第三十五節(jié) 帶絕對(duì)值的導(dǎo)數(shù)題-解析版

第三十五節(jié)帶絕對(duì)值的導(dǎo)數(shù)題知識(shí)與方法當(dāng)函數(shù)的解析式中帶有絕對(duì)值時(shí)，一般的處理方法是通過對(duì)絕對(duì)值里面的函數(shù)進(jìn)行分析，研究其正負(fù)，去掉絕對(duì)值,再進(jìn)一步討論.典型例題【例l】已知函數(shù)，其中.（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若，求a的取值范圍.【解析】解：（1）由題意，的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，，所以，從而，，故所求切線的方程為，整理得：.（2）當(dāng)時(shí)，顯然對(duì)任意的，，所以，從而即為，也即設(shè)，則，所以，，從而在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，所以，又，所以，而，所以恒成立，滿足題意；當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，又當(dāng)時(shí)，，，所以在上有1個(gè)零點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故所以，顯然當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，從而，故等價(jià)于，結(jié)合可得，所以，解得：，由可得，結(jié)合可得，綜上所述，當(dāng)恒成立時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【反思】處理帶絕對(duì)值的導(dǎo)數(shù)問題，通常需要先去掉絕對(duì)值，再分段研究.【例2】已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求在上的最值；（2）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，，所以，故在上單調(diào)遞增，從而在上的最小值為，最大值為.（2）由題意，，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，故，，①當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以，從而，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以在上恒成立，從而，設(shè)，由（1）可得函數(shù)在上的最小值為，因?yàn)楹愠闪?，所以；②?dāng)時(shí)，在上恒成立，所以，從而，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以在上恒成立，故恒成立，由（1）可得在上的最大值為，當(dāng)時(shí)，顯然恒成立，滿足題意；③當(dāng)時(shí)，，，所以在上有唯一的零點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，從而，，故，所以在上不可能單調(diào)遞減，不合題意；綜上所述，實(shí)數(shù)k的取值范圍是.強(qiáng)化訓(xùn)練1.已知，函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；（2）求函數(shù)在上的最小值.【解析】當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，，故，從而，，故所求切線方程為，整理得：.（2）當(dāng)時(shí)，，所以，，故在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以，，①若，則，所以在上單調(diào)遞增，又在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，故在上的最小值為；②若，則，所以在上單調(diào)遞減，又在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，故在上的最小值為；②若，則，所以在上單調(diào)遞減，又在上單調(diào)遞增，所以在上的最小值為；③若，則，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又在上單調(diào)遞增，所以在上的最小值為；綜上所述，當(dāng)時(shí)，若，則；若，則；若，則.2．已知函數(shù)滿足，，其中.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若實(shí)數(shù)x、y、m滿足，則稱x比y更接近m，當(dāng)且時(shí)，試比較和哪個(gè)更接近，并說明理由.【解析】（1）由題意，，令可得：①，易求得，令可得：②，聯(lián)立①②可解得：，，所以，從而，故，當(dāng)時(shí)，，所以在R上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）設(shè)，則，所以在單調(diào)遞減，又，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，，所以在上單調(diào)遞增，又，所以恒成立，從而在上單調(diào)遞增，結(jié)合可得恒成立，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，即，故；?dāng)時(shí)，，