同濟(jì)大學(xué)第一章函數(shù)極限

第一篇函數(shù)、極限與連續(xù)第一章函數(shù)、極限與連續(xù)高等數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容是微積分，微積分是以變量為研究對象，以極限方法為基本研究手段的數(shù)學(xué)學(xué)科.本章第一復(fù)習(xí)函數(shù)有關(guān)內(nèi)容，既而介紹極限的觀點(diǎn)、性質(zhì)、運(yùn)算等知識，最后經(jīng)過函數(shù)的極限引入函數(shù)的連續(xù)性觀點(diǎn)，這些內(nèi)容是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)課程極其重要的基礎(chǔ)知識.第1節(jié)

會合與函數(shù)會合會合議論函數(shù)離不開會合的觀點(diǎn).一般地，我們把擁有某種特定性質(zhì)的事物或?qū)ο蟮恼w稱為會合，構(gòu)成會合的事物或?qū)ο蠓Q為該會合的元素.往常用大寫字母A、B、C、表示會合，用小寫字母a、b、c、表示會合的元素.假如a是會合A的元素，則表示為aA，讀作“a屬于A”；假如a不是會合A的元素，則表示為aA，讀作“a不屬于A”.一個(gè)會合，假如它含有有限個(gè)元素，則稱為有限集；假如它含有無窮個(gè)元素，則稱為無限集；假如它不含任何元素，則稱為空集，記作.會合的表示方法往常有兩種：一種是列舉法，即把會合的元素一一列舉出來，并用“｛｝”括起來表示會合.比如，有1,2,3,4,5構(gòu)成的會合A，可表示成A={1,2,3,4,5}

；第二種是描繪法，即設(shè)會合M所有元素x的共同特色為P，則會合M可表示為Mx|x擁有性質(zhì)P.比如，會合A是不等式x2x20的解集，就能夠表示為Ax|x2

x2

0

.由實(shí)數(shù)構(gòu)成的會合，稱為數(shù)集，初等數(shù)學(xué)中常有的數(shù)集有：（1）全體非負(fù)整數(shù)構(gòu)成的會合稱為非負(fù)整數(shù)集（或自然數(shù)集），記作

N

，即N0,1,2,3,

,n,

；（2）所有正整數(shù)構(gòu)成的會合稱為正整數(shù)集，記作N，即N1,2,3,,n,；（3）全體整數(shù)構(gòu)成的會合稱為整數(shù)集，記作Z，即Z,n,,3,2,1,0,1,2,3,,n,；（4）全體有理數(shù)構(gòu)成的會合稱為有理數(shù)集，記作

Q，即Q

p

p

Z,q

N,且p與q互質(zhì)；q（5）全體實(shí)數(shù)構(gòu)成的會合稱為實(shí)數(shù)集，記作R.區(qū)間與鄰域在初等數(shù)學(xué)中，常有的在數(shù)集是區(qū)間.設(shè)a,bR，且ab，則（1）開區(qū)間(a,b)x|axb；（2）半開半閉區(qū)間[a,b)x|axb，(a,b]x|axb；（3）閉區(qū)間[a,b]x|axb；（4）無量區(qū)間[a,)x|xa，(a,)x|xa，(,b]x|xb，(,b)x|xb，(,)x|xR.以上四類統(tǒng)稱為區(qū)間，此中（1）-（4）稱為有限區(qū)間，（5）-（8）稱為無窮區(qū)間.在數(shù)軸上能夠表示為（圖1-1）：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）圖1-1在微積分的觀點(diǎn)中，有時(shí)需要考慮由某點(diǎn)x0鄰近的所有點(diǎn)構(gòu)成的會合，為此引入鄰域的觀點(diǎn).定義1設(shè)為某個(gè)正數(shù)，稱開區(qū)間(x0,x0)為點(diǎn)x0的鄰域，簡稱為點(diǎn)x0的鄰域，記作U(x,)，即0U(x0,)x0|x0xx0x||xx0|.在此，點(diǎn)x0稱為鄰域的中心，稱為鄰域的半徑，圖形表示為（圖1-2）：圖1-2o此外，點(diǎn)x0的鄰域去掉中心x0后，稱為點(diǎn)x0的去心鄰域，記作U(x0,)，即oU(x0,

