一些有名的幾何定理

一些有名的幾何定理取材自維基百科-中文版.沒事的時候大家可以證著玩！答案在這里.阿基M德中點(diǎn)定理說明：圓上有兩點(diǎn)A,B，M為弧AB的中點(diǎn)，隨意選圓上的一點(diǎn)C，D為AC上的點(diǎn)使得MD垂直AC。若M、C在弦AB異側(cè)，則AD=DC+BC；若M、C在弦AB同側(cè)，則AD=DC-CB。b5E2RGbCAP婆羅摩笈多定理指出：若圓內(nèi)接四邊形的對角線相互垂直，則垂直于一邊且過對角線交點(diǎn)的直線將平分對邊。婆羅摩笈多是印度數(shù)學(xué)家。plEanqFDPw凡?奧貝爾定理＜vanAubel'stheorem）說明：給定一個四邊形，在其邊外側(cè)構(gòu)造一個正方形。將相對的正方形的中心連起，得出兩條線段。線段的長度相等且垂直。DXDiTa9E3d芬斯勒-哈德維格爾定理＜Finsler-HadwigerTheorem）說明：若兩個正方形ABCD和AB'C'D'擁有同一個頂點(diǎn)A。B'D的中點(diǎn)、BD'的中點(diǎn)、ABCD的中心和AB'C'D'的中心將組成一個正方形。RTCrpUDGiT莫雷角三分線定理＜Morley'stheorem）說明對所有的三角形，其三個內(nèi)角作角三分線，靠近公共邊三分線的三個交點(diǎn)，是一個等邊三角形。此定理由法蘭克?莫雷在1899年發(fā)現(xiàn)。對外角作外角三分線，也會有類似的性質(zhì)，可以再作出4個等邊三角形。5PCzVD7HxA此定理有趣的地方是我們沒辦法用尺規(guī)作圖作出其等邊三角形，因?yàn)橐呀?jīng)證明出尺規(guī)做圖無法做出三等分角。拿破侖定理，是拿破侖發(fā)現(xiàn)的平面幾何學(xué)定理：“以三角形各邊為邊分別向外側(cè)作等邊三角形，則他們的中心構(gòu)成一個等邊三角形?！痹摰冗吶切畏Q為拿破侖三角形。如果向內(nèi)作三角形，結(jié)論同樣成立。jLBHrnAILg同時拿破侖留下這樣的名言：''一個國家只有數(shù)學(xué)蓬勃發(fā)展，才能表現(xiàn)他的國力強(qiáng)大。——拿破侖泰博定理是法國幾何學(xué)家維克多?泰博〈VictorThebault，1882年-I960年〉）提出的平面幾何問題。xHAQX74J0X取平行四邊形的邊為正方形的邊，作四個正方形〈同時在平行四邊形內(nèi)或外皆可）。正方形的中心點(diǎn)所組成的四邊形為正方形?！创藶榉?奧貝爾定理的特例。）LDAYtRyKfE取正方形的兩條鄰邊為三角形的邊，作兩個等邊三角形〈同時在正方形內(nèi)或外皆可）。這兩個三角形不在正方形邊上的頂點(diǎn)，和正方形四個頂點(diǎn)中唯一一個不是三角形頂點(diǎn)的頂點(diǎn)，組成一等邊三角形。Zzz6ZB2Ltk給定任意三角形ABC，BC上任意一點(diǎn)M。作兩個圓形，均與AM、BC、外接圓相切。該兩圓的圓心和三角形內(nèi)切圓心共線?！磻?yīng)用：日本定理）dvzfvkwMI1第三題是最難的。1938年《美國數(shù)學(xué)月刊》曾刊出第三題，但直至1973年才為荷蘭數(shù)學(xué)家H.Streefkerk證出。2003年，Ayme發(fā)現(xiàn)早在1905年Y.Sawayama已解決這題。rqyn14ZNXI維維亞尼（Viviani＞定理說明：在等邊三角形內(nèi)任意一點(diǎn)P跟三邊的垂直距離之和，等于三角形的高。EmxvxOtOco這個定理可一般化為：等角多邊形內(nèi)任意一點(diǎn)P跟各邊的垂直距離之和，是不變的，跟該點(diǎn)的位置無關(guān)。它以溫琴佐?維維亞尼命名。西姆松定理說明：有三角形ABC，平面上有一點(diǎn)P。P在三角形三邊上的投影〈即由P到邊上的垂足）共線〈此線稱為西姆松線，Simsonline）當(dāng)且僅當(dāng)P在三角形的外接圓上。SixE2yXPq5相關(guān)的結(jié)果有：.稱三角形的垂心為H。