高考理科數(shù)學(xué)全優(yōu)二輪復(fù)習(xí)訓(xùn)練專(zhuān)題3第2講平行與垂直的判定與性質(zhì)

專(zhuān)題復(fù)習(xí)檢測(cè)A卷1．△ABC所在的平面為α，直線(xiàn)l⊥AB，l⊥AC，直線(xiàn)m⊥BC，m⊥AC，則直線(xiàn)l，m的位置關(guān)系是()A．相交 B．異面C．平行 D．不確定【答案】C【解析】l⊥AB，l⊥AC?l⊥α；m⊥BC，m⊥AC?m⊥α.故l∥m.2．已知m，n是兩條不同直線(xiàn)，α，β，γ是三個(gè)不同平面，下列命題中正確的是()A．若m⊥α，n⊥α，則m∥nB．若α⊥γ，β⊥γ，則α∥βC．若m∥α，n∥α，則m∥nD．若m∥α，m∥β，則α∥β【答案】A【解析】垂直于同一個(gè)平面的兩條直線(xiàn)平行，A正確；α，β垂直于同一個(gè)平面γ，則α，β可能相交或平行，B錯(cuò)誤；m，n平行于同一個(gè)平面，則m，n可能相交、平行或異面，C錯(cuò)誤；α，β平行于同一條直線(xiàn)m，則α，β可能相交或平行，D錯(cuò)誤．故選A．3．(2018年福建三明二模)如圖，已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，則以下四個(gè)命題中錯(cuò)誤的是()A．直線(xiàn)A1C1與AD1為異面直線(xiàn)B．A1C1∥平面ACD1C．BD1⊥ACD．三棱錐D1－ADC的體積為eq\f(8,3)【答案】D【解析】A中，直線(xiàn)A1C1?平面A1B1C1D1，BD1?平面A1B1C1D1，D1?直線(xiàn)A1C1，由異面直線(xiàn)判定定理得直線(xiàn)A1C1與AD1為異面直線(xiàn)，故A正確；B中，∵A1C1∥AC，A1C1?平面ACD1，AC?平面ACD1，∴A1C1∥平面ACD1，故B正確；C中，正方體ABCD－A1B1C1D1中，AC⊥BD，AC⊥DD1，∵BD∩DD1，∴AC⊥平面BDD1，∴BD1⊥AC，故C正確；D中，三棱錐D1－ADC的體積VD1－ADC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2×2＝eq\f(4,3)，D錯(cuò)誤．故選D．4．用a，b，c表示空間中三條不同的直線(xiàn)，γ表示平面，給出下列命題：①若a⊥b，b⊥c，則a∥c；②若a∥b，a∥c，則b∥c；③若a∥γ，b∥γ，則a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，則a∥b.其中真命題的序號(hào)是()A．①② B．②③C．①④ D．②④【答案】D【解析】若a⊥b，b⊥c，則a∥c或a與c相交或a與c異面，所以①是假命題；在空間中，平行于同一直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)平行，所以②是真命題；若a∥γ，b∥γ，則a∥b或a與b相交或a與b異面，所以③是假命題；若兩條直線(xiàn)垂直于同一個(gè)平面，則這兩條直線(xiàn)平行，所以④是真命題．故選D．5．(2018年福建泉州模擬)如圖，在下列四個(gè)正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G均為所在棱的中點(diǎn)，過(guò)E，F(xiàn)，G作正方體的截面，則在各個(gè)正方體中，直線(xiàn)BD1與平面EFG不垂直的是()A BC D【答案】B【解析】如圖，在正方體中，E，F(xiàn)，G，M，N，Q均為所在棱的中點(diǎn)，EFMNQG是一個(gè)平面圖形，直線(xiàn)BD1與平面EFMNQG垂直，且選項(xiàng)A，C，D中的平面與這個(gè)平面重合，滿(mǎn)足題意，只有選項(xiàng)B中的直線(xiàn)BD1與平面EFG不垂直．故選B．6．(2019年北京)已知l，m是平面α外的兩條不同直線(xiàn)．給出下列三個(gè)論斷：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.以其中的兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫(xiě)出一個(gè)正確的命題：________.【答案】若l⊥m，l⊥α，則m∥α(若m∥α，l⊥α，則l⊥m)【解析】從三個(gè)論斷中選兩個(gè)作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，共有三種可能．其中①③?②，②③?①是正確的命題，①②?