文科數(shù)學(xué)全國通用版一輪復(fù)習(xí)課時跟蹤檢測第5章第2節(jié)平面向量基本定理及坐標(biāo)表示

第五章平面向量第二節(jié)平面向量基本定理及坐標(biāo)表示A級·基礎(chǔ)過關(guān)|固根基|a＝(－1，0)，b＝(0，2)，則2a－3bA．(6，3) B．(－2，－6)C．(2，1) D．(7，2)解析：選B2a－3b2．若向量a＝(2，1)，b＝(－1，2)，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,2)))，則c可用向量a，b表示為()A．c＝eq\f(1,2)a＋b B．c＝－eq\f(1,2)a－bC．c＝eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)b D．c＝eq\f(3,2)a－eq\f(1,2)b解析：選A設(shè)向量c＝xa＋yb，易知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0＝2x－y，,\f(5,2)＝x＋2y，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)，,y＝1，))∴c＝eq\f(1,2)a＋b.故選A.3.已知向量eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))和eq\o(AB,\s\up6(→))在邊長為1的正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AD,\s\up6(→))，則λ＋μ等于()A．2B．－2C．3D．－3解析：選A如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系xAy，則eq\o(AD,\s\up6(→))＝(1，0)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2，－2)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，2)．因為eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AD,\s\up6(→))，所以(2，－2)＝λ(1，2)＋μ(1，0)＝(λ＋μ，2λ)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2＝λ＋μ，,－2＝2λ，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝－1，,μ＝3，))所以λ＋μA.4．已知向量a＝(1，1)，b＝(－1，2)，若(a－b)∥(2a＋tb)，則tA．0 B.eq\f(1,2)C．－2 D．－3解析：選C由題意得a－b＝(2，－1)，2a＋tb＝(2－t，2＋2t)．因為(a－b)∥(2a＋tb)，所以2×(2＋2t)＝(－1)×(2－t)，解得t5．已知OB是平行四邊形OABC的一條對角線，O為坐標(biāo)原點，eq\o(OA,\s\up6(→))＝(2，4)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(1，3)，若點E滿足eq\o(OC,\s\up6(→))＝3eq\o(EC,\s\up6(→))，則點E的坐標(biāo)為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，－\f(2,3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，－\f(1,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)))解析：選A易知eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－1，－1)，則C(－1，－1)，設(shè)E(x，y)，則3eq\o(EC,\s\up6(→))＝3(－1－x，－1－y)＝(－3－3x，－3－3y)，由eq\o(OC,\s\up6(→))＝3eq\o(EC,\s\up6(→))，知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－3－3x＝－1，,－3－3y＝－1，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(2,3)，,y＝－\f(2,3)，))所以Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，－\f(2,3))).6．(一題多解)(2019屆合肥市第一次質(zhì)檢)設(shè)平面向量a＝(－3，4)，向量b與向量a方向相反，且|b|＝10，則向量b的坐標(biāo)為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(6,5)，\f(8,5))) B．(－6，8)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)，－\f(8,5))) D．(6，－8)解析：選D解法一：因為a與b的方向相反，所以可設(shè)b＝(3t，－4t)(t＞0)．又|b|＝10，則9t2＋16t2＝100，解得t＝2，或t＝－2(舍去)，所以b＝(6，－8)，故選D.解法二：與a方向相反的單位向量為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－\f(4,5)))，令b＝teq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－\f(4,5)))(t＞0)，由|b|＝10，得t＝10，所以b＝(6，－8)，故選D.7．(2019屆唐山模擬)一直線l與平行四邊形ABCD中的兩邊AB，AD分別交于點E，F(xiàn)，且交其對角線AC于點M，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))＝3eq\o(AF,\s\up6(→))，eq\o(AM,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))－μeq\o(AC,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，則eq\f(5,2)μ－λ＝()A．－eq\f(1,2) B．1C.eq\f(3,2) D．－3解析：選Aeq\o(AM,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))－μeq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))－μ(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝(λ－μ)eq\o(AB,\s\up6(→))－μeq\o(AD,\s\up6(→))＝2(λ－μ)eq\o(AE,\s\up6(→))－3μeq\o(AF,\s\up6(→))，因為E，M，F(xiàn)三點共線，所以2(λ－μ)＋(－3μ)＝1，即2λ－5μ＝1，所以eq\f(5,2)μ－λ＝－eq\f(1,2)，故選A.8．(2019屆廈門模擬)已知|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝eq\r(3)，eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝0，點C在∠AOB內(nèi)，且eq\o(OC,\s\up6(→))與eq\o(OA,\s\up6(→))的夾角為30°，設(shè)eq\o(OC,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))(m，n∈R)，則eq\f(m,n)的值為()A．2 B.eq\f(5,2)C．3 D．4解析：選C∵eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(OA,\s\up6(→))⊥eq\o(OB,\s\up6(→)).以eq\o(OA,\s\up6(→))所在直線為x軸，eq\o(OB,\s\up6(→))所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1，0)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(0，eq\r(3))，∴eq\o(OC,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))＝(m，eq\r(3)n)．∵tan30°＝eq\f(\r(3)n,m)＝eq\f(\r(3),3)，∴m＝3n，即eq\f(m,n)＝3，故選C.9．在?ABCD中，AC為一條對角線，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，4)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1，3)，則向量eq\o(BD,\s\up6(→))的坐標(biāo)為________．解析：∵eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1，－1)，∴eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－3，－5)．答案：(－3，－5)10．已知點A(2，3)，B(4，5)，C(7，10)，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(AC,\s\up6(→))(λ∈R)，且點P在直線x－2y＝0上，則實數(shù)λ的值為________．