正態(tài)分布專題訓(xùn)練

正態(tài)分布專題訓(xùn)練一、知識梳理知識點(diǎn)一正態(tài)曲線與正態(tài)分布1_(x_］lJ21?我們稱fx)=^2n廠2。2,x￡R，其中"WR,o>0為參數(shù)，為正態(tài)密度函數(shù)，稱其圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線.若隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為fx),則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記為X?N(",02).特別地，當(dāng)"=0，0=1時，稱隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.若X?Ng02)，如圖所示，X取值不超過x的概率P(XWx)為圖中區(qū)域A的面積，而P(aWXWb)為區(qū)域B的面積.1A-0%JK0XPuhx知識點(diǎn)二正態(tài)曲線的特點(diǎn)對xWR,fx)>0,它的圖象在x軸的上方.2?曲線與x軸之間的面積為1.3.4.5.3.4.5.6.7.曲線是單峰的，它關(guān)于直線x=g對稱.曲線在x=g處達(dá)到峰值二注.當(dāng)|x|無限增大時，曲線無限接近x軸.當(dāng)O一定時，曲線的位置由“確定，曲線隨著“的變化而沿x軸平移，如圖①.當(dāng)“一定時，曲線的形狀由O確定，O較小時曲線“瘦高”表示隨機(jī)變量X的分布比較集中；O較大時，曲線“矮胖”，表示隨機(jī)變量X的分布比較分散，如圖②.知識點(diǎn)三正態(tài)總體在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值及3。原則P(g—oWXW”+o)~0.6827；P(g—2oWXW”+2o)~0.9545；P(g—3oWXW”+3o)~0.9973.盡管正態(tài)變量的取值范圍是(—-,+-),但在一次試驗中，X的取值幾乎總是落在區(qū)間［"—3o,〃+3o］內(nèi)，而在此區(qū)間以外取值的概率大約只有0.0027,通常認(rèn)為這種情況在一次試驗中幾乎不可能發(fā)生.在實際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布N(“，02)的隨機(jī)變量X只?。?—3o,〃+3o］中的值，這在統(tǒng)計學(xué)中稱為3。原則.二、題型歸納考點(diǎn)一：正態(tài)分布曲線【例1】下列是關(guān)于正態(tài)曲線f（x）=（xGR）性質(zhì)的說法:曲線關(guān)于直線x二卩對稱，且恒位于x軸上方；曲線關(guān)于直線x二b對稱，且僅當(dāng)xg［-3q,3b］時才位于x軸上方；曲線對應(yīng)的正態(tài)密度函數(shù)是一個偶函數(shù)，因此曲線關(guān)于y軸對稱;曲線在x二卩處位于最高點(diǎn)，由這一點(diǎn)向左、右兩邊延伸時，曲線逐漸降低；曲線的位置由卩確定，曲線的形狀由6確定.TOC\o"1-5"\h\z其中說法正確的是（）①④⑤B.②④⑤C.③④⑤D.①⑤【考點(diǎn)精練】（多選）甲、乙兩類水果的質(zhì)量（單位：kg）分別服從正態(tài)分布N（卩,b2），N（卩Q2）,，其正態(tài)分布1122的密度曲線f（x）=「e-（2嚴(yán)，xGR，如圖所示，則下列說法正確的是（）2nbL甲1.99~01———3040.8①甲類水果的平均質(zhì)量卩］二0.4kg乙類水果的質(zhì)量比甲類水果的質(zhì)量更集中于均值左右甲類水果的平均質(zhì)量比乙類水果的平均質(zhì)量小乙類水果的質(zhì)量服從的正態(tài)分布的參數(shù)b2二1.99（多選）設(shè)X?N（u,b2），Y?N（u,b2），這兩個正態(tài)分布密度曲線如圖所示.下列結(jié)論中錯誤的112221P(XW。)WP(XW。)21對任意正數(shù)t,P(XWt)〉P(YWt)

