5.3空間向量與立體幾何

5.3空間向量與立體幾何命題角度1空間位置關(guān)系證明與線面角求解咼考真題體驗(yàn)對(duì)方向（2018全國(guó)I18）如圖，四邊形ABCD為正方形,E,F分別為AD,BC的屮點(diǎn)，以DF為折痕把ADFC折起，使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)P的位置，且PF丄BF.⑴證明：平面PEF丄平面ABFD;⑵求DP與平面ABFD所成角的正弦值.(1)|證明丨由已知可得,BF丄PF,BF丄EF,所以BF丄平面PEF.又BF?平面ABFD,所以平面⑵解作PH丄EF,垂足為H.由⑴得,PH丄平面ABFD.以H為坐PEF丄平面ABFD.標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閥軸正方向|為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系H?xy乙由⑴可得,DE丄PE.又DP=2,DE=1,所以PE=-J?PF=1,EF=2故PE丄PF.可得PH=—EH=_.則H(0,0,0),P ?,D… 一為平面ABFD的法向量.設(shè)DP與平面ABFD所成角為0,貝ijsin0=所以DP與平面ABFD所成角的正弦值為一（2018全國(guó)II20）

如圖，在三棱錐P-ABC中,AB=BC=2-,PA=PB=PC=AC=4,0為AC的中點(diǎn).⑴證明:P0丄平面ABC;⑵若點(diǎn)M在棱BC上，且二面角M-PA-C為30。，求PC與平面PAM所成角的正弦值(1)|證明丨因?yàn)锳P=CP=AC=4,0為AC的中點(diǎn)，所以O(shè)P丄AC,且OP=2連接OB,因?yàn)锳B=BC=—AC,所以△ABC為等腰直角三角形，且0B丄AC,OB=-AC=2.由OP2+OB2=PB2知PO丄OB.由OP丄OB,OP丄AC知PO丄平面ABC.⑵解如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閄軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系O?xyz.由已知得O(O,O,O),B(2,O,O),A(O,?2,O),C(O,2,O),P(O,O,2-),=(0,2,2-).取平面PAC的法向量=(2,0,0),設(shè)M(a,2?a,0)(0va<2),則=(a,4?a,0).設(shè)平面PAM的法向量為n=(x,y,z).由n=0,n=0得可取n=((a-4), a,-a),所以cos<,n>=由已知可得|cos< ,n>|=—.所以 一解得舍去),a=所以n=-X=(0,2,-2)X=(0,2,-2)，所以cos<,n>=—.所以pc與平面PAM所成角的正弦值為一.(2016全國(guó)川19)如圖,四棱錐P-ABCD中,PA丄底面ABCD,AD//BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M為線段AD上一點(diǎn),AM=2MD,N為PC的中點(diǎn).證明MN//平面PAB;求直線AN與平面PMN所成角的正弦值⑴證明由已知得AM=-AD=2?取BP的中點(diǎn)T連接AT,TN,由N為PC中點(diǎn)知TN//BC,TN=—BC=2.又AD//BC,故TNAM,四邊形AMNT為平行四邊形，于是MN//AT.因?yàn)锳T?平面PAB,MN?平面PAB,所以MN//平面PAB.⑵解取BC的中點(diǎn)E,連接AE.由AB=AC得AE丄BC,從而AE丄AD,且AE=以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz.=(0,2,-4),由題意知，P(0,0,4),M(0,2,0),C(-,2,0),N=(0,2,-4),設(shè)n=(x,y,z)為平面PMN的法向量,則 即一可取n=(0,2,1).于是|cos<n,>|=4.(2015全國(guó)118)如圖，四邊形ABCD為菱形，/ABC=120°,E,F是平面ABCD同一側(cè)的兩點(diǎn),BE丄平面ABCD,DF丄平面ABCD,BE=2DF,AE±EC.證明：平面AEC丄平面AFC;求直線AE與直線CF所成角的余弦值.⑴|證明連接BD,設(shè)BDAAC=G，連接EG,FG,EF.在菱形ABCD屮，不妨設(shè)GB=1.由/ABC=1200,可得AG=GC=-由BE丄平面ABCD,AB=BC,可矢口AE=EC.又AE±EC,所以EG=b,且EG丄AC.在RtAEBG中可得BE=—,故DF=—在RtAFDG中，可得FG=—.在直角梯形BDFE中，由BD=2,BE=:DF=—,可得EF=—?從而EG2+FG2=EF2,所以EG丄FG.又ACAFG=G,可得EG丄平面AFC.因?yàn)镋G?平面AEC,所以平面AEC丄平面AFC.(2)解如圖，以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以 的方向?yàn)閤軸、、軸正方向,| |為單位長(zhǎng)，建立空間直角坐標(biāo)系G?xyz?由⑴可得A(0,--,0),E(1,0,-),F- _,c(0,—，0),所以=(1<-)>故COS<所以直線AE與直線CF所成角的余弦值為一?新題演練提能刷高分1.B(2018山東濰坊二模)如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,AAi=AiD,AB=BC，/ABC=1200證明:AD丄AiB;若平面ADD1A1丄平面ABCD,且AQ=AB，求直線BAi與平面A1B1CD所成角的正弦值?(1)1證明取AD中點(diǎn)0,連接0B,0Ai,BD,TAAi=AiD,???AD丄OAi.又/ABC=120°,AD=AB,?AABD是等邊三角形，AD丄OB,AD丄平面AiOB.TAB?平面AiOB,AD丄AiB.⑵解???平面ADDiAi丄平面ABCD,平面ADDiAi門平面ABCD=AD,又AiO丄AD,「?AiO丄平面ABCD,OA,OAi,OB兩兩垂直,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)A,OB,OAi所在射線為x,y,z軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系O?xyz,設(shè)AB=AD=AiD=2,!HiJA(l,O,O),Ai(O,O,—),B(0,—,O),D(?I,O,O).