一元二次方程的應(yīng)用-知識(shí)講解基礎(chǔ)

一元二次方程的應(yīng)用--知識(shí)講解（基礎(chǔ)）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】通過(guò)分析具體問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，建立方程模型并解決實(shí)際問(wèn)題，總結(jié)運(yùn)用方程解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟；通過(guò)列方程解應(yīng)用題，進(jìn)一步提高邏輯思維能力、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟利用方程解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵是尋找等量關(guān)系解決應(yīng)用題的一般步驟：TOC\o"1-5"\h\z審（審題目，分清已知量、未知量、等量關(guān)系等 ）；設(shè)（設(shè)未知數(shù)，有時(shí)會(huì)用未知數(shù)表示相關(guān)的量 ）；列（根據(jù)題目中的等量關(guān)系，列出方程 ）；解（解方程，注意分式方程需檢驗(yàn)，將所求量表示清晰 ）；驗(yàn)（檢驗(yàn)方程的解能否保證實(shí)際問(wèn)題有意義）答（寫出答案，切忌答非所問(wèn)）.要點(diǎn)詮釋：列方程解實(shí)際問(wèn)題的三個(gè)重要環(huán)節(jié)：一是整體地、系統(tǒng)地審題；二是把握問(wèn)題中的等量關(guān)系；三是正確求解方程并檢驗(yàn)解的合理性 .要點(diǎn)二、一元二次方程應(yīng)用題的主要類型數(shù)字問(wèn)題（1） 任何一個(gè)多位數(shù)都是由數(shù)位和數(shù)位上的數(shù)組成 ?數(shù)位從右至左依次分別是：個(gè)位、十位、百位、千位……，它們數(shù)位上的單位從右至左依次分別為： 1、10、100、1000、……，數(shù)位上的數(shù)字只能是0、1、2、……、9之中的數(shù)，而最高位上的數(shù)不能為 0.因此，任何一個(gè)多位數(shù)，都可用其各數(shù)位上的數(shù)字與其數(shù)位上的單位的積的和來(lái)表示，這也就是用多項(xiàng)式的形式表示了一個(gè)多位數(shù).如：一個(gè)三位數(shù)，個(gè)位上數(shù)為 a,十位上數(shù)為b，百位上數(shù)為c,則這個(gè)三位數(shù)可表示為：100c+10b+a.（2） 幾個(gè)連續(xù)整數(shù)中，相鄰兩個(gè)整數(shù)相差 1.女口：三個(gè)連續(xù)整數(shù)，設(shè)中間一個(gè)數(shù)為 X,則另兩個(gè)數(shù)分別為x-1,x+1.幾個(gè)連續(xù)偶數(shù)（或奇數(shù)）中，相鄰兩個(gè)偶數(shù)（或奇數(shù)）相差2.女口：三個(gè)連續(xù)偶數(shù)（奇數(shù)），設(shè)中間一個(gè)數(shù)為x，則另兩個(gè)數(shù)分別為x-2,x+2.平均變化率問(wèn)題列一元二次方程解決增長(zhǎng)（降低）率問(wèn)題時(shí)，要理清原來(lái)數(shù)、后來(lái)數(shù)、增長(zhǎng)率或降低率，以及增長(zhǎng)或降低的次數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系.如果列出的方程是一元二次方程，那么應(yīng)在原數(shù)的基礎(chǔ)上增長(zhǎng)或降低兩次.（1）增長(zhǎng)率問(wèn)題：平均增長(zhǎng)率公式為a（1xT=b（a為原來(lái)數(shù)，x為平均增長(zhǎng)率，n為增長(zhǎng)次數(shù)，b為增長(zhǎng)后的量.）⑵降低率問(wèn)題:平均降低率公式為a（1-x）n=b（a為原來(lái)數(shù)，x為平均降低率，n為降低次數(shù)，b為降低后的量.）