第15講四年級(jí)數(shù)學(xué)還原問題教案

精銳教育學(xué)科教師輔導(dǎo)講義學(xué)員編號(hào)：年級(jí)：課時(shí)數(shù)：學(xué)員姓名：輔導(dǎo)科目：學(xué)科教師：授課類型T(還原問題)C（還原問題）T（還原問題）授課日期及時(shí)段教學(xué)內(nèi)容1、解決方案問題的方法有哪些？方陣不論在哪一層，每邊上的人(或物)數(shù)量都相同.每向里一層，每邊上的人數(shù)就少2，每層總數(shù)就少8.每邊人(或物)數(shù)和每層總數(shù)的關(guān)系：每層總數(shù)=[每邊人(或物)數(shù)-1]×4;每邊人(或物)數(shù)=每層總數(shù)÷4+1.實(shí)心方陣：總?cè)?或物)數(shù)=每邊人(或物)數(shù)×每邊人(或物)數(shù).空心方陣：總?cè)耍ɑ蛭铮?shù)=外邊人數(shù)×外邊人數(shù)-內(nèi)邊人數(shù)×內(nèi)邊人數(shù)2、240人圍成一個(gè)三層空心方陣，最內(nèi)層每邊有多少人？中層：240÷3＝80，每邊：80÷4+1＝21；內(nèi)層每邊：21-1=19（人）一、同步知識(shí)梳理有些題目只給出對(duì)未知數(shù)量經(jīng)過某些運(yùn)算而得到的最后結(jié)果，要想求出未知量，可以從這最后結(jié)果出發(fā)，運(yùn)用加與減，乘與除之間的互逆關(guān)系，從后往前一步一步地推算，這種方法叫做逆推法。如7大于5，也可以說成5小于7。這種思維方法我們稱作逆向思維，在處理一些問題時(shí)經(jīng)常要用到。有些應(yīng)用題按順向處理比較困難，或者會(huì)出現(xiàn)繁雜的運(yùn)算，如果根據(jù)題目的條件，運(yùn)用逆推法去解則方便得多。二、同步題型分析例1、某數(shù)乘以3，再加2，減去5，差是12，這個(gè)數(shù)是多少？分析：差是12，是減去5之后得到的，那么被減數(shù)就是12+5=17，這個(gè)被減數(shù)是加2之后得到的，另一個(gè)加數(shù)就是17-2=15，這一個(gè)加數(shù)是有某數(shù)乘3得到的，那么這個(gè)數(shù)就是15÷3解：（12+5-2）÷3

=15÷3

=5；

答：這個(gè)數(shù)是5．例2、一個(gè)數(shù)減去5，乘以5，加上5，除以5，最后的結(jié)果還是5，那么這個(gè)數(shù)是多少？分析：從后向前來推算，①“除以5，結(jié)果還是5”，則前一個(gè)數(shù)是5×5=25；

②“加上5等于25”，則前一個(gè)數(shù)是25-5=20；

③“乘以5等于20”，則前一個(gè)數(shù)是20÷5=4；④“減去5，等于4”，則原來的數(shù)是4+5=9．解：（5×5-5）÷5+5，

=（25-5）÷5+5，

=20÷5+5，

=4+5，

=9，

答：這個(gè)數(shù)是9．例3、一桶油，每次倒掉油的一半，倒了三次后連桶重10千克，已知桶重2.5千克，原來桶里有油多少千克？分析：由題意，倒了三次后連桶重10千克，已知桶重2.5千克，則油重（10-2.5）千克，每次倒掉油的一半，則第三次沒倒前油重（10-2.5）×2，以此類推。解：（10-2.5）×2×2×2=7.5×2×2×2=15×2×2=60(千克)例4、甲、乙兩人有若干本書，如果甲拿出和乙同樣多的書給乙，乙再拿出同樣多的書給甲，這時(shí)兩人都是48本，那么甲、乙兩人原來有圖書多少本？方法一【搭架子，倒推還原】：

甲-乙+（甲-乙）=48，

48-（甲-乙）+乙=甲

即：甲=乙+24①

乙+乙-(甲-乙)=48

48+（甲-乙）-乙=乙

即：甲=3乙-48②

綜合①，②

甲=60

乙=36方法二【列表比較】：原來甲乙第一次甲-乙2乙第二次2（甲-乙）=482乙-（甲-乙）=48所以，甲-乙=24，乙=36甲=60.三、課堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)1、一個(gè)數(shù)除以3后再加6，減7，再乘以5，積是10，這個(gè)數(shù)是多少？解：（10÷5+7-6）×3

