具有相關(guān)失效模式的非線性動(dòng)態(tài)隨機(jī)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)可靠性分析

具有相關(guān)失效模式的非線性動(dòng)態(tài)隨機(jī)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)可靠性分析

結(jié)構(gòu)的可靠性是結(jié)構(gòu)的主要目標(biāo)之一。結(jié)構(gòu)承受的負(fù)荷具有隨機(jī)變化的性質(zhì)，結(jié)構(gòu)參數(shù)的值也具有分散性（例如，材料、幾何等特征具有固有的隨機(jī)性）。這種分散可以反映在結(jié)構(gòu)體系的質(zhì)量、強(qiáng)度和剛性等參數(shù)的隨機(jī)性上。例如，材料和幾何特性的固有隨機(jī)性肯定會(huì)導(dǎo)致結(jié)構(gòu)系統(tǒng)質(zhì)量和剛度的分散隨機(jī)性。結(jié)構(gòu)確定由框架組成，結(jié)構(gòu)和部件之間連接著鉚釘、鏈和螺釘?shù)葓?jiān)固的連接。例如，也有側(cè)面螺釘和結(jié)構(gòu)的連接點(diǎn)，例如，鉚釘、鏈和螺釘。在任何結(jié)合面上，都會(huì)有相對于建筑系統(tǒng)振動(dòng)的相對抖動(dòng)，這種衰減也與材料和幾何特性的固有隨機(jī)性有關(guān)。因此，結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的可靠性研究非常重要。本研究有助于結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)人員合理建立結(jié)構(gòu)安全容限，控制隨機(jī)參數(shù)對結(jié)構(gòu)安全的影響，使結(jié)構(gòu)預(yù)測的操作性能符合實(shí)際運(yùn)行的性能，實(shí)現(xiàn)了足夠的安全可靠性和足夠的經(jīng)濟(jì)性結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)。雖然具有隨機(jī)參數(shù)的隨機(jī)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)要遠(yuǎn)比確定結(jié)構(gòu)系統(tǒng)復(fù)雜,但是近20年來,以二階矩法和隨機(jī)有限元法為主體的隨機(jī)結(jié)構(gòu)可靠性分析的研究已取得了可觀的成果,并發(fā)展了一般隨機(jī)有限元法.具有隨機(jī)參數(shù)的隨機(jī)結(jié)構(gòu)振動(dòng)系統(tǒng)要遠(yuǎn)比靜態(tài)隨機(jī)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)復(fù)雜,所以其可靠性問題的研究還處于初級階段.再者,在非線性隨機(jī)結(jié)構(gòu)振動(dòng)系統(tǒng)中不能使用線性系統(tǒng)中的一些有效的方法(如疊加原理等),導(dǎo)致目前關(guān)于具有隨機(jī)參數(shù)的非線性振動(dòng)系統(tǒng)的可靠性問題的研究還多限于單自由度系統(tǒng)和具有獨(dú)立失效模式的多自由度非線性振動(dòng)系統(tǒng)的可靠性分析.而在失效模式相關(guān)的情況下,關(guān)于具有隨機(jī)參數(shù)的多自由度非線性振動(dòng)系統(tǒng)的可靠性分析方面的研究還很少見有成果發(fā)表.本文提出了在隨機(jī)參數(shù)的聯(lián)合概率密度函數(shù)未知的情況下,具有相關(guān)失效模式的多自由度非線性隨機(jī)結(jié)構(gòu)振動(dòng)系統(tǒng)可靠性分析的數(shù)值方法.首先回顧了多自由度非線性隨機(jī)振動(dòng)系統(tǒng)的響應(yīng)的二維矩陣函數(shù)表達(dá)式,應(yīng)用向量值和矩陣值函數(shù)的概率攝動(dòng)法和四階矩技術(shù),導(dǎo)出了多自由度非線性系統(tǒng)響應(yīng)和狀態(tài)函數(shù)的前四階矩,使用最大熵理論,結(jié)合不完全概率信息技術(shù),給出了響應(yīng)和狀態(tài)函數(shù)的聯(lián)合概率密度函數(shù),從而確定了多自由度非線性隨機(jī)結(jié)構(gòu)振動(dòng)系統(tǒng)的可靠度.