安徽省皖南八校高三12月聯(lián)考數(shù)學(xué)理試題

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精安徽省皖南八校2013屆高三（上)12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．(5分）等于(）A．1+iB．﹣1+iC．1﹣iD．﹣1﹣i考點(diǎn):復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．專題：計(jì)算題．分析:直接利用兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法法則，運(yùn)算求得結(jié)果．解答：解：=﹣2i=1+i﹣2i=1﹣i，故選C．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法，屬于基礎(chǔ)題．2．（5分)已知集合A=｛1，2，3,4，5｝，B={(x，y）|x∈A，y∈A,x＜y，x+y∈A}，則集合B中的元素個(gè)數(shù)為（)A．2B．3C．4D．5考點(diǎn)：元素與集合關(guān)系的判斷．3481324專題:計(jì)算題．分析：通過集合B,利用x∈A，y∈A，x＜y，x+y∈A,求出x的不同值，對(duì)應(yīng)y的值的個(gè)數(shù)，求出集合B中元素的個(gè)數(shù)．解答：解：因?yàn)榧螦=｛1,2，3，4,5}，B=｛（x，y）|x∈A，y∈A，x＜y,x+y∈A}，當(dāng)x=1時(shí)，y=2或y=3或y=4；當(dāng)x=2時(shí)y=3;所以集合B中的元素個(gè)數(shù)為4．故選C．點(diǎn)評(píng):本題考查集合的元素與集合的關(guān)系，考查基本知識(shí)的應(yīng)用．3．（5分）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列｛an}中,a2?a12=49，則a7的最小值為（）A．7B．8C．9D．10考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)．3481324專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：由條件可得得a7=，再利用基本不等式a7的最小值．解答：解：由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a7=，∵等差數(shù)列｛an}中，各項(xiàng)均為正數(shù)，a2?a12=49，∴≥=7，當(dāng)且僅當(dāng)a2=a12時(shí)，等號(hào)成立，故則a7的最小值為7，故選A．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用,基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．4．（5分）已知某8個(gè)數(shù)的平均數(shù)為5，方差為2，現(xiàn)又加入一個(gè)新數(shù)據(jù)5，此時(shí)這9個(gè)數(shù)的平均數(shù)為，方差為S2,則（）A．B．C．D．考點(diǎn)：極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差;眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)．3481324專題：計(jì)算題；概率與統(tǒng)計(jì)．分析：由題設(shè)條件，利用平均數(shù)和方差的計(jì)算公式進(jìn)行求解．解答：解：∵某8個(gè)數(shù)的平均數(shù)為5,方差為2，現(xiàn)又加入一個(gè)新數(shù)據(jù)5，此時(shí)這9個(gè)數(shù)的平均數(shù)為，方差為S2，∴==5,=,故選A．點(diǎn)評(píng)：本題考查平均數(shù)和方差的計(jì)算公式的應(yīng)用,是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．5．（5分）（2009?東城區(qū)一模）已知命題：“若x⊥y,y∥z，則x⊥z”成立，那么字母x,y，z在空間所表示的幾何圖形不能()A．都是直線B．都是平面C．x,y是直線，z是平面D．x，z是平面,y是直線考點(diǎn)：平面與平面之間的位置關(guān)系;空間中直線與平面之間的位置關(guān)系．3481324分析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面之間的位置判斷，我們可根據(jù)空間中點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系判定或性質(zhì)定理對(duì)四個(gè)答案逐一進(jìn)行分析,即可得到答案．