數(shù)學(xué)蘇教版必修4導(dǎo)學(xué)案2.3.1平面向量基本定理

2.3.1平面向量基本定理學(xué)習(xí)目標(biāo)重點(diǎn)難點(diǎn)1．能說出基底的含義，以及正交分解的意義．2．能記住平面向量基本定理.重點(diǎn)：平面向量基本定理的理解與應(yīng)用．難點(diǎn)：基底的含義，正交分解的意義.1．平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.(2)基底：不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．預(yù)習(xí)交流1基底中的向量e1，e2可以為零向量嗎？提示：不可以．倘若向量e1，e2中有一個(gè)向量為零向量，那么兩向量必為共線向量，這與基底的定義相矛盾，故基底中的向量e1，e2均不可以為零向量．預(yù)習(xí)交流2在表示向量時(shí)，基底惟一嗎？提示：不惟一，同一平面可以有無數(shù)組不同的基底．因此，對不同的基底，同一向量的分解是不惟一的，但基底給定時(shí)，向量的表示方法惟一．2．平面向量的正交分解一個(gè)平面向量用一組基底e1，e2表示成a＝λ1e1＋λ2e2的形式，我們稱它為向量a的分解．當(dāng)e1，e2所在直線互相垂直時(shí)，這種分解也稱為向量a的正交分解．預(yù)習(xí)交流3(1)下列說法中，正確的是__________．①一個(gè)平面內(nèi)只有一對不共線的向量可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底；②一個(gè)平面內(nèi)有無數(shù)多對不共線的向量可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底；③零向量不可作為基底中的向量．(2)在正方形ABCD中，以eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))為基底，則向量eq\o(AC,\s\up6(→))可分解為__________．提示：(1)②③(2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))一、平面向量基本定理的理解如果e1，e2是平面α內(nèi)所有向量的一組基底，λ，μ是實(shí)數(shù)，判斷下列說法是否正確，并說明理由．(1)若λ，μ滿足λe1＋μe2＝0，則λ＝μ＝0；(2)對于平面α內(nèi)任意一個(gè)向量a，使得a＝λe1＋μe2成立的實(shí)數(shù)λ，μ有無數(shù)對；(3)線性組合λe1＋μe2可以表示平面α內(nèi)的所有向量；(4)當(dāng)λ，μ取不同的值時(shí)，向量λe1＋μe2可能表示同一向量．思路分析：運(yùn)用基底概念與平面向量基本定理進(jìn)行判斷．解：(1)正確．若λ≠0，則e1＝－eq\f(μ,λ)e2，從而向量e1，e2共線，這與e1，e2不共線相矛盾，同理可說明μ＝0.(2)不正確．由平面向量基本定理可知λ，μ惟一確定．(3)正確．平面α內(nèi)的任一向量a可表示成λe1＋μe2的形式，反之也成立．(4)不正確．結(jié)合向量加法的平行四邊形法則易知，只有當(dāng)λ和μ確定后，其和向量λe1＋μe2才惟一確定．e1，e2是表示平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下列各組向量中，不能作為一組基底的序號是__________．①e1＋e2，e1－e2；②3e1－2e2,4e2－6e1；③e1＋2e2，e2＋2e1；④e2，e1＋e2；⑤2e1－eq\f(1,5)e2，e1－eq\f(1,10)e2.答案：②⑤解析：由題意，知e1，e2不共線，易知②中，4e2－6e1＝－2(3e1－2e2)，即3e1－2e2與4e2－6e1共線，∴②不能作基底．⑤中2e1－eq\f(1,5)e2＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(e1－\f(1,10)e2))，即2e1－eq\f(1,5)e2與e1－eq\f(1,10)e2共線，∴⑤不能作基底．1．對于平面內(nèi)任何向量都可以用兩個(gè)不共線的向量來表示；反之，平面內(nèi)的任一向量也可以分解為兩個(gè)不共線的向量的和的形式．2．向量的基底是指平面內(nèi)不共線的向量，事實(shí)上若e1，e2是基底，則必有e1≠0，e2≠0，且e1與e2不共線，如0與e1，e1與2e1，e1＋e2與2(e1＋e2)等均不能構(gòu)成基底．二、用基底表示向量如圖所示，平行四邊形ABCD的兩條對角線相交于點(diǎn)M，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，用a，b表示eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))，eq\o(MD,\s\up6(→)).思路分析：題目條件顯示：四邊形ABCD是平行四邊形且a，b是基底．依據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知點(diǎn)M平分兩條對角線，結(jié)合向量的平行四邊形法則及向量的線性運(yùn)算可表示待求向量．解：∵四邊形ABCD是平行四邊形且eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，∴eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BD,\s\up6(→))＝b－a.