而在隨機(jī)參數(shù)前四階矩已知的情況下,本文方法放松了對隨機(jī)參數(shù)的分布概型和隨機(jī)激勵(lì)的類型的限制,使之更接近于工程實(shí)際中的非線性隨機(jī)振動(dòng)系統(tǒng)的首次超限破壞問題,較好地解決了多自由度非線性隨機(jī)振動(dòng)系統(tǒng)的可靠性分析問題.1階音頻接口隨機(jī)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的非線性運(yùn)動(dòng)方程可以表示為式中,M,f,x和F分別為廣義質(zhì)量矩陣、非線性函數(shù)向量、位移向量和外力向量,上標(biāo)“·”代表對時(shí)間t的導(dǎo)數(shù),B=(bij)s×t為用以描述概率影響的s×t階的隨機(jī)參數(shù)矩陣,其中,包含隨機(jī)載荷參數(shù)和隨機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù),這些隨機(jī)參數(shù)的概率統(tǒng)計(jì)特性是已知的.若向量q(p×1)為矩陣B(s×t)的函數(shù),則q在標(biāo)稱值B處的二階Taylor表達(dá)式為式中,為d[cs(B)]的二階Kronecker冪,符號代表Kronecker積,定義為cs(B)定義為,為在k是1,在其他處為0的S維單位向量,Is為s×s階單位矩陣,矩陣導(dǎo)數(shù)定義為.為了推導(dǎo)非線性結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的一般隨機(jī)有限元法的矩陣方程,把方程(1)兩邊在附近展開成二階Taylor表達(dá)式,然后合并同階頂,可以得到與方程(1)相一致的零階、一階和二階方程,求解這些方程,可以得到動(dòng)力響應(yīng)的前四階矩為式中,E(csB),Var(csB),Tm(csB),Fm(csB)和E(x),Var(x),Tm(x),Fm(x)分別代表基本隨機(jī)變量和響應(yīng)的均值、方差、三階矩和四階矩,和分別為零階和二階方程的解,為響應(yīng)向量的靈敏度矩陣,可以表示為把方程(7)分別代入方程(4)～(6),就可以得到動(dòng)力響應(yīng)的方差、三階矩和四階矩矩陣.顯然可見,在求動(dòng)力響應(yīng)的方差、三階矩和四階矩時(shí),這里只涉及響應(yīng)的一階靈敏度,這給解決工程實(shí)際問題帶來了相當(dāng)?shù)姆奖?當(dāng)然,如果取高階矩為一階以上的精度,會(huì)帶來數(shù)學(xué)上的繁瑣.依據(jù)以上推導(dǎo)過程,發(fā)展了國際上通用的概率攝動(dòng)法和隨機(jī)有限元法,得到了向量值和矩陣值函數(shù)的概率攝動(dòng)法和隨機(jī)有限元法.2狀態(tài)函數(shù)的傳統(tǒng)模擬多自由度非線性隨機(jī)振動(dòng)系統(tǒng)可靠性分析的首次超限破壞問題定義為式中,A=(A1,A2,…,An)T為隨機(jī)響應(yīng)向量x=(x1,x2,…,xn)T的門檻值向量,g(A,x)為狀態(tài)函數(shù),可表示系統(tǒng)的兩種狀態(tài):這里極限狀態(tài)方程g(A,x)=0為一個(gè)n維曲面,代表極限狀態(tài)表面,也就是失敗面.方程(8)表示一組n個(gè)方程:可以認(rèn)為響應(yīng)xi與門檻值A(chǔ)i為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,由此可以確定狀態(tài)函數(shù)gi(Ai,xi)的前四階矩表示式:在非線性系統(tǒng)中,疊加原理已經(jīng)不能成立,對正態(tài)輸入已不再遵循正態(tài)輸出,這樣不論輸入如何,都很難確定輸出的分布概型,由此很難得到系統(tǒng)的可靠度.根據(jù)最大熵理論,借助于計(jì)算出的響應(yīng)和狀態(tài)函數(shù)的各階矩,可以得到輸出的一個(gè)解析形式的概率密度函數(shù).3最大熵概率密度函數(shù)對于連續(xù)隨機(jī)變量,熵定義為式中,f(gi)為隨機(jī)狀態(tài)函數(shù)gi的概率密度函數(shù),Ω為積分域.根據(jù)最大熵理論,有其約束條件為式中,為第k階中心矩.利用Lagrange乘子λ0,λ1,λ2,λ3和λ4組成目標(biāo)函數(shù):使用乘子(0+1)實(shí)際上比使用乘子λ0會(huì)獲得更方便的結(jié)果.調(diào)整f(gi)使熵達(dá)到最大,即由得到在積分號內(nèi)合并各項(xiàng),有要使上式為零,則必有據(jù)此得到最大熵概率密度函數(shù)的解析表達(dá)式:可見,只要得到λ0和λj(j=1,2,3,4),最大熵概率密度函數(shù)就完全確定了.把(23)式代入(17)式,得兩邊乘以,有由此可以確定λ0的計(jì)算公式:為了確定λj(j=1,2,3,4)的計(jì)算公式,將(25)式對λj求微分,得到或根據(jù)(18)和(23)式,上式可以寫成同理將(26)式對λj求微分,有應(yīng)用(29)式,以代替方程左邊,得為了便于使用,可以把上式表示成為余量的形式:式中,Wj是以數(shù)值技術(shù)減小接近于零的余數(shù).