=（2+7-6）×3

=3×3

=9

答：這個(gè)數(shù)是9。2、籃子里原有蘋果若干個(gè)，拿出一半送給奶奶，又拿出剩下的一半送給媽媽，這時(shí)還剩5個(gè)，原來這籃蘋果有多少個(gè)？解：5×2×2

=10×2

=20（個(gè)）

答：原來這籃蘋果有20個(gè)。3、有一種昆蟲，由幼蟲長到成蟲，體長每天增長一倍，20天后正好長到20厘米，請(qǐng)問長到5厘米時(shí)用了幾天？解：第19天：20÷2=10（厘米），

第18天：10÷2=5（厘米）

答：它長到5厘米用了18天。一、專題精講例1、農(nóng)機(jī)店出售一批新型的農(nóng)用拖拉機(jī)，上午售出總數(shù)的一半多20臺(tái)，下午售出剩下的一半多15臺(tái)，這時(shí)只剩75臺(tái)．這批農(nóng)用拖拉機(jī)共有多少臺(tái)？分析：此題抓住剩下的75臺(tái)，往前推算，75臺(tái)再加上15臺(tái)就是上午賣完剩下的一半，據(jù)此乘2，即可得出上午賣完剩下的是90×2=180臺(tái)，180臺(tái)，再加上20臺(tái)，就是這批拖拉機(jī)的一半，據(jù)此乘2，就是拖拉機(jī)的總臺(tái)數(shù)．解：[（75+15）×2+20]×2，

=[90×2+20]×2，

=200×2，

=400（臺(tái)），

答：這批拖拉機(jī)共有400臺(tái)。例2、小紅看一本故事書，第一天看了這本書的一半又10頁，第二天看了余下的一半又10頁，第三天看了10頁正好看完，這本書有多少頁？分析：此題抓住最后第三天看的頁數(shù)是10頁正好看完，向前逆推。解：[（10+10）×2+10]×2，

=[40+10]×2，

=50×2，

=100（頁），

答：這本書有100頁．例3、糧庫里存一批大米，第一次運(yùn)出庫存大米的一半多20包，第二次運(yùn)出剩下大米的一半少10包，這時(shí)還剩28包，求糧庫原有大米多少包？分析：本題需要從問題出發(fā)，一步步向前推，最后剩下了28包，它是運(yùn)出剩下的一半少10包后剩下的，那么剩下的一半就是28-10包，就可以求出剩下的一共多少包；同樣的方法就可以求出原來有多少包．解：[（28-10）×2+20]×2

=（18×2+20）×2

=56×2

=112（包）

答：糧庫原有大米112包．例4、四個(gè)小朋友共有課外讀物120本，甲給乙3本，乙給丙4本，丙給丁5本，丁給甲6本，這時(shí)四個(gè)人的課外讀物的本數(shù)相等，他們?cè)瓉砀饔袔妆菊n外讀物？解：120÷4=30（本）

