中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)高頻考點(diǎn)精講精練（全國通用）：專題04 整式運(yùn)算（解析版）

專題04整式運(yùn)算一、單項(xiàng)式及多項(xiàng)式【高頻考點(diǎn)精講】1．單項(xiàng)式（1）定義：由數(shù)與字母的積組成的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式，單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也叫做單項(xiàng)式。用字母表示的數(shù)，同一個(gè)字母在不同的式子中可以有不同的含義，相同的字母在同一個(gè)式子中表示相同的含義。（2）單項(xiàng)式的系數(shù)、次數(shù)單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做單項(xiàng)式的系數(shù)，一個(gè)單項(xiàng)式中所有字母的指數(shù)的和叫做單項(xiàng)式的次數(shù)。在判別單項(xiàng)式的系數(shù)時(shí)，要注意數(shù)字前面的符號(hào)，形如a或﹣a的系數(shù)是1或﹣1，不能誤以為沒有系數(shù)，一個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)是幾，通常稱這個(gè)單項(xiàng)式為幾次單項(xiàng)式。2．多項(xiàng)式（1）定義：幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式，每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)，其中不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)。多項(xiàng)式中次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)叫做多項(xiàng)式的次數(shù)。（2）多項(xiàng)式的每一項(xiàng)都是一個(gè)單項(xiàng)式，單項(xiàng)式的個(gè)數(shù)就是多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)，如果一個(gè)多項(xiàng)式含有a個(gè)單項(xiàng)式，次數(shù)是b，那么這個(gè)多項(xiàng)式就叫b次a項(xiàng)式。【熱點(diǎn)題型精練】1．（2022?攀枝花中考）下列各式不是單項(xiàng)式的為（）A．3 B．a(chǎn) C． D．x2y解：A、3是單項(xiàng)式，故本選項(xiàng)不符合題意；B、a是單項(xiàng)式，故本選項(xiàng)不符合題意；C、不是單項(xiàng)式，故本選項(xiàng)符合題意；D、x2y是單項(xiàng)式，故本選項(xiàng)不符合題意；答案：C．2．（2022?賀州模擬）單項(xiàng)式﹣2x2yz3的系數(shù)、次數(shù)分別是（）A．2，5 B．﹣2，5 C．2，6 D．﹣2，6解：?jiǎn)雾?xiàng)式﹣2x2yz3的系數(shù)是﹣2，次數(shù)是2+1+3＝6，答案：D．3．（2022?成都模擬）有規(guī)律地排列著這樣一些單項(xiàng)式：﹣xy2，x2y4，﹣x3y6，x4y8，﹣x5y10，x6y12…，則第n個(gè)單項(xiàng)式（n≥1整數(shù)）可表示為（﹣x）ny2n．解：由題意可知，第n個(gè)單項(xiàng)式為：（﹣x）ny2n．答案：（﹣x）ny2n．4．（2022?株洲模擬）多項(xiàng)式3x2y2﹣2xy2﹣xy的二次項(xiàng)系數(shù)為﹣．解：∵多項(xiàng)式3x2y2﹣2xy2﹣xy的二次項(xiàng)是﹣xy，∴二次項(xiàng)系數(shù)為：﹣．答案：﹣．5．