貝y=(i,0,-), =(-l,一,0), =(0,-一-),設(shè)平面AiBiCD的法向量n=(x,y,z),則 ■-令x=,則y=i,z=-i,可取n=(設(shè)直線BAi與平面AiBiCD所成角為o,貝Usin0=|cos<n,>|=(2018遼寧撫順一模)如圖，在四棱錐P-ABCD屮,PD丄平面ABCD,底面ABCD為梯形,AB//CD,/BAD=60°,PD=AD=AB=2,CD=4,E為PC的中點(diǎn).⑴證明:BE//平面PAD;⑵求直線PB與平面BDE所成角的正弦值(1)證明設(shè)F為PD的中點(diǎn),連接EF,FA.因?yàn)镋F為APDC的中位線，所以EF//CD,且EF=—CD二2.又AB//CD,AB=2所以ABEF,故四邊形ABEF為平行四邊形，所以BE//AF.又AF?平面PAD,BE?平面PAD,所以BE//平面PAD.⑵解設(shè)G為AB的中點(diǎn)，因?yàn)锳D=AB,/BAD=60°，所以AABD為等邊三角形，故DG丄AB;因?yàn)锳B//CD,所以DG丄DC.又PD丄平面ABCD,所以PD,DG,CD兩兩垂直.以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，為x軸、為y軸、 為z軸建立空間直角坐標(biāo)系D?xy乙則P(0,0,2),B(,,0),E(0,2,1), =(0,2,1), =(一,1,0),設(shè)n=(x,y,z)為平面BDE的一個(gè)法向量，令y=1,則n=■.又=所以|cos<n,>|= ,即直線PB與平面BDE所成角的正弦值為一(2018福建福州3月質(zhì)檢)在直三棱柱ABC-A1B1C1屮,MBC為正三角形，點(diǎn)D在棱BC上，且CD=3BD,點(diǎn)E,F分別為棱AB,BBi的中點(diǎn).⑴證明AC//平面DEF;⑵若AiC丄EF,求直線A1C1與平面DEF所成的角的正弦值.(1)1證明如圖，連接ABi,AiB,交于點(diǎn)H,AiB交EF于點(diǎn)K,連接DK,因?yàn)锳BB1A1為矩形，所以H為線段AB的中點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)E,F分別為棱AB,BBi的中點(diǎn)，所以點(diǎn)K為線段BH的中點(diǎn)，所以AiK=3BK,又因?yàn)镃D=3BD,所以AiC//DK,又AiC?平面DEF,DK?平面DEF,所以AiC//平面DEF.■Ar=iSbAC7&At(2)解由⑴知,EH//AAi,因?yàn)锳Ai丄平面ABC,所以EH丄平面ABC,因?yàn)锳ABC為正三角形且點(diǎn)E為棱AB的中點(diǎn)，所以CE丄AB,故以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以 的方向?yàn)閤軸,y軸,z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系E-xyz,設(shè)AB=4,AAi=t(t>0),則Ai(2,t,0),C(0,0,2-),E(0,0,0),F?2?,0,D(?,。，匚，所以=(-2,4,2-), =1-2—,0),因?yàn)锳iC丄EF,所以 =0,所以(?2)X(-2)-tX+2-X0=0,解得t=2一.所以=(-2,-,0),設(shè)平面DEF的法向量為n=(x,y,z),則 所以.取x=1,則n=(1,一-),又因?yàn)?=(-2,0,2-),設(shè)直線AiCi與平面DEF所成的角為Q所以sin9=|cos<n, >|= 二一 一所以直線AiCi與平面DEF所成的角的正弦值為一.(20i8東北三省三校二模)如圖，四棱柱ABCD-AiBiCiDi的底面為菱形，/BAD=i200 ,AB=2,E,F為CD,AAi的中點(diǎn).B(i)求證:DF//平面BiAE;(2)若AAi丄底面ABCD,且直線ADi與平面BiAE所成線面角的正弦值為-，求AAi的長(zhǎng).(i)證明設(shè)G為ABi的屮點(diǎn)旌接EG,GF,因?yàn)镕G-AiBi,又DE-AiBi,所以FGDE,所以四邊形DEGF是平行四邊形所以DF//EG,又DF?平面BiAE,EG?平面BiAE,所以DF//平面BiAE.⑵解因?yàn)锳BCD是菱形，且/ABC=60°，所以AABC是等邊三角形?取BC屮點(diǎn)M,則AM丄AD,因?yàn)锳Ai±平面ABCD，所以AAi±AM,AAi丄AD,建立如圖的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,令A(yù)Ai=t(t>0),則A(O,O,O),E?y,-1,t),Di(0,2,t),則A(O,O,O),E?y,-1,t),Di(0,2,t),—(x+ y)=0且—(x+ y)=0且n?=(0,2,t),設(shè)平面BiAE的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),-x?y+tz=O,取n=(?-t,t,4),設(shè)直線ADi與平面BiAE所成角為Q則sin0= ，解得t=2,故線段AAi的長(zhǎng)為2.(20i8湖南長(zhǎng)沙一模,18)如圖，在多面體ABCDEF屮，四邊形ABCD為梯形'△ADE,ABCF均為等邊三角形,EF//AB,EF=AD=?AB.⑴過(guò)BD作截面與線段FC交于點(diǎn)N,使得AF〃平面BDN,試確定點(diǎn)N的位置，并予以證明(2)在⑴的條件下，求直線BN與平面ABF所成角的正弦值.解(1)當(dāng)N為線段FC的屮點(diǎn)時(shí)，使得AF//平面BDN.證法如下：連接AC,BD,設(shè)ACABD=O,T四邊形ABCD為矩形，???O為AC的中點(diǎn)，又???N為FC的中點(diǎn)，ON為AACF的中位線，AF//ON.TAF?平面BDN,ON?平面BDN,AF//平面BDN,故N為FC的中點(diǎn)時(shí)，使得AF//平面BDN.

