因式分解經(jīng)典講義(精)

~第二章分解因式【知識(shí)要點(diǎn)】1．分解因式（1）概念：把一個(gè)________化成幾個(gè)___________的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式。（2）注意：①分解因式的實(shí)質(zhì)是一種恒等變形，但并非所有的整式都能因式分解。②分解因式的結(jié)果中，每個(gè)因式必須是整式。③分解因式要分解到不能再分解為止。2．分解因式與整式乘法的關(guān)系整式乘法是____________________________________________________；分解因式是____________________________________________________；所以，分解因式和整式乘法為_(kāi)______關(guān)系。3．提公因式法分解因式（1）公因式：幾個(gè)多項(xiàng)式__________的因式。（2）步驟：①先確定__________，②后__________________。（3）注意：①當(dāng)多項(xiàng)式的某項(xiàng)和公因式相同時(shí)，提公因式后該項(xiàng)變?yōu)?。②當(dāng)多項(xiàng)式的第一項(xiàng)的系數(shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，通常先提出“”號(hào)。4．運(yùn)用公式法分解因式（1）平方差公式：（2）完全平方公式：__________________________________________________注：分解因式還有諸如十字相乘法、分組分解法等基本方法，做為補(bǔ)充講解內(nèi)容。【考點(diǎn)分析】考點(diǎn)一：利用提公因式法分解因式及其應(yīng)用【例1】分解因式：4m16m226m2x(yz)3(yz)（2）（1）3（3）x(xy)(xy)x(xy)2（4）(3a4b)(7a8b)(11a12b)(7a8b)~~~~2m；（2）題yz的公因式為；解析：（1）題先提一個(gè)“”號(hào)，再提公因式的公因式為x(xy)；（4）題的公因式為7a8b。（3）題1）2m(2m28m13)；（2）(yz)(2x3)；答案：（2xy(xy)（3）；2(7a8b)（4）2?！纠?】（1）已知xy5，xy6，求2x2y2xy2的值。（2）已知ba6，ab7，求a2bab2的值。2xy2xy22xy(xy)，所以考慮整體代入求該代數(shù)式的值；解析：（1）題：2abab2ab(ab)，整體代入求值時(shí)注意符號(hào)。（2）題：26042答案：（1）（2）【隨堂練習(xí)】1．分解因式：2xy10x2y32x2y2(mn)(mn)(nm)(m2n)（2）（1）34（3）(2x3y)(ab)(3x2y)(ab)x(x2)2x2(2x)2x2(x2)3（4）2xy122．不解方程組x2y11，求(2xy)(2xyxy的值)(3)32注：（1）公因式應(yīng)按“系數(shù)大（最大公約數(shù)），字母同，指數(shù)低”的原則來(lái)選取。~~~~（2）當(dāng)多項(xiàng)式的某項(xiàng)和公因式相同時(shí)，提公因式后該項(xiàng)變?yōu)?，而不是沒(méi)有。（3）當(dāng)多項(xiàng)式的第一項(xiàng)的系數(shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，通常先提出“”號(hào)。（4）利用分解因式整體代入往往應(yīng)用于代數(shù)式的求值問(wèn)題?？键c(diǎn)二：利用平方差公式分解因式及其應(yīng)用【例3】分解因式：(3x1)2(x2)2（1）pq44（2）解析：（1）題：原式從整體看符合平方差公式，所以整體套用平方差公式；pq4(p2)2(q2)2，所以符合平方差公式，（2）題：此題注意分解完全。4(4x1)(2x3)(pq2)(pq)(pq)。