解答:解：若字母x，y，z在空間所表示的幾何圖形都是直線,則由線線夾角的定義,我們易得兩條平行線與第三條直線所成夾角相等,故A不滿足題意．若字母x,y，z在空間所表示的幾何圖形都是平面則由面面夾角的定義,我們易得兩個(gè)平行平面與第三個(gè)平面所成夾角相等，故B不滿足題意．若字母x，y，z在空間所表示的幾何圖形x，y是直線，z是平面若x⊥y，y∥z，時(shí)，x也可能與z平行，故C滿足題意．若字母x，y，z在空間所表示的幾何圖形x,z是平面，y是直線則由面面垂直的判定定理易得結(jié)論正確故D不滿足題意．點(diǎn)評(píng):線線垂直可由線面垂直的性質(zhì)推得，直線和平面垂直，這條直線就垂直于平面內(nèi)所有直線，這是尋找線線垂直的重要依據(jù)．垂直問題的證明,其一般規(guī)律是“由已知想性質(zhì)，由求證想判定”,也就是說，根據(jù)已知條件去思考有關(guān)的性質(zhì)定理；根據(jù)要求證的結(jié)論去思考有關(guān)的判定定理，往往需要將分析與綜合的思路結(jié)合起來．6．（5分）“2012”含有數(shù)字0，1，2，且有兩個(gè)數(shù)字2,則含有數(shù)字0，1，2,且有兩個(gè)相同數(shù)字2或1的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為()A．18B．24C．27D．36考點(diǎn)：排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問題．3481324專題:計(jì)算題；概率與統(tǒng)計(jì)．分析：分類討論，滿足題意的四位數(shù)，1、2開頭的四位數(shù)各6個(gè)，即可得到結(jié)論．解答：解：由題意，1開頭的四位數(shù)，其中2個(gè)1有6個(gè)，2個(gè)2有3個(gè)；2開頭的四位數(shù)，其中2個(gè)2有6個(gè)，2個(gè)1有3個(gè),故滿足題意的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為9+9=18個(gè)故選A．點(diǎn)評(píng)：本題考查計(jì)數(shù)原理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．7．(5分）（2012?武漢模擬)執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸出的結(jié)果是9，則判斷框內(nèi)m的取值范圍是（）A．（42，56]B．（56,72］C．(72，90］D．（42，90）考點(diǎn)：循環(huán)結(jié)構(gòu)．3481324專題：閱讀型．分析:由已知中該程序的功能是計(jì)算2+4+6+…值，由循環(huán)變量的初值為1，步長(zhǎng)為1，最后一次進(jìn)入循環(huán)的終值為9，即S=72，由此易給出判斷框內(nèi)m的取值范圍．解答：解：∵該程序的功能是計(jì)算2+4+6+…值，由循環(huán)變量的初值為1，步長(zhǎng)為1，最后一次進(jìn)入循環(huán)的終值為9,第1次循環(huán):S=0+2=2k=1+1=2第2次循環(huán)：S=2+4=6k=2+1=3第3次循環(huán)：S=6+6=12k=3+1=4第4次循環(huán)：S=12+8=20k=4+1=5…第7次循環(huán):S=42+14=56k=7+1=8第8次循環(huán)：S=56+16=72k=8+1=9退出循環(huán)．此時(shí)S=72，不滿足條件,跳出循環(huán)，輸出k=9則判斷框內(nèi)m的取值范圍是m∈（56，72]．故選B．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)，是算法中重要的一種題型，同時(shí)考查了分析問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．8．（5分）設(shè)命題p：（x，y，k∈R，且k＞0）命題q：（x﹣3)2+y2≤25（x，y∈R）,若P是q的充分不必要條件,則k的取值范圍是（）A．（0，3］B．（0,6］C．（0，5]D．［1，6］考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃;必要條件、充分條件與充要條件的判斷．3481324專題：計(jì)算題．