對任意正數(shù)t,P（X〉t）〉P（Y〉t）（多選）下面給出的關(guān)于正態(tài)曲線的4個敘述中，正確的有（）曲線在x軸上方，且與x軸不相交當(dāng)X〉卩時，曲線下降，當(dāng)x〈卩時，曲線上升當(dāng)卩一定時，。越小，總體分布越分散，。越大，總體分布越集中曲線關(guān)于直線x=u對稱，且當(dāng)x=u時，位于最高點(diǎn)（多選）一次教學(xué)質(zhì)量檢測中，甲、乙、丙三科考試成績的正態(tài)分布密度曲線如圖所示，下列說法中不甲科總體的標(biāo)準(zhǔn)差最小丙科總體的平均數(shù)最小乙科總體的標(biāo)準(zhǔn)差及平均數(shù)都比甲小，比丙大甲、乙、丙總體的平均數(shù)不相同考點(diǎn)二：正態(tài)分布（小題）【例2-1】若隨機(jī)變量X?N（3q2）,且P（X>5）=0.2，則P（1<X<5）等于（）A.0.6B.0.5A.0.6B.0.5C.0.4D.0.3xe（-a,+a），則參數(shù)卩，b的值分【例2-2xe（-a,+a），則參數(shù)卩，b的值分別是（）A.卩=3，b=2B.卩=-3，b=2C.卩=3，【考點(diǎn)精練】1.若隨機(jī)變量X?N（3,b2）,且P（X>5）=0.2，則P（l<X<5）=（A.0.6B.0.5C.0.4D.0.3某軍工企業(yè)為某種型號的新式步槍生產(chǎn)了一批槍管，其口徑誤差（單位：微米）服從正態(tài)分布N（1,32）,從已經(jīng)生產(chǎn)出的槍管中隨機(jī)取出一只，則其口徑誤差在區(qū)間［4,7］內(nèi)的概率為（）（注：若隨機(jī)變量E服從正態(tài)分布N（y,b2）,則P（卩—b<g<卩+b）u68.3%，P(卩-2b<g<卩+2b)u95.4%)A.31.7%B.27.18%C.13.A.31.7%B.27.18%C.13.55%D.4.5%在某市2020年3月份的高三線上質(zhì)量檢測考試中，學(xué)生的數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布N（98,100）.已知參加本次考試的全市學(xué)生有9455人，如果某學(xué)生在這次考試中的數(shù)學(xué)成績是108分，那么他的數(shù)學(xué)成績大TOC\o"1-5"\h\z約排在全市第()A.1500名B.1700名C.4500名D.8000名4.隨機(jī)變量匕服從正態(tài)分布N(l,4)，若P(2<g<3)=a，則P(￡<-1)+P(1<￡<2)=()111A.B.——aC?a+0.003aD?—a222考點(diǎn)三：正態(tài)分布的應(yīng)用(解答題)【例3】哈爾濱市香坊區(qū)為了了解全區(qū)1萬名學(xué)生的漢字書寫水平，在全區(qū)范圍內(nèi)進(jìn)行了漢字聽寫考試，發(fā)現(xiàn)其成績服從正態(tài)分布N(76,49)，現(xiàn)從某校隨機(jī)抽取了50名學(xué)生，將所得成績整理后，繪制如圖所示的頻率分布直方圖.估算該校50名學(xué)生成績的平均數(shù)X(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)求這50名學(xué)生成績在［80,100］的人數(shù)；現(xiàn)從該校50名考生成績在［80,100］的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩人，該兩人成績排名(從高到低)在全區(qū)前228名的人數(shù)記為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考數(shù)據(jù)：X?N(pq)，貝yP(^—g<X<p+G)二0.6826，P(p—2a<X<卩+2a)?0.9544，P(p—3a<X<p+3a)u0.9974【考點(diǎn)精練】1?某市在實施垃圾分類的過程中，從本市人口數(shù)量在兩萬人左右的A類社區(qū)(全市共320個)中隨機(jī)抽取了50個進(jìn)行調(diào)查，統(tǒng)計這50個社區(qū)某天產(chǎn)生的垃圾量(單位：噸)，得到如下頻數(shù)分布表，并將這一天垃圾數(shù)量超過8噸的社區(qū)定為“超標(biāo)”社區(qū).垃圾量112.5,15.5)115.5,18.5)118.5,21.5)[21.5,24.5)[24.5,27.5)^7.5,30.5)[30.5,33.5)頻數(shù)56912867估計該市A類社區(qū)這一天垃圾量的平均值X.若該市A類社區(qū)這一天的垃圾量大致服從正態(tài)分布N(R,27.04)，其中卩近似為50個樣本社區(qū)的平均值X(精確到0.1噸，估計該市A類社區(qū)中“超標(biāo)”社區(qū)的個數(shù).根據(jù)原始樣本數(shù)據(jù)，在抽取的50個社區(qū)中，這一天共有8個“超標(biāo)”社區(qū)，市政府決定從這8個“超標(biāo)”社區(qū)中任選5個跟蹤調(diào)查其垃圾來源.設(shè)這一天垃圾量不小于30.5噸的社區(qū)個數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望附：若X服從正態(tài)分布N(PQ2),則P(卩—a<X<p+a)u0.6827，P(卩-2a<X<卩+2a)u0.9545，P(卩-3a<X<卩+3a)u0.9973.