；（2）2答案：（1）(1)(11)(11)(111【例4】計(jì)算：（1）)；56722002222008200720099992.（2）2解析：（1）題：原式中每一個(gè)因式符合平方差公式，可以借助分解因式簡(jiǎn)化計(jì)算。原式(11)(11)(11)(11)(11)(11)55662002004657199201420120155662002005200250（2）題：先化簡(jiǎn)，再使用平方差公式。原式20082(20081)(20081)999220082(200821)9992129992(1999)(1999)9980002019980001）；（2）。250答案：（【例5】利用因式分解說(shuō)明：367612140能被整除。解析：對(duì)于符號(hào)相反的二項(xiàng)式，我們考慮使用平方差公式。此種題型應(yīng)先將兩項(xiàng)化為底數(shù)相同的情況，再利用提取公因式法和平方差公式進(jìn)行因式分解，最后湊出除數(shù)。367612(62)7612614612612(621)61235611140所以367612能被140整除?！倦S堂練習(xí)】~~~~1．分解因式：（1）axa（2）9x(ab)y2(ba)242552.利用分解因式說(shuō)明：能被60整除.712注：（1）平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是：二項(xiàng)式，兩項(xiàng)都是平方項(xiàng)，且兩項(xiàng)符號(hào)相反；a,b（2）公式中的可以是具體數(shù)，也可以是代數(shù)式；（3）在運(yùn)用平方差公式的過(guò)程中，有時(shí)需要變形?？键c(diǎn)三：利用完全平方公式分解因式及其應(yīng)用abx2abxyaby2【例6】（1）分解因式：21xbx36是完全平方式，求b的值。（2）已知249999999919999.（3）計(jì)算：解析：（1）題：原式要先提取公因式，再利用完全平方差公式進(jìn)行分解。（2）題：此種題型考察完全平方公式的特征，中間項(xiàng)是首尾兩項(xiàng)底數(shù)積的2倍（或其相反數(shù)）。（3）題：999999991999999992299991(99991)2108。ab(xy)2；（2）；（3）1）610答案：（81yx1，那么3x22xy3y22的值是7】（四川·成都）已知31【例________。1前三項(xiàng)可以進(jìn)行因式分解，分解1yx1變形為3(x3y)2，再將解析：原式的為3x3y3，整體代入求值。答案：1．【隨堂練習(xí)】~~~~1．（1）分解因式：2(ab)(ab)21a(k1)ab9b2能運(yùn)用完全平方差公式進(jìn)行因式分解，求（2）若多項(xiàng)式k的值。2（3）19991999200019992．（1）已知：ab5，ab3，求代數(shù)式ab2a2b2ab3。31st時(shí)，求代數(shù)式s2stt2的值。2（2）當(dāng)2注：（1）完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是：三項(xiàng)式，首尾兩項(xiàng)分別為兩個(gè)數(shù)的平方，中間項(xiàng)是兩個(gè)底數(shù)積的2倍（或其相反數(shù)）；a,b（2）公式中的可以是具體數(shù)，也可以是代數(shù)式；考點(diǎn)四：綜合利用各種方法分解因式及其應(yīng)用【例8】分解因式：81m72m2n216n4a4a4c2（2）2（1）4解析：（1）、（2）題都應(yīng)先利用完全平方公式，再利用平方差公式進(jìn)行因式分解。(3m2n)2(3m2n)2；（2）(a2c)(a2c)。答案：（1）1x2x1,1x24x1,1x22x，請(qǐng)選擇你·漳州）給出三個(gè)多項(xiàng)式：22【例9】（福建22最喜歡的兩個(gè)多項(xiàng)式進(jìn)行加減運(yùn)算，使所得整式可以因式分解，并進(jìn)行因式分解。