大學(xué)數(shù)學(xué)解析幾何

緒論

Introduction

《解析幾何》“解析幾何”又名“坐標(biāo)幾何”,是幾何學(xué)的一個(gè)分支。解析幾何的基本思想是用代數(shù)的方法來(lái)研究幾何問(wèn)題，它的基本方法是坐標(biāo)法。即通過(guò)坐標(biāo)把幾何問(wèn)題表示成代數(shù)形式，然后通過(guò)代數(shù)方程來(lái)表示和研究曲線。它包括“平面解析幾何”和“空間解析幾何”兩部分。前一部分除研究直線的有關(guān)性質(zhì)外，主要研究圓錐曲線（橢圓、拋物線、雙曲線）的有關(guān)性質(zhì)。后一部分除研究平面、直線的有關(guān)性質(zhì)外，主要研究二次曲面（橢球面、拋物面、雙曲面等）的有關(guān)性質(zhì)。緒論(Introduction)一、解析幾何發(fā)展簡(jiǎn)史二、本課程的主要內(nèi)容及基本要求三、主要參考書(shū)四、學(xué)習(xí)要求五、考核方式及成績(jī)?cè)u(píng)定緒論(Introduction)一、解析幾何發(fā)展簡(jiǎn)史1、解析幾何產(chǎn)生的實(shí)際背景和數(shù)學(xué)條件2、解析幾何的創(chuàng)立3、解析幾何創(chuàng)立的意義4、解析幾何的發(fā)展和完善5、解析幾何的進(jìn)一步發(fā)展解析幾何的實(shí)際背景更多的是來(lái)自對(duì)變量數(shù)學(xué)的需求。1．解析幾何產(chǎn)生的實(shí)際背景和數(shù)學(xué)條件解析幾何產(chǎn)生數(shù)學(xué)自身的條件：一、幾何學(xué)已出現(xiàn)解決問(wèn)題的乏力狀態(tài)；二、代數(shù)已成熟到能足以有效地解決幾何問(wèn)題的程度.解析幾何的實(shí)際背景更多的是來(lái)自對(duì)變量數(shù)學(xué)的需求。從16世紀(jì)開(kāi)始，歐洲資本主義逐漸發(fā)展起來(lái)，進(jìn)入了一個(gè)生產(chǎn)迅速發(fā)展，思想普遍活躍的時(shí)代。生產(chǎn)實(shí)踐積累了大量的新經(jīng)驗(yàn)，并提出了大量的新問(wèn)題?？墒?，對(duì)于機(jī)械、建筑、水利、航海、造船、顯微鏡和火器制造等領(lǐng)域的許多數(shù)學(xué)問(wèn)題，已有的常量數(shù)學(xué)已無(wú)能為力，人們迫切地尋求解決變量問(wèn)題的新數(shù)學(xué)方法。

解析幾何產(chǎn)生的實(shí)際背景解析幾何產(chǎn)生前的幾何學(xué)特點(diǎn)：靜態(tài)的幾何,既不把曲線看成是一種動(dòng)點(diǎn)的軌跡,更沒(méi)有給它以一般的表示方法.平面幾何，立體幾何（歐幾里得的《幾何原本》）圓錐曲線論（阿波羅尼斯的《圓錐曲線論》）

解析幾何產(chǎn)生的數(shù)學(xué)條件(一)