A BA B(2)過(guò)點(diǎn)0作PQ//AB分別與AD,BC交于點(diǎn)P,Q,因?yàn)?為AC的中點(diǎn)，所以P,Q分別為AD,BC的中點(diǎn)，?/△ADE與ABCF均為等邊三角形，且AD=BC,???△ADEBABCF,連接EP,FQ,貝ij得EP=FQ,?/EF//AB,ABPQ,EF=-AB,EF//PQ,EF=-PQ,?四邊形EPQF為等腰梯形.取EF的屮點(diǎn)M,連接MO,則MO丄PQ,又?/AD丄EP,AD丄PQ,EPAPQ=P,AD丄平面EPQF,過(guò)點(diǎn)O作OG丄AB于點(diǎn)G,則OG//AD,OG丄OM,OG丄OQ.分別以 的方向?yàn)閤,y,z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系O?xyz,不妨設(shè)AB=4,則由條件可得O(O,O,O),A(1,-2,O),B(1,2,O),F(O,1,-),D(?1,-2,0),N 設(shè)n=(x,y,z)是平面ABF的法向量，貝U 即 一所以可取n=(-0,1),由 _ ,可得|cos<,n>|=?直線BN與平面ABF所成角的正弦值為一.命題角度2空間位置關(guān)系證明命題角度2空間位置關(guān)系證明與二面角求解咼考真題體驗(yàn)對(duì)方向1.(2018全國(guó)川19)如圖,邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD所在的平面與半圓弧 所在平面垂直,M是上異于C,D的點(diǎn).(1)證明：平面AMD丄平面BMC;⑵當(dāng)三棱錐M?ABC體積最大時(shí)，求面MAB與面MCD所成二面角的正弦值.(1)1證明由題設(shè)知,平面CMD丄平面ABCD,交線為CD?因?yàn)锽C丄CD,BC?平面ABCD,所以BC丄平面CMD,故BC丄DM.因?yàn)镸為上異于C,D的點(diǎn)，且DC為直徑，所以DM丄CM.又BCACM=C,所以DM丄平面BMC.而DM?平面AMD，故平面AMD丄平面BMC.⑵解以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 D?xy乙當(dāng)三棱錐M?ABC體積最大時(shí)，M為的中點(diǎn)?由題設(shè)得D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),M(0,1,1), =(-2,1,1), =(0,2,0), =(2,0,0).設(shè)n=(Xi,y,z)是平面MAB的法向量，貝u 即?可取n=(1,0,2),是平面MCD的法向量，因此cos<n,>= —,sinvn, >=—.所共面MAB與面MCD所成二面角的正弦值是(2017全國(guó)118)如圖，在四棱錐P-ABCD中,AB//CD,且/BAP=/CDP=90° ⑴證明：平面PAB丄平面PAD;(2)若PA=PD=AB=DC,/APD=90。,求二面角A-PB-C的余弦值.⑴I證明丨由已知/BAP=/CDP=90°,得AB丄AP,CD丄PD.由于AB//CD,故AB丄PD,從而AB丄平面PAD.又AB?平面PAB,所以平面PAB丄平面PAD.⑵解在平面PAD內(nèi)作PF丄AD,垂足為F.由⑴可知,AB丄平面PAD,故AB丄PF,可得PF丄平面ABCD.以F以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向,|F?xy乙|為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系由⑴及已知可得&—尸一，B—,C所以=(一，0,0),所以=(一，0,0),=(0,1,0).設(shè)n=(x,y,z)是平面PCB的法向量，貝9 即可取n=(0,-1,-).設(shè)m=(x,y,z)是平面PAB的法向量,可取m=(1,0,1).貝Ucos<n,m>=-?所以二面角A-PB-C的余弦值為3.(2017全國(guó)II19)如圖，四棱錐P-ABCD+,側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=—AD,/BAD=/ABC=90°,E是PD的中點(diǎn).(1)證明：直線CE//平面PAB;⑵點(diǎn)M在棱PC上,且直線BM與底面ABCD所成角為45°，求二面角M?AB?D的余弦值.(1)1證明取PA的中點(diǎn)F,連接EF,BF.因?yàn)镋是PD的屮點(diǎn)，所以EF//AD,EF=-AD.由/BAD=/ABC=90°得BC//AD,又BC=?AD,所以EFBC,四邊形BCEF是平行四邊形,CE/BF,又BF?平面PAB,CE?平面PAB,故CE//平面PAB.⑵解由已知得BA丄AD,以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向|為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,則A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,1,—), =(1,0,-—), =(1,0,0).設(shè)M(x,y,z)(0<x<1),則=(x-1,y,z), =(x,y-1,z--).因?yàn)锽M與底面ABCD所成的角為45。，而n二(0,0,1)是底面ABCD的法向量,所以|cos<,n>|=sin45所以|cos<,n>|=sin45又M在棱PC上,設(shè)=入，則x=Ay=1,z=入由①②解得卻,—(舍222—aBnZv-1\丄w-7—A所以M--設(shè)m=(x°,yo,zo)是平面ABM的法向量，則所以可取m=(0,-—,2).于是cos<m,n>= 因此二面角M?AB?D的余弦值為4.(2017全國(guó)川19)如圖，四面體ABCD中,AABC是正三角形'MCD是直角三角形，/ABD=/CBD,AB=BD.證明：平面ACD丄平面ABC;過(guò)AC的平面交BD于點(diǎn)E,若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分，求二面角D?AE-C的余弦值.(1)1證明I由題設(shè)可得,MBDAACBD＞而AD=DC.又AACD是直角三角形，所以/ADC=90°.取AC的中點(diǎn)O,連接DO,BO貝UDO丄AC,DO=AO.又由于AABC是正三角形，故BO丄AC.所以/DOB為二面角D-AC-B的平面角.在RtAAOB中,BO+AOJAB2,又AB=BD,所以BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2,故/DOB=90°.所以平面ACD丄平面ABC.⑵解由題設(shè)及⑴知,OA,OB,OD兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向」|為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 O?xyz.貝VA(1,0,0),B(0,―,0),C(-1,0,0)5D(0,0,1).由題設(shè)知，四面體ABCE的體積為四面體ABCD的體積的-，從而E到平面ABC的距離為D到平面ABC的距離的-，TOC\o"1-5"\h\z即E為DB的屮點(diǎn)，得E——?故 =(-1,0,1),=(-2,0,0), ——.設(shè)n=(x,y,z)是平面DAE的法向量，貝U 即 一可取n=設(shè)m是平面AEC的法向量，則同理可取m=(0,-1,-)?貝Ucos<n,m>= .所以二面角D-AE-C的余弦值為一.(2016全國(guó)118)如圖，在以A,B,C,D,E,F為頂點(diǎn)的五面體屮，面ABEF為正方形，AF=2FD,/AFD=90°,且二面角D-AF-E與二面角C-BE-F都是60° .證明：平面ABEF丄平面EFDC;求二面角E-BC-A的余弦值.(1)證明I由已知可得AF丄DF,AF丄FE,所以AF丄平面EFDC.又AF?平面ABEF,故平面ABEF丄平面EFDC.