解析：本題是一道開(kāi)放題，只要所得整式可以因式分解。本題可任取兩個(gè)多項(xiàng)式進(jìn)行加法運(yùn)(x2x1)(1x24x1)x26xx(x6)1如：22算再因式分解。2~~~~【例10】已知a,b,c分別是三角形ABC的三邊，試證明(ab2c2)4a2b202解析：已知a,b,c分別是三角形ABC的三邊，可以想到利用三角形的三邊關(guān)系，再由不等式的左邊是平方差形式，可想到利用平方差公式分解因式。(a2b2c2)4a2b2(a2b2c22ab)(a2b2c22ab)2cab2cab22(abc)(abc)(abc)(abc)由三角形三邊關(guān)系可知，上式的前三個(gè)因式大于0，而最后一個(gè)因式小于0，則有：(a2b2c2)4a2b20【隨堂練習(xí)】1．分解因式：(xy2)24x2y2a6a2274（1）（2）2x2xy,y22xy,x2中，請(qǐng)你任意選出兩個(gè)進(jìn)行加（或2.（2009，吉林）在三個(gè)整式：2減）法運(yùn)算，使所得整式可以因式分解，并進(jìn)行因式分解。注：分解因式的一般步驟可歸納為：“一提、二套、三一提：先看是應(yīng)先提取公因式；首先觀察項(xiàng)數(shù)，若為二項(xiàng)式，則考慮用平方差查”。否有公因式，如果有公因式，二套：再考察能否運(yùn)用公式法分解因式；運(yùn)用公式法，公式；若為三項(xiàng)式，則考慮用完全平方公式。三查：分解因式結(jié)束后，要檢查其結(jié)果是否正確，是否分解徹底?！眷柟烫岣摺恳弧⑦x擇題1．下列從左到右的變形中，是分解因式的有（）~~~~1(a1)(b1)①(x1)(x2)x2x2②xx③abab29(3x)(3)a⑥(y1)(y3)(3y)(y1)⑦a21=a(a1)a④a24a(a2)(a2)A、1個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè)D、4個(gè)2．下列多項(xiàng)式能分解因式的是（）A、xyB、C、x1xyy2D、x24x42223．下列多項(xiàng)式中，不能用完全平方公式分解因式的是（）A、m1mB、x22xyy2C、2a214ab49b2D、n2n124934．a(chǎn)、b、c是△ABC的三邊，且a2bcabacbc，那么△ABC的形狀是（）22A、直角三角形B、等腰三角形C、等腰直角三角形D、等邊三角形kx25是一個(gè)完全平方式，那么的值是（）B、5D、30C、302bxc分解因式為2(x3)(x1)，則的值為（）b,ck5．如果9x2A、156．已知多項(xiàng)式x2A、b3,c1B、b6,c2C、b6,c4D、b4,c67．已知2x23xyy20(xy0)，則xyyx的值是（）A、2或212C、21D、2或21B、2228．若(pq)2(qp)3(qp)2E，則E是（）C、D、1qpA、1B、qpqp1pq(x)(x)，下面說(shuō)法中錯(cuò)9．已知二次三項(xiàng)式xbxc可分解為兩個(gè)一次因式的積2誤的是（）A、若b0,c0，則、同取正號(hào)；B、若b0,c0，則、同取負(fù)號(hào)；C、若b0,c0，則、異號(hào)，且負(fù)的一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值較大；D、若b0,c0，則、異號(hào)，且負(fù)的一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值較大。10．已知a2002x2003，b2002x2004，c2002x2005，則多項(xiàng)式~~~~a2b2c2abbcca的值為（）0123D、A、B、C、二、填空題m4m=.11.分解因式：5(yx)2(xy)212．在括號(hào)前面填上“＋”或“－”號(hào)，使等式成立：xmx9是一個(gè)完全平方式，則m的值是；13．若214．已知：ab0,a2ab2b20，那么2ab的值為_(kāi)____________.2ab15．