2023學(xué)年完整公開(kāi)課版圓周角

第三節(jié)圓周角(一)第二十四章圓回顧與思考如圖1,∠AOB是

角。OAB如圖2,AB=CD,則∠AOB與∠COD的大小關(guān)系是：

。BAOCD圓心相等用心想一想，馬到功成在射門(mén)游戲中，球員射中球門(mén)的難易與他所處的位置B對(duì)球門(mén)AC的張角（∠ABC）有關(guān)。用心想一想，馬到功成如圖，當(dāng)他站在B，D，E的位置射球時(shí),對(duì)球門(mén)AC的張角的大小相等嗎？你能觀察到這三個(gè)角有什么共同特征嗎?用心想一想，馬到功成為解決這個(gè)問(wèn)題我們先來(lái)研究一種角。觀察圖中的∠ABC，頂點(diǎn)在什么位置？角的兩邊有什么特點(diǎn)？ABC用心想一想，馬到功成觀察圖中的∠ABC，可以發(fā)現(xiàn)，它的頂點(diǎn)在圓上，它的兩邊分別與圓還有另一個(gè)交點(diǎn)。像這樣的角，叫做圓周角。ABC請(qǐng)同學(xué)們考慮兩個(gè)問(wèn)題：（1）頂點(diǎn)在圓上的角是圓周角嗎？（2）角的兩邊都和圓相交的角是圓周角嗎？為解決這個(gè)問(wèn)題，我們先回答下面的問(wèn)題。下列各圖形中的角是不是圓周角？請(qǐng)說(shuō)明理由。ABCDE由圓周角的定義可知，只有C是圓周角，其它都不是。你能總結(jié)出圓周角的特征嗎？圓周角有兩個(gè)特征：①角的頂點(diǎn)在圓上；②兩邊在圓內(nèi)的部分是圓的兩條弦。用心想一想，馬到功成我們?cè)賮?lái)研究圓周角的性質(zhì)。為了解決這個(gè)問(wèn)題，我們先研究一條弧所對(duì)的圓周角與它所對(duì)的圓心角之間的關(guān)系。請(qǐng)同學(xué)們?cè)趫A上確定一條劣弧，畫(huà)出它所對(duì)的圓心角與圓周角測(cè)量它們的度數(shù)，你有何發(fā)現(xiàn)？AC圓心角不變圓周角的頂點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，觀察思考圓心和圓周角的位置關(guān)系有幾種情形？用心想一想，馬到功成歸納同學(xué)們的意見(jiàn)我們得到以下幾種情況。①圓心O經(jīng)過(guò)∠ABC的一邊。②圓心O在∠ABC的內(nèi)部。③圓心O在∠ABC的外部。哪一種最容易說(shuō)明∠ABC與∠AOC之間的關(guān)系？試試看BAOC①ABCO②BACO③下面我們首先考慮同學(xué)們列舉的一種特殊情況，即∠ABC的一邊BC經(jīng)過(guò)圓心O。BAOC∵∠AOC是△ABO的外角，∴∠AOC=∠ABO+∠BAO?！逴A=OB，∴∠ABO=∠BAO?！唷螦OC=2∠ABO，∴∠ABC=∠AOC。12如圖,我們可以觀察到∠AOC是△ABO的外角，∠ABC是△ABO的一個(gè)內(nèi)角，它們兩者存在一定關(guān)系.下面我們首先考慮同學(xué)們列舉的一種特殊情況，即∠ABC的一邊BC經(jīng)過(guò)圓心O。BAOC∵∠AOC是△ABO的外角，∴∠AOC=∠ABO+∠BAO?！逴A=OB，∴∠ABO=∠BAO?！唷螦OC=2∠ABO，∴∠ABC=∠AOC。12那么當(dāng)∠ABC的兩邊都不經(jīng)過(guò)圓心O時(shí)，∠ABC與∠AOC又有怎樣的大小關(guān)系呢？ABCOBACO我們可以考慮把這兩種情況分別轉(zhuǎn)化成剛才的特殊情形來(lái)考慮。ABCO也就是借用直徑，連接BO并延長(zhǎng)，與圓相交于點(diǎn)D。D（此時(shí)我們得到與圖①同樣的情形）132BAOC①∵∠1是△ABO的外角，∴∠1=∠2+∠3?！逴A=OB，∴∠2=∠3?！唷?=2∠2，∴∠2=∠1。125412同理,∠4=∠5。12∴∠2+∠4=（∠1+∠5）?！唷螦BC=∠AOC。12BACOBAOC①如圖，連接BO并延長(zhǎng)，與圓相交于點(diǎn)D。（此時(shí)我們得到與圖①同樣的情形）D∵∠AOD是△ABO的外角，∴∠AOD=∠A+∠ABO?！逴A=OB，∴∠A=∠ABO?！唷螦OD=2∠ABD，∴∠ABD=∠AOD。12BACOBAOC①如圖，連接BO并延長(zhǎng)，與相交于點(diǎn)D。（此時(shí)我們得到與圖①同樣的情形）D∵∠AOD是△ABO的外角，∴∠ABD=∠A+∠ABO?！逴A=OB，∴∠A=∠ABO?！唷螦OD=2∠ABD，∴∠ABD=∠AOD。12同理,∠CBD=∠COD。12BACOBAOC①如圖，連接BO并延長(zhǎng)，與相交于點(diǎn)D。（此時(shí)我們得到與圖①同樣的情形）D∵∠AOD是△ABO的外角，∴∠ABD=∠A+∠ABO?！逴A=OB，∴∠A=∠ABO?！唷螦OD=2∠ABD，∴∠ABD=∠AOD。12同理,∠CBD=∠COD。12∴∠ABD－∠CBD=∠AOD－∠COD=（∠AOD－∠COD）?！唷螦BC=∠AOC12121212認(rèn)真觀察，探求結(jié)果通過(guò)對(duì)三種情形的證明，同學(xué)們?cè)僬J(rèn)真觀察圖形，你會(huì)得到什么結(jié)果？BAOCABCOBACO一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的