)

x|0

|x

x0

|

,圖形表示為（圖1-3）：圖1-3此中(x0,x0)稱為點(diǎn)x0的左鄰域，(x0,x0)稱為點(diǎn)x0的右鄰域.函數(shù)的觀點(diǎn)函數(shù)的定義定義2設(shè)x、y是兩個(gè)變量，D是給定的數(shù)集，假如對于每個(gè)xD，經(jīng)過對應(yīng)法例f，有獨(dú)一確立的y與之對應(yīng)，則稱y為是x的函數(shù)，記作yf(x).此中x為自變量，y為因變量，D為定義域,函數(shù)值f(x)的全體成為函數(shù)f的值域，記作Rf，即Rfy|yf(x),xD.函數(shù)的記號是能夠隨意選用的,除了用f外,還可用“g”、“F”、“”等表示.但在同一問題中,不一樣的函數(shù)應(yīng)采用不一樣的記號.函數(shù)的兩因素：函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系為確立函數(shù)的兩因素.例1求函數(shù)y11x2的定義域.x解1的定義區(qū)間知足：x0；1x2的定義區(qū)間知足：1x20，解得1x1.x這兩個(gè)函數(shù)定義區(qū)間的公共部分是1x0或0x1.所以，所求函數(shù)定義域?yàn)閇1,0)(0,1].例2判斷以下各組函數(shù)能否相同.（1）f(x)2lgx，g(x)lgx2；（2）f(x)3x4x3，g(x)x3x1；（3）f(x)x，g(x)x2.解（1）f(x)2lgx的定義域?yàn)閤0，g(x)lgx2的定義域?yàn)閤0.兩個(gè)函數(shù)定義域不一樣，所以f(x)和g(x)不相同.（2）f(x)和g(x)的定義域?yàn)橐坏拇_數(shù).f(x)3x4x3x3x1g(x),所以f(x)和g(x)是相同函數(shù).（3）f(x)x，g(x)函數(shù)的表示法有表格法、在此不再多做說明.函數(shù)舉例:

x2x,故二者對應(yīng)關(guān)系不一致，所以f(x)和g(x)不相同.圖形法、分析法(公式法)三種.常用的是圖形法和公式法兩種.1,x0例3函數(shù)ysgnx0,x0，函數(shù)為符號函數(shù)，定義域?yàn)镽，值域1,0,1.如1,x0圖1-4：圖1-4例4函數(shù)yx，此函數(shù)為取整函數(shù)，定義域?yàn)镽，設(shè)x為隨意實(shí)數(shù),y不超出x的最大整數(shù)，值域Z.如圖1-5：圖1-5特別指出的是，在高等數(shù)學(xué)中還出現(xiàn)另一類函數(shù)關(guān)系，

一個(gè)自變量

x經(jīng)過對于法例

f

有確立的y值與之對應(yīng)，但這個(gè)我們稱這樣的對應(yīng)法例確立了一個(gè)

y值不老是獨(dú)一多值函數(shù).