利息問(wèn)題（1）概念：本金：顧客存入銀行的錢叫本金?利息：銀行付給顧客的酬金叫利息?本息和：本金和利息的和叫本息和?期數(shù)：存入銀行的時(shí)間叫期數(shù)?利率：每個(gè)期數(shù)內(nèi)的利息與本金的比叫利率⑵公式：利息=本金x利率x期數(shù)利息稅=利息X稅率本金X（1+利率X期數(shù)）=本息和本金X[1+利率X期數(shù)X（1-稅率）]=本息和（收利息稅時(shí)）利潤(rùn)（銷售）問(wèn)題利潤(rùn)（銷售）問(wèn)題中常用的等量關(guān)系：利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)（成本）總利潤(rùn)=每件的利潤(rùn)X總件數(shù)利潤(rùn)率二烈如島標(biāo)價(jià)冥駕卑二售價(jià)磁價(jià)（或成本） 10進(jìn)價(jià)刈1+利潤(rùn)率卜標(biāo)價(jià)冥遼墾10形積問(wèn)題此類問(wèn)題屬于幾何圖形的應(yīng)用問(wèn)題，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是將不規(guī)則圖形分割或組合成規(guī)則圖形，根據(jù)圖形的面積或體積公式，找出未知量與已知量的內(nèi)在關(guān)系并列出方程要點(diǎn)詮釋：列一元二次方程解應(yīng)用題是把實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題（列方程） ，然后由數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決而獲得對(duì)實(shí)際問(wèn)題的解決?這是在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)常用到的數(shù)學(xué)思想一方程思想【典型例題】類型一、數(shù)字問(wèn)題?已知兩個(gè)數(shù)的和等于12,積等于32,求這兩個(gè)數(shù)是多少.【答案與解析】設(shè)其中一個(gè)數(shù)為x,那么另一個(gè)數(shù)可表示為（12-x），依題意得x（12-x）=32,2整理得x-12x+32=0解得x1=4,X2=8,當(dāng)x=4時(shí)12-x=8;當(dāng)x=8時(shí)12-x=4.所以這兩個(gè)數(shù)是4和&x，那么另一個(gè)數(shù)便可以用 x，那么另一個(gè)數(shù)便可以用 x表示出來(lái)，然舉一反三：【高清ID號(hào)：388525 關(guān)聯(lián)的位置名稱(播放點(diǎn)名稱)：數(shù)字問(wèn)題例1】變式】有一個(gè)兩位數(shù)等于其數(shù)字之積的 3倍，其十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字少 2，求這個(gè)兩位數(shù)【答案】設(shè)個(gè)位數(shù)字為X，則十位數(shù)字為(x-2).由題意，得：10(x 2)+x二3x(x-2)2整理，得：3x-17x20=0解方程，得：(3x_5)(x_4)=0X) ,x2=435經(jīng)檢驗(yàn)，x 不合題意，舍去(注意根的實(shí)際意義的檢驗(yàn))3???當(dāng)x=4時(shí)，x-2=2???10(x「2)x=1024=24答：這個(gè)兩位數(shù)為24.類型二、平均變化率問(wèn)題.2010年5月中央召開(kāi)了新疆工作座談會(huì)，為實(shí)現(xiàn)新疆跨越式發(fā)展和長(zhǎng)治久安，作出了重要戰(zhàn)略決策部署.為此我市抓住機(jī)遇，加快發(fā)展，決定今年投入 5億元用于城市基礎(chǔ)設(shè)施維護(hù)和建設(shè)，以后逐年增加，計(jì)劃到2012年當(dāng)年用于城市基礎(chǔ)設(shè)施維護(hù)與建設(shè)資金達(dá)到 8.45億元.求從2010年至2012年我市每年投入城市基礎(chǔ)設(shè)施維護(hù)和建設(shè)資金的年平均增長(zhǎng)率；若2010年至2012年我市每年投入城市基礎(chǔ)設(shè)施維護(hù)和建設(shè)資金的年平均增長(zhǎng)率相同，預(yù)計(jì)我市這三年用于城市基礎(chǔ)設(shè)施維護(hù)和建設(shè)資金共多少億元 ？