③是錯(cuò)誤的命題，故可填“若l⊥m，l⊥α，則m∥α”或“若m∥α，l⊥α，則l⊥m”．7．(2019年湖北模擬)如圖是正方體的平面展開(kāi)圖．在這個(gè)正方體中：①BM∥平面DE；②CN∥平面AF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF.以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是________．【答案】①②③④【解析】由展開(kāi)圖可折得正方體如圖所示，由正方體的對(duì)面平行易得①②正確，由面面平行的判定易得③④正確．8．如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱長(zhǎng)為2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中點(diǎn)，F(xiàn)是BB1上的動(dòng)點(diǎn)，AB1，DF交于點(diǎn)E.要使AB1⊥平面C1DF，則線(xiàn)段B1F的長(zhǎng)為_(kāi)_______．【答案】eq\f(1,2)【解析】設(shè)B1F＝x，因?yàn)锳B1⊥平面C1DF，DF?平面C1DF，所以AB1⊥DF.由已知可以得A1B1＝eq\r(2)，設(shè)Rt△AA1B1斜邊AB1上的高為h，則DE＝eq\f(1,2)h.又2×eq\r(2)＝heq\r(22＋\r(2)2)，所以h＝eq\f(2\r(3),3)，DE＝eq\f(\r(3),3).在Rt△DB1E中，B1E＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))2)＝eq\f(\r(6),6).由面積相等，得eq\f(\r(6),6)×eq\r(x2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)＝eq\f(\r(2),2)x，得x＝eq\f(1,2)，即線(xiàn)段B1F的長(zhǎng)為eq\f(1,2).9．如圖，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn)分別為BB1，AC的中點(diǎn)．(1)求證：BF∥平面A1EC；(2)求證：平面A1EC⊥平面ACC1A1.【證明】(1)連接AC1交A1C于點(diǎn)O，連接OE，OF.在正三棱柱ABC－A1B1C1中，四邊形ACC1A1為矩形，所以O(shè)A＝OC1.又點(diǎn)F為AC的中點(diǎn)，所以O(shè)F∥CC1且OF＝eq\f(1,2)CC1.因?yàn)辄c(diǎn)E為BB1的中點(diǎn)，所以BE∥CC1且BE＝eq\f(1,2)CC1.所以BE∥OF且BE＝OF.所以四邊形BEOF是平行四邊形．所以BF∥OE.又BF?平面A1EC，OE?平面A1EC，所以BF∥平面A1EC.(2)因?yàn)锳B＝CB，點(diǎn)F為AC的中點(diǎn)，所以BF⊥AC.所以O(shè)E⊥AC.又AA1⊥底面ABC，BF?底面ABC，所以AA1⊥BF.由BF∥OE，得OE⊥AA1.又AA1，AC?平面ACC1A1，AA1∩AC＝A，所以O(shè)E⊥平面ACC1A1.因?yàn)镺E?平面A1EC，所以平面A1EC⊥平面ACC1A1.10．(2019年湖南模擬)如圖，直角梯形ABCD與梯形EFCD全等，其中AB∥CD∥EF，AD＝AB＝eq\f(1,2)CD＝1，且ED⊥平面ABCD，點(diǎn)G是CD的中點(diǎn)．(1)求證：平面BCF∥平面AGE；(2)求點(diǎn)C到平面AGE的距離．【解析】(1)∵AB∥CD，AB＝eq\f(1,2)CD，點(diǎn)G是CD的中點(diǎn)，∴AB∥GC，AB＝GC.∴四邊形ABCG為平行四邊形．∴BC∥AG.又BC?平面AGE，AG?平面AGE，∴BC∥平面AGE.∵直角梯形ABCD與梯形EFCD全等，∴AB＝EF.又AB∥EF，∴四邊形ABFE是平行四邊形．∴BF∥AE.又BF?平面AGE，AE?平面AGE，∴BF∥平面AGE.又BC?平面BCF，BF?平面BCF，BC∩BF＝B，∴平面BCF∥平面AGE.(2)設(shè)點(diǎn)C到平面AGE的距離為d.易知AE＝EG＝AG＝eq\r(2)，CG＝1，由VC－AGE＝VE－ACG，得eq\f(1,3)S△AGE·d＝eq\f(1,3)S△AGC·DE，則eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2))2d＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1，解得d＝eq\f(\r(3),3)，即點(diǎn)C到平面AGE的距離為eq\f(\r(3),3).B卷11．