.這個(gè)對應(yīng)法例其實(shí)不切合函數(shù)的定義，習(xí)慣上函數(shù)的性質(zhì)設(shè)函數(shù)yf(x)，定義域?yàn)镈，ID.（1）函數(shù)的有界性定義3若存在常數(shù)M0，使得對每一個(gè)xI，有f(x)M，則稱函數(shù)f(x)在I上有界.若對隨意M0，總存在x0I，使f(x0)M，則稱函數(shù)f(x)在I上無界.如圖1-6：圖1-6比如函數(shù)f(x)sinx在(,)上是有界的:sinx1.函數(shù)f(x)1在(0,1)x內(nèi)無上界，在(1,2)內(nèi)有界.（2）函數(shù)的單一性設(shè)函數(shù)yf(x)在區(qū)間I上有定義,x1及x2為區(qū)間I上隨意兩點(diǎn),且x1x2.假如恒有f(x1)f(x2),則稱f(x)在I上是單一增添的；假如恒有f(x1)f(x2),則稱f(x)在I上是單一遞減的.單一增添和單一減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單一函數(shù)（圖1-7）.圖1-7（3）函數(shù)的奇偶性設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域D對于原點(diǎn)對稱.假如在D上有f(x)f(x),則稱f(x)為偶函數(shù)；假如在D上有f(x)f(x),則稱f(x)為奇函數(shù).比如，函數(shù)f(x)x2，因?yàn)閒(x)(x)2x2f(x)，所以f(x)x2是偶函數(shù)；又如函數(shù)f(x)x3，因?yàn)閒(x)(x)3x3f(x)，所以f(x)x3是奇函數(shù).如圖1-8：圖1-8從函數(shù)圖形上看，偶函數(shù)的圖形對于y軸對稱，奇函數(shù)的圖形對于原點(diǎn)對稱.函數(shù)的周期性設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)镈.假如存在一個(gè)不為零的數(shù)l,使得對于任一xD有xlD,且fxlf(x),則稱f(x)為周期函數(shù),l稱為f(x)的周期.假如在函數(shù)f(x)的所有正周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，則我們稱這個(gè)正數(shù)為f(x)的最小正周期.我們往常說的周期是指最小正周期.比如，函數(shù)ysinx和ycosx是周期為2的周期函數(shù)，函數(shù)ytanx和ycotx是周期為的周期函數(shù).在此，需要指出的是某些周期函數(shù)不必定存在最小正周期.比如，常量函數(shù)f(x)C，對隨意實(shí)數(shù)l，都有f(xl)f(x)，故隨意實(shí)數(shù)都是其周期，但它沒有最小正周期.又如，狄里克雷函數(shù)1,xQD(x)Qc，0,x當(dāng)xQc時(shí)，對隨意有理數(shù)l，xlQc，必有D(xl)D(x)，故隨意有理數(shù)都是其周期，但它沒有最小正周期.反函數(shù)在初等數(shù)學(xué)中的函數(shù)定義中，若函數(shù)f:Df(D)為單射,若存在f1:f(D)D，稱此對應(yīng)法例f1為f的反函數(shù).習(xí)慣上,yf(x),xD的反函數(shù)記作yf1(x),xf(D).比如，指數(shù)函數(shù)yex,x(,)的反函數(shù)為ylnx,x(0,)，圖像為（圖1-9）圖1-9反函數(shù)的性質(zhì)：（1）函數(shù)yf(x)單一遞加(減)，其反函數(shù)yf1(x)存在，且也單一遞加（減）.（2）函數(shù)yf(x)與其反函數(shù)yf1(x)的圖形對于直線yx對稱.下邊介紹幾個(gè)常有的三角函數(shù)的反函數(shù)：正弦函數(shù)ysinx的反函數(shù)yarcsinx，正切函數(shù)ytanx的反函數(shù)yarctanx.反正弦函數(shù)yarcsinx的定義域是[1,1]，值域是,；反正切函數(shù)yarctanx的22定義域是(,)，值域是,，如圖1-10：229圖1-10復(fù)合函數(shù)定義4設(shè)函數(shù)yf(u),uDf，函數(shù)ug(x),xDg,值域RgDf，則yfg(x)或yfg(x),xDg稱為由yf(u),ug(x)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，此中u為中間變量.注：函數(shù)g與函數(shù)f構(gòu)成復(fù)合函數(shù)fg的條件是RgDf，不然不可以構(gòu)成復(fù)合函數(shù).比如，函數(shù)yarcsinu，u[1,1]，ux22,xR.在形式上能夠構(gòu)成復(fù)合函數(shù)yarcsinx22.可是ux22的值域?yàn)閇2,)[1,1]，故yarcsinx22沒存心義.在后邊的微積分的學(xué)習(xí)中，也要掌握復(fù)合函數(shù)的分解，復(fù)合函數(shù)的分解原則：從外向里，層層分解，直至最內(nèi)層函數(shù)是基本初等函數(shù)或基本初等函數(shù)的四則運(yùn)算.例5對函數(shù)yasinx分解.解yasinx由yau，usinx復(fù)合而成.例6對函數(shù)ysin2(2x1)分解.解ysin2(2x1)由yu2，usinv，v2x1復(fù)合而成.初等函數(shù)在初等數(shù)學(xué)中我們已經(jīng)接觸過下邊各種函數(shù)：常數(shù)函數(shù)：yC（C為常數(shù)）；冪函數(shù)：yx(0)；指數(shù)函數(shù)：yax(a0且a1)；對數(shù)函數(shù)：ylogax(a0且a1)；三角函數(shù)：ysinx,ycosx,ytanx,ycotx,ysecx,ycscx；反三角函數(shù)：yarcsinx,yarccosx,yarctanx,yarccotx.這六種函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).定義5由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和有限次的復(fù)合步驟所構(gòu)成的并用一個(gè)式子表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù).比如，yesinx，ysin(2x1)，ycotx等都是初等函數(shù).2需要指出的是，在高等數(shù)學(xué)中碰到的函數(shù)一般都是初等函數(shù)，可是分段函數(shù)不是初等函數(shù)，因?yàn)榉侄魏瘮?shù)一般都有幾個(gè)分析式來表示.可是有的分段函數(shù)經(jīng)過形式的轉(zhuǎn)變，能夠用一個(gè)式子表示，就是初等函數(shù).比如，函數(shù)x,x0y，x,x0可表示為yx2.習(xí)題1-1求以下函數(shù)的定義域.（1）y1x2；（2）（3）ylnxx2；（4）2（5）y5（6）；x24

