高中數(shù)學(xué)第24講任意三角函數(shù)同角公式與誘導(dǎo)課件新人教版必修

(必修4)第一章三角函數(shù)第24講任意角的三角函數(shù)、同角公式與誘導(dǎo)公式知識體系1.了解任意角與弧度制的概念，能進行弧度與角度的互化.2.理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義.3.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin2x+cos2x=1，=tanx.4.能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式.5.能靈活應(yīng)用同角公式、誘導(dǎo)公式進行簡單三角函數(shù)的化簡、求值、證明.1.下列說法正確的是()BA.若α的終邊在第一象限，則α可以是正角、負角或零角B.6×360°+α（α為角度）與-6π+α(α為弧度)的終邊相同,但大小不相等C.一條弦的長度等于半徑，則這條弦所對的圓心角的弧度數(shù)為D.若β為第二象限角,則2nπ+<<2nπ+，n∈Z2p

選項A中零角一定為坐標軸上角，故錯；由終邊相同概念和角度與弧度互化知，B正確；選項C中弧度數(shù)還可能為；D中由第二象限角范圍得nπ+<<nπ+，n∈Z，故錯.2p2.若角α的終邊經(jīng)過點P（3a,-4a)(a<0)，則sinα的值為()DA.-B.C.-D.

P(3a,-4a)（a<0)，則x=3a，y=-4a，則|OP|=5|a|=-5a，故sinα==.3.

已知x為第二象限角，且tan2x+3tanx-4=0，則=

.tan2x+3tanx-4=0，則tanx=-4或tanx=1（舍去）.由同角公式得

==.=-+原式=tan(360°-60°)+=-tan60°+=.4.tan300°+的值為

.5.化簡：若α為第二象限角，則-=

.-2tanα

原式====-2tanα.1.角的概念的推廣(1)任意角、正角、負零和零角.(2)象限角、軸線角.(3)終邊相同的角:可以用①

.表示.k·360°+α(k∈Z)或k·2π+α(k∈Z)2.任意角的三角函數(shù)P（x,y）為角α終邊上一點，|OP|=r，則sinα=②

，cosα=③

，tanα=④

（x≠0）.3.同角三角函數(shù)關(guān)系式平方關(guān)系：sin2α+cos2α=⑤

.商數(shù)關(guān)系：tanα=⑥

.14.誘導(dǎo)公式(1)2kπ+α,-α,π±α的三角函數(shù)值等于α的⑦

函數(shù)值,前面加上把角α看成⑧

時⑨

的符號.即“名稱不變,符號看象限”.(2)±α的三角函數(shù)值等于α的

.函數(shù)值，前面加上把α看成

.

時

.的符號.即“名稱要變，符號看象限”.(3)k·±α（k∈Z）的三角函數(shù)值，可概括為：“奇變偶不變，符號看象限”.同名銳角原函數(shù)值10余名11銳角12原函數(shù)值題型一角的相關(guān)概念及角的度量互化例1

(1)集合M={x|x=×180°+45°,k∈Z},N={x|x=×180°+45°,k∈Z},則集合M與N的關(guān)系為

；MN(2)把-1305°化為2kπ+α(0≤α<2π,k∈Z)的形式是()A.-7π-

B.-6π-C.-8π+

D.-9π+C(1)先變形，再對整數(shù)k的奇、偶展開討論，找到角終邊的具體位置，用數(shù)形結(jié)合法求解；(2)先把角度化成弧度，再寫成2kπ+α的形式，滿足α、k的限制條件.

(1)因為M={x|x=(2k+1)×45°，k∈Z}表示終邊落在四個象限的平分線上的角的集合.同理N={x|x=(k+1)×45°，k∈Z}表示終邊落在坐標軸或四個象限的平分線上的角的集合，所以M

N.(2)因為1305°=1305×=π=7π+,所以-1305°=-7π-

=-8π+(π-)=-8π+.此時k=-4,α=，故選C.

探尋以集合形式表示的終邊相同的角的關(guān)系時，對整數(shù)k的討論最關(guān)鍵；若題中給出了(m為已知整數(shù)，k∈Z)，常分k=mk′，mk′+1，mk′+2，…，mk′+(m-1)(k′∈Z)完全討論，角度與弧度的互化，除滿足限制條件外，還需注意結(jié)果的純潔性：角度、弧度要“分家”.題型二三角函數(shù)的化簡、求值例2

已知cosα=-，且<α<π，求的值.

從cosα=-中可推知sinα，tanα的值，再用誘導(dǎo)公式即可求值.因為cosα=-，且<α<π，所以sinα=，tanα=-,所以原式==-tanα=.(1)應(yīng)用誘導(dǎo)公式進行三角函數(shù)的化簡，重點是“函數(shù)名稱”與“正負號”的正確判斷，一般常用“奇變偶不變，符號看象限”的口訣，解題思路是“化負角為正角，化復(fù)雜角為簡單角，化非銳角為銳角”，即“去負→脫周→化銳”三步.(2)掌握常用的勾股數(shù)組“3，4，5”，“5，12，13”，“7，24，25”，“8，15，17”，“9，40，41”，快速給值求值.題型三三角關(guān)系式的應(yīng)用

已知sin(π-θ)，cosθ是方程3x2-x+m=0的兩個根，且<θ<π.(1)求m與sinθ-cosθ的值；(2)若f(tanα)=3sin2α-2sinαcosα-3，求f(cosθ-sinθ)的值.例3

（1）由根與系數(shù)的關(guān)系得sinθ+cosθ，sinθ·cosθ的值，再根據(jù)“sinθ+cosθ，sinθ·cosθ,sinθ-cosθ”中“知一求二，知二求參”，配上公式正確求值.（2）先求出f(x)的表達式，再代值求值.

（1）依題意sin(π-θ)+cosθ=sin(π-θ)·cosθ=，即sinθ+cosθ=①sinθ·cosθ=,②由①2-2×②=1,得()2-2×=1,解得m=-.又因為<θ<π,sinθ>0,cosθ<0,sinθ-cosθ>0,所以sinθ-cosθ===.(2)因為f(tanα)=3sin2α-2sinαcosα-3=-3=-3.所以f(cosθ-sinθ)=f(-)=-3=-.(1)在“sinθ+cosθ,sinθ·cosθ,sinθ-cosθ”中“知一求二”,宜用整體思想,利用平方轉(zhuǎn)換,常用結(jié)論為：

(sinθ±cosθ)2=1±2sinθcosθ，

(sinθ+cosθ)2+(sinθ-cosθ)2=2；

(sinθ+cosθ)2-(sinθ-cosθ)2=4sinθcosθ.(2)型如通過分子分母同除以cosα,弦化切、異名化同名；

asin2α+bsinαcosα+ccos2α通過添分母(sin2α+cos2α),再分子、分母同除以cos2α，化弦為切、統(tǒng)一函數(shù)名.1.在求值與化簡時，常用的方法有：①弦切互化，主要公式為