⑵解過(guò)D作DG丄EF,垂足為G,由⑴知DG丄平面ABEF.以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向」 |為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系G?xy乙由(1)知/DFE為二面角D-AF-E的平面角，故/DFE=60°,貝ij|DF|=2,|DG|=:可得A(1,4,0),B(?3,4,0),E(?3,0,0),D(0,0,~).由已知,AB//EF,所以AB//平面EFDC.又平面ABCD門平面EFDC=CD,故AB//CD,CD//EF.由BE//AF,可得BE丄平面EFDC,所以/CEF為二面角C-BE-F的平面角，/CEF=60o?從而可得C(-2,0；*).所以=(1,0,-)， =(0,4,0), =(-3,-4,-), =(-4,0,0),設(shè)n=(x,y,z)是平面BCE的法向量，所以可取n=(3,0,-J.設(shè)m是平面ABCD的法向量,同理可取m=(0,-4),貝Ucos<n,m>=——故二面角E-BC-A的余弦值為新題演練提能刷高分1.(2018重慶二診)如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC,CQ丄平面ABC,側(cè)面ABB1A1是正方形點(diǎn)E為棱AB的中點(diǎn)，點(diǎn)M,N分別在棱A1B1,AAi上，且AiM=-AiBi,AN=-AAi.(1)證明：平面CMN丄平面CEN;⑵若AC丄BC,求二面角M?CN?A1的余弦值.(1)證明股AB=8貝UAiM=3,AN=2,AiN=6,tan/NEA=又/NEA=—/ENA,所以/MNAi=—/ENA,所以MN±EN.tan/MNAi=—tan/MNAi=—-/NEA=/MNAi5因?yàn)锽C=AC,E為AB中點(diǎn)，所以CE丄AB.因?yàn)锳BC-AiBiCi為直三棱柱，所以CE丄平面AAiBiB,所以MN丄CE,因?yàn)镃EANE=N,所以MN丄平面CEN,因?yàn)镸N?平面CMN,所以平面CMN丄平面CEN.⑵解由AC丄BC,以C為原點(diǎn)， 分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，M ,8,N（0,4一,2）,設(shè)平面CMN的法向量為n1=(x,y,z), 解得6=(9一-,-4).平面CNAi的法向量n2=(1,0,0),設(shè)所求二面角平面角為 Qcos9=—2.(2018河北石家莊一模)四棱錐S-ABCD的底面ABCD為直角梯形，AB//CD,AB丄BC,AB=2BC=2CD=2,ASAD為正三角形.(1)點(diǎn)皿為棱AB±一點(diǎn)若BC//平面SDM,=入，求實(shí)數(shù)入的值；⑵若BC丄SD,求二面角A-SB-C的余弦值.解⑴因?yàn)锽C//平面SDM,BC?平面ABCD,平面SDMn平面ABCD=DM,所以BC//DM.因?yàn)锳B//DC,所以四邊形BCDM為平行四邊形，又AB=2CD所以M為AB的中點(diǎn).因?yàn)?入，—/=-.(2)因?yàn)锽C±SD,BC丄CD,SDnCD=D,所以BC丄平面SCD,又因?yàn)锽C?平面ABCD,所以平面SCD丄平面ABCD,平面SCDn平面ABCD=CD,在平面SCD內(nèi)過(guò)點(diǎn)S作SE丄直線CD于點(diǎn)E,則SE丄平面ABCD,在RtZiSEA和RtASED中，因?yàn)镾A=SD,所以AE==DE,又由題知/EDA=45°,所以AE丄ED,所以AE=ED=SE=1,以下建系求解：以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn),EA方向?yàn)閤軸,EC方向?yàn)閥軸,ES方向?yàn)閦軸建立如圖所示空間坐標(biāo)系，則E(0,0,0),S(0,0,1),A(1,0,0),B(1,2,0)5C(0,2,0),=(1,0,-1),=(0,2,0),=(0,2,-1),=(1,0,0),設(shè)平面SAB的法向量ni=(x,y,z),所以.令x=1得n1=(1,0,1)為平面SAB的一個(gè)法向量同理得n2=(0,1,2)為平面SBC的一個(gè)法向量,cos<ni,n2>=因?yàn)槎娼茿-SB-C為鈍角,所以二面角A-SB-C余弦值為?(2018海南期末)如圖，是一個(gè)半圓柱與多面體ABB1A1C構(gòu)成的幾何體，平面ABC與半圓柱的下底面共面，且AC丄BC,P為弧 上(不與Ai,Bi重合)的動(dòng)點(diǎn).⑴證明：PAi丄平面PBBi；⑵若四邊形ABB1A1為正方形，且AC=BC,/PBA",求二面角P-A1B1-C的余弦值.解(1)在半圓柱屮，BBi丄平面PAiBi,所以BBi丄PAi?因?yàn)锳1B1是上底面對(duì)應(yīng)圓的直徑所以PAi丄PB仁因?yàn)镻BiQBBi=Bi,PBi?平面PBBi,BBi?平面PBBi,所以PAi丄平面PBBi.(2)以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以CA,CB為x,y軸，過(guò)點(diǎn)C作與平面ABC垂直的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz.如圖所示，

設(shè)CB=1,WJB(1,0,0),A(0,1,0),Ai(O,l,-),Bi(1,0,-),P(1,1,-)?所以=(0,1,n),=(1,0,-).平面PAiBi的一個(gè)法向量n1=(0,0,1).設(shè)平面CAiBi的一個(gè)法向量n2=(x,y,z),令z=1,則所以可取n2=(-_,-_,1),所以cosvni,ri2>= =由圖可知二面角P-A1B1-C為鈍角，所以所求二面角的余弦值為一.(2018江西南昌一模)如圖，在四棱錐P-ABCD+.PA丄底面ABCDABCD為直角梯形,AD//BC,AD±AB,AB=BC=AP=?AD=3,ACQBD=0,過(guò)O點(diǎn)作平面a平行于平面PAB,平面a與棱BC,AD,PD,PC分別相交于點(diǎn)E,F,G,H.求GH的長(zhǎng)度；求二面角B-FH-E的余弦值.AB,同理EH//BP,FG//AP,因?yàn)锽C//AD,AD=6,BC=3,所以ABOCsADOA,且一所以 ,CE=—CB=1,BE=AF=2,同理一 一連接HO,則有HO//PA,