y14x2；1xyarcsinx34；yln(3x)x.2以下各題中，函數(shù)f(x)和g(x)能否相同，為何（1）2f(x)xg(x)x2f(x)lgx，g(x)2lgx；（），；2（3）f(x)x，g(x)elnx；（4）f(x)x，g(x)sin(arcsinx).3.已知f(x)的定義域?yàn)閇0,1]，求以下函數(shù)的定義域.（1）f(x2)；（2）f(tanx)；（3）f(xa)f(xa)(a0).4.設(shè)fx1x23x5，求f(x)，f(x1).5.判斷以下函數(shù)的奇偶性.（1）ysinxtanx；（2）（3）yexex（4）；2

ylgxx21；yx(x31)；1x,x0（5）yx,x.106.設(shè)以下考慮的函數(shù)都是定義在區(qū)間(l,l)(l0)上的，證明：（1）兩個(gè)偶函數(shù)的和是偶函數(shù)，兩個(gè)奇函數(shù)的和是奇函數(shù)；2）兩個(gè)偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù)，兩個(gè)奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù)，偶函數(shù)和奇函數(shù)的乘積是奇函數(shù).以下函數(shù)中哪些是周期函數(shù)假如是，確立其周期.（1）ysin(x1)；（2）ycos2x；（3）y1sinx；（4）ycos2x.8.求以下函數(shù)的反函數(shù).（1）y3x1；（2）ex（3）y；（4）x1ex,x1

