數(shù)學(xué)建?；A(chǔ)知識(shí)：矩陣和線性方程組

實(shí)驗(yàn)一投入產(chǎn)出平衡——矩陣和線性方程組一、國(guó)民經(jīng)濟(jì)投入產(chǎn)出綜合平衡設(shè)有n個(gè)經(jīng)濟(jì)部門(mén)，xi為部門(mén)i的總產(chǎn)出，cij為部門(mén)j單位產(chǎn)品對(duì)部門(mén)i產(chǎn)品的消耗，di為外部對(duì)部門(mén)i的需求，fj為部門(mén)j新創(chuàng)造的價(jià)值。那么各經(jīng)濟(jì)部門(mén)總產(chǎn)出應(yīng)滿足下列關(guān)系式：消耗平衡方程組j=1,2,…,n令C=（cij），X=(x1,…,xn)',D=(d1,…,dn)’，F(xiàn)=(f1,…,fn)’則X=CX+D令A(yù)=E－C，E為單位矩陣，則AX=DC稱為直接消耗矩陣，A稱為列昂杰夫（Leontief）矩陣。分配平衡方程組i=1,2,…,nY=[1,1,…,1]BY表示各部門(mén)的總投入，稱為投入向量。新創(chuàng)造價(jià)值向量F=X–Y'B=CB表示各部門(mén)間的投入產(chǎn)出關(guān)系，稱為投入產(chǎn)出矩陣。二、數(shù)學(xué)理論復(fù)習(xí)：線性代數(shù)1、線性方程組記為Ax=b其中A=(aij)m×nx=

(x1,…,xn)’,b=

(b1,…,bm)’若秩(A)

秩(A,b)，則無(wú)解；若秩(A)=秩(A,b)=n,存在唯一解；若秩(A)=秩(A,b)<n,存在無(wú)窮多解；通解是齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系與Ax=b的一個(gè)特解之和。對(duì)于線性方程組Ax=b：Ax=0稱為齊次的線性方程組2、逆矩陣方陣A稱為可逆的，如果存在方陣B，使AB=BA=E，記B=A-1方陣A可逆的充分必要條件:

A

0求逆矩陣方法：

A-1=A*/|A|這里A*為A的伴隨矩陣（AE）行變換（EA-1）3、特征值與特征向量對(duì)于方陣A，若存在數(shù)

和非零向量x使Ax=

x，則稱

為A的一個(gè)特征值，x為A的一個(gè)對(duì)應(yīng)于特征值

的特征向量。特征值計(jì)算歸結(jié)為:特征多項(xiàng)式|A-

E|=0的求根。對(duì)應(yīng)于特征值

的特征向量是齊次線性方程組(A-

E)x=0的所有非零解三、使用MATLAB

det方陣的行列式diag對(duì)角陣inv方陣的逆cond方陣的條件數(shù)trace方陣的跡orth正交規(guī)范化rank矩陣的秩null求基礎(chǔ)解系rref矩陣的行最簡(jiǎn)形eig特征值與特征向量jordan約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形分解norm矩陣或向量范數(shù)1、特殊矩陣生成zeros(m,n)生成m行n列的零矩陣;ones(m,n)生成m行n列的元素全為1的陣;eye(n)生成n階單位矩陣;當(dāng)A是矩陣,diag(A)返回A的對(duì)角線元素構(gòu)成的向量;當(dāng)X是向量,diag(X)返回由X的元素構(gòu)成的對(duì)角矩陣；rand(m,n)生成m行n列[0,1]上均勻分布隨機(jī)數(shù)矩陣；linspace(x1,x2,n)生成x1與x2間的n維等距行向量,即將[x1,x2]n-1等分。2、行列式和逆矩陣det(A)返回方陣A的行列式;inv(A)返回A的逆矩陣。3、矩陣除法左除法A\B求解矩陣方程AX=B右除法B/A求解矩陣方程XA=B(1)當(dāng)A為方陣，A\B與inv(A)*B基本一致：

(2)當(dāng)A不是方陣，除法將自動(dòng)檢測(cè)。若方程組無(wú)解,