15第05章桿件的內(nèi)力講解

第5章桿件的內(nèi)力5.1桿件變形的根本形式5.2軸力與軸力圖5.3扭矩與扭矩圖5.4梁的內(nèi)力與內(nèi)力圖一、內(nèi)力與截面法：1、內(nèi)力的定義：在外力作用下，構(gòu)件內(nèi)部各局部之間因相對(duì)位置改變而引起的附加的相互作用力——附加內(nèi)力。2、內(nèi)力的特點(diǎn)：①連續(xù)分布于截面上各處；②隨外力的變化而變化。3、截面法：用以顯示和求解內(nèi)力的方法，其步驟為：①截開：②代替：③平衡：分為兩局部，在待求內(nèi)力的截面處假想地將構(gòu)件截用內(nèi)力代替棄去局部對(duì)脫離體的作用；——通常為分布內(nèi)力系對(duì)脫離體列出平衡方程。－脫離體；取其中一局部為研究對(duì)象§5.1.1內(nèi)力、應(yīng)力和應(yīng)變FN——軸力FSy,FSz——剪力Mx——扭矩My、Mz——彎矩內(nèi)力分量分布內(nèi)力可以簡(jiǎn)化為主矢和主矩,用FR和M表示。工程計(jì)算中有意義的是內(nèi)力的主矢和主矩在確定坐標(biāo)系上的分量——應(yīng)力的概念:比較a、b圖桿兩桿①應(yīng)力定義：截面上一點(diǎn)處內(nèi)力的聚集程度FNFN兩桿的材料、長(zhǎng)度均相同。所受的內(nèi)力相同，為FN顯然粗桿更為平安。

構(gòu)桿的強(qiáng)度與內(nèi)力在截面上的分布和在某點(diǎn)處的聚集程度有關(guān)。二、應(yīng)力是反映一點(diǎn)處內(nèi)力的強(qiáng)弱程度的根本量應(yīng)力：一點(diǎn)處內(nèi)力的聚集程度②一點(diǎn)的全應(yīng)力：⊥截面；∥截面。③垂直于截面的應(yīng)力分量----正應(yīng)力④切于截面的應(yīng)力分量------切應(yīng)力三者之間的關(guān)系：⊿A面積上的內(nèi)力合力應(yīng)力的單位：，或帕(Pa)。1Mpa(兆帕〕=106Pa,1GPa〔吉帕〕=109Pa。三、應(yīng)變〔衡量變形程度的根本量〕棱邊ka的平均正應(yīng)變k點(diǎn)沿棱邊ka方向的正應(yīng)變一、正應(yīng)變〔線應(yīng)變〕定義正應(yīng)變特點(diǎn)1、正應(yīng)變是無量綱量2、過同一點(diǎn)不同方位的正應(yīng)變一般不同二、切應(yīng)變定義微體相鄰棱邊所夾直角的改變量g

，稱為切應(yīng)變切應(yīng)變?yōu)闊o量綱量切應(yīng)變單位為弧度〔rad〕切應(yīng)變量綱與單位鋼的彈性模量：銅的彈性模量：三、應(yīng)力應(yīng)變之間的相互關(guān)系

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：在彈性范圍內(nèi)加載，正應(yīng)力與正應(yīng)變存在線性關(guān)系：——虎克定律

E稱為材料的彈性模量或楊氏模量實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：在彈性范圍內(nèi)加載，切應(yīng)力與切應(yīng)變存在線性關(guān)系：——剪切虎克定律