分析:已知命題p：命題q:（x﹣3）2+y2≤25(x，y∈R），p是q的充分不必要條件可得p?q，說明p所表示的區(qū)域在q所表示的區(qū)域內(nèi)部，畫出p和q的可行域,利用數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行求解；解答：解：由題意可得,p是q的充分不必要條件，可得p?q，說明p所表示的區(qū)域在q所表示的區(qū)域內(nèi)部，數(shù)形結(jié)合,畫出p和q的區(qū)域范圍，如下圖：B（k，4﹣），可知只需滿足條件：∴,解得0＜k≤6；故選B；點(diǎn)評(píng)：此題主要考查線性規(guī)劃問題,解題的過程中用到了數(shù)形結(jié)合的方法，解決此題的關(guān)鍵是能夠正確畫出可行域，此題是一道中檔題；9．（5分)過雙曲線的左焦點(diǎn)F作直線交雙曲線的兩條漸近線與A，B兩點(diǎn),若，則雙曲線的離心率為(）A．B．C．2D．考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．3481324專題：計(jì)算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析:利用向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積運(yùn)算,可得∠BOF=∠AOB=∠AOx=60°,由此可求雙曲線的離心率．解答：解：∵，∴,∴∵，∴B為FA的中點(diǎn)∴∠BOF=∠AOB=∠AOx=60°∴∴雙曲線的離心率為e==2．故選C點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的離心率，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題．10．（5分）已知函數(shù)f（x）=1+x﹣，設(shè)F(x）=f（x+4)，且函數(shù)F（x）的零點(diǎn)均在區(qū)間[a，b]（a＜b,a,b∈Z）內(nèi)，圓x2+y2=b﹣a的面積的最小值是（）A．πB．2πC．3πD．4π考點(diǎn)：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；函數(shù)的零點(diǎn)．3481324專題：計(jì)算題；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用;直線與圓．分析：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f(x）的單調(diào)性,得函數(shù)f(x）是R上的增函數(shù)．再用零點(diǎn)存在性定理，得f（x）在R上有唯一零點(diǎn)x0∈（﹣1,0)，結(jié)合函數(shù)圖象的平移知識(shí)可得數(shù)F(x）的零點(diǎn)必在區(qū)間（﹣5,﹣4）．由此不難得到b﹣a的最小值，進(jìn)而得到所求圓面積的最小值．解答：解：∵f（x）=1+x﹣，∴當(dāng)x＜﹣1或x＞﹣1時(shí)，f’(x)=1﹣x+x2﹣x3+…+x2012=＞0．而當(dāng)x=﹣1時(shí)，f'（x)=2013＞0∴f'(x）＞0對(duì)任意x∈R恒成立，得函數(shù)f（x）是（﹣∞，+∞）上的增函數(shù)∵f(﹣1）=（1﹣1）+（﹣﹣）+…+（﹣﹣）＜0,f(0)=1＞0∴函數(shù)f（x）在R上有唯一零點(diǎn)x0∈（﹣1，0）∵F（x）=f（x+4），得函數(shù)F（x）的零點(diǎn)是x0﹣4∈(﹣5,﹣4)∴a≤﹣5且b≥﹣4，得b﹣a的最小值為﹣4﹣（﹣5）=1∵圓x2+y2=b﹣a的圓心為原點(diǎn)，半徑r=∴圓x2+y2=b﹣a的面積為πr2=π（b﹣a)≤π,可得面積的最小值為π故選：A點(diǎn)評(píng):本題給出關(guān)于x的多項(xiàng)式函數(shù),求函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間長(zhǎng)度的最小值．著重考查了函數(shù)的零點(diǎn)、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.把答案填在答題卷中的橫線上.11．（5分)展開式中不含x3項(xiàng)的系數(shù)的和為0．考點(diǎn)：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)．3481324專題:計(jì)算題．分析：把x=1代入可得所有項(xiàng)的系數(shù)的和,由二項(xiàng)式定理可得含X3項(xiàng)的系數(shù)為1，兩個(gè)系數(shù)的差即為所求．解答：解:把x=1代入可得展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)的和為(1﹣2)6=1，而含X3項(xiàng)為：=x3，即x3系數(shù)為1，故展開式中不含X3項(xiàng)的系數(shù)的和為：1﹣1=0，故答案為：0點(diǎn)評(píng):本題考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，賦值是解決問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．