所以HO丄E0,H0=1,所以EH=—PB=同S,FG=-PA=2,過(guò)點(diǎn)H作HN//EF交FG于N,貝yGH= —⑵建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則B(3,0,0),F(0,2,0),E(3,2,0),H(2,2,1),=(-1,2,1), =(2,0,1),設(shè)平面BFH的法向量為n=(x,y,z),令得n= 5因?yàn)槠矫鍱FGH//平面PAB,所以平面EFGH的法向量m=(0,1,0).cos<m,n>=,故二面角cos<m,n>=,故二面角B-FH-E的余弦值為(2018山東淄博二模,18)如圖，在三棱柱ABC-AiBiCi+,CA=CB=CCi=2,ZACCi=/CCiBi,直線AC與直線BBi所成的角為600 .(1)求證:ABi丄CCi；⑵若AB匸一,M是ABi上的點(diǎn)，當(dāng)平面MCCi與平面ABQ所成二面角的余弦值為-時(shí)，求一一的值.(1)1證明在三棱柱ABC-AiBiCi+,各側(cè)面均為平行四邊形，所以BBi/CCi,則/ACCi即為AC與BBi所成的角，所以/ACCi=/CCiBi=60°.連接ACi和BiC,因?yàn)镃A=CB=CCi=2,所以Z\ACiC和厶BiCCi均為等邊三角形?取CCi的中點(diǎn)0,連AO和BiO,貝ijA0丄CCi,BQ丄CCi.又AOABiO=O,所以CCi丄平面AOBi.ABi?平面AOBi,所以ABi丄CCi.(2)解由(1)知AO=BiO=-，因?yàn)锳Bi=一，貝ijAO2+B>O2=A,所以AO丄BQ,又AO丄CCi,所以AO丄平面BCCiBi.以O(shè)Bi所在直線為x軸,OCi所在直線為y軸,OA所在直線為z軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,一),C(O,?i,O),Ci(O,i,O),Bi(一,0,0),=(0,-i,-”)， =(~,0,?")， =(0,2,0),設(shè)二t_,M(x,y,z),則(x,y,z?-)=t(—x,-y,-z),TOC\o"1-5"\h\z所以X=—,y=0,z=,M ,所以 ___?設(shè)平面ACBi的法向量為ni=(対,*乙),平面MCCi的法向量為n2=啟貯也)，所以 'J_解得n,i).解得n2=(i,0,-t).所以cos0= 解得t=-或t=2,即 或 =2.(20i8湖北荊、荊、襄、宜”四地七校聯(lián)考)如圖，在幾何體ABCDEF中，平面ADE丄平面ABCD,四邊形ABCD為菱形，且/DAB=60°,EA=ED=AB=2EF,EF//AB,M為BC中點(diǎn).(i)求證:FM//平面BDE;(2)求二面角D-BF-C的平面角的正弦值.⑴|證明取CD屮點(diǎn)N,連接MN,FN,因?yàn)镹,M分別為CD,BC屮點(diǎn)，所以MN//BD.又BD?平面BDE,且MN?平面BDE,所以MN//平面BDE,因?yàn)镋F//AB,AB=2EF,所以EF//CD,EF=DN.所以四邊形EFND為平行四邊形?所以FN//ED.又ED?平面BDE且FN?平面BDE,所以FN//平面BDE,又FNAMN=N5所以平面MFN//平面BDE.又FM?平面MFN,所以FM//平面BDE.⑵解取AD屮點(diǎn)0,連接EO,BO?因?yàn)镋A=ED,所以E0丄AD.因?yàn)槠矫鍭DE丄平面ABCD,所以E0丄平面ABCD,EO丄B0.因?yàn)锳D=AB,ZDAB=60° ,所以AADB為等邊三角形?因?yàn)?為AD中點(diǎn)，所以AD丄B0.因?yàn)镋0,B0,A0兩兩垂直，設(shè)AB=4,以0為原點(diǎn)，0A,0B,0E為x,y,z軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系0?xyz由題意得A(2,0,0),B(0,2一,0),5?4,2-,0),D(?2,0,0),E(0,0,2-),F(?1,一,2一).=(2,2-0), =(1,-,2-), =(3,-~,2”)， =(4,0,0).設(shè)平面BDF的法向量為n=(x,y,z),貝U 即 _ _令x=1,則y=—,z=O,所以n=??二面角??二面角D-BF-C平面角的正弦值為一一?(2018遼寧大連一模)在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是正方形，PA丄平面ABCD,E,F分別是線段AD,PB的屮點(diǎn),PA=AB=1.設(shè)平面BCF的法向量為m=(x,y,z),則即__令z=1,則y=2,x=0,所以m=(0,2,1)./.cos<m,n>= =—

（1）求證:EF//平面DCP;⑵求平面EFC與平面PDC所成銳二面角的余弦值解⑴（方法一）取PC中點(diǎn)M,連接DM,MF.TM,F分別是PC,PB中點(diǎn),二MF//CB,MF=-CB,TE為DA中點(diǎn),ABCD為正方形，二DE//CB,DE=?CB,MF//DE,MF=DE,???四邊形DEFM為平行四邊形???EF//DM,TEF?平面PDC,DM?平面PDC,…EF//平面PDC.（方法二）取PA屮點(diǎn)N,連接NE,NF.TE是AD屮點(diǎn),N是PA中點(diǎn),?NE//DP,又TF是PB中點(diǎn),N是PA中點(diǎn),?NE//AB,TAB//CD,.NF//CD,又TNEANF=N,NE?平面NEF,NF?平面NEF,DP?平面PCD,CD?平面PCD,?平面NEF//平面PCD.TEF?平面NEF,?EF//平面PCD.（方法三）取BC中點(diǎn)G,連接EG.FG,在正方形ABCD屮,E是AD中點(diǎn),G是BC中點(diǎn),?GE//CD,