G稱為材料的切變模量,也稱剪切彈性模量鋼的切變模量：一點(diǎn)的應(yīng)力與一點(diǎn)的應(yīng)變之間存在對(duì)應(yīng)的關(guān)系單向正應(yīng)力作用下的變形切應(yīng)力作用下的變形5.1.2桿件變形的根本形式桿在各種形式的外力作用下，其變形形式是多種多樣的。但不外乎是某一種根本變形或幾種根本變形的組合。桿的根本變形可分為：〔1〕軸向拉伸或壓縮〔2〕剪切〔3〕扭轉(zhuǎn)〔4〕彎曲12桿件的根本變形可分為以下四種：〔1〕.軸向拉伸或軸向壓縮：在兩個(gè)作用線與直桿軸線重合的外力作用下，變形形式表現(xiàn)為桿件長(zhǎng)度的伸長(zhǎng)或縮短。13〔2〕.剪切：在相距很近的大小相等、方向相反、相互平行的一對(duì)力作用下，直桿的主要變形是橫截面沿外力作用方向發(fā)生相對(duì)錯(cuò)動(dòng)。14〔3〕.扭轉(zhuǎn)：在一對(duì)大小相等、轉(zhuǎn)向相反、作用面都垂直于直桿軸線的一對(duì)外力偶作用下，直桿的兩個(gè)相鄰橫截面將發(fā)生繞軸線的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，桿件外表縱向線將變?yōu)槁菪€，而軸線仍保持為直線。〔4〕彎曲直桿受到垂直于軸線的外力或在包含軸線的平面內(nèi)的力偶作用時(shí)，桿的軸線發(fā)生彎曲。桿在外力作用下，假設(shè)同時(shí)發(fā)生兩種或兩種以上的根本變形，那么稱為組合變形。MM16在工程結(jié)構(gòu)中，桿件在荷載作用下的變形大多為上述幾種根本變形形式的組合——組合變形。5.2軸力與軸力圖ABFAyFAxFPFPFQ/2FPFQFP/2FQ/2FP/2FB外力特點(diǎn)：外力的合力作用線與桿的軸線重合。ABFCBCFNCBFNBCCAFNACFNCAFFll'FFl'l變形特點(diǎn)：桿的主要變形是軸線方向的伸長(zhǎng)或縮短，同時(shí)桿的橫向〔垂直于軸線方向〕尺寸縮小或增大。19由于外力的作用而引起的“附加內(nèi)力〞，有別于物體中微觀粒子間的作用力，這就是材料力學(xué)中的內(nèi)力。5.2.2軸力、截面法、軸力圖當(dāng)直桿軸向拉伸或壓縮時(shí)，所產(chǎn)生的內(nèi)力是沿桿件軸線的，故稱為軸力。軸力的正負(fù)號(hào)規(guī)定：拉力為正，壓力為負(fù)。由于內(nèi)力是受力物體內(nèi)相鄰局部的相互作用力，可用截面法來分析內(nèi)力?！?.2.1拉壓桿的內(nèi)力與計(jì)算5.2.1內(nèi)力的概念20截面法的根本步驟如下：1〕截開：2〕代替：3〕平衡：簡(jiǎn)捷法21為了表示軸力隨橫截面位置而變化的情況，可選取一定的比例，用平行于桿軸線的坐標(biāo)表示橫截面的位置，用垂直于桿軸線的坐標(biāo)表示橫截面上軸力的數(shù)值，從而繪出表示軸力與截面位置關(guān)系的圖線，稱為軸力圖。

習(xí)慣上將正值的軸力畫在坐標(biāo)軸的上側(cè)，負(fù)值的軸力畫在下側(cè)。軸力圖上可以確定最大軸力的數(shù)值及其所在橫截面的位置。畫軸力圖時(shí)應(yīng)注意兩個(gè)問題：1.求軸力時(shí)，外力不能沿作用線隨意移動(dòng)。2.截面不能剛好截在外力作用點(diǎn)處。例5–1

求圖示桿的軸力，并畫軸力圖。CBAlba2FnnmmFF解：〔1〕分段求軸力nFN2nFCBAlba2FnnmmFFFFFNx-+FN1mmF〔2〕畫軸力圖例5–2

圖示桿在A、B、C、D四個(gè)截面各有一集中力作用，作桿的軸力圖。10kN15kN20kN15kN112233ABCD解：〔1〕分段求軸力10kN11FN110kN15kN22FN220kN33FN310kN15kN20kN15kN112233ABCD-+10520FNx(kN)〔2〕畫軸力圖5.3扭矩與扭矩圖外力特點(diǎn)：外力偶作用在垂直于桿軸線的平面內(nèi)，它一般是由外力簡(jiǎn)化得到的。FFTTT變形特點(diǎn)：桿的橫截面繞桿軸線作相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，任意兩橫截面之間產(chǎn)生相對(duì)角位移，稱為扭轉(zhuǎn)角；縱線也隨之轉(zhuǎn)過一角度g。工程上，以扭轉(zhuǎn)為主要變形的圓桿通常稱為軸。jgTT§5.3.1圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的內(nèi)力1傳動(dòng)軸的外力偶矩工程中常見的傳動(dòng)軸，通常給出的是軸所傳遞的功率和其轉(zhuǎn)速。因此需要求出使軸發(fā)生扭轉(zhuǎn)的外力偶矩。2、求扭轉(zhuǎn)內(nèi)力的方法—截面法ⅠⅠIIMn3、受扭圓軸橫截面上的內(nèi)力—扭矩右手定那么：右手四指內(nèi)屈，與扭矩轉(zhuǎn)向相同，那么拇指的指向表示扭矩矢的方向，假設(shè)扭矩矢方向與截面外法線相同，規(guī)定扭矩為正，反之為負(fù)。扭矩符號(hào)規(guī)定：4、扭矩的符號(hào)規(guī)定—右手螺旋法那么mIImIIIIII5.3.2扭矩和扭矩圖