又點(diǎn)M平分兩條對角線AC，BD，∴eq\o(MC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)，eq\o(MA,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)(a＋b)．∴eq\o(MD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(b－a)eq\o(MB,\s\up6(→))＝－eq\o(MD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)(b－a)．1．已知ABCDEF是正六邊形，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AE,\s\up6(→))＝b，則eq\o(BC,\s\up6(→))＝__________.答案：eq\f(1,2)(a＋b)解析：eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(ED,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝b＋a，又eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)．2．已知△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)為BC的三等分點(diǎn)，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，用a，b表示eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→)).解：eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,2)(b－a)＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b；eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,3)(b－a)＝eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b；eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋eq\f(2,3)(b－a)＝eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)b.1．平面向量基本定理的理解(1)平面向量基本定理的實(shí)質(zhì)是向量的分解，即平面內(nèi)任一向量都可以沿兩個(gè)不共線向量的方向分解成兩個(gè)向量和的形式，且分解是惟一的．(2)平面向量基本定理中，實(shí)數(shù)λ1，λ2的惟一性是相對于基底e1，e2而言的，平面內(nèi)任意兩個(gè)不共線的向量都可作為基底，一旦選定一組基底，則給定向量沿著基底的分解是惟一的．2．正確應(yīng)用基底表示向量(1)基底的特征基底具備兩個(gè)主要特征：①基底是兩個(gè)不共線向量；②基底的選擇是不惟一的．平面內(nèi)兩向量不共線是這兩個(gè)向量可以作為這個(gè)平面內(nèi)所有向量的一組基底的條件．(2)關(guān)于基底的一個(gè)結(jié)論設(shè)e1，e2是平面內(nèi)一組基底，當(dāng)λ1e1＋λ2e2＝0時(shí)，恒有λ1＝λ2＝0.三、平面向量基本定理的應(yīng)用已知△OAB中，延長BA到C，使AB＝AC，D是將eq\o(OB,\s\up6(→))分成2∶1的一個(gè)分點(diǎn)，DC和OA交于點(diǎn)E，設(shè)eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，(1)用a，b表示向量eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))；(2)若eq\o(OE,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))，求實(shí)數(shù)λ的值．思路分析：(1)由題意可知A是BC的中點(diǎn)，利用平行四邊形法則求eq\o(OC,\s\up6(→))，利用三角形法則求eq\o(DC,\s\up6(→))；(2)利用C，D，E三點(diǎn)共線，結(jié)合共線向量定理求解．解：(1)∵A為BC中點(diǎn)，∴eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))，eq\o(OC,\s\up6(→))＝2a－b；eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＝2a－b－eq\f(2,3)b＝2a－eq\f(5,3)b.(2)設(shè)eq\o(OE,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))，則eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(OE,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝λa－2a＋b＝(λ－2)a＋b.∵eq\o(CE,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))共線，∴存在實(shí)數(shù)m，使得eq\o(CE,\s\up6(→))＝meq\o(CD,\s\up6(→))，即(λ－2)a＋b＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2a＋\f(5,3)b))，即(λ＋2m－2)a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(5,3)m))b＝0.