△ABC的三邊滿足a4b2c2a2c2b40，則△ABC的形狀是__________.16.觀察圖形，根據(jù)圖形面積的關(guān)系，不需要連其他的線，便可以得到一個(gè)用來(lái)分解因式的公式，這個(gè)公式是.xy2xy(xy)A，則A=___________.17．若2xaby(ba)2n1________________________.(第16題圖)18．分解因式:2na2ab26b100，則a___________，b___________.19．若2(xy2)(x2y21)12，則(x2y2)___________.20．若2三、解答題21.分解因式：（1）8a3b212ab3c6a3b2c（8a(xa)4b(ax)6c(xa)2）（3）xx4(ab)216(ab)2yy5335（4）m16n4（6）9(mn)16(mn)（5）4225m(xy)210n(yx)3（7）2x2x122（8）~11abab2，ab2，求abab22．先分解因式，再求值：已知3223的值22a312，a53，，a(2n1)(2n1)（n為大于零的自然數(shù)）。223．設(shè)222212n探究a是否為8的倍數(shù)，并用文字語(yǔ)言表達(dá)你所得到的結(jié)論。n4x2(x1)224．對(duì)于實(shí)數(shù)a,b,c,d，定義一種新運(yùn)算：adbc，分解因式：x11xabcd25．閱讀下列計(jì)算過(guò)程：99×99+199=992+2×99+1=（99+1）2=1002=104（1）計(jì)算：999×999+1999=____________=_____________=____________=_____________；9999×9999+19999=__________=_____________=____________=_____________。（2）猜想9999999999×9999999999+19999999999等于多少？寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程。~~~~第三章分式【知識(shí)要點(diǎn)】AA÷B就可以表示成的形式，如果B1．分式的概念及特征：A、B表示兩個(gè)整式，BA中含有字母，式B子就叫做分式。A所以在分式中，有：則0條件：因?yàn)椴荒茏龀龜?shù)，B02．分式有意義、無(wú)意義的BAA有意義；B0則無(wú)意義。BB3．分式值為零的條件：分式的值為零要同時(shí)滿足：分母的值不為零，分式的值為零這兩個(gè)條件。即且A0則有A0B0。Bbbb＝＝aab4.分式的5.分式的運(yùn)算（1）同分（2）異分符號(hào)法則：＝aaa相加減，即bab=母分式相加減，分母不變，只把分式cccacad母分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质剑缓笤偌訙p，即=bdbdbcadbc=bdbd注：1.無(wú)論是探求分式有意義、無(wú)意義的條件，還是分式值等于零的條件，都將轉(zhuǎn)化成解方程或不等式的問(wèn)題。2.分式約分步驟：（1）找出分式的分子與分母的公因式，當(dāng)分子分母是多項(xiàng)式時(shí)，要先把分式的分子和分母分解因式。（2）約去分子與分母的公因式。3.最簡(jiǎn)公分（1）當(dāng)幾個(gè)分式的分最高次冪、所有不同字母的積；（2）如果各分應(yīng)先把各個(gè)分母按某一字母降冪或升冪排列，再分解因式，找出最簡(jiǎn)公分母。母的確定：母是單項(xiàng)式時(shí)，各分式的最簡(jiǎn)公分母是系數(shù)的最小公倍數(shù)、相同字母的母都是多項(xiàng)式，~~~~【考點(diǎn)分析】考點(diǎn)一：分式有意義、無(wú)意義、值等于零的條件（重點(diǎn)）xx22【例1】（2009，天津）若分式x2x1的值為零，則x的值等于。22答案：評(píng)析：由于x2x2可得(x2)(x1)0，解得x2或x1。