主成分分析案例

案例 我國各地區(qū)城鎮(zhèn)居民消費性支出的主成分分析下表列出了1999年全國31個省、直轄市和自治區(qū)（港、澳、臺不在其中）的城鎮(zhèn)居民家庭平均每人全年消費性支出的八個主要變量數(shù)據(jù)，請從八個變量中識別出主成分。表1變量表x:食品x:交通和通訊1x:衣著5x:娛樂教育文化服務(wù)2x:家庭設(shè)備用品及服務(wù)6x:居住3x:醫(yī)療保健7x:雜項商品和服務(wù)表1消費性支出數(shù)據(jù)單位：元地區(qū)xxxxxxxx12345678北京2959.19730.79749.41513.34467.871141.82478.42457.64天津2459.77495.47697.33302.87284.19735.97570.84305.08河北1495.63515.90362.37285.32272.95540.58364.91188.63山西1406.33477.77290.15208.57201.50414.72281.84212.10內(nèi)蒙古1303.97524.29254.83192.17249.81463.09287.87192.96遼寧1730.84553.90246.91279.81239.18445.20330.24163.86吉林1561.86492.42200.49218.36220.69459.62360.48147.76黑龍江1410.11510.71211.88277.11224.65376.82317.61152.85上海3712.31550.74893.37346.93527.001034.98720.33462.03江蘇2207.58449.37572.40211.92302.09585.23429.77252.54浙江2629.16557.32689.73435.69514.66795.87575.76323.36安徽1844.78430.29271.28126.33250.56513.18314.00151.39福建2709.46428.11334.12160.77405.14461.67535.13232.29江西1563.78303.65233.81107.90209.70393.99509.39160.12山東1675.75613.32550.71219.79272.59599.43371.62211.84河南1427.65431.79288.55208.14217.00337.76421.31165.32湖北1783.43511.88282.84201.01237.60617.74523.52182.52湖南1942.23512.27401.39206.06321.29697.22492.60226.45廣東3055.17353.23564.56356.27811.88873.061082.82420.81廣西2033.87300.82338.65157.78329.06621.74587.02218.27海南2057.86186.44202.72171.79329.65477.17312.93279.19重慶2303.29589.99516.21236.55403.92730.05438.41225.80四川1974.28507.76344.79203.21240.24575.10430.36223.46貴州1673.82437.75461.61153.32254.66445.59346.11191.48云南2194.25537.01369.07249.54290.84561.91407.70330.95

西藏2646.61839.70204.44209.11379.30371.04269.59389.33陜西1472.95390.89447.95259.51230.61490.90469.10191.34甘肅1525.57472.98328.90219.86206.65449.69249.66228.19青海1654.69437.77258.78303.00244.93479.53288.56236.51寧夏1375.46480.89273.84317.32251.08424.75228.73195.93新疆1608.82536.05432.46235.82250.28541.30344.85214.40資料來源：2000年《中國統(tǒng)計年鑒》我們希望對上述八個指標(biāo)數(shù)據(jù)進行主成分分析。從氣,％,,氣的樣本相關(guān)陣R出發(fā)進行主成分分析，SAS軟件的輸出結(jié)果如輸出1所示。

