3 2利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值

1．3.2利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值【問(wèn)題導(dǎo)思】

1．從遠(yuǎn)處看大山，一個(gè)個(gè)山頭此起彼伏，山峰與山谷彼此相鄰，如果這樣的美景在數(shù)學(xué)中可看作函數(shù)的圖象，那么一個(gè)個(gè)山峰和山谷又稱作什么呢？【提示】極大值和極小值．2．導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)一定是極值點(diǎn)嗎？【提示】

不一定．如f(x)＝x3，盡管f′(x)＝3x2＝0得出x＝0，但f(x)在R上是遞增的，不滿足在x＝0的左右兩側(cè)符號(hào)相反，故x＝0不是f(x)＝x3的極值點(diǎn)．極值點(diǎn)或極值概念名稱定義表示法極值極大值已知函數(shù)y＝f(x)及其定義域內(nèi)一點(diǎn)x0，如果對(duì)x0附近的所有點(diǎn)x，都有___________，則稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處取極大值記作：___________極值極小值已知函數(shù)y＝f(x)及其定義域內(nèi)一點(diǎn)x0，如果對(duì)x0附近的所有點(diǎn)x，都有___________，則稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處取極小值記作：__________極值點(diǎn)________________________統(tǒng)稱為極值點(diǎn)【問(wèn)題導(dǎo)思】

1．極大值一定比極小值大嗎？【提示】

極大值與極小值之間無(wú)確定的大小關(guān)系．在某一點(diǎn)的極小值也可能大于另一點(diǎn)的極大值．如圖所示．f(a)為極大值，f(d)為極小值，但f(a)<f(d)．2．函數(shù)的極值與單調(diào)性有什么聯(lián)系？【提示】

極值點(diǎn)兩側(cè)單調(diào)性必須相反，欲研究函數(shù)的極值，需先研究函數(shù)的單調(diào)性．求可導(dǎo)函數(shù)y＝f(x)的極值的步驟(1)求導(dǎo)數(shù)f′(x)；(2)求方程

的所有實(shí)數(shù)根；(3)考察在每個(gè)根x0附近，______________，導(dǎo)函數(shù)f′(x)的符號(hào)如何變化．f′(x)＝0從左到右【問(wèn)題導(dǎo)思】

如圖1－3－7所示為y＝f(x)，x∈[a，b]的圖象．1．結(jié)合圖象判斷，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上是否存在最大值，最小值？若存在，分別為多少？【提示】存在，f(x)min＝f(a)，f(x)max＝f(x3)．2．函數(shù)y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值一定是某極值嗎？【提示】

不一定，也可能是區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值．

3．怎樣確定函數(shù)f(x)在[a，b]上的最小值和最大值？【提示】

比較極值與區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，最大的是最大值，最小的是最小值．函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的最值假設(shè)函數(shù)y＝f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不間斷的曲線，則該函數(shù)在[a，b]一定能夠取得

和

，若函數(shù)在[a，b]內(nèi)是可導(dǎo)的，該函數(shù)的最值必在極值點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)取得．最大值最小值(2013·福建高考)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，x0(x0≠0)是f(x)的極大值點(diǎn)，以下結(jié)論一定正確的是(

)A．?x∈R，f(x)≤f(x0)B．－x0是f(－x)的極小值點(diǎn)C．－x0是－f(x)的極小值點(diǎn)D．－x0是－f(－x)的極小值點(diǎn)(1)若函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處取得極值10.則a＝________，b＝________．(2)函數(shù)f(x)＝x2＋aln(1＋x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，且x1<x2，則a的范圍是________．(1)(2014·北京高二檢測(cè))函數(shù)f(x)＝2x3－3x2＋a的極大值為6，那么a＝________．(2)若函數(shù)f(x)＝x3＋ax在R上有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．求下列各函數(shù)的最值：(1)f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3，2]；(2)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1，1]．1．涉及到不等式恒成立、不等式能成立的問(wèn)題時(shí)，一般需轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值來(lái)解決．若不等式中含參數(shù)，則可考慮分離參數(shù)，以求避免分類討論．2．不等式恒成立、能成立常見的轉(zhuǎn)化策略：①a＞f(x)恒成立?a＞f(x)max，a＜f(x)恒成立?a<f(x)min；②f(x)＞g(x)＋k恒成立?k＜[f(x)－g(x)]min；③f(x)＞g(x)恒成立?f(x)min＞g(x)max；④a＞f(x)能成立?a＞f(x)min，a＜f(x)能成立?a＜f(x)max.設(shè)函數(shù)f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t>0)．(1)求f(x)的最小值h(t)；(2)若h(t)<－2t＋m對(duì)t∈(0，2)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．分類討論思想在求函數(shù)極值中的應(yīng)用

(12分)已知函數(shù)f(x)＝x3＋mx2＋nx－2的圖象過(guò)點(diǎn)(－1，