西姆松線和PH的交點(diǎn)為線段PH的中點(diǎn)，且這點(diǎn)在九點(diǎn)圓上。.兩點(diǎn)的西姆松線的交角等于該兩點(diǎn)的圓周角。.若兩個三角形的外接圓相同，這外接圓上的一點(diǎn)P對應(yīng)兩者的西姆松線的交角，跟P的位置無關(guān)?？ㄖZ定理設(shè)ABC為三角形，O為其外心。則O到ABC各邊的距離之和為OOA+OOB+OOC=R+r，其中r為內(nèi)切圓半徑，R為外接圓半徑。這個定理叫做卡諾定理。塞瓦線段＜cevian）是各頂點(diǎn)與其對邊或?qū)呇娱L線上的一點(diǎn)連接而成的直線段。塞瓦定理指出：如果已」伙'的塞瓦線段AD、BE、CF通過同一點(diǎn)O，則6ewMyirQFL它的逆定理同樣成立：若D、E、F分別在的邊BC、CA、AB或其延長線上，且滿足

BDCEAF_7^Tm=，則直線AD、BE、CF共點(diǎn)或彼此平行〈于無限遠(yuǎn)處共點(diǎn)）。當(dāng)AD、BE、CF中的任意兩直線交于一點(diǎn)時，則三直線共點(diǎn)；當(dāng)AD、BE、CF中的任意兩直線平行時，則三直線平行。kavU42VRUs它最先由意大利數(shù)學(xué)家喬瓦尼?塞瓦證明。梅涅勞斯定理〈Menelaus'stheorem）是由古希臘數(shù)學(xué)家梅涅勞斯首先證明的。它指出：如果一直線與的邊BC、CA、AB分別交于L、M、N，則有:y6v3ALoS89ANBLCM .Ar.1/.! 一。它的逆定理也成立：若有三點(diǎn)L、M、N分別在已」你’的邊BC、CA、AB或其延長線上〈至少有一點(diǎn)在延長線上），且滿足M2ub6vSTnP則L、M、N三點(diǎn)共線。利用這個逆定理，可以判斷三點(diǎn)共線。case1.直線case1.直線LMN穿過三角形ABCcase2.直線LMN在三角形ABC外面0YujCfmUCw蝴蝶定理〈Butterflytheorem），是古典歐氏平面幾何的最精彩的結(jié)果之一。設(shè)M為圓內(nèi)弦PQ的中點(diǎn)，過M作弦AB和CD。設(shè)AD和BC各相交PQ于點(diǎn)X和Y，則M是XY的中點(diǎn)。密克定理三圓定理：設(shè)三個圓C1,C2,C3交于一點(diǎn)0，而M,N,P分別是C1和C2,C2和C3,C3和C1的另一交點(diǎn)。設(shè)A為C1的點(diǎn)，直線MA交C2于B，直線PA交C3于C。那么B,N,C這三點(diǎn)共線。eUts8ZQVRd逆定理：如果已」3。是三角形，M,N,P三點(diǎn)分別在邊AB,BC,CA上，那么三角形—UF, —史"上一，—LTF的外接圓交于一點(diǎn)O。sQsAEJkW5T完全四線形定理：如果ABCDEF是完全四線形，那么三角形E..UJ,廠3',「」」3,U3'的外接圓交于一點(diǎn)O,稱為密克點(diǎn)。GMsIasNXkA四圓定理：設(shè)C1,C2,C3,C4為四個圓，A1和B1是C1和C2的交點(diǎn)，A2和B2是C2和C3的交點(diǎn)，A3和B3是C3和C4的交點(diǎn)，A4和B4是C1和C4的交點(diǎn)。那么A1,A2,A3,A4四點(diǎn)共圓當(dāng)且僅當(dāng)B1,B2,B3,B4四點(diǎn)共圓。TIrRGchYzg五圓定理：設(shè)ABCDE為任意五邊形，五點(diǎn)F,G,H,I,J分別是EA和BC,AB和CD,BC和DE,CD和EA,DE和AB的交點(diǎn)，那么三角形.."」/3,"似'■,?."m 的外接圓的五個不在五邊形上的交點(diǎn)共圓，而且穿過這些交點(diǎn)的圓也穿過五個外接圓的圓心。7EqZcWLZNX逆定理：設(shè)C1,,C2,C3,C4,C5五個圓的圓心都在圓C上，相鄰的圓交于C上，那么把它們不在C上的交點(diǎn)與比鄰?fù)瑯拥狞c(diǎn)連起來，所成的五條直線相交于這五個圓上°lzq7IGf02E帕普斯定理設(shè)U，V，W，X，Y和Z為平面上六條直線。如