∵a，b不共線且為非零向量，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＋2m－2＝0，,1－\f(5,3)m＝0，))解得λ＝eq\f(4,5).1．i，j是兩個(gè)不共線的向量，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝3i＋2j，eq\o(CB,\s\up6(→))＝i＋λj，eq\o(CD,\s\up6(→))＝－2i＋j，若A，B，D三點(diǎn)共線，試求實(shí)數(shù)λ的值．解：∵A，B，D三點(diǎn)共線，∴eq\o(AD,\s\up6(→))與eq\o(AB,\s\up6(→))共線．設(shè)eq\o(AD,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))，則eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝(3i＋2j)＋(－i－λj)＋(－2i＋j)＝(3－λ)j＝m(3i＋2j)，∵i，j不共線，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3m＝0，,3－λ＝2m.))∴m＝0，λ＝3.2．已知ABCD中M為AB的中點(diǎn)，N在BD上，3BN＝BD.求證：M，N，C三點(diǎn)共線．解：設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，則eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝－a＋b，eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b，eq\o(MB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，∴eq\o(MC,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋b，eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋b)).∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(MC,\s\up6(→)).∴eq\o(MN,\s\up6(→))∥eq\o(MC,\s\up6(→)).又M為公共點(diǎn)，∴M，N，C三點(diǎn)共線．1．應(yīng)用平面向量基本定理來證明平面幾何問題的一般方法如下：一般先選取一組基底，再根據(jù)幾何圖形的特征應(yīng)用向量的有關(guān)知識解題．2．證明三線共點(diǎn)，先證明其中兩條相交于一點(diǎn)，然后證明第三條也經(jīng)過這個(gè)點(diǎn)．3．證明三點(diǎn)共線，需說明兩點(diǎn)：①三點(diǎn)確定的向量中有兩向量共線，②兩共線向量有公共點(diǎn)．1．設(shè)O是ABCD兩對角線的交點(diǎn)，下列向量組：①eq\o(AD,\s\up6(→))與eq\o(AB,\s\up6(→))；②eq\o(DA,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))；③eq\o(CA,\s\up6(→))與eq\o(DC,\s\up6(→))；④eq\o(OD,\s\up6(→))與eq\o(OB,\s\up6(→))，其中可作為表示這個(gè)平行四邊形所在平面內(nèi)所有向量的基底的是__________．(填序號)答案：①③解析：由基底的概念可知．2．如圖所示，△ABC中，若D，E，F(xiàn)依次是AB的四等分點(diǎn)，則以eq\o(CB,\s\up6(→))＝e1，eq\o(CA,\s\up6(→))＝e2為基底時(shí)，eq\o(CF,\s\up6(→))＝________.答案：eq\f(3,4)e1＋eq\f(1,4)e2解析：eq\o(CB,\s\up6(→))＝e1，eq\o(CA,\s\up6(→))＝e2，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1－e2.∵eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)(e1－e2)．∴eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＝e2＋eq\f(3,4)(e1－e2)＝eq\f(3,4)e1＋eq\f(1,4)e2.3．設(shè)e1，e2是兩個(gè)不共線的向量，則向量a＝2e1＋e2與向量b＝e1＋λe2(λ∈R)共線時(shí)，λ的值為__________．答案：eq\f(1,2)解析：∵a，b共線，∴存在惟一實(shí)數(shù)m，使得a＝mb，即2e1＋e2＝m(e1＋λe2)．∵e1，e2不共線，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝2，,1＝mλ.))∴m＝2，λ＝eq\f(1,2).4．△ABC中，點(diǎn)D在AB上，CD平分∠ACB，若eq\o(CB,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，|a|＝1，|b|＝2，則eq\o(CD,\s\up6(→))＝________.答案：eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b解析：因?yàn)镃D平分∠ACB，由角平分線定理，得eq\f(|AD|,|DB|)＝eq\f(|CA|,|CB|)＝eq\f(2,1)，所以D為AB的三等分點(diǎn)，且eq