12．（5分）（2013?東莞二模）已知某個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的體積是6．考點(diǎn):由三視圖求面積、體積．3481324專題:計(jì)算題．分析：由已知中的三視圖，我們可分析出幾何體的形狀及底面邊長(zhǎng)高等信息，代入棱錐體積公式，可得答案．解答：解：由已知中的三視圖可得該幾何體是一個(gè)以俯視圖為底面，以2為高的四棱錐故這個(gè)幾何體的體積V=Sh=?3×3×2=6故答案為：6點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是由三視圖求體積，其中根據(jù)已知的三視圖分析出幾何體的形狀是解答的關(guān)鍵．13．（5分）設(shè)非零向量、，，滿足｜｜=｜|=｜｜，+=,則sin＜,＞=．考點(diǎn):平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角．3481324專題:平面向量及應(yīng)用．分析：由向量式可得=﹣=﹣，而cos==,代入可得其值，進(jìn)而可得要求的值．解答：解：∵+=,∴,平方可得=﹣=﹣，∴cos===,∴sin=，故答案為：點(diǎn)評(píng):本題考查向量的夾角公式，涉及向量的簡(jiǎn)單運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題．14．(5分)已知函數(shù)f(x)=sinωx+acosωx(a＞0，ω＞0)的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱，點(diǎn)（）是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，則a+ω的最小值是．考點(diǎn)：正弦函數(shù)的對(duì)稱性;y=Asin（ωx+φ)中參數(shù)的物理意義．3481324專題:三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．分析：由f(x）=sinωx+acosωx（a＞0，ω＞0)的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱，可得f（﹣）=f（)=0,進(jìn)而得到ω=k，再由a＞0,ω＞0,可得ω=3n+1，n∈N，此時(shí)a為定值，故當(dāng)ω取最小值時(shí),a+ω取最小值解答：解：∵f(x）=sinωx+acosωx（a＞0，ω＞0）的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱,∴f（﹣)=f(）=0∴﹣sin+acos=sin+acos=0;∴a=tan=﹣tan=tan（﹣)∴=﹣+kπ,k∈Z即ω=k∵a＞0，ω＞0∴ω=3n+1，n∈N此時(shí)a=tan（n+)π=故當(dāng)ω=1時(shí),a+ω的最小值是+1故答案為:+1點(diǎn)評(píng):本題考查三角函數(shù)的性質(zhì),求得a是關(guān)鍵，考查正弦函數(shù)的對(duì)稱性，考查分析、轉(zhuǎn)化與運(yùn)用三角知識(shí)解決問題的能力，屬于難題．15．(5分）若函數(shù)y=f（x）對(duì)定義域的每一個(gè)值x1，都存在唯一的x2，使y=f（x1)f(x2）=1成立,則稱此函數(shù)為“濱湖函數(shù)”．下列命題正確的是②③．（把你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上）①y=是“濱湖函數(shù)"；②y=+sinx（x∈[］)I是“濱湖函數(shù)”;③y=2x是“濱湖函數(shù)”；④y=lnx是“濱湖函數(shù)”；⑤y=f（x），y=g(x）都是“濱湖函數(shù)”，且定義域相同,則y=f（x）g（x）是“濱湖函數(shù)”考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用；函數(shù)的值．3481324專題：新定義；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：利用“濱湖函數(shù)”的定義，逐個(gè)分析①②③④⑤五個(gè)函數(shù)，能夠得到結(jié)果．