利用非線性最小二乘估計(jì),有當(dāng)W<ε(ε為允許誤差)或當(dāng)所有的|Wj|ε時(shí),上式達(dá)到收斂,從而求得λj(j=1,2,3,4).代入(26)式求得λ0,依據(jù)數(shù)值方法(非線性規(guī)劃技術(shù))(32)式被求解,于是方程(23)便完全確定了,即求得了狀態(tài)函數(shù)的邊緣概率密度函數(shù).4狀態(tài)函數(shù)的概率統(tǒng)計(jì)特性及可靠度函數(shù)可靠性分析的一個(gè)目標(biāo)是確定系統(tǒng)的可靠度,根據(jù)狀態(tài)函數(shù)的定義,非線性多自由度隨機(jī)振動(dòng)系統(tǒng)的可靠度可表示為式中,fg(g)為狀態(tài)函數(shù)g(A,x)的聯(lián)合概率密度函數(shù).顯然可見,關(guān)鍵的問題是確定狀態(tài)函數(shù)g(A,x)的聯(lián)合概率密度函數(shù).根據(jù)不完全概率信息理論,狀態(tài)函數(shù)g(A,x)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為式中,為狀態(tài)函數(shù)gi(Ai,xi)的邊緣概率密度函數(shù),F(gi)為狀態(tài)函數(shù)gi(Ai,xi的邊緣概率分布函數(shù),φ(Gi)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量Gi的概率密度函數(shù),φn(G,R0)為零均值、單位標(biāo)準(zhǔn)差、相關(guān)矩陣為R0的n維正態(tài)聯(lián)合概率密度函數(shù),這里標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量Gi可以通過下面變換獲得:式中,Φ()為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù).相關(guān)矩陣R0的元素ρ0,ij可通過下面的積分關(guān)系式獲得:式中,這里,ρij為狀態(tài)函數(shù)gj和gj的相關(guān)系數(shù),可由下式確定:式中,Cov(gi,gj)為狀態(tài)函數(shù)gi和gj的協(xié)方差.由概率統(tǒng)計(jì)理論,有式中,y=(A1,…,An,x1,…,xn)T為檻值和響應(yīng)的聯(lián)合變量.至此,完全確定了狀態(tài)函數(shù)的聯(lián)合概率密度函數(shù),從而可得系統(tǒng)的可靠度函數(shù),進(jìn)行可靠性分析.5隨機(jī)參數(shù)隨機(jī)參數(shù)分布概型如圖1所示,兩個(gè)自由度非線性隨機(jī)振動(dòng)系統(tǒng)——車載包裝箱,箱體受水平加速度為y(t),在質(zhì)量m1和m2與箱體間的允許間隙分別為A1和A2.由于彈簧和阻尼的存在,以保證箱體在受到外部作用時(shí),兩個(gè)質(zhì)量不至于與箱體發(fā)生剛性碰撞,從而使結(jié)構(gòu)系統(tǒng)安全.系統(tǒng)的振動(dòng)方程為初始條件為式中,這里假定質(zhì)量m1,m2和c1,c2,c3為確定參數(shù),其數(shù)值為m1=m2=4.0kg,c1=c2=c3=0.15N·s/mm,隨機(jī)彈性剛度k1和k2分別服從方差系數(shù)為0.05的正態(tài)分布,其均值分別為.間隙A1和A2為概率相關(guān)的失效模式,相關(guān)系數(shù)為ρ12=0.25,其前四階矩分別為隨機(jī)參數(shù)矩陣B=[k1k2A1,A2]T.分別取ε=0.0,ε=0.3和ε=0.5計(jì)算出系統(tǒng)的可靠度隨時(shí)間變化的曲線,繪于圖2,用MonteCarlo方法模擬系統(tǒng)可靠度,計(jì)算結(jié)果與之相比較.當(dāng)ε=0.0,ε=0.3和ε=0.5時(shí)的比較圖見圖3.本例題只給出了間隙的前四階矩和其相關(guān)系數(shù),而沒有給出其分布概型,應(yīng)用本文所闡述的方法,就可以計(jì)算出系統(tǒng)的可靠度函數(shù)隨時(shí)間的變化曲線,這對工程實(shí)際有著十分重要的意義.因?yàn)樵诠こ虒?shí)際中,很難有足夠的資料確定出隨機(jī)參數(shù)的分布概型.另外,這里只考慮系統(tǒng)參數(shù)的隨機(jī)性,如果要體現(xiàn)激勵(lì)的隨機(jī)性,應(yīng)該根據(jù)具體問題的要求考慮構(gòu)成激勵(lì)的參數(shù)的隨機(jī)性.6數(shù)值方法的應(yīng)用本文應(yīng)用四階矩技術(shù)、最大熵理論及不完全概率信息