又TF是PB屮點(diǎn),G是BC中點(diǎn)，二GF//PC,又PCQCD=C,GE?平面GEF,GF?平面GEF,PC?平面PCD,CD?平面PCD,???平面GEF//平面PCD.?/EF?平面GEF,?EF//平面PCD.(2)TPA丄平面ABC,且四邊形ABCD是正方形，二AD,AB,AP兩兩垂直，以A為原點(diǎn)、,AP,AB,AD所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,貝ijP(1,0,0),D(0,0,1),C(0,1,1),E(0,0,?),F(-?J.設(shè)平面EFC的法向量為ni=(xi,yi,zi), =(__」，二(一_丿，則取ni=(3,-1,2),則設(shè)平面PDC的法向量為n2=(X2,y2,Z2), =(-1,0,1), =(?W),則取n2=(1,0,1),cos<ni,n2>= ?平面EFC與平面PDC所成銳二面角的余弦值為命題角度3折疊問(wèn)題、點(diǎn)到平命題角度3折疊問(wèn)題、點(diǎn)到平面的距離咼考真題體驗(yàn)對(duì)方向(2016全國(guó)n19)如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O,AB=5,AC=6,點(diǎn)E,F分別在AD,CD上,AE=CF=?,EF交BD于點(diǎn)H.將ADEF沿EF折至ijADEF的位置，OD*=證明:DH丄平面ABCD;⑵求二面角B-D*A-C的正弦值.(1)1證明由已知得AC丄BD,AD=CD.又由AE=CF得一一故AC//EF.因此EF丄HD,從而EF丄D'H.由AB=5,AC=6得DO=BO= =4?由EF//AC得所以0H=1,DH=DH=3.于是DH2+0H2=32+12=10=D*O2,故DH丄0H.又D'H丄EF,而OHAEF=H,所以D'H丄平面ABCD.(2)解如圖，以H為坐標(biāo)原點(diǎn)， 的方向?yàn)閤軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系H?xyz.則H(0,0,0),A(?3,?1,0),B(0,?5,0),C(3,?1,0)Q(0,0,3),=(3,-4,0), =(6,0,0), =(3,1,3).設(shè)m=(X!,y!,z"是平面ABD'的法向量，所以可取m=(4,3,?5).設(shè)n=(X2WZ2)是平面ACD的法向量，則 即所以可取n=(0,-3,1).于是cos<m,n>=……—=一.sinvm,n>=因此二面角B-D'A-C的正弦值是(2015陜西18)如圖①，在直角梯形ABCD中,AD//BC,ZBAD=-,AB=BC=1,AD=2,E是AD的中點(diǎn),O是AC與BE的交點(diǎn)，將AABE沿BE折起到AA*的位置，如圖②.(1)證明：CD丄平面AiOC;⑵若平面AiBE丄平面BCDE,求平面AiBC與平面AiCD夾角的余弦值⑴證明在題圖①屮，因?yàn)锳B=BC=1,AD=2,E是AD的中點(diǎn)，/BAD=-,所以BE丄AC,即在題圖②中,BE丄OAi,BE丄OC,從而BE丄平面AQC,又CD//BE,所以CD丄平面AiOC.⑵解由已知，平面AiBE丄平面BCDE,又由⑴知，平面AiBE丄平面BCDE,又由(i)知,BE丄OAi,BE丄OC,所以/AiOC為二面角Ai-BE-C的平面角所以/AiOC=—.如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系因?yàn)锳iB=AiE=BC=ED=i,BC/ED,所以B—,E-■ ,Ai一,C— ,得亠=(-,0,0).設(shè)平面AiBC的法向量n=(xi,yi,zi),平面AiCD的法向量ne(X2,y2,Z2)，平面AiBC與平面AiCD夾角為0,貝V 得- 取n=(i,i,i); 得 取n2=(0,i,i),從而cos0=|cos<rii,n2>|=_=一，即平面AiBC與平面AiCD夾角的余弦值為一.新題演練提能刷高分(20i8河南4月適應(yīng)性考試)如圖，在邊長(zhǎng)為2-的菱形ABCD屮，/DAB=60°?點(diǎn)E,F分別在邊CD,CB上，點(diǎn)E與點(diǎn)C,D不重合,EF±AC,EFHAC=O.沿EF將ACEF翻折到APEF的位置，使平面PEF丄平面ABFED.求證:PO丄平面ABD;當(dāng)PB與平面ABD所成的角為45。時(shí),求平面PBF與平面PAD所成銳二面角的余弦值(1)|證明EF丄AC,APO丄EF.V平面PEF丄平面ABFED,平面PEF門平面ABFED=EF，且PO?平面PEF,APO丄平面ABD.⑵解如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系O?xy乙連接BO,TPO丄平面ABD,???/PBO為PB與平面ABD所成的角，即/PBO=45°,—PO=BO.設(shè)AOABD=H,V/DAB=60° ,ABDA為等邊三角形，BD=2-,HB=-,HC=3?設(shè)PO=x則OH=3-x,由PO2=OH2+HB2,得x=2,即PO=2,OH=1.?P(0,0,2),A(4,0,0),B(1,-,0),D(1,- 0)PO丄PO丄OB,設(shè)平面PAD,平面PBF的法向量分別為m=(a,b,c),n=(x,y,z),由取a=1,得m=(1,--,2).同理，得n=—cos<m,n>=?平面PBF與平面PAD所成銳二面角的余弦值為（2018T東揭陽(yáng)學(xué)業(yè)水平考試）如圖所示，平面多邊形ABCDE+,AE=ED,AB=BD,且AB?AD=2,AE=-,CD=1,AD丄CD,現(xiàn)沿直線AD,將AADE折起，得到四棱錐P-ABCD.⑴求證:PB丄AD;⑵若PB=一，求PD與平面PAB所成角的正弦值證明取AD的屮點(diǎn)O,連接OB,OP,TBA=BD,EA=ED^[I卩PA=PD,?OB丄AD且OP丄AD,又OBAOP=O,?AD丄平面BOP,而PB?平面BOP,r.PB±AD.I 2 2 2解TOP=1,OB=2,OP+OB=5=PB,

