數(shù)學(xué)人教B版選修2-3本章整合第二章概率

本章整合知識(shí)網(wǎng)絡(luò)專題探究專題一：相互獨(dú)立事件的概率與條件概率【應(yīng)用】某同學(xué)參加科普知識(shí)競(jìng)賽，需回答3個(gè)問題．競(jìng)賽規(guī)則規(guī)定：答對(duì)第一、二、三個(gè)問題分別得100分、100分、200分，答錯(cuò)得零分．假設(shè)這名同學(xué)答對(duì)第一、二、,,，且各題答對(duì)與否相互之間沒有影響．(1)求這名同學(xué)得300分的概率；(2)求這名同學(xué)至少得300分的概率．提示：本小題考查概率知識(shí)．(1)同學(xué)得300分必是第一、二題一對(duì)一錯(cuò)，這樣得100分，而第三題一定答對(duì)，所以一共得分是300分．(2)至少300分，意思是得300分或多于300分，而本題包括兩種情況：一種是得300分，另一種是得400分，兩種概率相加即可．解：記“這名同學(xué)答對(duì)第i個(gè)問題”為事件Ai(i＝1,2,3)，則P(A1)＝0.8，P(A2)＝0.7，P(A3)＝0.6.(1)這名同學(xué)得300分的概率為P1＝P(A1eq\x\to(A2)A3)＋P(eq\x\to(A1)A2A3)＝P(A1)·P(eq\x\to(A2))·P(A3)＋P(eq\x\to(A1))·P(A2)·P(A3)××××0.6＝0.228.(2)這名同學(xué)至少得300分的概率為P2＝P1＋P(A1A2A3)＝P1＋P(A1)·P(A2)·P(A專題二：離散型隨機(jī)變量的分布列求離散型隨機(jī)變量的分布列的關(guān)鍵是解決兩個(gè)問題：一是隨機(jī)變量的可能取值；二是隨機(jī)變量取每一個(gè)值時(shí)的概率．針對(duì)于不同的題目，應(yīng)認(rèn)真分析題意，明確隨機(jī)變量，正確計(jì)算隨機(jī)變量取每一個(gè)值時(shí)的概率．求概率主要有兩種類型：(1)古典概型，利用排列組合知識(shí)求解；(2)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，即X～B(n，p)，由P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k計(jì)算．一般地，離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率的和，利用這一性質(zhì)可以由概率的分布列求出隨機(jī)變量在所給區(qū)間的概率．【應(yīng)用】如圖是一個(gè)從A→B的“闖關(guān)”游戲．規(guī)則規(guī)定：每過一關(guān)前都要拋擲一個(gè)在各面上分別標(biāo)有1,2,3,4的均勻的正四面體．在過第n(n＝1,2,3)關(guān)時(shí)，需要拋擲n次正四面體，如果這n次面朝下的數(shù)字之和大于2n，則闖關(guān)成功．(1)求闖第一關(guān)成功的概率；(2)記闖關(guān)成功的關(guān)數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列．解：(1)拋一次正四面體，面朝下的數(shù)字有1,2,3,4四種情況，大于2的有兩種情況，故闖第一關(guān)成功的概率為eq\f(1,2).(2)記事件“拋擲n次正四面體，這n次面朝下的數(shù)字之和大于2n”為事件An，則P(A1)＝eq\f(1,2)，拋擲兩次正四面體面朝下的數(shù)字之和的情況如圖所示，易知P(A2)＝eq\f(10,16)＝eq\f(5,8).設(shè)拋擲三次正四面體面朝下的數(shù)字依次記為：x，y，z，考慮x＋y＋z＞8的情況，當(dāng)x＝1時(shí)，y＋z＞7有1種情況；當(dāng)x＝2時(shí)，y＋z＞6有3種情況；當(dāng)x＝3時(shí)，y＋z＞5有6種情況；當(dāng)x＝4時(shí)，y＋z＞4有10種情況．故P(A3)＝eq\f(1＋3＋6＋10,43)＝eq\f(5,16).由題意知，X的所有可能取值為0,1,2,3.P(X＝0)＝P(eq\x\to(A1))＝eq\f(1,2)，P(X＝1)＝P(A1eq\x\to(A2))＝eq\f(1,2)×eq\f(3,8)＝eq\f(3,16)，P(X＝2)＝P(A1A2eq\x\to(A3))＝eq\f(1,2)×eq\f(5,8)×eq\f(11,16)＝eq\f(55,256)，P(X＝3)＝P(A1A2A3)＝eq\f(1,2)×eq\f(5,8)×eq\f(5,16)＝eq\f(25,256).所以X的分布列為X0123Peq\f(1,2)eq\f(3,16)eq\f(55,256)eq\f(25,256)專題三：離散型隨機(jī)變量的期望與方差期望和方差都是隨機(jī)變量的重要的數(shù)字特征，方差是建立在期望這一概念之上，它表明了隨機(jī)變量所取的值相對(duì)于它的期望的集中與離散程度，二者聯(lián)系密切，在現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)生活中應(yīng)用廣泛．求離散型隨機(jī)變量X的期望與方差的步驟：(1)理解X的意義，寫出X可能取的全部值；(2)求X取每個(gè)值的概率或求出P(X＝k)；(3)寫出X的分布列；(4)由分布列和期望的定義求出E(X)；(5)由方差的定義求D(X)．若X～B(n，p)，則可直接利用公式求：E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．【應(yīng)用1】設(shè)袋子中裝有a個(gè)紅球，b個(gè)黃球，c個(gè)藍(lán)球，且規(guī)定：取出一個(gè)紅球得1分，取出一個(gè)黃球得2分，取出一個(gè)藍(lán)球得3分．