（2022?黔東南州模擬）把多項(xiàng)式﹣3x2+2xy2﹣x3y﹣1按x降冪排列是﹣x3y﹣3x2+2xy2﹣1．解：多項(xiàng)式﹣3x2+2xy2﹣x3y﹣1按x降冪排列為﹣x3y﹣3x2+2xy2﹣1，答案：﹣x3y﹣3x2+2xy2﹣1．6．（2022?衡水模擬）如果兩個(gè)多項(xiàng)式有公因式，則稱這兩個(gè)多項(xiàng)式為關(guān)聯(lián)多項(xiàng)式，若x2﹣25與（x+b）2為關(guān)聯(lián)多形式，則b＝±5；若（x+1）（x+2）與A為關(guān)聯(lián)多項(xiàng)式，且A為一次多項(xiàng)式，當(dāng)A+x2﹣6x+2不含常數(shù)項(xiàng)時(shí)，則A為﹣2x﹣2或﹣x﹣2．解：①∵x2﹣25＝（x+5）（x﹣5），∴x2﹣25的因式為x+5、x﹣5．∴若x2﹣25與（x+b）2為關(guān)聯(lián)多形式，則x+b＝x+5或x+b＝x﹣5．當(dāng)x+b＝x+5時(shí)，b＝5．當(dāng)x+b＝x﹣5時(shí)，b＝﹣5．綜上：b＝±5．②∵（x+1）（x+2）與A為關(guān)聯(lián)多項(xiàng)式，且A為一次多項(xiàng)式，∴A＝k（x+1）＝kx+k或A＝k（x+2）＝kx+2k，k為整數(shù)．當(dāng)A＝k（x+1）＝kx+k（k為整數(shù)）時(shí)，若A+x2﹣6x+2不含常數(shù)項(xiàng)，則k＝﹣2．∴A＝﹣2（x+1）＝﹣2x﹣2．當(dāng)A＝k（x+2）＝kx+2k（k為整數(shù)）時(shí)，若A+x2﹣6x+2不含常數(shù)項(xiàng)，則2k＝﹣2．∴k＝﹣1．∴A＝﹣x﹣2．綜上，A＝﹣2x﹣2或A＝﹣x﹣2．答案：±5，﹣2x﹣2或﹣x﹣2．二、冪的運(yùn)算【高頻考點(diǎn)精講】（1）同底數(shù)冪的乘法法則：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。am?an＝am+n（m，n是正整數(shù)），拓展：am?an?ap＝am+n+p（m，n，p都是正整數(shù)）（2）冪的乘方法則：底數(shù)不變，指數(shù)相乘。（am）n＝amn（m，n是正整數(shù)）（3）積的乘方法則：把每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘。（ab）n＝anbn（n是正整數(shù)）（4）同底數(shù)冪的除法法則：底數(shù)不變，指數(shù)相減。am÷an＝am﹣n（a≠0，m，n是正整數(shù)，m＞n）【熱點(diǎn)題型精練】7．（2022?淮安中考）計(jì)算a2?a3的結(jié)果是（）A．a(chǎn)2 B．a(chǎn)3 C．a(chǎn)5 D．a(chǎn)6解：a2?a3＝a5．答案：C．8．（2022?武漢中考）計(jì)算（2a4）3的結(jié)果是（）A．2a12 B．8a12 C．6a7 D．8a7解：（2a4）3＝8a12，答案：B．9．（2022?河北中考）計(jì)算a3÷a得a？，則“？”是（）A．0 B．1 C．2 D．3解：根據(jù)同底數(shù)冪的除法可得：a3÷a＝a2，∴？＝2，答案：C．10．（2022?淄博中考）計(jì)算（﹣2a3b）2﹣3a6b2的結(jié)果是（）A．﹣7a6b2 B．﹣5a6b2 C．a(chǎn)6b2 D．7a6b2解：原式＝4a6b2﹣3a6b2＝a6b2，答案：C．11．（2022?鄭州模擬）電子文件的大小常用B，KB，MB，GB等作為單位，其中1GB＝210MB，1MB＝210KB，1KB＝210B．某視頻文件的大小約為1GB，1GB等于（）A．230B B．830B C．8×1010B D．2×1030B解：由題意得：1GB＝210×210×210B＝210+10+10B＝230B，答案：A．12．（2022?株洲中考）下列運(yùn)算正確的是（）A．a(chǎn)2?a3＝a5 B．（a3）2＝a5 C．（ab）2＝ab2 D．