y1lg(x2)；y2sinxx(,)；2（5）yx2,1x4.2x,x49.以下函數(shù)是有哪些函數(shù)復(fù)合而成的.（1）ysin(3x1)；（2）ycos3(12x)；（3）yln(arcsin(x1))；（4）yesinx2.10.設(shè)f(x)x2，(x)lnx，求f(x)，ff(x)，f(x).第2節(jié)極限極限在高等數(shù)學(xué)中據(jù)有重要地位，微積分思想的構(gòu)架就是用極限制義的.本節(jié)主要研究數(shù)列極限、函數(shù)極限的觀點(diǎn)以及極限的有關(guān)性質(zhì)等內(nèi)容.數(shù)列的極限數(shù)列的觀點(diǎn)定義1若依據(jù)必定的法例，有第一個(gè)數(shù)a1，第二個(gè)數(shù)a2，，挨次擺列下去，使得任何一個(gè)正整數(shù)n對應(yīng)著一個(gè)確立的數(shù)12nan，那么，我們稱這列有序次的數(shù)a，a，，a，為數(shù)列.數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做數(shù)列的項(xiàng)。第n項(xiàng)an叫做數(shù)列的一般項(xiàng)或通項(xiàng).比如111,,12,,2n,；481,111,(1)n12,,,,；34n1,2,3,,n,；234n11,1,1,,(1)n1,都是數(shù)列，它們的一般項(xiàng)挨次為1，(1)n1，n，(1)n1.2nnn1我們能夠看到，數(shù)列值an跟著n變化而變化，所以能夠把數(shù)列an看作自變量為正整數(shù)n的函數(shù)，即anf(n),nN.此外，從幾何的角度看，數(shù)列an對應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列，可看作一動點(diǎn)在數(shù)軸上依次取a1，a2，，an，，在數(shù)軸上表示為（圖1-11）：圖1-11數(shù)列極限的定義數(shù)列極限的思想早在古代就已萌發(fā)，我國《莊子》一書中著名的“一尺之錘，日取其半，萬世不?！?，魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中開創(chuàng)“割圓術(shù)”，用圓內(nèi)接多邊形的面積去迫近圓的面積，都是極限思想的萌芽.設(shè)有一圓，第一作圓內(nèi)接正六邊形，把它的面積記為A1；再作圓的內(nèi)接正十二邊形，其面積記為A2；再作圓的內(nèi)接正二十四邊形，其面積記為A3；挨次進(jìn)行下去，一般把內(nèi)接正62n1邊形的面積記為An，可得一系列內(nèi)接正多邊形的面積：A1，A2，A3，，An，，它們就構(gòu)成一列有序數(shù)列.能夠發(fā)現(xiàn)，當(dāng)內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無窮增添時(shí)，An也無窮湊近某一確立的數(shù)值(圓的面積)，這個(gè)確立的數(shù)值在數(shù)學(xué)上被稱為數(shù)列An當(dāng)n時(shí)的極限.在上邊的例子中，數(shù)列1如圖1-12：2n圖1-12當(dāng)n時(shí)，1無窮湊近于常數(shù)0，則0就是數(shù)列1當(dāng)n時(shí)的極限.2n2n再如數(shù)列n：當(dāng)n時(shí)，n無窮湊近于常數(shù)1，則1就是數(shù)列n當(dāng)n1n1n1n時(shí)的極限；而數(shù)列(1)n1：當(dāng)n時(shí)，(1)n1在1和-1之間往返震蕩，沒法趨近一個(gè)確立的常數(shù)，故數(shù)列(1)n1當(dāng)n時(shí)無極限.由此推得數(shù)列的直觀定義：定義2設(shè)an是一數(shù)列，a是一常數(shù).當(dāng)n無窮增大時(shí)（即n），an無窮湊近于a，則稱a為數(shù)列an當(dāng)n時(shí)的極限，記作limann→a（n→∞）．a(chǎn)an在上例中，lim10，limn(1)n10.n1，limnn2nn1n對于數(shù)列an，其極限為a，即當(dāng)n無窮增大時(shí)，an無窮湊近于a.