【答案與解析】(1)設(shè)從2010年至2012年我市每年投入城市基礎(chǔ)設(shè)施維護(hù)和建設(shè)資金的年平均增長(zhǎng)率為 x,由題意得5(1+x)=8.45.解得X1=30%X2=-2.3(不合題意，舍去).答：從2010年至2012年我市每年投入城市基礎(chǔ)設(shè)施維護(hù)和建設(shè)資金的年平均增長(zhǎng)率為 30%(2) 這三年共投資5+5(1+x)+8.45=5+5(1+0.3)+8.45=19.95(億元)答：預(yù)計(jì)我市這三年用于城市基礎(chǔ)設(shè)施維護(hù)和建設(shè)資金共 19.95億元.【總結(jié)升華】本題是常見(jiàn)的增長(zhǎng)率問(wèn)題，要理解a(1+x)n=b(其中a是原來(lái)的量，x是平均增長(zhǎng)率，n是增長(zhǎng)的次數(shù)，b是增長(zhǎng)到的量)的含義.原來(lái)的量經(jīng)過(guò)一次增長(zhǎng)后達(dá)到 a(1+x);在這個(gè)基礎(chǔ)上，

再增長(zhǎng)一次即經(jīng)過(guò)第二次增長(zhǎng)后達(dá)到 a(1+x)(1+x)=a(1+x)2;在這個(gè)基礎(chǔ)上，再增長(zhǎng)一次即經(jīng)過(guò)三次增長(zhǎng)后達(dá)到a(1+x)(1+x)(1+x) =a(1+x)3;…；依次類推.舉一反三：【高清ID號(hào)：388525 關(guān)聯(lián)的位置名稱(播放點(diǎn)名稱)：增長(zhǎng)率問(wèn)題例3】【變式】某產(chǎn)品原來(lái)每件是600元，由于連續(xù)兩次降價(jià)，現(xiàn)價(jià)為 384元，如果兩次降價(jià)的百分?jǐn)?shù)相同，求平均每次降價(jià)率.【答案】設(shè)平均每次降價(jià)率為x,則第一次降價(jià)為600X，降價(jià)后價(jià)格為：600-600X=600(4-x),第二次降價(jià)為：600(4-x)?x，降價(jià)后價(jià)格為：600(4-X)-600(4—x)x=600(4-x)2.根據(jù)題意列方程，得： 600(4-x)2=384(4-x)(4-x)24625TOC\o"1-5"\h\z9…％ ,X22 59X2 不合題意，舍去(注意根的實(shí)際意義的檢驗(yàn))54TOC\o"1-5"\h\z???x4 20005答：平均每次下降率為 2000.類型三、利潤(rùn)(銷售)問(wèn)題.某商店從廠家以每件21元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批商品，該商店可以自行定價(jià)，若每件商品售價(jià)為 a元，則可賣出(350-10a)件，但物價(jià)局限定每件商品加價(jià)不能超過(guò)進(jìn)價(jià)的 20%商店計(jì)劃要賺400元，需要賣出多少件商品？每件商品售價(jià)多少元？【答案與解析】設(shè)每件商品的售價(jià)為 a元.根據(jù)題意，得(a-21)(350-10a) =400.2a-56a+775=0,(a-25)(a-31) =0,「.a-25=0或a-31=0,?-ai=25,a2=31.當(dāng)a=31時(shí)，加價(jià)31-21=10,不合題意，舍去.350-10a=350-10X25=100.

答：每件商品售價(jià)為25元，需要賣出100件商品.【總結(jié)升華】列一元二次方程解應(yīng)用題往往求出兩解，有的解不合實(shí)際意義或不合題意?應(yīng)舍去，必須進(jìn)行檢驗(yàn).類型四、形積問(wèn)題?.如圖所示，某幼兒園有一道長(zhǎng)為16米的墻，計(jì)劃用?.如圖所示，某幼兒園有一道長(zhǎng)為16米的墻，計(jì)劃用32米長(zhǎng)的圍欄靠墻圍成一個(gè)面積為120平方米的矩形草坪ABCD求該矩形草坪BC邊的長(zhǎng).【答案與解析】設(shè)草