某學(xué)校工會積極組織該校教職工參與“日行萬步”活動界定日行步數(shù)不足4千步的人為“不健康生活方式者”，不少于10千步的人為“超健康生活方式者”，其他為“一般生活方式者”?某日，學(xué)校工會隨機(jī)抽取了該校400名教職工，統(tǒng)計他們的日行步數(shù)，按步數(shù)分組，得到頻率分布直方圖如圖所示f頻率藺1距022怡怡)5m02h!■kiF丄-ioooou0246810n14（1）求400名教職工日行步數(shù)（千步）的樣本平均數(shù)（結(jié)果四舍五入保留整數(shù)）.（2）由頻率分布直方圖可以認(rèn)為該校教職工的日行步數(shù)E（千步）服從正態(tài)分布N（pQ2），其中卩為樣本平均數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差b的近似值為2.5，求該校被抽取的400名教職工中日行步數(shù)（千步）E丘（2,4.5）的人數(shù)（結(jié)果四舍五入保留整數(shù)）.（3）用樣本估計總體，將頻率視為概率.若工會從該校教職工中隨機(jī)抽取2人作為“日行萬步”活動的慰問獎勵對象，規(guī)定：“不健康生活方式者”給予精神鼓勵，獎勵金額每人0元；“一般生活方式者”獎勵金額每人100元；“超健康生活方式者”獎勵金額每人200元.求工會慰問獎勵金額X的分布列和數(shù)學(xué)期望.附:若隨機(jī)變量E服從正態(tài)分布N（PQ2）,則PS—b<g<y+b)u0.6827，P(卩-2o<g<+2o)q0.9545“公平正義”是社會主義和諧社會的重要特征，是社會主義法治的價值追求考試作為一種公平公正選拔人才的有效途徑，正被廣泛采用?某單位準(zhǔn)備通過考試（按照高分優(yōu)先錄取的原則）錄用298名職員，其中275個高薪職位和23個普薪職位.實際報名人數(shù)為2000名，考試滿分為400分.本次招聘考試的成績服從正態(tài)分布?考試后考生成績的部分統(tǒng)計結(jié)果如下：考試平均成績是180分，360分及其以上的高分考生有30名.（1）求最低錄取分?jǐn)?shù)（結(jié)果保留整數(shù)）；（2）考生甲的成績?yōu)?86分，若甲被錄取，能否獲得高薪職位？請說明理由.參考資料：①當(dāng)X?N（y,b2）時，令y=X—^，則Y?N（0,1）?②當(dāng)Y?N（0,1）時，P（Y<2.17人0.985，bP（Y<1.28）u0.900，P（Y<1.09）u0.862，P（Y<1.04）u0.851.2021年遼寧、廣東、河北、湖北、湖南、江蘇、福建、重慶等八省市將全部采用“3+1+2”的新高考模式.“3”指的是語文、數(shù)學(xué)、外語，這三門科目考試參加統(tǒng)一高考，由教育部考試中心統(tǒng)一命題，以原始成績計入考生總成績；“1”指的是物理和歷史中的一科，考生必須從物理和歷史兩個科目中選擇一科，由各省自主命題，以原始成績計入考生總成績.為了讓考生更好的適應(yīng)新高考模式，某省幾個地市進(jìn)行了統(tǒng)一的高考適應(yīng)性考試.在所有入考考生中有30000人選考物理，考后物理成績X（滿分100分）服從正態(tài)分布N(55,102).分別估計成績在［45,65］和75分以上者的人數(shù)；(運(yùn)算過程中精確到0.0001，最后結(jié)果保留為整數(shù))附1：P(y-o<X5+0)a0.6827，P(卩―2a<X“+2q)=0.9545，P(卩―3a<X"+3q)=0.9973.X—u本次考試物理成績X服從正態(tài)分布N(u,o2).令耳二，貝⑷?N(0,1)，若本次考試物理成績的前o25%劃定為優(yōu)秀等級，試估計物理優(yōu)秀等級劃線分大約為多少分？附2：若耳?N(0,1)，則P(H<0.8)a0.75.2021年3月24日，某些國際服裝企業(yè)因抵制新疆棉花聲明在中國互聯(lián)網(wǎng)上引發(fā)熱議對此，中國外交部發(fā)言人25日表示，中國光明磊落，中國人民友善開放，但中國民意不可欺、不可違某記者隨機(jī)采訪了100名群眾，調(diào)查群眾對此事件的看法，根據(jù)統(tǒng)計，抽取的100名群眾的年齡頻率分布直方圖如圖所示.求這100名受訪群眾年齡的平均數(shù)X(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值代