甲-3+6=30甲：30-6+3=27（本）

乙-4+3=30乙：30-3+4=31（本）

丙-5+4=30丙：30-4+5=31（本）

丁-6+5=30?。?0-5+6=31（本）

答：甲原來有27本，乙、丙、丁原來各有31本．例5、袋里有若干個(gè)球，小明每次拿出其中的一半再放回一個(gè)球，這樣共操作了5次，袋中還有3個(gè)球。問：袋中原有多少個(gè)球？分析與解：利用逆推法從第5次操作后向前逆推。第5次操作后有3個(gè)，第4次操作后有（3—1）×2＝4（個(gè)），第3次……為了簡潔清楚，可以列表逆推如下：所以原來袋中有34個(gè)球。例6、三堆蘋果共48個(gè)。先從第一堆中拿出與第二堆個(gè)數(shù)相等的蘋果并入第二堆；再從第二堆中拿出與第三堆個(gè)數(shù)相等的蘋果并入第三堆；最后又從第三堆中拿出與這時(shí)第一堆個(gè)數(shù)相等的蘋果并入第一堆。這時(shí)，三堆蘋果數(shù)恰好相等。問：三堆蘋果原來各有多少個(gè)？分析與解：由題意知，最后每堆蘋果都是48÷3＝16（個(gè)），由此向前逆推如下表：原來第一、二、三堆依次有22，14，12個(gè)蘋果。例7、兄弟三人分24個(gè)桔子，每人所得個(gè)數(shù)分別等于他們?nèi)昵案髯缘臍q數(shù)。如果老三先把所得的桔子的一半平分給老大與老二，接著老二把現(xiàn)有的桔子的一半平分給老三與老大，最后老大把現(xiàn)有的桔子的一半平分給老二與老三，這時(shí)每人的桔子數(shù)恰好相同。問：兄弟三人的年齡各多少歲？分析與解：由于總共有24個(gè)桔子，最后三人所得到的桔子數(shù)相等，因此每人最后都有24÷3＝8（個(gè)）桔子。由此列表逆推如下表：由上表看出，老大、老二、老三原來分別有桔子13，7，4個(gè)，現(xiàn)在的年齡依次為16，10，7歲。二、專題過關(guān)1、某數(shù)加上6，乘以6，減去6，除以6，最后結(jié)果等于6，求某數(shù)。解答：(6×6+6)÷6-6=12、一捆電線，第一次用去全長的一半多3米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最后還剩7米，這捆電線原有多少米?解答：[(7+15-10)×2+3]=54(米)3、小明在計(jì)算一道加法計(jì)算時(shí)，把一個(gè)加數(shù)個(gè)位上的1看作7，把一個(gè)加數(shù)十位上的8看作3，這樣所得的和是1955，原來兩數(shù)相加的正確答案是多少?解答：1995+50-6=19994、袋子里裝著若干個(gè)乒乓球，小明每次拿出其中的一半再放回一個(gè)球，這樣共拿了5次，袋子里還有5個(gè)球。袋中原有多少個(gè)乒乓球?解答：操作次數(shù)，袋中球個(gè)數(shù)初始第一步：(50-1)×2=98;第二步：(26-1)×2=50;第三步：(14-1)×2=26;第四步：(8-1)×2=14;第五步：(5-1)×2=85、甲、乙、丙三人各有小球若干個(gè)，甲先拿出自己的小球的一部分給乙和丙，使乙、丙每人的小球數(shù)增加一倍;然后乙也把自己的小球的一部分分給甲丙，使甲和丙每人的小球數(shù)增加一倍;最后丙也把自己小球的一部分分給甲和乙，使甲和乙每人的小球數(shù)增加一倍。這時(shí)甲乙丙都有48個(gè)小球。原來甲乙丙各有小球多少個(gè)?解答：變動(dòng)情況甲初始狀態(tài)：12+42+24=78→24÷2=12→48÷2=24→48乙初始狀態(tài)：84÷2=42→24+12+48=84→48÷2=24→48丙初始狀態(tài)：48÷2=24→96÷2=48→48+24+24=96→48三、學(xué)法提煉1、專題特點(diǎn)：還原問題的解法。2、解題方法：1、運(yùn)用倒推法(還原法)解題的相應(yīng)的“逆運(yùn)算”是指：加法用減法還原，減法用加法還原，乘法用除法還原，除法用乘法還原，并且原來是加(減)幾，還原時(shí)應(yīng)為減(加)幾，原來是乘(除)以幾，還原時(shí)應(yīng)為除(乘)以幾。對(duì)于一些比較復(fù)雜的還原問題，要學(xué)會(huì)列表，借助表格倒推，既能理清數(shù)量關(guān)系，又便于驗(yàn)算。2、列表法解還原問題，一步一步從后面往前推。3、注意事項(xiàng)：逆推時(shí)注意，每次變化中，有一堆未動(dòng)；有一堆增加了一倍，逆推時(shí)應(yīng)除以2；另一堆減少了增加一倍那堆增加的數(shù)，逆推時(shí)應(yīng)使用加法。能力培養(yǎng)綜合題1：某校初一有A，B，C三個(gè)班，A班比B班多4個(gè)女生，B班比C班多1個(gè)女生，如果將A班的第一組同學(xué)調(diào)入B班，同時(shí)將B班第一組調(diào)入C班，同時(shí)將C班的第一組同學(xué)調(diào)入A班，則三個(gè)班的女同學(xué)人數(shù)恰好相等．已知C班第一組有2名女生，問A、B兩個(gè)班第一組各有多少女生？分析：由“A班比B班多4個(gè)女生，B班比C班多1個(gè)女生”，可知A班比C班多5個(gè)女同學(xué)，即A、B、C三個(gè)班是C班開始人數(shù)的3倍，也就是A多5個(gè)女生，B多1個(gè)，C一個(gè)也不多為0．想讓三者平衡，就是A2人，B2人，C2人．即C給了A2人，A夠了，所以A第一組5女全送出，B得到5個(gè)人加上原來的一個(gè)為6個(gè)，所以B第一組4人送出，并正好是4-2=2（人）．解：三個(gè)班的女同學(xué)人數(shù)恰好相等時(shí)，各有女生：

