高中數(shù)學(xué)立體幾何與空間向量真題(解析版)

高中數(shù)學(xué)專題16立體幾何與空間向量真題1.如圖，正方體--S13-5-5.-的一個截面經(jīng)過頂點A,C及棱EF上一點K且將正方體分成體積比為3：1的兩部分，則U的值為.【答案】芒【解析】曲二二截面與FG交于J.=^ABdP十妝北邛+^ASJC=：+：花丄==解得"芋"予舍去）2—5—2—5—L!>/a-i2.設(shè)點P到平面二的距離為3,點Q在平面二上，使得直線PQ與二所成角不小于30°且不大于60°,則這樣的點Q所構(gòu)成的區(qū)域的面積為.【答案】⑺【解析】設(shè)點P在平面二上的射影為O?由條件知，壬仁'y即OQW[1,3]，故所求的區(qū)域面積為丁丁-廠二".3?在正三棱錐上：中，二二…/二二過AB的平面二將其體積平分.則棱二與平面二所成角的余弦值為【答案】3：【答案】3：岳1D【解析】設(shè)??■「的中點分別為L?叮，則易證平面ABM即為平面憶由平行四邊形的性質(zhì)知UH二-二心，所以丄叮二-JC:.：-2?C:,,<5KM=^JAM--AK"=—又直線PC在平面「「上的射影為直線MK,由得KM2■+KM2■+MC2-KC22KM■MCcos^lKMC因此，棱PC與平面憶所成角的余弦值為j故答案為:3^5故答案為:3^51D4.設(shè)P為一圓錐的頂點，A、B、C為其底面圓周上的三點，滿足ZABC=90°,M為AP的中點.若AB=1,AC=2,AP=J^，貝二面角M-BC-A的大小為【解析】由厶4乳二「二知AC為底面圓的直徑?如圖所示，設(shè)底面中心為0.P-—iJ-—iJII于是，平面ABC.故應(yīng)。二2蟲芒二1n戶。二-JAP--AO2二'1.設(shè)H為M在底面上的射影.則H為A0的中點.在底面中作H覚于點K.由三垂線定理知.從而，二炸三為二面角M-BC-A的平面角.由打m二肪二二，結(jié)合壬［一百得:蘭二二二懣二三二公s二三故二面角M-BC-A的大小為覚二二二5?四棱錐P-ABCD中，已知側(cè)面是邊長為1的正三角形，M、N分別為邊AB、BC的中點?則異面直線MN與PC之間的距離為.【答案】F【解析】如圖，設(shè)底面對角線AC與BD交于點0,過點C作直線MN的垂線，與MN交于點H.由于P0為底面的垂線，故P0丄CH?又AC丄CH,于是，CH與平面P0C垂直?從而，CH丄PC.因此，CH為直線MN與PC的公垂線段.注意到，葉二丁=亍故異面直線MN與PC之間的距離為亍.6.已知正三棱錐P—人月亡底面邊長為1,高為則其內(nèi)切球半徑為.【答案】F【解析】如圖，設(shè)球心°在平面沈與平面4貯內(nèi)的射影分別為乩-丫，邊-再的中點為.'叮，內(nèi)切球半徑為二則m、耳分別三點共線，，卅】=汀注=三，且OH=OK=rtPO=PH-OH==—AB==叔H7F護=|二+2=—.E7?設(shè)同底的兩個正三棱錐?---3■:--J.內(nèi)接于同一個球.若正三棱錐--.--3■:的側(cè)面與底面所成的角為451則正三棱錐Q-磁的側(cè)面與底面所成角的正切值是.【答案】4【解析】如圖6,聯(lián)結(jié)胚.則PQ_平歸旦，垂足耳為正3一￡1的中心，且胚過球心C.R6聯(lián)結(jié)嘿并延長與砧交于點*則君為邊W的中點，且匚叮—乜.易知，厶丁叮土二門啓分別為正三棱錐正三棱錐—宜的側(cè)面與底面所成二面角的平面角.則"MH=4ZPH=MH=討耳.由丄K二NJaH-迭二防n山護二弘冃-QHnQH二1AH二4麗甘.故t初乂網(wǎng)甘二生二4.8.在四面體AECD中，已知MDE二二上⑦』二自0為AD—BD-3?CD-2.則四面體FECD的外接球的半徑為.【答案】“土【解析】易知,m為正三角形，且CA=CB.

如圖，設(shè)P、M分別為AB、CD的中點，聯(lián)結(jié)PD、PC.則平面一牯&—平面PDC.設(shè)丄4器的外心為N,四面體ABCD的外接球的球心為0.則0皿丄CDrON丄PD.可求得心竺:P=二.—由題意知、丘.二在中,由余弦定理得=:于一=2==仁又因為D、M、O、N四點在以DO為直徑的圓上sinZCDP故外接球的體積「二亍仝》=9.已知正三棱柱-一三-二_三二的9條棱長都相等，F(xiàn)是邊二_的中點，二面角則.【答案】于【解析】解法1如圖，以砧所在直線為〔軸、線段砧的中點為&原點、&廠所在直線為■?軸建立空間直角坐標(biāo)系.