???OP,OB,OD兩兩互相垂直，以0為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB,OD,OP所在的直線為x,y,z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系O?xyz,則A(0,-1,0),B(2,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1), =(0,-1,1),設(shè)m=(a,b,c)為平面PAB的一個(gè)法向量，貝ij令a=1,WJ得c=2,b=-2,r.m=(1,-2,2),設(shè)PD與平面PAB所成角為Q貝Usin9= =(0,1,1),=(-2,0,1),,即PD與平面PAB所成角的正弦值為（2018東北三省三校三模）已知等腰直角AS,AB,S,A=AB=4,S*A丄AB,C,D分別為SB,S7\的屮點(diǎn)，將ASCD沿CD折到ASCD的位置,SA=2=(0,1,1),=(-2,0,1),,即PD與平面PAB所成角的正弦值為(1)求證:CE//平面SAD;⑵求二面角A-EC-B的余弦值.⑴|證明取SA中點(diǎn)F,連接DF,EF,TSE=EB,SF=FA,AEF—AB.又TCD?AB,「.CDEF,?四邊形CDFE為平行四邊形，?CE/FD,TCE?平面SAD,FD?平面SAD,CE//平面SAD.(2)MTSD=AD=2,SA=2222二SD+AD=SA.?SD丄AD.TSD±CD,SD?平面SCD,SD丄平面ABCD,TAD,CD?平面ABCD,ASD±AD,SD丄CD,又TAD丄DC,「.DA,DC,DS兩兩互相垂直,如圖所示，分別以DA,DC,DS為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系D?xy乙則A(2,0,0),C(0,2,0),S(0,0,2),B(2,4,0),E(1,2,1), =(1,0,1), =(2,-2,0), =(2,2,0),設(shè)平面ECA,平面ECB的法向量分別為m=(xiy,zi),n=(x2jy2,Z2),取n=(1,-1,-1).—cos<m,n>=??面角A-EC-B的平面角的余弦值為一.(2018山東濟(jì)南一模)如圖1,在高為6的等腰梯形ABCD中AB//CD,且CD=6,AB=12,將它沿對(duì)稱軸0。丨折起，使平面ADOQ丄平面BCOQ如圖2,點(diǎn)P為BC中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AB上(不同于A,B兩點(diǎn))，連接OE并延長(zhǎng)至點(diǎn)Q使AQ//OB.OiCQ圖1 ?2(1)證明：OD丄平面PAQ;⑵若BE=2AE,求二面角C-BQ-A的余弦值.(1)1證明由題設(shè)知OA,OB,OOi兩兩垂直，所以以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA,OB,OCh所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 ，設(shè)AQ的長(zhǎng)度為m,5C則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)為0(0,0,0),A(6,0,0),B(0,6,0),C(0,3,6),D(3,0,6),Q(6,m,0).???點(diǎn)P為BC屮點(diǎn)，—P =(3,0,6), =(0,m,0),= 、6,m—,?3丿.=0, =0,二 ，且與不共線，r.OD丄平面PAQ.(2)解TBE=2AE,AQ//OB,「.AQ=-OB=3,貝Q(6,3,0),二=(-6,3,0), =(0,-3,6).設(shè)平面CBQ的法向量為n1=(x,y,z),令Z=1,則y=2,x=1,故ni=(i,2,1),又顯然，平面ABQ的法向量為n2=(0,0,1),設(shè)二面角C-BQ-A的平面角為由圖可知，B為銳角，貝ijcos9= (2018安徽安慶二模)如圖，四邊形ABCD是矩形，沿對(duì)角線AC將AKCD折起,使得點(diǎn)D在平面ABC±的射影恰好落在邊AB±.⑴求證:平面ACD丄平面BCD;⑵當(dāng)一=2時(shí)，求二面角D-AC-B的余弦值.(1)證明設(shè)點(diǎn)D在平面ABC上的射影為點(diǎn)E,連接DE,則DE丄平面ABC,所以DE丄BC.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，所以AB丄BC.因?yàn)锳BADE=E，所以BC丄平面ABD,所以BC丄AD.又AD丄CD,CDABC=C,所以AD丄平面BCD,而AD?平面ACD，所以平面ACD丄平面BCD.(2)解以點(diǎn)B為原點(diǎn)，線段BC所在的直線為x軸，線段AB所在的直線為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示?設(shè)|AD|=a,!HiJ|AB|=2a,所以A(0,-2a,0),C(-a,0,0).由(1)知AD丄BD,又一=2,所以/DBA=30° ，/DAB=60°那么|AE|=|AD|cos/DAB=—a,|BE|=|AB|-|AE|=-a,|DE|=|AD|sin/DAB=—a,所以D|0,?一a,匚a：所以=O,所以=O,?a,—a,=(-a,2a,0).設(shè)平面ACD的一個(gè)法向量為m=(x,y,z),即 取y=1,則x=2,z=—，所以m=1,2,—?因?yàn)槠矫鍭BC的一個(gè)法向量為n=(0,0,1),所以cos<m,n>=—-=?