圖a所示一圓截面的受扭桿，用截面法求1-1截面上的內(nèi)力。假設(shè)取左段為研究對(duì)象，由平衡方程得

如果取右段為研究對(duì)象（圖c），所得到的1-1截面上的扭矩T，其值仍為，但轉(zhuǎn)向與圖b中所示相反。作用在軸上的外力偶矩往往有多個(gè)，因此不同軸段上橫截面的扭矩也各不相同。為了表示沿軸線各截面上的扭矩的變化情況，可仿照作軸力圖的方法繪制扭矩圖。

圖中沿軸線方向的橫坐標(biāo)表示橫截面的位置，與軸線方向垂直的縱坐標(biāo)表示相應(yīng)橫截面上的扭矩值。習(xí)慣上將正值的扭矩畫在坐標(biāo)軸的上側(cè)，負(fù)值的扭矩畫在下側(cè)。例5-3

圖示傳動(dòng)軸，主動(dòng)輪A輸入功率PA=500kW，從動(dòng)輪B、C、D輸出功率分別為，PB=PC=150kW，PD=200kW，軸的轉(zhuǎn)速為n=300轉(zhuǎn)/分。作軸的扭矩圖。332211TATCTDTB〔1〕求外力偶矩332211TATCTDTB解：〔2〕求各段扭矩332211TATCTDTB11TBMx122TCTBMx233TDMx3〔3〕畫扭矩圖|Mx|max=9.56kN·m，發(fā)生在AC段。332211TATCTDTBxMx(kN·m)-+4.789.566.375.4梁的內(nèi)力與內(nèi)力圖以彎曲為主要變形的桿，通常稱為梁。GAJGAJGAJGAJGAJGAJGAJGAJGAJGAJGAJGAJGAJGAJGAJGAJGAJFFABFFABFRAFRB5.4梁的內(nèi)力與內(nèi)力圖工程中大局部梁的橫截面都有一根對(duì)稱軸，因而整個(gè)桿件有一個(gè)包含軸線的縱向?qū)ΨQ面。當(dāng)作用在桿件上的所有外力都在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)時(shí)，彎曲變形后的軸線也將是位于這個(gè)對(duì)稱面內(nèi)的一條曲線。這種對(duì)稱彎曲是彎曲問題中最常見的情況。外力特點(diǎn)：作用在桿件上的所有外力都在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，這里外力包括集中力、分布力或集中力偶。變形特點(diǎn)：桿的軸線彎成曲線。FPq5.4.1梁的內(nèi)力——剪力和彎矩1．截面法求某橫截面的剪力和彎矩根據(jù)平衡方程，可求得支座反力；再用截面法分析和計(jì)算任一橫截面上的內(nèi)力。F2xlFRBFRAmF1ABm沿m–m截面將梁截開，取左段梁為研究對(duì)象。F2xlFRBFRAmF1ABmxFRAAFQMx在該段梁上作用有支座反力FRA，那么截面m–m上必定存在與該截面平行的內(nèi)力——剪力，用FQ表示。同時(shí)，該截面上必有一內(nèi)力偶——彎矩，用Mz表示。截面m–m上的剪力和彎矩也可由右段梁的平衡方程求出，大小與由左段梁相同，但方向相反。F2xlFRBFRAmF1ABmF2FRBF1BFQMxFRAAFQMx正、負(fù)號(hào)規(guī)定：剪力：作用于橫截面上的剪力使研究對(duì)象有順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)的為正，反之為負(fù)。彎矩：作用在橫截面上的彎矩使研究對(duì)象產(chǎn)生下凸趨勢(shì)的為正〔下側(cè)受拉為正〕，反之為負(fù)。簡(jiǎn)捷法：〔1〕任一橫截面上的剪力在數(shù)值上等于該截面一側(cè)〔左側(cè)或右側(cè)〕所有豎向外力的代數(shù)和。截面左邊向上的外力〔右邊向下的外力〕使截面產(chǎn)生正號(hào)的剪力?！彩沟每紤]的隔離體有順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)的外力引起正剪力，反之那么引起負(fù)值剪力?！场?