Goy4.Bsina-—設(shè)正三棱柱的棱長為2.貝歸、-.；』□'八-T'_故甄二廠21=茅二□二-丄門：尹二：--.^J.--'.設(shè)分別與平面？丄』、平面乞垂直的向量為T二二所以，Goy4.Bsina-—設(shè)正三棱柱的棱長為2.貝歸、-.；』□'八-T'_故甄二廠21=茅二□二-丄門：尹二：--.^J.--'.設(shè)分別與平面？丄』、平面乞垂直的向量為T二二所以，.T1：=.T::lGSCl卩、..E='-.2X2“沁=lCSCl=—.因此,解法2設(shè)丸E與G交于點。.則兀-平面店殳-L-.又丄_.-i5._,貝y■>￡._—平面P心.過點°在平面"一二上作'"--丄_-°,垂足為匚，聯(lián)結(jié)=_匚.則三□-匚''為二面角“1-4-_*-亠的平面角.設(shè)丄丄_二二易求得?5=?-4._=X5；AC-牡二yG二在史」"疋中，丄_&又5.C=?-.［，則M「F5則二一「匚二二匚e二三乂二—?。憾巍n?BP-—工丄+V3yi■+zL=0：111?bap-—工士*V3y3-z2=9.由此可設(shè)f=二匚：.；』：：=」：??.「.如圖.？'-="--_*P-4?一—故曲“血嗎加二器二乎1.四面體P-ABC,==晶芒^=宜世二屈!PC=AB=彳帀,則該四面體外接球的半徑為【答案】'飛【解析】將四面體還原到一個長方體中，設(shè)該長方體的長、寬、高分別為a,b,c,c2+b2=1-0則護十N二呂斗代+畀+*=12,所以四面體外接球的半徑為a24r2=62?四面體ABCD中，有一條棱長為3,其余五條棱長皆為2,則其外接球的半徑為.【答案】【解析】解:設(shè)BC=3,AB=AC=AD=BD=CD=2,E,F分別是BC,AD的中點，D在面ABC上的射影H應(yīng)是△ABC的外心，由于DH上的任一點到A,B,C等距，則外接球心0在DH上，因三工;覚,所以AE=DE，于是ED為AD的中垂線是，顒球心0是DH,EF的交點，且是等腰AEAD的垂心，記球半徑為「由厶DOF?△EAF,得二壬".而-U—-匚一￡=_￡二=一心―丄二=二,所以而-U—-匚一￡=_￡二=一心―丄二=二,所以r=3.如圖，在四棱錐P-ABCD中，P4丄平面ABCD,底面ABCD為正方形，PA=AB,E.F分別為PD、BC的中點，則二面角E-FD-A的正切值為.【答案】—【解析】如圖，作EH丄AD于H,連HF.由PA丄面ABCD,知PA丄AD,EH〃PA,EH丄ABCD.作HG丄DF于G,連EG,貝VEG丄FD,ZEGH為二面角E_FD_A的平面角.^ABCD為正方形，E、F分別為PD、BC的中點，:.H為AD中點，F(xiàn)H丄AD.設(shè)PA=AB=2，貝=-,FH=2,HD=4,.面角E-FD-A的正切值為144.已知正四面體內(nèi)切球的半徑是1,則該正四面體的體積為【答案】正了【解析】設(shè)正四面體的棱長為門.則該正四面體的體積為汽亍u：從亍,全面積為寸JX匚，所以才址F乂圧乂】乂：二?XF次丁X￡■?；，解得〔二從而正四面體的體積為故答案為：A-心5?正方體AC】棱長是1,點E、F是線段DD],BC】上的動點，則三棱錐E—AA】F體積為【答案】【解析】因為F是BC1上的動點，所以在正方體中有弓「面也3,利用等體積轉(zhuǎn)化有=^F-AAr￡=1越-￡￡1占=占總鼻1占頂點為P的圓錐的軸截面是等腰直角三角形，A是底面圓周上的點，B是底面圓內(nèi)的點，O為底面圓圓心，AB丄OB,垂足為B,OH丄HB,垂足為H,且PA=4,C為PA的中點，則當(dāng)三棱錐O-HPC的體積最大時，OB的長為.【解析】法一：AB丄OB,=PB丄AB^AB丄面POB,=面PAB丄面POB.OH丄PB,=OH丄面PAB,=OH丄HC,OH丄PC,又，PC丄OC,=PC丄面OCH.=PC是三棱錐P-OCH的高.PC=OC=2.而AOCH的面積在石三=Hl=：時取得最大值（斜邊=2的直角三角形）.當(dāng)卅二、-.2時，由池八、二,知zOPB=30°,0E=POtan30:=—法二：由C為PA中點，故而'■:--rrz-：■:■-rc-：=T7=77^戶‘-="?二，.記？C=C-.-1=2-,2=P.j二tGE=u貝卩;2三=二齊7二um=十耳七二-丄憶,sinZa1TOC\o"1-5"\h\z.人—9in2n甲_zcngSii[￡+-r口_口/曰二_13-|-[?092￡[??.令，得m'3-|-[?092￡[=>cosa-—OF-—匸'5：故答案為：寧如圖，在正三棱柱-一_二；中，AB=2,二_二二〉了，D、F分別是棱AB、的中點，E為棱AC上的動點，則△DEF周長的最小值為.