_.故所求二面角所以cos<m,n>=—-=?_.故所求二面角D-AC-B的余弦值為-.命題角度4探究性問(wèn)題咼考真題體驗(yàn)對(duì)方向(2016北京17)如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD丄平面ABCD,PA丄PD,PA=PD,AB丄AD,AB=1,AD=2,AC=CD=.求證:PD丄平面PAB;求直線PB與平面PCD所成角的正弦值在棱PA上是否存在點(diǎn)M,使得BM//平面PCD?若存在，求一的值;若不存在，說(shuō)明理由.(1)1證明因?yàn)槠矫鍼AD丄平面ABCD,AB丄AD,所以AB丄平面PAD.所以AB丄PD.又因?yàn)镻A丄PD,所以PD丄平面PAB.⑵解取AD的中點(diǎn)0,連接PO,CO.因?yàn)镻A=PD,所以PO丄AD.又因?yàn)镻O?平面PAD,平面PAD丄平面ABCD,所以PO丄平面ABCD.因?yàn)镃O?平面ABCD,所以PO丄CO.因?yàn)锳C=CD,所以CO丄AD.如圖建立空間直角坐標(biāo)系O?xyz.由題意得，A(0,1,0),B(1,1,0),C(2,0,0),D(0,-1,0),P(0,0,1).設(shè)平面PCD的法向量為n=(x,y,z),令z=2,則x=1,y=-2.所以n=(1,-2,2).又=(1,1,-1),所以cos<n,>= =—.所以直線PB與平面PCD所成角的正弦值為一.⑶解設(shè)M是棱PA上一點(diǎn)，則存在入e[0,1]使得二入.因此點(diǎn)M(0,1■”， =(-1，-因?yàn)锽M?平面PCD,所以BM//平面PCD當(dāng)且僅當(dāng) n=0,入為(1,?2,2)=0.解得/=-.所以在棱PA上存在點(diǎn)M使得BM//平面PCD,此時(shí)一-.新題演練提能刷高分(2018山東青島二模)如圖所示，在三棱柱ABC-AiBiCi中側(cè)棱BBi丄底面ABC,BBi=4,AB丄BC,且AB=BC=3一，點(diǎn)M,N為棱AB,BC上的動(dòng)點(diǎn)，且AM=BN,D為BiCi的中點(diǎn)?⑴當(dāng)點(diǎn)M,N運(yùn)動(dòng)時(shí)，能否出現(xiàn)AD//平面BiMN的情況，請(qǐng)說(shuō)明理由⑵若BN=—，求直線AD與平面BiMN所成角的正弦值.解(1)當(dāng)M,N為各棱中點(diǎn)時(shí),AD//平面BiMN.證明如下璉接CD,TCN//BiD且CN=BiD=-BC,???四邊形BiDCN為平行四邊形，r.DC//BiN.又DC?平面BiMN,BiN?平面BiMN,?DC//平面BiMN.TM,N為各棱中點(diǎn)，?AC//MN,又AC?平面BiMN,MN?平面BiMN,AC//平面BiMN.?/DCQAC=C,?平面ADC//平面BiMN,又TAD?平面ADC,T.AD//平面B^MN.⑵如圖，設(shè)AC中點(diǎn)為O,作OE丄OA,以O(shè)A,OE,OB分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系?/BN=-,AB=BC=3—；*??AC=6.TM(2,0,1),N(-1,0,2),A(3,0,0),Bi(0,-4,3),D--,… =(-3,0,1), =(2,4,-2).設(shè)平頂|B〔mN的法向量為n=(x,y,z),則有n丄，n丄可得平面BiMN的一個(gè)法向量n=(1,1,3).??cos<n,>=設(shè)直線AD與平面BiMN所成角為a貝Usina=|cos<n,>|=(2018湖北宜昌調(diào)研)如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD丄平面ABCD,AD//BC,AB=BC=PA=1,AD=2,ZPAD=/DAB=/ABC=90°,點(diǎn)E在棱PC上且CE=QP.求證:CD丄AE;是否存在實(shí)數(shù)入使得二面角C-AE-D的余弦值為一一?若存在，求出實(shí)數(shù)入的值;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.1證明過(guò)點(diǎn)C作CF//AB交AD于點(diǎn)F,TAB=BC=1,AD=2,ZDAB=/ABC=90°,?四邊形ABCF為正方形,HAF=FD=1,AC=在RtACFD中,CD=—,在AACD中，222TCD+AC=4=AD,?CD丄AC.?/ZPAD=90° ，-PA丄AD.又平面PAD±平面ABCD,平面PAD門平面ABCD二AD,?PA丄平面ABCD,「.PA丄CD.TPA,AC?平面PAC,且PAAAC=A,CD丄平面PAC,ACD丄AE.解vZPAD=90。，?PA丄AD.又平面PAD丄平面ABCD,平面PAD門平面ABCD=AD,?PA丄平面ABCD.PA丄CD,PA丄AB,

以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD,AP所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)(0,0,0),P(0,0,1),C(1,1,0),D(0,2,0), =(-1,1,0), =(0,2,0),假設(shè)存在實(shí)數(shù)入使得二面角C-AE-D的余弦值為一一,令二入???點(diǎn)E在棱PC上，???入e[0,1].設(shè)E(x,y,z),?/=A,(x-1,y-1,z)=X-1,-1,1),E(1■入1?“，則=(1?入1?入幾TCD丄平面PAC,?平面AEC的一個(gè)法向量為n= =(-1,1,0),設(shè)平面AED的一個(gè)法向量為m=(Xi,yi,zi),令z=1,得m==—(-入0,1■兒取m=(-入0,1■爲(wèi)2???|cos<m,n>|= —一，化簡(jiǎn)得3入?8廿4=0.又疋[0,1],???；二-..?.存在實(shí)數(shù)定一使得二面