＝a3（a≠0）解：A．因?yàn)閍2?a3＝a2+3＝a5，所以A選項(xiàng)運(yùn)算正確，故A選項(xiàng)符合題意；B．因?yàn)椋╝3）2＝a2×3＝a6，所以B選項(xiàng)運(yùn)算不正確，故B選項(xiàng)不符合題意；C．因?yàn)椋╝b）2＝a2b2，所以C選項(xiàng)運(yùn)算不正確，故C選項(xiàng)不符合題意；D．因?yàn)椋絘6﹣2＝a4，所以D選項(xiàng)運(yùn)算不正確，故D選項(xiàng)不符合題意．答案：A．三、完全平方公式及其幾何背景【高頻考點(diǎn)精講】1．完全平方公式（1）（a±b）2＝a2±2ab+b2；（2）特征①左邊是兩個(gè)數(shù)的和的平方；②右邊是三項(xiàng)式，其中首末兩項(xiàng)分別是兩項(xiàng)的平方，為正；中間一項(xiàng)是兩項(xiàng)積的2倍，符號(hào)與左邊的運(yùn)算符號(hào)相同。2．驗(yàn)證完全平方公式的幾何圖形（a+b）2＝a2+2ab+b2大正方形的面積等于邊長(zhǎng)為a和邊長(zhǎng)為b的兩個(gè)小正方形與兩個(gè)長(zhǎng)、寬分別是a、b的長(zhǎng)方形的面積之和?！緹狳c(diǎn)題型精練】13．（2022?蘭州中考）計(jì)算：（x+2y）2＝（）A．x2+4xy+4y2 B．x2+2xy+4y2 C．x2+4xy+2y2 D．x2+4y2解：（x+2y）2＝x2+4xy+4y2．答案：A．14．（2022?大慶中考）已知代數(shù)式a2+（2t﹣1）ab+4b2是一個(gè)完全平方式，則實(shí)數(shù)t的值為或﹣．．解：根據(jù)題意可得，（2t﹣1）ab＝±（2×2）ab，即2t﹣1＝±4，解得：t＝或t＝．答案：或﹣．15．（2022?濱州中考）若m+n＝10，mn＝5，則m2+n2的值為90．解：∵m+n＝10，mn＝5，∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝102﹣2×5＝100﹣10＝90．答案：90．16．（2022?樂山中考）已知m2+n2+10＝6m﹣2n，則m﹣n＝4．解：∵m2+n2+10＝6m﹣2n，∴m2﹣6m+9+n2+2n+1＝0，即（m﹣3）2+（n+1）2＝0，∴m＝3，n＝﹣1，∴m﹣n＝4，答案：4．17．（2022?荊門中考）已知x+＝3，求下列各式的值：（1）（x﹣）2；（2）x4+．解：（1）∵＝，∴＝＝＝﹣4x?＝32﹣4＝5；（2）∵＝，∴＝+2＝5+2＝7，∵＝，∴＝﹣2＝49﹣2＝47．18．（2022?河北中考）發(fā)現(xiàn)兩個(gè)已知正整數(shù)之和與這兩個(gè)正整數(shù)之差的平方和一定是偶數(shù)，且該偶數(shù)的一半也可以表示為兩個(gè)正整數(shù)的平方和．驗(yàn)證如，（2+1）2+（2﹣1）2＝10為偶數(shù)．請(qǐng)把10的一半表示為兩個(gè)正整數(shù)的平方和；探究設(shè)“發(fā)現(xiàn)”中的兩個(gè)已知正整數(shù)為m，n，請(qǐng)論證“發(fā)現(xiàn)”中的結(jié)論正確．解：驗(yàn)證：10的一半為5，5＝1+4＝12+22，探究：兩個(gè)已知正整數(shù)之和與這兩個(gè)正整數(shù)之差的平方和一定是偶數(shù)，且該偶數(shù)的一半也可以表示為兩個(gè)正整數(shù)的平方和．理由如下：（m+n）2+（m﹣n）2＝m2+2mn+n2+m2﹣2mn+n2＝2m2+2n2＝2（m2+n2），故兩個(gè)已知正整數(shù)之和與這兩個(gè)正整數(shù)之差的平方和一定是偶數(shù)，且該偶數(shù)的一半也可以表示為兩個(gè)正整數(shù)的平方和．19．（2022?廈門模擬）如圖（1），是一個(gè)長(zhǎng)為2a寬為2b（a＞b）的矩形，用剪刀沿矩形的兩條對(duì)角軸剪開，把它分成四個(gè)全等的小矩形，然后按圖（2）拼成一個(gè)新的正方形，則中間空白部分的面積是（）A．