（5+1）÷3=2（人）；

B班第一組有女生人數(shù)為：

2+2=4（人）；

A班第一組有女生人數(shù)為：

4+1=5（人）；

答：A班第一組有女生5人，B班第一組有女生4人．綜合題2：有一個(gè)財(cái)迷總想使自己的錢成倍增長，一天他在一座橋上碰見一個(gè)老人，老人對(duì)他說：“你只要走過這座橋再回來，你身上的錢就會(huì)增加一倍，但作為報(bào)酬，你每走一個(gè)來回要給我32個(gè)銅板．”財(cái)迷算了算挺合算，就同意了．他走過橋去又走回來，身上的錢果然增加了一倍，他很高興地給了老人32個(gè)銅板．這樣走完第五個(gè)來回，身上的最后32個(gè)銅板都給了老人，一個(gè)銅板也沒剩下．問：財(cái)迷身上原有多少個(gè)銅板？解：第五次后有：32÷2=16（個(gè)）；

第四次后有：（32+16）÷2=24（個(gè)）；

第三次后有：（32+24）÷2=28（個(gè)）；

第二次后有：（32+28）÷2=30（個(gè)）；

第一次原有：（32+30）÷2=31（個(gè)）；

答：財(cái)迷身上原有31個(gè)銅板．二、能力點(diǎn)評(píng)在分析應(yīng)用題的過程中，倒推法是一種常用的思考方法.這種方法是從所敘述應(yīng)用題或文字題的結(jié)果出發(fā)，利用已知條件一步一步倒著分析、推理，直到解決問題.學(xué)法升華知識(shí)收獲1、計(jì)算類的還原問題2、還原問題的應(yīng)用二、方法總結(jié)用倒推法解題時(shí)要注意：①從結(jié)果出發(fā)，逐步向前一步一步推理.②在向前推理的過程中，每一步運(yùn)算都是原來運(yùn)算的逆運(yùn)算.③列式時(shí)注意運(yùn)算順序，正確使用括號(hào).三、技巧提煉解決還原問題的關(guān)鍵是抓住最后得到的數(shù)量，從后先前進(jìn)行推理，根據(jù)加減乘除的逆運(yùn)算思維進(jìn)行解答課后作業(yè)1、美紅商店出售洗衣機(jī)，上午出售總數(shù)的一半多20臺(tái)，下午售出剩下的一半少20臺(tái)，結(jié)果還剩105臺(tái)，美紅商店原有多少臺(tái)洗衣機(jī)？解：[（105-20）×2+20]×2，

=[85×2+20]×2，

=190×2，

=380（臺(tái)），

答：這批洗衣機(jī)共有380臺(tái)．2、一次數(shù)學(xué)考試后，李軍問于昆數(shù)學(xué)考試得多少分.于昆說：“用我得的分?jǐn)?shù)減去8加上10，再除以7，最后乘以4，得56.”小朋友，你知道于昆得多少分嗎?【分析】這道題如果順推思考，比較麻煩，很難理出頭緒來.如果用倒推法進(jìn)行分析，就像剝卷心菜一樣層層深入，直到解決問題.如果把于昆的敘述過程編成一道文字題：一個(gè)數(shù)減去8，加上10，再除以7，乘以4，結(jié)果是56.求這個(gè)數(shù)是多少?把一個(gè)數(shù)用□來表示，根據(jù)題目已知條件可得到這樣的等式：解：{[(□-8)+10]÷7｝×4=56[(□-8)+10〕÷7=56÷4答：于昆這次數(shù)學(xué)考試成績是96分.3、馬小虎做一道整數(shù)減法題時(shí)，把減數(shù)個(gè)位上的1看成7，把減數(shù)十位上的7看成1，結(jié)果得出差是111.問正確答案應(yīng)是幾?解：111-(70—10)+(7—1)=57答：正確的答案是57.4、樹林中的三棵樹上共落著48只鳥.如果從第一棵樹上飛走8只落到第二棵樹上;從第二棵樹上飛走6只落到第三棵樹上，這時(shí)三棵樹上鳥的只數(shù)相等.問：原來每棵樹上各落多少只鳥?【分析】倒推時(shí)以“三棵樹上鳥的只數(shù)相等”入手分析，可得出現(xiàn)在每棵樹上鳥的只數(shù)48÷3=16(只).第三棵樹上現(xiàn)有的鳥16只是從第二棵樹上飛來的6只后得到的，所以第三棵樹上原落鳥16—6=10(只).同理，第二棵樹上原有鳥16+6—8=14(只).第一棵樹上原落鳥16+8=24(只)。5、三筐蘋果共重120斤，如果從第一筐中取出15斤放入第二筐，從第二中取出8斤放入第三筐，從第三筐中取出2斤放入第一筐，這時(shí)三筐蘋果的重量相等，問原來第二筐中有蘋果多少斤？解