又因?yàn)閤1時(shí)，x22x10；x2時(shí)，x2x10。所以要使分式的值為零，x的值只能等于2。2【隨堂練習(xí)】x121.若分式的值為0，則x的值等于。x12xx622.若分式x2x1的值為零，則x的值等于?？键c(diǎn)二：分式的約分【例2】（2009，吉林）化簡(jiǎn)xy2yx24x4的結(jié)果是（）xx2xx2yx2yx2A．B．C.D.答案：Ｄ評(píng)析：觀察題中所給分式，分子、分母都為多項(xiàng)式，且都能分解，因此應(yīng)先將分子分xy2y母分解因式，再約去公因式。如x24x4注：1.在應(yīng)用分式的基本性質(zhì)時(shí)要充分理解＂都＂和＂同＂這兩字的含義。2.約分的結(jié)果是最簡(jiǎn)分式或整式?！倦S堂練習(xí)】~~~~22mn1.（2008，太原）化簡(jiǎn)的結(jié)果是（）mmn2mn2mmnmnmnmnA.B.C.D.mm(y)(x1))的結(jié)果是（）12．化簡(jiǎn)xyA.yxB.xC.xD.yyyx考點(diǎn)三：分式的加減運(yùn)算（重點(diǎn)）1a11a(a1)的計(jì)算結(jié)果是（）【例3】（2009，長(zhǎng)沙）分式1a1aa11a1A.B.C.D.aa答案：C評(píng)析：先通分化為同分母分式，再進(jìn)行加法運(yùn)算。1a11a(a1)aa(a1)1a(a1)a(a1)a11+=+==a注：1.同分母分式加減運(yùn)算中的“把分子相加減”是指把各個(gè)分式的“分子的繁體相加減，故當(dāng)分子是多項(xiàng)式時(shí)，應(yīng)加括號(hào)。2.通分和約分是兩種截然不同的變形，約分是針對(duì)一個(gè)分式而言，通分是針對(duì)多個(gè)分式而言；約分是將一個(gè)分式簡(jiǎn)化，通分是將一個(gè)分式化繁?！倦S堂練習(xí)】（2008，杭州）化簡(jiǎn)22xy的結(jié)果是（）xyyxA.xyB.yxC.xyD.xy考點(diǎn)四：分式的乘除運(yùn)算~~~~aaba2ab2a2b30，計(jì)算4】（2009，天水）已知【例b2ab22評(píng)析：因?yàn)閍2b30，所以a20且b30,即a2,b3a(ab)a(ab)a2a2,b3時(shí)，原式(ab)(ab)=b2,當(dāng)4=原式=b92注：先化簡(jiǎn)再求值，運(yùn)算更簡(jiǎn)便，分式的乘除運(yùn)算要進(jìn)行到分式和分母不再有公因式為止?！倦S堂練習(xí)】化簡(jiǎn)1.1xyx2y2x3yx26xy9y2x2xx24x44x22..考點(diǎn)五：分式的混合運(yùn)算y(1)5】（2010，常德）化簡(jiǎn)：yxy2x2x【例yxy(yx)(yx)=yx評(píng)析：原式=yxx注：1.正確運(yùn)用運(yùn)算法則；2.靈活運(yùn)用運(yùn)算規(guī)律；3.運(yùn)算結(jié)果要最簡(jiǎn)化【隨堂練習(xí)】3a1(1a2)a24（2010，瀘州）化簡(jiǎn)：~~~~考點(diǎn)六：條件分式求值的常用技巧（難點(diǎn)）1132x3xy2y的值為【例6】已知，則分式xyx2xyy3答案:5x,y的值，所以考慮將已知條件向著所求代數(shù)式的方向評(píng)析:由已知條件不能直接求出11進(jìn)行變形轉(zhuǎn)化，通過(guò)整體代換解決問(wèn)題。由,可得yx3xy3xy3xy,,所以xy2(xy)3xy2(3xy)3xy3所以原式===3xy2xy5(xy)2xy注：條件分式求值主要方法有：1.參數(shù)法：當(dāng)已知條件形如xyz所要求值的代數(shù)式是一個(gè)含x,y,z而又不易化簡(jiǎn)的分式abcxyzkkxka,ykb,zkc（就是我們所說(shuō)的參數(shù)），然后將其變形為時(shí)，常設(shè)abc的形式，再代入所求代數(shù)式，約分即可。2.