〕任一橫截面上的彎矩在數(shù)值上等于該截面一側(cè)〔左側(cè)或右側(cè)〕所有外力〔包括外力偶〕對(duì)該截面形心的力矩的代數(shù)和。截面左邊的順時(shí)針的力矩〔右邊逆時(shí)針的力矩〕使截面產(chǎn)生正號(hào)的彎矩。2、剪力方程和彎矩方程為了說明梁的各橫截面上剪力和彎矩的變化規(guī)律，可將橫截面的位置用x表示，把橫截面上的剪力和彎矩寫成x的函數(shù)，即——剪力方程——彎矩方程5.4.2梁的內(nèi)力圖——剪力圖和彎矩圖根據(jù)剪力方程和彎矩方程，可以畫出剪力圖和彎矩圖。由剪力圖和彎矩圖可以看出梁的各橫截面上剪力和彎矩的變化情況，同時(shí)可找出梁的最大剪力和最大彎矩以及它們所在的截面。注意：正的剪力畫在橫坐標(biāo)軸的上方，正的彎矩畫在橫坐標(biāo)軸的下方〔即彎矩畫在梁的受拉一側(cè)〕。例5–5一簡(jiǎn)支梁受均布荷載作用。試列出剪力方程和彎矩方程，畫剪力圖和彎矩圖。lBA解：〔1〕求支座反力由平衡方程及對(duì)稱性條件得到FRBFRAxlBA〔2〕列剪力方程和彎矩方程FRBFRAql/82Mz圖ql/2ql/2FQ圖xlBA〔3〕畫剪力圖和彎矩圖剪力隨x成線性變化，即剪力圖是直線。彎矩是x的二次函數(shù)，即彎矩圖是二次拋物線。由剪力圖和彎矩圖看出由得彎矩有極值的截面位置為例5–6一簡(jiǎn)支梁受一集中荷載作用。試列出剪力方程和彎矩方程，并畫剪力圖和彎矩圖。lFBAbaC解：〔1〕求支座反力FRBFRAlxFBAbaC〔2〕列剪力方程和彎矩方程AC段：CB段：FRBFRAlxFBAbaCMz圖FablFQ圖FblFal〔3〕畫剪力圖和彎矩圖剪力圖如下圖彎矩圖如下圖集中力作用點(diǎn)C處，剪力圖發(fā)生突變，突變大小：F，方向：從左往右與F一致，彎矩圖有尖角。由剪力圖和彎矩圖看出：例5–7一簡(jiǎn)支梁在C處受一矩為Me的集中力偶作用。試列出剪力方程和彎矩方程，并畫剪力圖和彎矩圖。lMeBAbaC解：〔1〕求支座反力xMeBAbaClFRBFRA〔2〕列剪力方程和彎矩方程AC段：CB段：xMz圖MaleMbleFQ圖MelMeBAbaClFRBFRA〔3〕畫剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖如下圖在集中力偶作用點(diǎn)C處，剪力無影響，彎矩發(fā)生突變，突變值：等于該集中力偶的數(shù)值，方向：從左往右逆上順下。5.4.3剪力、彎矩和荷載集度之間的關(guān)系由上節(jié)的例題可以看出，剪力圖和彎矩圖的變化有一定的規(guī)律性。事實(shí)上，剪力、彎矩和荷載集度之間存在一定的關(guān)系，了解并掌握這些關(guān)系，將給作圖帶來極大的方便，甚至不用列內(nèi)力方程就可以畫出內(nèi)力圖來。幾何意義：剪力圖上某點(diǎn)的切線斜率等于梁上與該點(diǎn)對(duì)應(yīng)處的荷載集度。彎矩圖上某點(diǎn)的切線斜率等于梁上與該點(diǎn)對(duì)應(yīng)處的橫截面上的剪力。橫截面上的彎矩對(duì)x的二階導(dǎo)數(shù)，等于同一橫截面上分布荷載的集度。該式可用來判斷彎矩圖的凹凸方向。59

荷載集度、剪力與彎矩之間的關(guān)系以及剪力圖、彎矩圖的特征匯總整理見表5.1。利用上述規(guī)律，可以方便地畫出剪力圖和彎矩圖，而不需列出剪力方程和彎矩方程：先求出支座反力〔如果需要的話〕，再由左至右求出幾個(gè)控制截面的剪力和彎矩，在控制截面之間，利用以上關(guān)系式，可以確定剪力圖和彎矩圖的線型，最后得到剪力圖和彎矩圖。如果梁上某段內(nèi)有分布荷載作用，那么需求出該段內(nèi)剪力FQ=0截面上彎矩的極值，最后標(biāo)出具有代表性的剪力值和彎矩值。例5–8畫圖示簡(jiǎn)支梁的剪力圖和彎矩圖。aqBAaC2qa解：〔1〕求支座反力〔2〕畫剪力圖〔3〕畫彎矩圖FQ圖5qa/43qa/47qa/4Mz圖25qa/4aqBAaC2qaFRBFRA63

解：〔1〕由平衡方程和求得A、B處的支座反力分別為：方向如下圖。例題5.9：圖示外伸梁，