13.4最短路徑問題最短路徑

第13章軸對稱13.4最短路徑問題第一課時將軍飲馬問題復習導入1.如圖，連接A、B兩點的所有連線中，哪條最短？你的依據(jù)是什么？AB①②③②最短，依據(jù)“兩點之間，線段最短”新課導入2.如圖，P是直線l外一點，點P與該直線l上各點連接的所有線段中，哪條最短？你的依據(jù)是什么？PlABCDPC最短，依據(jù)“垂線段最短”新課導入3.如圖，直線l是線段AB的對稱軸，C是直線l上任意一點，則AC和BC的大小關系是什么？你的依據(jù)是什么？AC=BC.依據(jù)“線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等”.ABlC新課導入4.如圖，如何做點A關于直線l的對稱點？作法：（1）過點A作直線l的垂線，垂足為O；lA?A′┐O（2）在垂線上截取OA′=OA.點A′就是點A關于直線l的對稱點.?可簡記為：作垂線；取等長探索新知引例將軍要先帶馬去河邊喝水，再去單位上班。請問：馬在河邊何處喝水時，將軍所走的路線最短？

知識點1將軍飲馬問題實際問題數(shù)學問題？轉(zhuǎn)化？引例ABl將軍要先帶馬去河邊喝水，再去單位上班。請問：馬在河邊何處喝水時，將軍所走的路線最短？實際問題數(shù)學問題將兩地抽象為A、B兩個點，將河抽象為直線l．

引例將兩地抽象為A、B兩個點，將河抽象為直線l．ABl問題一你能用自己的語言把問題抽象為數(shù)學問題嗎？在直線l上找一點C，使AC+BC最短問題二點C應該在哪里？為什么呢？連接AB，與l交于C點兩點之間線段最短C將兩地抽象為A、B兩個點，將河抽象為直線l

．在直線l上找一點C，使AC+BC最短BAlC問題1現(xiàn)在，單位搬到了將軍府的同側(cè)，將軍還是要先帶馬去河邊喝水，再去單位上班。此時，將軍應該如何走才能使所走路線最短？

知識點1將軍飲馬問題探索新知

知識點1將軍飲馬問題ABlBB′CAlBC引例分析：如果我們能把點B“移”到l的另一側(cè)B′處，同時對于直線l上的任一點C，都保持CB與CB′的長度相等，就能把這個“同側(cè)”的問題轉(zhuǎn)化為“異側(cè)”的問題.A、B同側(cè)A、B異側(cè)探索新知

知識點1將軍飲馬問題ABl作出點B關于直線l的對稱點B′，利用軸對稱的性質(zhì)，可以得到CB′=CB.B′C問題轉(zhuǎn)化二:當點C在l的什么位置時，AC+CB′最小.怎樣找到滿足條件的點B′？在連接A，B′兩點的線中，線段AB′最短.因此線段AB′與直線l的交點的位置即為所求.探索新知

知識點1將軍飲馬問題ABlB′C怎樣證明點C的位置即為所求？作法：（1）作點B關于直線l的對稱點B′;點C即為所求作的點.

（2）連接AB′,交直線l于點C.探索新知

知識點1將軍飲馬問題ABl在直線上另外任取一點C′，連接AC′，BC′，B′C′，證明AC+CB＜AC′+C′B.B′CC′你能完成這個證明嗎？探索新知

知識點1將軍飲馬問題ABlB′CC′由軸對稱的性質(zhì)知，BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC=AC+B′C=AB′，∴AC′+BC′=AC′+B′C′．在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．即AC+BC

最短．證明：如圖，在直線l上任取一點C′(與點C

不重合)，連接AC′，BC′，B′C′．探索新知

知識點1將軍飲馬問題（1）定直線l；利用”將軍飲馬“模型解決最值問題的應符合的條件ABl（2）兩定點A，B，且兩定點在直線l的同側(cè);（3）所求作的動點C在直線l上.C探索新知

知識點1將軍飲馬問題（1）找：由軸對稱的性質(zhì)，作其中一個定點（如B）關于直線l的對稱點（B′）；（2）連：連接另外一個定點（A)與對稱點（B′）；解決”將軍飲馬“問題的步驟ABlB′C′C（3）交：連線與直線l的交點（C′）所在的位置即為所求作的點（C）.探究新知

問題2在單位旁邊有一塊草地，每天中午休息的時候，將軍要趕著馬先到草地吃草，再到河邊喝水，最后回到單位，你能替將軍設計出最短的放牧路線嗎？AmnBC在直線m上找一點B，直線n上找一點C,使AB+BC+AC最短探究新知mn在直線m上找一點B，直線n上找一點C,使AB+BC+AC最短A1AA2CB總結(jié)歸納一點兩線

作該點分別關于兩線的對稱點，連接對稱點，與兩線相交，兩個交點與該點構(gòu)成三角形，就是最短路徑。兩點之間，線段最短求解思路

求解原理mnA1AA2CB

（1）兩直線內(nèi)的一個定點

（2）兩直線上各一個動點

（轉(zhuǎn)化思想）探索新知

知識點1將軍飲馬問題例1

如圖，已知點D、點E分別是等邊三角形ABC中BC、AB邊的中點，AD=5，F(xiàn)是AD邊上的動點，則BF+EF的最小值為（）A．7.5B．5

C．4D．不能確定BEBEFBEFF探索新知

知識點1將軍飲馬問題例1

如圖，已知點D、點E分別是等邊三角形ABC中BC、AB邊的中點，AD=5，F(xiàn)是AD邊上的動點，則BF+EF的最小值為（）A．7.5B．5

C．4D．不能確定BF【解析】∵△ABC為等邊三角形，D是BC邊的中點，∴點B與點C關于直線AD對稱.∵點F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小值可轉(zhuǎn)化為求CF+EF的最小值，故連接CE即可，線段CE的長即為BF+EF的最小值.探索新知

知識點1將軍飲馬問題思考：作點E關于AD的對稱點可以嗎？為什么不選擇這個方法？課堂小結(jié)將軍飲馬問題將軍飲馬問題步驟：找，連，交.原理兩點之間，線段最短.課堂練習1.如圖，點A，B是直線l同側(cè)不重合的兩點，在直線l上求作一點C，使得AC+BC的長度最短.作法：①作點B關于直線l的對稱點B′；②連接AB′，與直線l相交于點C，則點C為所求作的點.在解決這個問題時沒有用到的知識或方法是（）A.轉(zhuǎn)化思想B.三角形兩邊之和大于第三邊C.兩點之間，線段最短D.三角形的一個外角大于與它不相鄰的任意一個內(nèi)角ABlCB′D課堂練習2.如圖，直線l是一條河，P、Q是兩個村莊.欲在l上的某處修建一個水泵站，向P、Q兩地供水，現(xiàn)有如下四種鋪設方案，圖中實線表示鋪設的管道，則所需要管道最短的是（）D3.如圖，已知∠MON