解答：解：對(duì)于①，對(duì)應(yīng)的x1,x2不唯一，∴①不一定是“濱湖函數(shù)"；對(duì)于②，函數(shù)y=是[﹣]上的單調(diào)增函數(shù)，對(duì)[﹣，］內(nèi)的每一個(gè)值∈［］，,∴在[﹣，]內(nèi)存在唯一的x2，使=∈［]成立，∴②是“濱湖函數(shù)”；對(duì)于③，∵y=2x，2x?2﹣x=1,∴③是“濱湖函數(shù)"；對(duì)于④，y=lnx有零點(diǎn)，∴④一定不是y=lnx“濱湖函數(shù)”;對(duì)于⑤,∵y=f(x），y=g（x）都是“濱湖函數(shù)"，且定義域相同，∴對(duì)于定義域中每一個(gè)x1，都存在唯一的x2，使y=f（x1）f（x2）=1和y=g（x1)g（x2）=1成立，∵兩個(gè)x2不一定相等，∴y=f(x1）g(x1)?f（x2）g（x2）=1不一定成立，∴⑤不是“濱湖函數(shù)"．故答案為:②③．點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的性質(zhì)的基本應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意理解“濱湖函數(shù)”的概念．三、解答題：本大題共6小題,共75分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。解答寫在答題卷上的指定區(qū)域內(nèi)。16．（12分）(2012?資陽二模)△ABC中,角A、B、C對(duì)邊分別是a、b、c，滿足．（Ⅰ）求角A的大?。唬á颍┣蟮淖畲笾?，并求取得最大值時(shí)角B、C的大小．考點(diǎn):余弦定理；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；正弦函數(shù)的定義域和值域．3481324專題：計(jì)算題．分析：（Ⅰ)通過化簡(jiǎn)向量的表達(dá)式，利用余弦定理求出A的余弦值，然后求角A的大?。唬á颍┩ㄟ^A利用2012年6月7日17：54：00想的內(nèi)角和，化簡(jiǎn)為C的三角函數(shù)，通過C的范圍求出表達(dá)式的最大值，即可求出最大值時(shí)角B、C的大?。獯穑航猓á?由已知,化為2bccosA=a2﹣b2﹣c2﹣2bc,（2分)由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA得4bccosA=﹣2bc，∴,（4分）∵0＜A＜π，∴．（6分）（Ⅱ）∵，∴，．=．（8分）∵，∴，∴當(dāng)C+=，取最大值,解得B=C=．(12分）點(diǎn)評(píng)：本題借助向量的數(shù)量積考查余弦定理以及三角函數(shù)的最值，考查計(jì)算能力．17．（12分)如圖，已知平行四邊形ABCD中,AD=2，CD=,∠ADC=45°，AE⊥BC，垂足為E,沿直線AE將△BAE翻折成△B′AE,使得平面B′AE⊥平面AECD．連接B′D，P是B′D上的點(diǎn)．（Ⅰ）當(dāng)B′P=PD時(shí)，求證:CP⊥平面AB′D；（Ⅱ）當(dāng)B′P=2PD時(shí)，求二面角P﹣AC﹣D的余弦值．考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角；直線與平面垂直的判定．3481324專題:綜合題．分析:（Ⅰ）由已知，得出E′E⊥EC,建立空間直角坐標(biāo)系．通過?=0,?=0得出CP⊥AB′，CP⊥AD，證出CP⊥平面AB′D;（Ⅱ)設(shè)P（x，y,z），則=（x，y，z﹣1）,=（2﹣x，1﹣y，﹣z），由=2得出P（，，），分別求出面PAC的法向量，平面DAC的法向量，利用向量的夾角求出二面角P﹣AC﹣D的大?。獯穑航猓海á瘢逜E⊥BC，平面B′AE⊥平面AECD,∴E′E⊥EC．如圖建立空間直角坐標(biāo)系，…（2分）則A(0，1，0），B′（0，0，1），C（1，0，0），D（2，1,0），E（0，0，0）,P（1，）．=（0,﹣1,1），=（2，0，0)，=（0，)．…（4分）∵?=0，∴CP⊥AB′?=0,∴CP⊥AD又AB′∩AD=A,∴CP⊥平面AB′D;…（7分)（Ⅱ)設(shè)P（x，y，z），則=（x，y，z﹣1)，=（2﹣x，1﹣y，﹣z）,由=2得解得x=y=，z=，∴P（，，）=（，,），=（1，﹣1，0)…（10分）設(shè)面PAC的法向量為=（x，y,z）,則．取x=y=1,z=﹣3．,則=（1，1,﹣3），…（12分）又平面DAC的法向量為=(0，0，1）,設(shè)二面角P﹣AC﹣D的大小為θ，則cosθ===．…(14分）點(diǎn)評(píng)：本題考查空間直線和平面垂直的判定，二面角大小求解．考查空間想象、推理論證能力．利用空間向量的方法，能降低思維難度，思路相對(duì)固定，是人們研究解決幾何體問題又一有力工具．18．(12分）某電視臺(tái)舉辦的闖關(guān)節(jié)目共有五關(guān)，只有通過五關(guān)才能獲得獎(jiǎng)金,規(guī)定前三關(guān)若有失敗即結(jié)束，后兩關(guān)若有失敗再給一次從失敗的關(guān)開始繼續(xù)向前闖的機(jī)會(huì)．已知某人前三關(guān)每關(guān)通過的概率都是，后兩關(guān)每關(guān)通過的概率都是．