時(shí),一定要先作單位圓.(4)線段有兩個(gè)端點(diǎn),在用字母表示正弦線、余弦線、正切線時(shí),要先寫起點(diǎn)字母,再寫終點(diǎn)字母,不能顛倒;或者說,含原點(diǎn)的線段,以原點(diǎn)為起點(diǎn),不含原點(diǎn)的線段,以此線段與x軸的公共點(diǎn)為起點(diǎn).(5)三種有向線段的正負(fù)與坐標(biāo)軸正反方向一致,三種有向線段的數(shù)量與三種三角函數(shù)值相同.正弦線、余弦線、正切線統(tǒng)稱為三角函數(shù)線.討論結(jié)果:①略.②略.示例應(yīng)用思路1例1如圖7,α,β的終邊分別與單位圓交于點(diǎn)P,Q,過A(1,0)作切線AT,交圖7射線OP于點(diǎn)T,交射線OQ的反向延長(zhǎng)線于T′,點(diǎn)P、Q在x軸上的射影分別為點(diǎn)M、N,則sinα=______________,cosα=______________,tanα=______________,sinβ=______________,cosβ=______________,tanβ=______________.活動(dòng):根據(jù)三角函數(shù)線的定義可知,sinα=MP,cosα=OM,tanα=AT,sinβ=NQ,cosβ=ON,tanβ=AT′.答案:MPOMATNQONAT′點(diǎn)評(píng):掌握三角函數(shù)線的作法,注意用有向線段表示三角函數(shù)線時(shí),字母的書寫順序不能隨意顛倒.變式訓(xùn)練利用三角函數(shù)線證明｜sinα｜+｜c(diǎn)osα｜≥1.解:當(dāng)α的終邊落在坐標(biāo)軸上時(shí),正弦(或余弦)線變成一個(gè)點(diǎn),而余弦(或正弦)線的長(zhǎng)等于r,所以｜sinα｜+｜c(diǎn)osα｜=1.當(dāng)角α終邊落在四個(gè)象限時(shí),利用三角形兩邊之和大于第三邊有｜sinα｜+｜c(diǎn)osα｜=｜OM｜+｜MP｜>1,∴｜sinα｜+｜c(diǎn)osα｜≥1.例2在單位圓中畫出適合下列條件的角α的終邊或終邊所在的范圍,并由此寫出角α的集合:(1)sinα=;(2)sinα≥.活動(dòng):引導(dǎo)學(xué)生畫出單位圓,對(duì)于(1),可設(shè)角α的終邊與單位圓交于A(x,y),則sinα=y,所以要作出滿足sinα=的終邊,只要在單位圓上找出縱坐標(biāo)為的點(diǎn)A,則OA即為角α的終邊;對(duì)于(2),可先作出滿足sinα=的角的終邊,然后根據(jù)已知條件確定角α的范圍.圖8解:(1)作直線y=交單位圓于A與B兩點(diǎn),連結(jié)OA,OB,則OA與OB為角α的終邊,如圖8所示.故滿足條件的角α的集合為{α|α=2kπ+或α=2kπ+,k∈Z}.(2)作直線y=交單位圓于A與B兩點(diǎn),連結(jié)OA,OB,則OA與OB圍成的區(qū)域(如圖中的陰影部分)即為角α的終邊所在的范圍.故滿足條件的角α的集合為{α|2kπ+≤α≤2kπ+,k∈Z}.點(diǎn)評(píng):在解簡(jiǎn)單的特殊值(如±,等)的等式或不等式時(shí),應(yīng)首先在單位圓內(nèi)找到對(duì)應(yīng)的終邊(作縱坐標(biāo)為特殊值的直線與單位圓相交,連結(jié)交點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)作射線),一般情況下,用(0,2π)內(nèi)的角表示它,然后畫出滿足原等式或不等式的區(qū)域,用集合表示出來.變式訓(xùn)練已知sinα≥,求角α的集合.解:作直線y=交單位圓于點(diǎn)P,P′,則sin∠POx=sin∠P′Ox=,在［0,2π)內(nèi)∠POx=,∠P′Px=.∴滿足條件的集合為{α｜2kπ+≤α≤2kπ+,k∈Z}.思路2例1求下列函數(shù)的定義域:(1)y=logsinx(2cosx+1);(2)y=lg(3-4sin2x).活動(dòng):先引導(dǎo)學(xué)生求出x所滿足的條件,這點(diǎn)要提醒學(xué)生注意,研究函數(shù)必須在自變量允許的范圍內(nèi)研究,否則無意義.