整體代換法：若由已知條件不能直接求分式中字母的值，可考慮把已知條件和所求代數(shù)式進(jìn)行適．當(dāng)?shù)淖冃?，然后整體代換，可使問(wèn)題得到解決【隨堂練習(xí)】(x1)x22x20，求代數(shù)式的值1.已知2x1x12a2baabb22，則的值2.若ab22~~~~【鞏固提高】一、選擇題(ab)21．（2009，荊門(mén)）計(jì)算：的結(jié)果是（）a2bC.1D.bA.aB.b2．（2009,威海）化簡(jiǎn)(y1)(x1))的結(jié)果是（）xyyxB.xyxyD.xA.C.ya2，則baabb等于（）223．若ab224A.53C.5B.1D.2a2ababb24．（2010,河北）化簡(jiǎn)的結(jié)果是（）D.1A.a2b2B.abC.abba25．（2009,陜西）化簡(jiǎn)(a)的結(jié)果是（）aab1ab1abA.abB.abC.D.二、填空題6．計(jì)算：3x2y22y23x1x2無(wú)意義，則實(shí)數(shù)x7．（2009，漳州）若分式x218．（2010，黃岡）當(dāng)x=2010時(shí)，代數(shù)式x11的值為9．在下列三個(gè)不為零的式子：x24,x22x,x24x4中，任選兩個(gè)組成一個(gè)分式是把這個(gè)分式化簡(jiǎn)所得結(jié)果是三、解答題~~~~xyx2y2x12,y12，其中x2yx24xyy210．(2010,煙臺(tái))先化簡(jiǎn)，再求值：aba2aba2b1時(shí)，再?gòu)?a2的，當(dāng)2211．(2010,貴陽(yáng)aa代入求值。)先化簡(jiǎn)：a2ab范圍選取一個(gè)合適的整數(shù)12．（表格信息題）按下圖的程序計(jì)算，把答案寫(xiě)在表格內(nèi)：n→平方→（n）→n→（n）→答案（1）填寫(xiě)表格31223輸入n11輸出答案（2）請(qǐng)將題中的計(jì)算程序用代數(shù)式表達(dá)出來(lái)，并化簡(jiǎn)。13．（條件開(kāi)放題）請(qǐng)從下列三個(gè)代數(shù)式中任選兩個(gè)構(gòu)造一個(gè)分式，并化簡(jiǎn)該分式：a21,abb,bab~~~~第四章相似三角形【知識(shí)要點(diǎn)】1．相似三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形叫做相似三角形。注：（1）兩個(gè)全等三角形一定相似（2）兩個(gè)直角三角形不一定相似。兩個(gè)等腰直角三角形一定相似。（3）兩個(gè)等腰三角形不一定相似。兩個(gè)等邊三角形一定相似。2．相似比（1）相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比。（2）面積比等于相似比的平方。ABk1，而。注：相似比要注意順序：如△ABC∽△A'B'C'的相似比A'B'A'Bk，這時(shí)AB1'1A'BCk''∽△ABC的相似比2k23．相似三角形的識(shí)別（1）如果一個(gè)三角形的兩角分別與另一個(gè)三角形的兩角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似。（2）如果一個(gè)三角形的兩條邊與另一個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)成比例，并且?jiàn)A角相等，那么這兩個(gè)三角形相似。（3）如果一個(gè)三角形的三條邊和另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似。~~~~【考點(diǎn)分析】考點(diǎn)一：相似三角形的判定【例1】如圖，∠1＝∠2＝∠3，圖中相似三角形有（）對(duì)。A1D2E3BC解析：由平行線的性質(zhì)，123BCDEBEBC，DE，可知∥，ADEABC，再由相似三角形判定定理一，可得有四組三角形相似。4對(duì)。答：【隨堂練習(xí)】1．