a(chǎn)b B．（a+b）2 C．（a﹣b）2 D．a(chǎn)2﹣b2解：由題意可得，正方形的邊長(zhǎng)為（a+b），故正方形的面積為（a+b）2，又∵原矩形的面積為4ab，∴中間空的部分的面積＝（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2．答案：C．20．（2022?邯鄲模擬）有兩個(gè)正方形A，B．現(xiàn)將B放在A的內(nèi)部得圖甲，將A，B并列放置后，構(gòu)造新的正方形得圖乙．若圖甲和圖乙中陰影部分的面積分別為1和12，若三個(gè)正方形A和兩個(gè)正方形B，如圖丙擺放，則陰影部分的面積為（）A．28 B．29 C．30 D．31解：設(shè)正方形A，B的邊長(zhǎng)各為a、b（a＞b），得圖甲中陰影部分的面積為（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝1，解得a﹣b＝1或a﹣b＝﹣1（舍去），圖乙中陰影部分的面積為（a+b）2﹣（a2+b2）＝2ab＝12，可得（a+b）2＝a2+2ab+b2＝a2﹣2ab+b2+4ab＝（a﹣b）2+4ab＝1+2×12＝25，解得a+b＝5或a+b＝﹣5（舍去），∴圖丙中陰影部分的面積為（2a+b）2﹣（3a2+2b2）＝a2+4ab﹣b2＝（a+b）（a﹣b）+2×2ab＝5×1+2×12＝5+24＝29，答案：B．21．（2022?湖州模擬）如圖，甲類紙片是邊長(zhǎng)為2的正方形，乙類紙片是邊長(zhǎng)為1的正方形，丙類紙片是長(zhǎng)、寬邊長(zhǎng)分別是2和1的長(zhǎng)方形．現(xiàn)有甲類紙片1張，乙類紙片4張，則應(yīng)至少取丙類紙片4張才能用它們拼成一個(gè)新的正方形．解：甲類紙片1張，乙類紙片4張，總面積是4+4＝8，大于8的完全平方數(shù)依次是9，16，25…，而丙的面積是2，因而不可能是9；當(dāng)總面積是16時(shí)，取的丙紙片的總面積是8，因而是4張．因而應(yīng)至少取丙類紙片4張才能用它們拼成一個(gè)新的正方形．答案：4．22．（2022?衢州模擬）有一張邊長(zhǎng)為a厘米的正方形桌面，因?yàn)閷?shí)際需要，需將正方形邊長(zhǎng)增加b厘米，木工師傅設(shè)計(jì)了如圖所示的三種方案：小明發(fā)現(xiàn)這三種方案都能驗(yàn)證公式：a2+2ab+b2＝（a+b）2，對(duì)于方案一，小明是這樣驗(yàn)證的：a2+ab+ab+b2＝a2+2ab+b2＝（a+b）2請(qǐng)你根據(jù)方案二、方案三，寫出公式的驗(yàn)證過程．方案二：方案三：解：由題意可得，方案二：a2+ab+（a+b）b＝a2+ab+ab+b2＝a2+2ab+b2＝（a+b）2，方案三：a2+＝＝a2+2ab+b2＝（a+b）2．四、平方差公式及其幾何背景【高頻考點(diǎn)精講】1．平方差公式（1）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2（2）特征①左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，并且這兩個(gè)二項(xiàng)式中有一項(xiàng)完全相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)。②右邊是相同項(xiàng)的平方減去相反項(xiàng)的平方。2．驗(yàn)證平方差公式的幾何圖形【熱點(diǎn)題型精練】23．（2022?赤峰中考）已知（x+2）（x﹣2）﹣2x＝1，則2x2﹣4x+3的值為（）A．13 B．8 C．﹣3 D．5解：（x+2）（x﹣2）﹣2x＝1，x2﹣4﹣2x＝1，x2﹣2x＝5，所以2x2﹣4x+3＝2（x2﹣2x）+3＝2×5+3＝10+3＝13，答案：A．24．（2022?益陽中考）已知m，n同時(shí)滿足2m+n＝3與2m﹣n＝1，則4m2﹣n2的值是3．解：∵2m+n＝3，2m﹣n＝1，∴4m2﹣n2＝（2m+n）（2m﹣n）＝3×1＝3．