16世紀(jì)以后,哥白尼提出日心說(shuō)，伽利略得出慣性定律和自由落體定律，這些都向幾何學(xué)提出了用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來(lái)認(rèn)識(shí)和處理圓錐曲線及其他幾何曲線的課題．幾何學(xué)必須從觀點(diǎn)到方法來(lái)一個(gè)變革，創(chuàng)立起一種建立在運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)上的幾何學(xué)．幾何學(xué)出現(xiàn)解決問(wèn)題的乏力狀態(tài)解析幾何產(chǎn)生的數(shù)學(xué)條件(二)16世紀(jì)代數(shù)的發(fā)展恰好為解析幾何的誕生創(chuàng)造了條件．1591年法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)第一個(gè)在代數(shù)中有意識(shí)地系統(tǒng)地使用了字母，他不僅用字母表示未知數(shù),而且用以表示已知數(shù)，包括方程中的系數(shù)和常數(shù)．這樣，代數(shù)就從一門(mén)以分別解決各種特殊問(wèn)題的側(cè)重于計(jì)算的數(shù)學(xué)分支，成為一門(mén)以研究一般類(lèi)型的形式和方程的學(xué)問(wèn)．這就為幾何曲線建立代數(shù)方程鋪平了道路．代數(shù)的符號(hào)化，使坐標(biāo)概念的引進(jìn)成為可能，從而可建立一般的曲線方程，發(fā)揮其具有普遍性的方法的作用．Back

17世紀(jì)前半葉，解析幾何創(chuàng)立，其中法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾（Descartes，1596-1650)和費(fèi)爾瑪（fermat，1601-1665）作出了最重要的貢獻(xiàn)，成為解析幾何學(xué)的創(chuàng)立者。2．解析幾何的創(chuàng)立1637年，笛卡爾發(fā)表哲學(xué)著作《更好地指導(dǎo)和尋求真理的方法論》（簡(jiǎn)稱《方法論》），《幾何學(xué)》作為其附錄之一發(fā)表.笛卡爾的解析幾何有兩個(gè)基本思想：（１）用有序數(shù)對(duì)表示點(diǎn)的坐標(biāo)；（２）把互相關(guān)聯(lián)的兩個(gè)未知數(shù)的代數(shù)方程，看成平面上的一條曲線。2．解析幾何的創(chuàng)立笛卡爾的《幾何》雖然不像現(xiàn)在的解析幾何那樣，給讀者展現(xiàn)出一個(gè)從建立坐標(biāo)系和方程到研究方程的循序過(guò)程，但是他通過(guò)具體的實(shí)例，確定表達(dá)了他的新思想和新方法．這種思想和方法盡管在形式上沒(méi)有現(xiàn)在的解析幾何那樣完整，但是在本質(zhì)上它卻是地道的解析幾何．早在笛卡爾的《幾何學(xué)》發(fā)表以前，費(fèi)爾瑪已經(jīng)用解析幾何的方法對(duì)阿波羅尼斯某些失傳的關(guān)于軌跡的證明作出補(bǔ)充．費(fèi)爾瑪是一位業(yè)余數(shù)學(xué)家，但他的數(shù)學(xué)成就在17世紀(jì)數(shù)學(xué)史上非常突出，為微積分、概率論和數(shù)論的創(chuàng)立和發(fā)展都作出了最重要的貢獻(xiàn)。他通過(guò)引進(jìn)坐標(biāo)，以一種統(tǒng)一的方式把幾何問(wèn)題翻譯為代數(shù)的語(yǔ)言——方程，從而通過(guò)對(duì)方程的研究來(lái)揭示圖形的幾何性質(zhì)．費(fèi)爾瑪所用的坐標(biāo)系與現(xiàn)在常用的直角坐標(biāo)系不同，它是斜坐標(biāo)，而且也沒(méi)有y軸．2．解析幾何的創(chuàng)立Back解析幾何溝通了數(shù)學(xué)內(nèi)數(shù)與形、代數(shù)與幾何等最基本對(duì)象之間的聯(lián)系，從此，代數(shù)與幾何這兩門(mén)學(xué)科互相吸取營(yíng)養(yǎng)而得到迅速發(fā)展，并結(jié)合產(chǎn)生出許多新的學(xué)科，近代數(shù)學(xué)便很快發(fā)展起來(lái)了。3．解析幾何創(chuàng)立的意義恩格斯高度評(píng)價(jià)了笛卡爾的革新思想。他說(shuō)：“數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡兒的變數(shù)。有了變數(shù)，運(yùn)動(dòng)進(jìn)入了數(shù)學(xué)；有了變數(shù)，辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)；有了變數(shù)，微分和積分也就立刻成為必要的了。”Back

