萬有引力的定律的推導(dǎo)與證明

萬有引力的定律的推導(dǎo)與證明我推導(dǎo)的，供大家參考與借鑒(QQ:1596058469)關(guān)鍵詞：微積分，橢圓，高階導(dǎo)數(shù)，二維向量，極坐標(biāo)，運動學(xué)方程。符號說明：氣代表平行于長軸的水平加速度J代表平行于短軸的豎直加速度,代表恒星與行星的距離。代表,與尤軸夾角村代表時間r"代表r對伯勺二階導(dǎo)數(shù)r'代表r對伯勺一階導(dǎo)數(shù)①代表行星對于恒星的角速度①'代表①對伯勺一階導(dǎo)數(shù)，即角加速度；代表沿尤軸正向的單位常矢量"代表沿^軸正向的單位常矢量刑代表行星的合加速度云代表行星與恒星連線的單位方向向量，方向由恒星指向行星新代表橢圓的長半軸。代表橢圓的短半軸c代表橢圓焦距F代表橢圓左焦點1S代表極徑r線段掃過的面積。代表任意常數(shù)F代表萬有引力F代表萬有引力的水平分量XF代表萬有引力的豎直分量T代表行星公轉(zhuǎn)周期兀代表圓周率m代表行星質(zhì)量心代表恒星質(zhì)量於代表開普勒常量G代表萬有引力常量標(biāo)量表示式：a=，=r"cos9-2r'①sin9-r(寸sin9+?2cos9)=(r"-r?2)cos9-(2r'①+r?')sin9a=，之,”們=r"sin9+2r'?cos9+r(?'cos9-?2sin9)=(r"-r?2)sin9+(2r'?+r?')cos9矢量表示式：a=(r"-r?2)icos9一(2r'?+r?')isin9a=(r"-r?2)jsin9+(2r'?+r?')jcos9e=icos9+jsin9r=ricosr=ricos9+rjsin9n<r[d9如 -isin9+jcosr[d9a=a+a=(r"-rro2)e+(2r'①+r?')'%TOC\o"1-5"\h\zxy r d9現(xiàn)推導(dǎo)r(9)的函數(shù)關(guān)系式設(shè)橢圓的一般方程為X2+y2=1,則其左焦點坐標(biāo)為F(-c,0),以F為極點，建立極坐標(biāo)方程，有:a2 b2 1 1(rcos9-c)2*(rsin9)2 〔-3八 b2. Q一2crb2cos9+b2c2一a2b2一2crb2cos9+b2c2一a2b2=02cb2cos92cb2cos9±J4c2b4cos29+4b2cos2<+a2sin29cb2cos9土b2..c2cos29+b2+c2sin292b2cos29+a2sin29十2+c2sin29)b2cos9+b2a2一c2cos29b2a一ccos9橢圓元面積一1小dS=r2d。2由開普勒第二定律：單位時間內(nèi)，極徑掃過的面積是常數(shù)^dS 1 ,、r，,、t”.=r2?=常數(shù)dt2即$與￡是一次函數(shù)關(guān)系，其通解為：c1 八S=r2①t+C2d^S 1 ,、r，,、t”.——=一r20=常數(shù)TOC\o"1-5"\h\z? 2=2rr'①+r20'=02r'o+ro'=0「.F=F+F=m(r"-rQ2)e+m(2r'o+ro')』'r=m(r"-ro2)exy r d。 rb2 b2?/r= —(nccos。=a一一)a一ccos。 rb2=ra-crcos。,左右對t求導(dǎo)，關(guān)鍵性一步：0=ar'-cr'cos。+crosin。再對t求一次導(dǎo)，飛躍性一步：0=ar"-cr"cos。+2cr'osin。+cr(o'sin。+o2cos。)0=ar"+c(ro2-r")cos。+c(2r'o+ro')sin。0=(a-ccos。)r"+cro2cos。=—r"+ro2(a一竺)=—(r"-ro2)+ro2ar rr,, r2o2ar-ro2= r2or2o2a—eb2 rF=m(r"-ro2)e=-mr行星掃過一周的面積(S=1F+C)S橢=S(T)-S(0)=2r2^T=nab2nabr2①= Tr2①2r2①2a一 (r2①)2a-F=—me=—m e=—mb2r b2r2 rT' — 4n2a3- 4n2a3Mm e=—m e=— eb2r2 r T2r2r MT2r2r2na