解析：設(shè)P(x，y)，則由eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(AC,\s\up6(→))，得(x－2，y－3)＝(2，2)＋λ(5，7)＝(2＋5λ，2＋7λ)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2＝2＋5λ，,y－3＝2＋7λ，))即x＝5λ＋4，y＝7λ＋5.又點P在直線x－2y＝0上，故5λ＋4－2(7λ＋5)＝0，解得λ＝－eq\f(2,3).答案：－eq\f(2,3)11．已知D，E，F(xiàn)分別為△ABC的邊BC，CA，AB的中點，且eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，給出下列命題：①eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a－b；②eq\o(BE,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,2)b；③eq\o(CF,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b；④eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝0.其中正確命題的個數(shù)為________．解析：由eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，得eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a－b，故①錯；eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,2)b，故②正確；eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(－a＋b)＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b，故③正確；所以eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝－b－eq\f(1,2)a＋a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)a＝0，故④正確．所以正確命題個數(shù)為3.答案：312．(一題多解)如圖，在正方形ABCD中，M，N分別是BC，CD的中點，若eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))＋μeq\o(BN,\s\up6(→))，則λ＋μ＝________．解析：解法一：以AB，AD所在直線分別為x軸，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系xAy，如圖所示，設(shè)正方形的邊長為1，易得A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，M1，eq\f(1,2)，Neq\f(1,2)，1，eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))，eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1，1)．因為eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))＋μeq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ－\f(\a\vs4\al(μ),2)，\f(λ,2)＋μ))＝(1，1)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ－\f(\a\vs4\al(μ),2)＝1，,\f(λ,2)＋μ＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(6,5)，,μ＝\f(2,5)，))所以λ＋μ＝eq\f(8,5).解法二：由eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(BN,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，得eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))＋μeq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ－\f(\a\vs4\al(μ),2)))eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(λ,2)＋μ))eq\o(AD,\s\up6(→))，又eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ－\f(\a\vs4\al(μ),2)＝1，,\f(λ,2)＋μ＝1，))解得eq\b\lc\((\a\vs4\al\co1(λ＝\f(6,5)，,μ＝\f(2,5)，))所以λ＋μ＝eq\f(8,5).答案：eq\f(8,5)B級·素養(yǎng)提升|練能力|α，β是平面內(nèi)的一組基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，則稱(x，y)為向量γ在基底α，β下的坐標(biāo)，現(xiàn)已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2，1)下的坐標(biāo)為(－2，2)，則a在另一組基底m＝(－1，1)，n＝(1，2)下的坐標(biāo)為()A．(2，0) B．(0，－2)C．(－2，0) D．(0，2)解析：選D因為a在基底p，q下的坐標(biāo)為(－2，2)，即a＝－2p＋2q＝(2，4)，令a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x＋y＝2，,x＋2y＝4，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝2.))所以a在基底m，n下的坐標(biāo)為(0，2)．14．(2019屆南充模擬)如圖，原點O是△ABC內(nèi)一點，頂點A在x軸上，∠AOB＝150°，∠BOC＝90°，|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝2，|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝3，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，則eq\f(\a\vs4\al(μ),λ)＝()A．－eq\f(\r(3),3) B.eq\f(\r(3),3)C．－eq\r(3) D.eq\r(3)解析：選D由題可得A(2，0)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，－\f(3\r(3),2))).因為eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，所以由向量相等的坐標(biāo)表示可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2λ－\f(\r(3),2)μ＝－\f(3,2)，,\f(\a\vs4\al(μ),2)＝－\f(3\r(3),2)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝－3，,μ＝－3\r(3)，))所以eq\f(\a\vs4\al(μ),λ)＝eq\r(3)，故選D.15．(一題多解)在△ABC中，點D在線段BC的延長線上，且eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(CD,\s\up6(→))，點O在線段CD上(與點C，D不重合)，若eq\o(AO,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋(1－x)eq\o(AC,\s\up6(→))，則x的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0))解析：選D解法一：依題意，設(shè)eq\o(BO,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))，其中1＜λ＜eq\f(4,3)，則有eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋λ(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝(1－λ)eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(AC,\s\up6(→)).又eq\o(AO,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋(1－x)eq\o(AC,\s\up6(→))，且eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))不共線，于是有x＝1－λ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0))，即x的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0))，故選D.解法二：∵eq\o(AO,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))