（1）求該人獲得獎(jiǎng)金的概率；(2）設(shè)該人通過的關(guān)數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量及其分布列；離散型隨機(jī)變量的期望與方差．3481324專題：計(jì)算題；概率與統(tǒng)計(jì)．分析：（1）設(shè)An（n=1，2，3，4，5）表示該人通過第n關(guān)，則該人獲得獎(jiǎng)金的概率為P=P（A1A2A3A4（2）確定變量的取值，求出相應(yīng)的概率，即可求隨機(jī)變量ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．解答:解：（1)設(shè)An（n=1,2，3，4，5）表示該人通過第n關(guān)，則An（n=1，2，3,4，5）相互獨(dú)立,且P（An）=(n=1,2,3），P(A4）=P(A5）=∴該人獲得獎(jiǎng)金的概率為P=P（A1A2A3A4=+2×=；（2）ξ的可能取值為0，1，2,3，4，5，則P（ξ=0）=；P(ξ=1）==；P（ξ=2）==;P（ξ=3)==;P（ξ=4）==；P（ξ=5)=,ξ的分布列為ξ012345P∴Eξ=1×+2×+3×+4×+5×=．點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．19．（13分）已知拋物線P的方程是x2=4y,過直線l：y=﹣1上任意一點(diǎn)A作拋物線的切線，設(shè)切點(diǎn)分別為B、C．（1）證明：△ABC是直角三角形；（2）證明:直線BC過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)．考點(diǎn):恒過定點(diǎn)的直線；直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系．3481324專題：直線與圓．分析：（1）設(shè)A（m，﹣1），B（x1，y1），C（x2，y2），利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得=x1，化簡(jiǎn)得﹣2mx1﹣4=0．同理可得﹣2mx2﹣4=0,故有x1+x2=2m，x1?x2=﹣4．計(jì)算AB和AC的斜率之積等于﹣1，從而得到AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．(2）求得BC所在的直線方程為y﹣y1=（x﹣x1），化簡(jiǎn)為y=mx+1，顯然過定點(diǎn)（0，1）．解答：解:（1)證明：設(shè)A(m，﹣1），B(x1,y1)，C（x2,y2)．∵拋物線P的方程是x2=4y，∴y′=．∴=x1，∴+1=﹣mx1，∴﹣2mx1﹣4=0．同理可得，﹣2mx2﹣4=0,∴x1+x2=2m，x1?x2=﹣4．∵KAB?KAC=x1?x2==﹣1,∴AB⊥AC,即△ABC是直角三角形．（2）證明：BC所在的直線方程為y﹣y1=(x﹣x1），化簡(jiǎn)可得y﹣=（x1+x2）（x1﹣x2），即y=mx+1,顯然，當(dāng)x=0時(shí)，y=1，故直線BC過定點(diǎn)（0，1）．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，判斷兩條直線垂直的方法,直線過定點(diǎn)問題，屬于中檔題．20．(13分)已知函數(shù)f(x）=，其中a＞0．（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）是否存在實(shí)數(shù)a使f（x)＜1在x∈R+上恒成立？若存在求出a的取值范圍；若不存在說明理由．考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用．3481324專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析：（1）在定義域內(nèi)解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2）若f（x）＜1在x∈R+上恒成立，即ln（1+x）＜ax在R+上恒成立．構(gòu)造函數(shù)h（x）=ln（1+x)﹣ax（x∈R+），只需找滿足不等式h（x）＜0的a值即可．解答：解：（1）f′（x）=,設(shè)g（x)==1﹣﹣ln（1+x)，則g′(x）=（1+x)﹣2﹣=．可知g（x)在（﹣1，0）上遞增，在(0，+∞）上遞減，所以f(x)在（﹣1，0），（0，+∞）上是減函數(shù)，即f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（﹣1，0），（0,+∞）．(2）若f（x)＜1在x∈R+上恒成立，即ln（1+x）＜ax在R+上恒成立．設(shè)h（x）=ln（1+x）﹣ax（