笛卡爾和費(fèi)馬創(chuàng)立解析幾何，在數(shù)學(xué)史上具有劃時(shí)代的意義。牛頓對(duì)二次和三次曲線理論進(jìn)行了系統(tǒng)的研究，特別是，得到了關(guān)于“直徑”的一般理論。歐拉討論了坐標(biāo)軸的平移和旋轉(zhuǎn)，對(duì)平面曲線作了分類(lèi)。拉格朗日把力、速度、加速度“算術(shù)化”，發(fā)展成“向量”的概念，成為解析幾何的重要工具。18世紀(jì)的前半期，克雷洛和拉蓋爾將平面解析幾何推廣到空間，建立了空間解析幾何。4．解析幾何的發(fā)展和完善Back解析幾何已經(jīng)發(fā)展得相當(dāng)完備，但這并不意味著解析幾何的活力已結(jié)束。經(jīng)典的解析幾何在向近代數(shù)學(xué)的多個(gè)方向延伸。例如：n維空間的解析幾何學(xué)，無(wú)窮維空間的解析幾何（希爾伯特空間幾何學(xué)）20世紀(jì)以來(lái)迅速發(fā)展起來(lái)的兩個(gè)新的寬廣的數(shù)學(xué)分支——泛函分析和代數(shù)幾何，也都是古典解析幾何的直接延續(xù)。微分幾何的內(nèi)容在很大程度上吸收了解析幾何的成果。5．解析幾何的進(jìn)一步發(fā)展關(guān)于解析幾何產(chǎn)生的歷史，可以查閱數(shù)學(xué)史方面的書(shū)，例如李文林的《數(shù)學(xué)史概論》（高等教育出版社），或上網(wǎng)查閱查關(guān)的內(nèi)容，網(wǎng)址：

/2/22/07/0641.htmBack本課程在中學(xué)平面向量和平面解析幾何的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步學(xué)習(xí)空間向量和空間解析幾何。主要內(nèi)容有：

第一章向量與坐標(biāo)第二章軌跡與方程第三章平面與空間直線第四章柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面第五章二次曲線的一般理論在本課程中，向量這一有力工具得到充分的利用。二、本課程的主要內(nèi)容及基本要求解析幾何是高等師范院校數(shù)學(xué)專業(yè)一門(mén)必修的基礎(chǔ)課.通過(guò)本課程的學(xué)習(xí)達(dá)到以下基本要求：掌握解析幾何的基本知識(shí)和基本理論，善于運(yùn)用坐標(biāo)和向量為工具，把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程以達(dá)到解決幾何問(wèn)題的目的.培養(yǎng)用形數(shù)結(jié)合的方法來(lái)解決問(wèn)題的能力；熟練地掌握一些幾何圖形的性質(zhì)及其標(biāo)準(zhǔn)方程，熟練地進(jìn)行某些幾何量的計(jì)算；會(huì)描繪一些常見(jiàn)的空間曲線和曲面的圖形，進(jìn)一步提高空間想象能力。二、本課程的主要內(nèi)容及基本要求Back1.宋衛(wèi)東.解析幾何.北京：高等教育出版社，2003.72.楊文茂，李全英編著.空間解析幾何.武漢：武漢大學(xué)出版社，20033.朱鼎勛，陳紹菱.空間解析幾何學(xué).北京:北京師范大學(xué)出版社，19844.陳鶚.解析幾何講義.北京:高等教育出版社，19835.朱德祥，朱紙宗.新編解析幾何學(xué).重慶:西南師范大學(xué)出版社，19896.南開(kāi)大學(xué)數(shù)學(xué)系編.空間解析幾何引論.北京:人民教育出版社，19787.方德植.解析幾何.北京:高等教育出版社，1986三、主要參考書(shū)B(niǎo)ack１、課前預(yù)習(xí).２、課上認(rèn)真聽(tīng)講，積極思考，記好筆記.３、課后及