如圖，已知：△ABC、△DEF，其中∠A＝50°，∠B＝60°∠C＝70°，∠D＝40°，∠E＝60°，∠F＝80°，使△ABC所分與△DEF所分能否分別將兩個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形，成的每個(gè)三角形成的每個(gè)三角形，分別對(duì)應(yīng)相似？如果可能，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種分割方案；若不能，說(shuō)明理由。BEACDF考點(diǎn)二：相似三角形的識(shí)別、特征在解題中的應(yīng)用2】（2008·廣東?。┤鐖D邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)F在BA的延上，連結(jié)CF交AD于點(diǎn)E。（1）求證：△CDE∽△FAE；（2）當(dāng)E是AD的中點(diǎn)，且BC＝2CD時(shí)，【例所示，四長(zhǎng)線求證：∠F＝∠BCF。~~~~DECFAB解析：由AB∥DC得：∠F＝∠DCE，∠EAF＝∠D∴△CDE∽△FAECDDEFAAE，又E為AD中點(diǎn)∴DE＝AE，從而CD＝FA，結(jié)合已知條件，易證BF＝BC，∠F＝∠BCF（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AB∥CD∴∠F＝∠DCE，∠EAF＝∠D∴△CDE∽△FAE（2）∵E是AD中點(diǎn)，∴DE＝AECDDE由（1）得：AFAE∴CD＝AF∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AB＝CD∴AB＝CD＝AF∴BF＝2CD，又BC＝2CD∴BC＝BF∴∠F＝∠BCF注：平行往往是證兩個(gè)三角形相似的重要條件，利用比例線段也可證明兩線段相等?！倦S堂練習(xí)】1．已知：如圖(a)，在梯形ABCD中，AD∥BC，對(duì)角線交于O點(diǎn)，過(guò)O作112EF∥BC分別交AB，DC于E，F(xiàn)。求證：(1)OE=OF;(2)ADBCEF;(3)若~(yú)~~~MN為梯形中位線，求證AF∥MC?？键c(diǎn)三：未知數(shù)的設(shè)定應(yīng)用【例3】在梯形ABCD中，∠A＝90°，AD∥BC，點(diǎn)P在線段AB上從A向B運(yùn)動(dòng)，（1）是否存在一個(gè)時(shí)刻使△ADP∽△BCP；（2）若AD＝4，BC＝6，AB＝10，使△ADP∽△BCP，則AP的長(zhǎng)度為多少？ADBC解析：（1）存在ADPBCADAPBCBP（2）若△ADP∽△BCP，則設(shè)APx4，x4，AP4x610x~~~~ADAP或BPBC4x，x410x6x6或AP4或AP6∴AP長(zhǎng)度為4或6【隨堂練習(xí)】1．如圖，有一批形狀大小相同的不銹鋼片，呈直角三角形，已知∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，試設(shè)計(jì)一種方案，用這批不銹鋼片裁出面積達(dá)最大的正方形不銹鋼片，并求出這種正方形不銹鋼片的邊長(zhǎng)?？键c(diǎn)四：直角三角形相似的比例關(guān)系【例4】已知RtΔABC中，∠ACB=90°，DF⊥BC于F。：如圖，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E，求證：(1)CD3AEBFAB；(2)BC2:AC2CE:EA;(3)BC3:AC3BF:AE解析：（1）掌握基本圖形“RtΔABC，∠C=90°，CD⊥AB于D”中的常用結(jié)論。①勾股定理：AC2BC2AB2②面積公式：AC·BC=AB·CD個(gè)比例中項(xiàng)：AC2ADAB,BC2BDBA,CD2DADB③三ACCDBCAD④兩個(gè)等積式子：BCCDACBD(由圖中相似三角形得到）~AC2⑤ADBD2BC（2）靈活運(yùn)用以上結(jié)論，并掌握恒等變形的各種方法，是解決此類(lèi)問(wèn)題的基本途徑，如等式兩邊都乘或除以某項(xiàng)，都平方、立方，或兩等式相乘等。