數(shù)值分析方法第七章

考慮一階常微分方程的初值問(wèn)題/*Initial-ValueProblem*/:其中f(x,y)為x,y的已知函數(shù)，y0為給定的初始值第六章常微分方程數(shù)值解/*NumericalMethodsforOrdinaryDifferentialEquations*/例如：其解析解為：只有一些特殊類(lèi)型的微分方程問(wèn)題能夠得到用解析表達(dá)式表示的函數(shù)解，而大量的微分方程問(wèn)題很難得到其解析解。這是微積分的發(fā)明者之一Leibniz在1686年曾經(jīng)讓當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)界人士求解的一階微分方程式，吸引了許多數(shù)學(xué)家的注意，大約經(jīng)過(guò)150年的探索到1838年,劉維爾（Liouville)在理論上證明了這個(gè)微分方程不能用初等積分法求解，得借助于數(shù)值方法

只能依賴(lài)于數(shù)值方法去獲得微分方程的數(shù)值解。

數(shù)值方法的基本思想是：在解的存在區(qū)間上取n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)

這里hi可以不相等，但一般取成相等的，這時(shí)在這些節(jié)點(diǎn)上采用離散化方法，（通常用數(shù)值積分、微分、泰勒展開(kāi)等）將上述初值問(wèn)題化成關(guān)于離散變量的相應(yīng)問(wèn)題。把這個(gè)相應(yīng)問(wèn)題的解yn作為y(xn)的近似值。這樣求得的yn就是上述初值問(wèn)題在節(jié)點(diǎn)xn上的數(shù)值解。一般說(shuō)來(lái)，不同的離散化導(dǎo)致不同的方法。，i=0,1,…,n-1稱(chēng)為由xi到xi+1的步長(zhǎng)。步進(jìn)式：根據(jù)已知的或已求出的節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值計(jì)算當(dāng)前節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值，一步一步向前推進(jìn)。因此只需建立由已知的或已求出的節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值求當(dāng)前節(jié)點(diǎn)函數(shù)值的遞推公式即可?！?歐拉方法

/*Euler’sMethod*/

歐拉公式：x0x1向前差商近似導(dǎo)數(shù)記為亦稱(chēng)為歐拉折線法

/*Euler’spolygonalarcmethod*/

也稱(chēng)歐拉折線法.

用這條折線近似地代替曲線由Euler法所得的折線明顯偏離了積分曲線，可見(jiàn)此方法非常粗糙。例用歐拉法求初值問(wèn)題當(dāng)h=0.02時(shí)在區(qū)間[0,0.1]上的數(shù)值解。解：把代入歐拉法計(jì)算公式，得具體計(jì)算結(jié)果nxnyny(xn)

n=y(xn)-

yn001.00001.0000010.020.98200.98250.000520.040.96500.96600.000530.060.94890.95030.001440.080.93360.93540.001850.100.91920.9230.0021表中y(xn)，是初值問(wèn)題的真解在xn上的值。為近似值yn的誤差。從表中可以看出，隨著n的增大，誤差也在增大，所以說(shuō)，歐拉法計(jì)算簡(jiǎn)便，對(duì)一些問(wèn)題有較大的使用價(jià)值，但是，它的誤差較大，所得的數(shù)值解精確度不高。定義在假設(shè)yi=y(xi)，即第i步計(jì)算是精確的前提下，考慮的截?cái)嗾`差Ri=y(xi+1)

yi+1稱(chēng)為局部截?cái)嗾`差/*localtruncationerror*/。定義若某算法的局部截?cái)嗾`差為O(hp+1)，則稱(chēng)該算法有p階精度。

歐拉法的局部截?cái)嗾`差：歐拉法具有1階精度。Ri的主項(xiàng)/*leadingterm*/衡量求解公式好壞的一個(gè)主要標(biāo)準(zhǔn)是求解公式的精度,因此引入局部截?cái)嗾`差和階數(shù)的概念。Euler’sMethod

歐拉公式的改進(jìn)：

隱式歐拉法/*implicitEulermethod*/向后差商近似導(dǎo)數(shù)x0x1))(,()(1101xyxfhyxy+

)1,...,0(),(111-=+=+++niyxfhyyiiii§Euler’sMethod由于未知數(shù)yi+1

同時(shí)出現(xiàn)在等式的兩邊，不能直接得到，故稱(chēng)為隱式/*implicit*/

歐拉公式，而前者稱(chēng)為顯式/*explicit*/歐拉公式。一般先用顯式計(jì)算一個(gè)初值，再迭代求解。

隱式歐拉法的局部截?cái)嗾`差：即隱式歐拉公式具有1階精度。Hey!Isn’ttheleadingtermofthelocaltr