怎樣胸懷a(bǔ)n與a無限湊近呢一般狀況下，兩個(gè)數(shù)之間的湊近程度能夠用這兩個(gè)數(shù)之差的絕對值ba來胸懷，而且a越小，表示a與b越湊近.(1)n1(1)n1比如數(shù)列n，經(jīng)過察看我們發(fā)現(xiàn)an當(dāng)n無窮增大時(shí)，an無窮湊近0，n即0是數(shù)列an當(dāng)n時(shí)的極限.下邊經(jīng)過距離來描繪數(shù)列an的極限為0.因?yàn)閍n0(1)n11,nn當(dāng)n愈來愈大時(shí)，1愈來愈小，進(jìn)而an愈來愈湊近于0.當(dāng)n無窮增大時(shí)，an無窮接近于0.n比如，給定1，要使11，只需n100即可.也就是說從101項(xiàng)開始都能使100n1001an0100成立.給定1，要使11，只需n10000即可.也就是說從10001項(xiàng)開始都能使10000n100001an010000成立.一般地，無論給定的正數(shù)多么的小，總存在一個(gè)正整數(shù)N，使適當(dāng)nN時(shí)，不等式ana(1)n1當(dāng)n時(shí)極限的實(shí)質(zhì).都成立.這就是數(shù)列ann依據(jù)這一特色獲得數(shù)列極限的精準(zhǔn)定義.定義3設(shè)an是一數(shù)列，a是一常數(shù).假如對隨意給定的正數(shù)，總存在正整數(shù)N，使適當(dāng)nN時(shí)，不等式ana都成立，則稱a是數(shù)列an的極限，或稱數(shù)列an收斂于a.記作limana.n反之，假如數(shù)列an的極限不存在，則稱數(shù)列an發(fā)散.在上邊的定義中，能夠隨意給定，不等式ana表達(dá)了an與a無窮湊近程度.此外N與有關(guān)，跟著的給定而選定.nN表示了從N1項(xiàng)開始知足不等式ana.對數(shù)列an的極限為a也能夠略寫為：limana0,N0.當(dāng)nN時(shí),有xna.n數(shù)列an的極限為a的幾何解說：將常數(shù)a與數(shù)列a1,a2,,an,在數(shù)軸上用對應(yīng)的點(diǎn)表示出來，從N1項(xiàng)開始，數(shù)列an的點(diǎn)都落在開區(qū)間(a,a)內(nèi)，而只有有限個(gè)(至多只有N個(gè))在此區(qū)間之外（圖1-13）.圖1-13例1證明數(shù)列極限lim(1)n10.nn證明因?yàn)閍na(1)n101,nn對0，要使(1)n1,0n即1,n1.取N1,當(dāng)n(1)n1N時(shí)，有0.由極限的定義知nn(1)n1lim0.n例2證明數(shù)列極限lim3n13.n2n12證明因?yàn)閍na3n134n1121,2n1224n4n對0，要使3n13,2n12即1,n1.取N1,當(dāng)nN時(shí)，有3n13.由極限的定義知4n442n123n13lim.2n12注：在利用數(shù)列極限的定義來證明數(shù)列的極限時(shí)，重要的是要指出對于隨意給定的正數(shù)，正整數(shù)N的確存在，沒有必需非去找尋最小的N.例3證明數(shù)列極限lim10.2nn證明因?yàn)閍na1012n2n,對0(設(shè)1)，要使10,2n1ln.取Nln，當(dāng)nN時(shí)，有10.由極限的定即,取對數(shù)得nln22n2nln2義知lim10.2nn數(shù)列極限的性質(zhì)定理1(極限的獨(dú)一性)收斂數(shù)列的極限必獨(dú)一?證明（反證法）假定同時(shí)有l(wèi)imana及l(fā)imanb?且ab，不如設(shè)a<b?nn按極限的定義?對于ba>0?因?yàn)閘imana，存在充分大的正整數(shù)N1?使當(dāng)2nN1時(shí)?有baana?2有anba.2因?yàn)閘imanb，存在充分大的正整數(shù)N2?使當(dāng)nN2時(shí)?有nanbba2?有aban.2baab取NmaxN1,N2，則當(dāng)nan成立，這是不行能的，N時(shí)，同時(shí)有an和22故假定不行立.