（3）學(xué)習(xí)三類(lèi)問(wèn)題的常見(jiàn)的思考方法，并熟悉常用的恒等變形方法，以及中間等量代換。第（1）題：證法一∵CD2DADBCDAD2BD2(AEAC)(BFBC)(AEBF)(ACBC)∴4(AEBF)(ABCD)證法二∵CD2ADBD,CDACBCABADBDACBCADACBDBCAB∴CD3ABABABAEBFAB第（2）題：BC2∵BDBABD，利用ΔBDF∽ΔDAE，證得ADABAD證法一AC2BDDFCEADEAAE，命題得證。BCDEBC22DE2AEECCEAEAEAE證法二由得ACAEAC22證法三∵BCD∽CAD，BCDF∴(相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于對(duì)應(yīng)邊的比)ACDEBCDEBC2DFDEDFCE∴2DEAEAEAE∵DE∥BC，∴ACAEAC第（4）題：BC2∵BDABDB,ADABAD證法一AC2~~~~BC∴4BD2BFBCBCBF3，∴ACAE3BCDFAC4AD2AEAC證法二：∵ΔADC∽ΔCDB，∴ACDEDF3DFDF2DFBFCFBF3BCDEAECEAE∴AC3DE3DEDE2·BCDFBCDE,BCBF，ACDEACAEACDF證法三：∵BC3BCBCBCDFDEBFBF∴ACACACDEAEDFAEAC3【隨堂練習(xí)】1．如圖，已知直角梯形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，設(shè)ABaADb，，BC2(bab)，作DE⊥DC，DE交AB于點(diǎn)E，連結(jié)EC。（1）試判斷△DCE與△ADE、△DCE與△BCE是否分別一定相似？若相似，請(qǐng)加以證明。（2）如果不一定相似，請(qǐng)指出a、b滿足什么關(guān)系時(shí)，它們就能相似？FADEBC【鞏固提高】1.如圖，已知DE∥BC，CD和BE相交于O，若SS：9：16，則AD：DBDOECOB＝____________。~~~~2.如圖，△ABC中，CE：EB＝1：2，DE∥AC，若△ABC的面積為S，則△ADE的面積為_(kāi)___________。3.若正方形的4個(gè)頂點(diǎn)分別在直角三角形的3條邊上，直角三角形的兩直角邊的長(zhǎng)分別為3cm和4cm，則此正方形的邊長(zhǎng)為_(kāi)___________。（2000年武漢市中考題）4.閱讀下面的短文，并解答下列問(wèn)題：我們把相似形的概念推廣到空間：如果兩個(gè)幾何體大小不一定相等，但形狀完全相同，就把它們叫做相似體。如圖，甲、乙是兩個(gè)不同的正方體，正方體都是相似體，它們的一切對(duì)應(yīng)線段之比都等S分別表示這兩個(gè)正方體的表面積，6aa22，6bb2于相似比：ab，設(shè)：S：S則甲甲乙S乙Va3。a3又設(shè)V、V分別表示這兩個(gè)正方體的體積，則甲甲乙Vb3b乙（1）下列幾何體中，一定屬于相似體的是（）A.兩個(gè)球體B.兩個(gè)圓錐體D.兩個(gè)長(zhǎng)方體C.兩個(gè)圓柱體（2）請(qǐng)歸納出相似體的3條主要性質(zhì)：①相似體的一切對(duì)應(yīng)線段（或?。╅L(zhǎng)的比等于____________；②相似體表面積的比等于____________；③相似體體積的比等于____________。（2001年江蘇省泰州市中考題）5.如圖，鐵道口的欄桿短臂長(zhǎng)1m，長(zhǎng)臂長(zhǎng)16m，當(dāng)短臂端點(diǎn)下降0.5m時(shí)，長(zhǎng)臂端點(diǎn)升高（）~A.11.25mB.6.6mC.8mD.10.5m∠DBC＝∠A，已知BC2，△BCD與△6.如圖，D為△ABC的邊AC上的一點(diǎn)，ABC的面積的比是2：3，則CD的長(zhǎng)是（）4323