ClCl【答案】—2【解析】由正三棱錐--牯［可得丄丸—底面ABC,所以丄丄_—AB,-丄丄_—AC.在Rt^ADF中，?如圖①，把底面ABC與側(cè)面忙匚-L_在同一個平面內(nèi)展開，展開圖中只有當(dāng)D、E、F三點在同一條直線上時，DE+EF取得最小值.如圖②，在AADF中，工4扌二貯-沱二TT,由余弦定理可得?所以ADEF周長的最小值為、了-二B圖①B圖①在邊長為1的長方體.-三二-d：二內(nèi)部有一小球，該小球與正方體的對角線段-二相切，貝9小球半徑的最大值=?i—v'E【答案】【解析】當(dāng)半徑最大時，小球與正方體的三個面相切.不妨設(shè)小球與過點二的三個面相切.以二為原點，mh二匸分別為X、y、z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)A（0,1,1），匚（1,0，0），小球圓心P（r，r，r），則P至卜匚_的距離U=亍_二'一="'.故答案為:正方體毗D沖，e為AB的中點,F為血的中點.異面直線EF與肚丄所成角的余弦值是【答案】二【解析】設(shè)正方體棱長為1，以DA為x軸，DC為y軸，二二為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則皿q故有二=二.所以加擄二寺盞二故答案為：--在半徑為R的球內(nèi)作內(nèi)接圓柱，則內(nèi)接圓柱全面積的最大值【答案】智二一'?.壬【解析】設(shè)內(nèi)接圓柱底面半徑為址二〔:,則高位匚比，那么全面積為二口］-XIRCCSC=2兀苦（"】1%*sin2a）=go-sIx-^2sui2,a）=+阪in（2a-弔）］＜Tifi3（1+VS］.其中n芒=二，等號成立的條件是匸二￡--.丄丄故最大值為豐―'壬.故答案為:冷、:_一''壬已知空間四點二三二滿足二三一二丁-二一二二一-二，且-二=一「=-二:=--；是三棱錐二-m的外接球上的一個動點，則點Q到平面円口?的最大距離是【答案】【答案】【解析】將三棱錐」-云二^補全為正方體，則兩者的外接球相同.球心就是正方體的中心，記為°,半徑為正方體對角線的一半，即為1.在正方體里，可求得點匚到平面覚二的距離為貝y點$到平面覚二的最大距離是」—寸二寧.在正四核錐一曲仞中，已知二面角上-SE-D的正弦值火，則異面直線期與毗所成的角為.【答案】匚■丁【解析】如圖，設(shè)Q范的交點為在％上的射影為匚則竝一淀.A又因為疋—面労二，因此疋—百，所以茁—面aEC，貝則疋_百.因此3弐即為二面角H-燈-二的平面角，從而口工=77=y.設(shè)再二i；』^.4二?，貝貝匚二〒成.Xi在_J去中，「檻二二圧二孔嚴(yán)一三由此得■，因此，，解得I：二■■.上4：三；=Er從而四棱錐各側(cè)面均為正三角形，則異面直線Ft與孑［所成的角為半徑分別為6、6、6、7的四個球兩兩外切?它們都內(nèi)切于一個大球，則大球的半徑【答案】14【解析】設(shè)四個球的球心分別為A、B、C、D,則AB=BC=CA=12,DA=DB=DC=13,即A、B、C、D兩兩連結(jié)可構(gòu)成正三棱錐.設(shè)待求的球心為X,半徑為r.,則由對稱性可知DX—平面ABC.也就是說，X在平面ABC上的射影是正三角形ABC的中心O.易知0A=4^?OD=yDA^-OA^二11.設(shè)OX=x,貝貝工=C-X:一匕丄=、-.■：'：-由于球A內(nèi)切于球X,所以AX=r-6即一止=「一&①又DX=OD-OX=ll-x,且由球D內(nèi)切于球X可知DX=r-7于是---T二丁一?②從①②兩式可解得7=4,?'=14即大球的半徑為14.故答案為：14一個棱長為6的正四面體紙盒內(nèi)放一個小正四面體，若小正四面體可以在紙盒內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，則小正四面體棱長的最大值為.【答案】2【解析】因為小正四面體可以在紙盒內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，所