(2019年Ⅲ)如圖，點(diǎn)N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線(xiàn)段ED的中點(diǎn)，則()A．BM＝EN，且直線(xiàn)BM，EN是相交直線(xiàn)B．BM≠EN，且直線(xiàn)BM，EN是相交直線(xiàn)C．BM＝EN，且直線(xiàn)BM，EN是異面直線(xiàn)D．BM≠EN，且直線(xiàn)BM，EN是異面直線(xiàn)【答案】B【解析】連接BD，BE.由題意易知BM?平面BDE，EN?平面BDE.因?yàn)锽M是△BDE中DE邊上的中線(xiàn)，EN是△BDE中BD邊上的中線(xiàn)，所以直線(xiàn)BM，EN是相交直線(xiàn)．設(shè)DE＝a，則BD＝eq\r(2)a，BE＝eq\r(\f(3a2,4)＋\f(5a2,4))＝eq\r(2)a，所以BM＝eq\f(\r(7),2)a，EN＝eq\r(\f(a2,4)＋\f(3a2,4))＝a，所以BM≠EN.故選B．12．(2019年浙江麗水模擬)如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱BC，CC1的中點(diǎn)，P是側(cè)面BCC1B1內(nèi)一點(diǎn)，若A1P∥平面AEF，則線(xiàn)段A1P長(zhǎng)度的最小值為()A．eq\r(2) B．eq\f(3\r(2),2)C．eq\r(3) D．eq\r(5)【答案】B【解析】取BB1，B1C1的中點(diǎn)M，N，連接BC1，MN，AM，A1M，A1N，易得MN∥BC1∥EF，A1N∥AE，可證得平面A1MN∥平面AEF，則點(diǎn)P在線(xiàn)段MN上．由正方體的棱長(zhǎng)為2，可得A1M＝A1N＝eq\r(5)，MN＝eq\r(2)，則當(dāng)點(diǎn)P為線(xiàn)段MN的中點(diǎn)時(shí)，線(xiàn)段A1P的長(zhǎng)度最小，最小值為eq\r(\r(5)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)＝eq\f(3\r(2),2).故選B．13．把平面圖形M上的所有點(diǎn)在一個(gè)平面上的射影構(gòu)成的圖形M′稱(chēng)為圖形M在這個(gè)平面上的射影．如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－EFGH中，AB＝5，AD＝4，AE＝3，則△EBD在平面EBC上的射影的面積是________．【答案】2eq\r(34)【解析】連接HC，過(guò)D作DM⊥HC，連接ME，MB.∵BC⊥平面HCD，DM?平面HCD，∴BC⊥DM.又BC∩HC＝C，∴DM⊥平面HCBE，即D在平面HCBE內(nèi)的射影為M，∴△EBD在平面HCBE內(nèi)的射影為△EBM.在長(zhǎng)方體中，HC∥BE，∴△MBE的面積等于△CBE的面積，∴△EBD在平面EBC上的射影的面積為eq\f(1,2)×eq\r(52＋32)×4＝2eq\r(34).14．(2019年河北張家口模擬)如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，BC＝2AD，E為線(xiàn)段BC的中點(diǎn)．(1)求證：平面PDE⊥平面PAD.(2)在線(xiàn)段PB上是否存在點(diǎn)F，使得EF∥平面PCD？若存在，求出點(diǎn)F的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)若Q是PC中點(diǎn)，AB＝1，DC＝eq\r(2)，PA＝2，求三棱錐P－ABQ的體積．【解析】(1)證明：∵AD∥BC，BC＝2AD，E是BC的中點(diǎn)，∴AD∥BE，AD＝BE.∴四邊形ABED是平行四邊形，則AB∥DE.又∠BAD＝90°，∴∠ADE＝90°，故AD⊥DE.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DE.又AD∩PA＝A，∴DE⊥平面PAD.又DE?平面PDE，∴平面PDE⊥平面PAD.(2)取PB的中點(diǎn)F，連接EF.∵E為線(xiàn)段BC的中點(diǎn)，∴EF∥PC.又EF?平面PCD，PC?平面PCD，∴EF∥平面PCD.∴在線(xiàn)段PB上存在點(diǎn)F，使得EF∥平面PCD，點(diǎn)F為PB的中點(diǎn)．