收斂數(shù)列的極限必獨(dú)一.定理2(收斂數(shù)列的有界性)假如數(shù)列an收斂?那它必定有界?即對于收斂數(shù)列an，必存在正數(shù)M，對全部nN，有anM.證明設(shè)limana，依據(jù)數(shù)列極限的定義?取??1?存在正整數(shù)N?當(dāng)nN時(shí)?不n等式ana1都成立?于是當(dāng)nN時(shí)?ananaaanaa1a.取Mmaxa1,a2,,aN,1a，那么數(shù)列an中的全部an都知足不等式anM.?這就證了然數(shù)列an是有界的?定理2說了然收斂數(shù)列必定有界，反之不行立.比如，數(shù)列(1)n有界，可是不收斂.定理3(收斂數(shù)列的保號性)假如limana,且a0(或a0)?那么存在正整數(shù)N當(dāng)nN時(shí)?有an0(或nan0)?證明就a0的情況?由數(shù)列極限的定義?對a0,NN,當(dāng)nN時(shí)?有2|ana|a?2進(jìn)而0aan.2推論假如數(shù)列an從某項(xiàng)起有an0(或an0)?且limana?那么a0(或na0).定理4(夾逼準(zhǔn)則)假如數(shù)列an、bn及cn知足以下條件?(1)bnancn(n1,2,)?(2)limbna?limcna?nn那么數(shù)列an的極限存在?且limana?n證明因?yàn)閘imbna?limcna?以依據(jù)數(shù)列極限的定義????0??N10?當(dāng)nnN1時(shí)?有abna.又N20?當(dāng)nN2時(shí)?有acna?現(xiàn)取NmaxN1,N2?則當(dāng)nN時(shí)?有abna?acna同時(shí)成立?又因bnancn(n1,2,)?所以當(dāng)nN時(shí)?有abnancna?即|ana|?這就證了然limana?n例4求證lim1110.n2(n1)2(nn)2n證明因?yàn)閚111n(nn)2n2(n1)2(nn)2n2，而limn0，limn0，由夾逼準(zhǔn)則知，(nn)2n2nnlim1110.222nn(n1)(nn)假如數(shù)列an知足條件a1a2anan1?就稱數(shù)列an是單一增添的.假如數(shù)列an知足條件a1a2anan1?就稱數(shù)列an是單一減少的?單一增添和單一減少量列統(tǒng)稱為單一數(shù)列?定理5(單一有界準(zhǔn)則)單一有界數(shù)列必有極限?例5求數(shù)列1，11，，111，的極限.解證明數(shù)列的有界性.令an111，此中a11，a222.設(shè)ak2，則則an11an，ak11ak32.由概括法知，對所有的nN，有0an2，故an有界.證明數(shù)列的單一性.已知a11，a2，則a2a1.設(shè)akak1，則2ak1ak1ak1ak-1akak-10.1ak1ak1由概括法知，對所有的nN，有an1故an單一遞加.an，由單一有界準(zhǔn)則知，數(shù)列an存在極限，設(shè)為a.在an11an兩邊取極限，得a1a,解得a1515a15故所求數(shù)列的極2或a.因?yàn)槭諗繑?shù)列保號性知舍去.22限是15.2函數(shù)的極限因?yàn)閿?shù)列an能夠看做是自變量為n的函數(shù)：anf(n),nN.所以數(shù)列an的極限為a，能夠以為是當(dāng)自變量n取正整數(shù)且無窮增大時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)值f(n)無窮湊近于常數(shù)a.對一般的函數(shù)yf(x)而言，在自變量的某個(gè)變化過程中，函數(shù)值f(x)無窮湊近于某個(gè)確定的常數(shù)，那么這個(gè)常數(shù)就叫做f(x)在自變量x在這一變化過程的極限.這說明函數(shù)的極限與自變量的變化趨勢有關(guān)，自變量的變化趨勢不一樣，函數(shù)的極限也會不一樣.下邊主要介紹自變量的兩種變化趨勢下函數(shù)的極限.自變量x時(shí)函數(shù)的極限引例察看函數(shù)ysinx時(shí)的變化趨勢（圖1-14）.