(1)當(dāng)a＝3，b＝2，c＝1時(shí)，從該袋子中任取(有放回，且每球取到的機(jī)會(huì)均等)2個(gè)球，記隨機(jī)變量ξ為取出此2球所得分?jǐn)?shù)之和，求ξ的分布列；(2)從該袋子中任取(每球取到的機(jī)會(huì)均等)1個(gè)球，記隨機(jī)變量η為取出此球所得分?jǐn)?shù)．若E(η)＝eq\f(5,3)，D(η)＝eq\f(5,9)，求a∶b∶c.提示：(1)在分析取到兩球的顏色時(shí)，要注意是有放回地抽取，即同一個(gè)球可能兩次都能抽到；(2)根據(jù)計(jì)算數(shù)學(xué)期望與方差的公式計(jì)算，尋找a，b，c之間的關(guān)系．解：(1)由題意得ξ＝2,3,4,5,6.故P(ξ＝2)＝eq\f(3×3,6×6)＝eq\f(1,4)，P(ξ＝3)＝eq\f(2×3×2,6×6)＝eq\f(1,3)，P(ξ＝4)＝eq\f(2×3×1＋2×2,6×6)＝eq\f(5,18)，P(ξ＝5)＝eq\f(2×2×1,6×6)＝eq\f(1,9)，P(ξ＝6)＝eq\f(1×1,6×6)＝eq\f(1,36)，所以ξ的分布列為ξ23456Peq\f(1,4)eq\f(1,3)eq\f(5,18)eq\f(1,9)eq\f(1,36)(2)由題意知η的分布列為η123Peq\f(a,a＋b＋c)eq\f(b,a＋b＋c)eq\f(c,a＋b＋c)所以E(η)＝eq\f(a,a＋b＋c)＋eq\f(2b,a＋b＋c)＋eq\f(3c,a＋b＋c)＝eq\f(5,3)，D(η)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(5,3)))2·eq\f(a,a＋b＋c)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(5,3)))2·eq\f(b,a＋b＋c)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(5,3)))2·eq\f(c,a＋b＋c)＝eq\f(5,9)，化簡(jiǎn)得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－b－4c＝0，,a＋4b－11c＝0.))解得a＝3c，b＝2c，故a∶b∶c＝3∶2【應(yīng)用2】投到某雜志的稿件，先由兩位初審專家進(jìn)行評(píng)審．若能通過兩位初審專家的評(píng)審，則予以錄用；若兩位初審專家都未予通過，則不予錄用；若恰能通過一位初審專家的評(píng)審，則再由第三位專家進(jìn)行復(fù)審，若能通過復(fù)審專家的評(píng)審，則予以錄用，否則不予錄用．，．(1)求投到該雜志的1篇稿件被錄用的概率；(2)記X表示投到該雜志的4篇稿件中被錄用的篇數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．提示：本題主要考查等可能性事件、互斥事件、獨(dú)立事件、分布列及期望的相關(guān)知識(shí)．解：(1)記A表示事件：稿件能通過兩位初審專家的評(píng)審；B表示事件：稿件恰能通過一位初審專家的評(píng)審；C表示事件：稿件能通過復(fù)審專家的評(píng)審；D表示事件：稿件被錄用．則D＝A＋BC，P(A×0.5＝0.25，P(B)＝2××0.5＝0.5，P(C)＝0.3，P(D)＝P(A＋BC)＝P(A)＋P(BC)＝P(A)＋P(B)P(C×0.3＝0.40.(2)X～B(4,0.4)，所以P(X＝0)＝(1－0.4)46，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,4)××(1－0.4)36，P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,4)×2×(1－0.4)26，P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,4)×3×6，P(X46.因此X的分布列為X01234P66666期望E(X)＝4×0.4＝1.6.專題四：數(shù)學(xué)期望在風(fēng)險(xiǎn)與決策中的應(yīng)用在日常生活中，人們經(jīng)常要面臨“風(fēng)險(xiǎn)”．為了減少風(fēng)險(xiǎn)，我們決策時(shí)必須平衡極大化期望和極小化風(fēng)險(xiǎn)這樣矛盾的要求，還必須在一個(gè)多階段過程的每一階段作出決策．但是始終有一條指導(dǎo)性原則：盡你的最大努力去決定各種結(jié)果在每一階段出現(xiàn)的概率及這些結(jié)果的價(jià)值或效用，計(jì)算每一種行動(dòng)方案的期望效應(yīng)并斷定給出最大期望效應(yīng)的策略．這也就是說利用隨機(jī)變量的概率分布計(jì)算期望值后，就可以選擇能給出最大期望值的行動(dòng)．【應(yīng)用】某突發(fā)事件，，一旦發(fā)生，將造成400萬元的損失，現(xiàn)有甲、乙預(yù)防措施所需的費(fèi)用分別為45萬元和30萬元，、乙兩種預(yù)防措施單獨(dú)采用，聯(lián)合采用或不采用，請(qǐng)確定預(yù)防方案使總費(fèi)用最少．(總費(fèi)用＝采取預(yù)防措施的費(fèi)用＋發(fā)生突發(fā)事件損失的期望值)解：(1)不采取預(yù)防措施時(shí)，總費(fèi)用損失期望為400×0.3＝120(萬元)；(2)若單獨(dú)采取措施甲，則預(yù)防措施費(fèi)用為45萬元，發(fā)生突發(fā)事件的概率為1－0.9＝0.1，損失期望值為400×0.1＝40(萬元)，所以總費(fèi)用為45＋40＝85(萬元)；(3)若單獨(dú)采取預(yù)防措施乙，則預(yù)防措施費(fèi)用為30萬元，發(fā)生突發(fā)事件的概率為1－0.85＝0.15，損失