答案：3．25．（2022?六盤水中考）如圖，學(xué)校勞動(dòng)實(shí)踐基地有兩塊邊長(zhǎng)分別為a，b的正方形秧田A，B，其中不能使用的面積為M．（1）用含a，M的代數(shù)式表示A中能使用的面積a2﹣M；（2）若a+b＝10，a﹣b＝5，求A比B多出的使用面積．解：（1）A中能使用的面積＝大正方形的面積﹣不能使用的面積，即a2﹣M，答案：a2﹣M；（2）A比B多出的使用面積為：（a2﹣M）﹣（b2﹣M）＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝10×5＝50，答：A比B多出的使用面積為50．26．（2022?南寧模擬）如圖（1），邊長(zhǎng)為m的正方形剪去邊長(zhǎng)為n的正方形得到①、②兩部分，再把①、②兩部分拼接成圖（2）所示的長(zhǎng)方形，根據(jù)陰影部分面積不變，你能驗(yàn)證以下哪個(gè)結(jié)論（）A．（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2 B．（m+n）2＝m2+2mn+n2 C．（m﹣n）2＝m2+n2 D．m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）解：圖（1）中，①、②兩部分的面積和為：m2﹣n2，圖（2）中，①、②兩部分拼成長(zhǎng)為（m+n），寬為（m﹣n）的矩形面積為：（m+n）（m﹣n），因此有m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n），答案：D．27．（2022?成都模擬）如圖，在邊長(zhǎng)為（x+a）的正方形中，剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為a的小正方形，將余下部分對(duì)稱剪開，拼成一個(gè)平行四邊形，由左右兩個(gè)陰影部分面積，可以得到一個(gè)恒等式是（）A．（x+a）2﹣a2＝x（x+2a） B．x2+2ax＝x（x+2a） C．（x+a）2﹣x2＝a（a+2x） D．x2﹣a2＝（x+a）（x﹣a）解：第一幅圖陰影部分面積＝（x+a）2﹣a2，第二幅圖陰影部分面積＝（x+a+a）x＝x（x+2a），∴（x+a）2﹣a2＝x（x+2a），答案：A．28．（2021?宜昌中考）從前，古希臘一位莊園主把一塊邊長(zhǎng)為a米（a＞6）的正方形土地租給租戶張老漢，第二年，他對(duì)張老漢說：“我把這塊地的一邊增加6米，相鄰的另一邊減少6米，變成矩形土地繼續(xù)租給你，租金不變，你也沒有吃虧，你看如何？”如果這樣，你覺得張老漢的租地面積會(huì)（）A．沒有變化 B．變大了 C．變小了 D．無法確定解：矩形的面積為（a+6）（a﹣6）＝a2﹣36，∴矩形的面積比正方形的面積a2小了36平方米，答案：C．29．（2022?石家莊模擬）如圖，圖1為邊長(zhǎng)為a的大正方形中有一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形，圖2是由圖1中陰影部分拼成的一個(gè)長(zhǎng)方形．（1）以上兩個(gè)圖形反映了等式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（2）運(yùn)用（1）中的等式，計(jì)算20222﹣2021×2023＝1．

解：（1）根據(jù)題意可得，圖1中陰影部分的面積為：a2﹣b2，圖2中長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為a+b，寬為a﹣b，面積為：（a+b）（a﹣b），則兩個(gè)圖形陰影部分面積相等，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；答案：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（2）20222﹣2021×2023＝20222﹣（2022﹣1）（2022+1）＝2022