。一半AOCB一題多變?nèi)鐖D，在⊙O中，∠BOC=50°，則∠BAC=

。點(diǎn)撥：此題要選擇關(guān)鍵點(diǎn)：∠BOC與∠BAC對(duì)著B(niǎo)C，因此∠BOC等于∠BAC的2倍。25°

AOCB一題多變?nèi)鐖D，在⊙O中，∠BOC=50°，則∠BAC=

。變化題2：如圖，∠BAC=40°，則∠OBC=

。ABCO變化題1：如圖，點(diǎn)A，B，C是⊙O上的三點(diǎn)，∠BAC=40°，則∠BOC=

。

25°

50°

80°

由∠BAC=40°可得∠BOC=80°，再由△BOC是等腰三角形可求得∠OBC。如圖，△ABC的頂點(diǎn)A、B、C都在⊙O上，∠C＝30°，AB＝2，則⊙O的半徑是

。CABO一題多變其他條件不變，當(dāng)∠C＝45°⊙O的半徑是多少？當(dāng)∠C＝60°時(shí)呢？開(kāi)拓創(chuàng)新試一試如圖，OA，OB，OC都是⊙O的半徑，∠

AOB=2∠BOC，∠

ACB與∠

BAC的大小有什么關(guān)系？為什么？ABCO請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真觀察∠AOB與∠ACB，∠BOC與∠BAC的關(guān)系。

答：∠ACB=2∠BAC.理由是:∵∠AOB=2∠ACB∠BOC=2∠BAC∠AOB=2∠BOC∴2∠ACB=2（2∠BAC）∴∠ACB=2∠BAC大膽嘗試，練一練！ABCDO如圖，A，B，C，D是⊙O上的四點(diǎn)，且∠BCD=100°

，求∠BOD（BCD所對(duì)的圓心角）和∠BAD的大小。由∠BCD=100°，我們可求出對(duì)應(yīng)的圓心角∠1是200°

，則∠BOD就可求。

解：∵∠BCD=100°∴∠1=200°∴∠BOD=360°－200°=160°1大膽嘗試，練一練！ABCDO如圖，A，B，C，D是⊙O上的四點(diǎn)，且∠BCD=100°

，求∠BOD（BCD所對(duì)的圓心角）和∠BAD的大小。解：∵∠BCD=100°∴∠1=200°∴∠BOD=360°－200°=160°1觀察∠BOD與∠BAD的關(guān)系就可以求∠BAD的大小。

∴∠BAD=∠BOD=×160°=80°

1212課內(nèi)拓展延伸1.到目前為止,我們學(xué)習(xí)到和圓有關(guān)的角有幾個(gè)?它們各有什么特點(diǎn)?相互之間有什么關(guān)系?答:和圓有關(guān)的角有圓心角和圓周角.圓心角頂點(diǎn)在圓心;圓周角頂點(diǎn)在圓上，角的兩邊和圓相交。一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。2.課后思考如圖，當(dāng)他站在B，D，E的位置射球時(shí)對(duì)球門(mén)AC的張角的大小相等嗎？為什么？謝謝合作!1.如