再利用三角函數(shù)線畫出滿足條件的角x的終邊范圍.求解時(shí),可根據(jù)各種約束條件,利用三角函數(shù)線畫出角x滿足條件的終邊范圍,寫出適合條件的x的取值集合.解:(1)由題意,得則(k∈Z).∴函數(shù)的定義域?yàn)閧x|2kπ<x<2kπ+或2kπ+<x<2kπ+,k∈Z}.(所求x的終邊所在的區(qū)域如圖9中的陰影部分所示)(2)∵3-4sin2x>0,∴sin2x<.∴<sinx<.∴x∈(2kπ,2kπ+)∪(2kπ+,2kπ+)(k∈Z),即x∈(kπ-,kπ+)(k∈Z).(所求x的終邊所在的區(qū)域如圖10中的陰影部分所示)圖9圖10變式訓(xùn)練求函數(shù)y=的定義域.解:要使函數(shù)有意義,需滿足2cosx-1≥0,所以cosx≥.故由余弦函數(shù)線可知函數(shù)的定義域?yàn)椋?kπ-,2kπ+］,k∈Z.例2證明恒等式+++=2.活動(dòng):引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)證明恒等式的方法與步驟,特別地,在證明三角恒等式時(shí),一般地是從較繁的一邊推向較簡(jiǎn)的一邊.從方向上來推證三角恒等式主要有三種推證方法,即:從左邊推向右邊;從右邊推向左邊;左、右兩邊同推向第三個(gè)式子.解:證法一:設(shè)M(x,y)為角α終邊上異于原點(diǎn)的一點(diǎn),｜OM｜=r,由三角函數(shù)定義有sinα=,cosα=,secα=,cscα=.原式左邊====2=右邊.∴原等式成立.證法二:左邊===∴左邊=右邊.∴原等式成立.點(diǎn)評(píng):根據(jù)本題的特點(diǎn),被證式的左邊比較復(fù)雜,故可由左邊證向右邊.變式訓(xùn)練求證:證明:設(shè)M(x,y)為α終邊上異于原點(diǎn)的一點(diǎn),｜OM｜=r,由三角函數(shù)定義有左邊====右邊=∴左邊=右邊,故原等式成立.知能訓(xùn)練課本本節(jié)練習(xí).解答:1.終邊在不同位置的角對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值的情況,包括三角函數(shù)值的符號(hào)情況,終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等.點(diǎn)評(píng):利用單位圓中的三角函數(shù)線認(rèn)識(shí)三角函數(shù)的性質(zhì),對(duì)未學(xué)性質(zhì)的認(rèn)識(shí)不作統(tǒng)一要求.2.(1)如圖11所示,圖11(2)(3)(4)略.點(diǎn)評(píng):作已知角的三角函數(shù)線.3.225°角的正弦、余弦、正切線的長(zhǎng)分別為3.5cm、3.5cm、5cm;330°角的正弦、余弦、正切線的長(zhǎng)分別為2.5cm、4.3cm、2.9cm,其中5,2.5是準(zhǔn)確數(shù),其余都是近似數(shù)(圖略).sin225°==-0.7,cos225°==-0.7,tan225°=-1;sin330°=-0.5,cos330°==0.86,tan330°==-0.58.點(diǎn)評(píng):進(jìn)一步認(rèn)識(shí)單位圓中的三角函數(shù)線.4.三角函數(shù)線是三角函數(shù)的幾何表示,它直觀地刻畫了三角函數(shù)的概念,與三角函數(shù)的定義結(jié)合起來,可以從數(shù)和形兩方面認(rèn)識(shí)三角函數(shù)的定義,并使得對(duì)三角函數(shù)的定義域、函數(shù)值符號(hào)的變化規(guī)律、公式一等的理解容易了.點(diǎn)評(píng):反思單位圓中的三角函數(shù)線對(duì)認(rèn)識(shí)三角函數(shù)概念的作用.課堂小結(jié)本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了有向線段的定義,正弦線、余弦線、正切線的定義,這三種三角函數(shù)線都是一些特殊的有向線段,其之所以特殊,一是其與坐標(biāo)軸平行(或重合),二是其與單位圓有關(guān),這些線段分別都可以表示相應(yīng)三角函數(shù)的