ThePRINCOMPProcedureObservations31Variables8<1）SinpleStatisticsXix2x3 x4x5x6 x7x8Mean1980.660469.073395.985244.360311.018569.571430.370243.045StD 586.886120.456179.928 86.353128.128189.509168.143 88.0^6（2）CorrelationMatrixX1x2 x3X4x5 x6 x7XBXI食品1.00000.24730.69780.46780.82780.76860.67000.8772X2衣者0.24731.00000.25790.42330.08590.25S2-.20110.3493x3家庭設(shè)備用品及服務(wù)0.69780.25791.00000.62080.58530.85640.56860.6674x4醫(yī)療保但0.46780.42330.62081.00000.53130.68360.31400.6282x5交通和通訊0.82780.08590.58530.53131.00000.70810.80040.7763x6娛樂教育文化服務(wù)0.76860.25520.85640.68360.7081 1.00000.64720.7449x7居住0.6700-.20110.56860.31400.80040.64721.00000.5250x8雜項商品和服務(wù)0.87720.34930.66740.62820.77630.74490.52501.0000（3）EigenvaluesoftheCorrelationMatrixEigenvalueDifferenceProportionCumulative15.097700193.745435350.6372 0.637221.352264840.777541120.1690 0.806230.574723730.168432370.0718 0.878140.406291360.125023330.0508 0.928950.281266020.158991250.0352 0.964060.122276770.029599070.0153 0.979370.092677700.019880310.0116 0.990980.072797390.0091 1.0000<4）EigenvectorsPrinlPrin2Prin3Prin4Prin5Prin6Prin7Prin8X1食nil0.4010-.07710.4150-.2092-.2205-.0451-.06530.7490x2衣莉0.13200.74910.3317-.15180.52930.01480.0669-.0571x3家庭設(shè)備用品及服務(wù)0.37510.0650??4417-.5465-.06960.5592-.1807-.1045X4醫(yī)療保健0.31990.3446-.47770.6588-.06050.09260.09490.3086x5交通和通訊0.3878-.23170-27910.36560.21390.1026-.6732-.2732x6炊樂教育文化服務(wù) 0.40580.0271-.3096-.23340.0035-.8062-.0864-.1629x7《住0.3262-.4960?.03390.02640.58030.09170.54750.0245x8雜頊商品和服務(wù)0.39630.09590.34530.1072-.52910.08620.4347-.4759從輸出1可以看出，前兩個和前三個主成分的累計貢獻(xiàn)率分別達(dá)到80.6%和87.8%,第一主成分g在所有變量（除在七上的載荷稍偏小外）上都有近似相等的正載荷，反映了綜合消費性支出的水平，因此第一主成分可稱為綜合消費性支出成分。第二主成分J在變量七上有很高的正載荷，在變量尸上有中等的正載荷，而在其余變量上有負(fù)載荷或很小的正載荷。4可以認(rèn)為這個主成分度量了受地區(qū)氣候影響的消費性支出（主要是衣著％，其次是醫(yī)療保健?X①）在所有消費性支出中占的比重（也可理解為一種消費傾向），第二主成分可稱為消費傾向4成分。第三主成分很難給出明顯的解釋，因此我們只取前面兩個主成分。表2和表3是把31個地區(qū)分別按第一和第二主成分得分從小到大重新排序后的結(jié)果。從表2可以看出，東部地區(qū)的第一主成分得分普遍較高，中部地區(qū)一般，而西部地區(qū)則普遍較低。從表3可見，北方地區(qū)的第二主成分得分普遍較高，而南方地區(qū)則普遍較低，這是由于北方地區(qū)氣候寒冷，用于衣著、醫(yī)療保健等消費的比重相對較高，而南方地區(qū)則相反。這也進一步支持了上述對第二主成分的解釋。圖1是關(guān)于第一和第二主成分得分的散點圖，該圖等價于各變量經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化后的八維數(shù)據(jù)點群在具有最大投影點群分散程度的二維平面上的投影。它對各地區(qū)的綜合消費性支出和受地區(qū)氣候影響的消費性支出占的比重有較直觀的描述。表2按第一主成分排序的31個地區(qū)地區(qū)y 1 y □ 地區(qū)y 1 y □ 江西-2.234-1.867新疆-0.6970.647河南-1.947-0.388四川-0.5330.041黑龍江-1.9270.636廣西-0.251-2.058吉林-1.8590.151山東-0.1470.983山西-1.8480.404福建0.201-1.337內(nèi)蒙古-1.8260.509湖南0.219-0.203安徽-1.796-0.519江蘇0.407-0.311甘肅-1.5490.526云南0.4350.479寧夏-1.5010.906西藏0.4372.365遼寧-1.3130.844重慶1.1150.409貴州-1.298-0.341天津2.0060.044海南-1.157-1.913浙江3.5830.531青海-1.0450.426北京5.4262.466陜西-0.859-0.501廣東5.583-3.072河北-0.7690.580上海5.866-0.195湖北-0.717-0.247①可從表1計算出醫(yī)療保健在消費性總支出中占的比率％；乙七，然后進行由大到小的排序，各地區(qū)的順i=1序依次為：寧夏、黑龍江、青海、河北、遼寧、北京、浙江、陜西、甘肅、山西、吉林、河南、新疆、內(nèi)蒙古、天津、云南、山東、廣東、湖北、四川、重慶、湖南、海南、江蘇、上海、西藏、貴州、廣西、安徽、江西和福建，大致由寒冷的北方地區(qū)排到溫暖的南方地區(qū)。這是由于氣候的寒冷易導(dǎo)致醫(yī)療保健費用的增加，因此，可以認(rèn)為除衣著X外醫(yī)療保健X也是受地區(qū)氣候影響的變量。

表3 按第二主成分排序的31個地區(qū)地區(qū)yy地區(qū)yy廣東5.583-3.072山西-1.8480.404廣西-0.251-2.058重慶1.1150.409海南-1.157-1.913青海-1.0450.426江西-2.234-1.867云南0.4350.479福建0.201-1.337內(nèi)蒙古-1.8260.509安徽-1.796-0.519甘肅-1.5490.526陜西-0.859-0.501浙江3.5830.531河南-1.947-0.388河北-0.7690.580貴州-1.298-0.341黑龍江-1.9270.636江蘇0.407-0.311新疆-0.6970.647湖北-0.717-0.247遼寧-1.3130.844湖南0.219-0.203寧夏-1.5010.906上海5.866-0.195山東-0.1470.983四川-0.5330.041西藏0.4372.365天津2.0060.044北京5.4262.466吉林-1.8590.151圖1前兩個主成分的散點圖從圖1中可以看出，上海、廣東和北京在最右邊，城鎮(zhèn)居民綜合消費性支出是最高的;其次是浙江和天津；江西在散點圖的最左邊，表明綜合消費性支出是最低的；北京和西藏在散點圖的最上邊，說明受地區(qū)氣候影響的消費性支出占的比重最高；廣東在最底部，表明受地區(qū)氣候影響的消費性支出占的比重最低。TOC\o"1-5"\h\z注：該例中，如果我們只是要根據(jù)X,X，…,X來比較各地區(qū)城鎮(zhèn)居民消費性支出的總水1 2 8平，則消費性總支出X0=28X無疑是最合適的，它的含義確切且富有很好的實際意義。但i二1如果我們要比較的不是總水平而是整體水平，則使用單個變量X0就有其不足之處，它的信息量不夠足，未能較充分地提取X,X，…,X中的有用信息。本案例所進行的主成分分析卻能12 8彌補此種不足，（從R出發(fā)的）前兩個主成分J和J合在一起能夠包含有X,X，…,X的較多1 2 1 2 8信息，除了X能在某種意義上反映消費性支出總水平外，J2還能進一步反映對各地區(qū)消費性支出差異起較重要作用的某種消費傾向。g和X0之間存在著高達(dá)r=0.989的正相關(guān)性，雖然這兩個變量高度相關(guān)，且意義相近，但兩者還是有著本質(zhì)區(qū)別，主要表現(xiàn)在如