當(dāng)xx圖1-14從圖1-14能夠看出，當(dāng)x無窮增大時(shí)，函數(shù)sinx無窮湊近于0（確立的常數(shù)）.x由此推得函數(shù)f(x)在x時(shí)極限的直觀定義：定義4設(shè)f(x)當(dāng)x大于某一正數(shù)時(shí)有定義，當(dāng)x無窮增大時(shí),函數(shù)值f(x)無窮湊近于一個(gè)確立的常數(shù)A,稱A為f(x)當(dāng)x→+∞時(shí)的極限.記作limf(x)A??或f(x)A(x)．x引例中，limsinx0.x類比于數(shù)列極限的定義推適當(dāng)x時(shí)函數(shù)f(x)的極限的直觀定義：定義5設(shè)f(x)當(dāng)x大于某一正數(shù)時(shí)有定義，假如存在常數(shù)A，對隨意給定的正數(shù)，總存在正數(shù)X，使適當(dāng)xX時(shí)，不等式f(x)A都成立，則稱A是函數(shù)f(x)在x時(shí)的極限，記作limf(x)A.x對定義5的簡單表達(dá)：limf(x)A0,X當(dāng)時(shí)有f(x)A.x類比當(dāng)x時(shí)函數(shù)f(x)的極限制義，當(dāng)x時(shí)函數(shù)f(x)的極限制義：定義6設(shè)f(x)當(dāng)x大于某一正數(shù)時(shí)有定義，假如存在常數(shù)A，對隨意給定的正數(shù)，總存在正數(shù)X，使適當(dāng)xX時(shí)，不等式f(x)A都成立，則稱A是函數(shù)f(x)在x時(shí)的極限，記作limf(x)A.x對定義6的簡單表達(dá)：limf(x)A0,X當(dāng)時(shí)有f(x)A.x在引例中，sinx0.limxx聯(lián)合定義5和定義6，推得函數(shù)f(x)在x時(shí)的極限制義：定義7設(shè)f(x)當(dāng)|x|大于某一正數(shù)時(shí)有定義，假如存在常數(shù)A，對隨意給定的正數(shù)，總存在正數(shù)X，使適當(dāng)xX時(shí)，不等式f(x)A都成立，則稱A是函數(shù)f(x)在x時(shí)的極限，記作limf(x)A.x對定義7的簡單表達(dá)：limf(x)A0,X當(dāng)時(shí)有f(x)A.x聯(lián)合定義7，函數(shù)f(x)在x時(shí)的極限存在的充要條件是：limf(x)Alimf(x)limf(x)A.xxx例6證明limsinx0.xx證明因?yàn)閒(x)Asinx0sinx1,xxx對0，要使f(x)A,即1,x1.取X1,當(dāng)xX時(shí)，有f(x)A,由極限的定義知xlimsinx0.x從幾何上看，limf(x)A表示當(dāng)xX時(shí)，曲線yf(x)位于直線yA和xyA之間（圖1-15）.圖1-15這時(shí)稱直線yA為曲線yf(x)的水平漸近線.比如limsinx0，則y0是曲線ysinx的水平漸近線.xxx自變量xx0時(shí)函數(shù)的極限引例1察看函數(shù)f(x)x1和g(x)x211時(shí)函數(shù)值的變化趨勢（圖x在x11-16）：圖1-16從圖1-16中得出，函數(shù)x211時(shí)函數(shù)值都無窮湊近于f(x)x1和g(x)在xx12，則稱2是函數(shù)f(x)xx211時(shí)的極限.1和g(x)在xx1從上例中看出，固然f(x)和g(x)在x1處都有極限，但g(x)在x1處不定義.這說明函數(shù)在一點(diǎn)處能否存在極限與它在該點(diǎn)處能否有定義沒關(guān).所以，在后邊的定義中假定函數(shù)f(x)在x0的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有定義，函數(shù)f(x)在xx0時(shí)函數(shù)極限的直觀定義：定義7函數(shù)f(x)在x0的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有定義.當(dāng)xx0時(shí)，函數(shù)f(x)的函數(shù)值無限湊近于確立的常數(shù)A，稱A為函數(shù)f(x)在xx0時(shí)的極限.在定義7中，函數(shù)f(x)的函數(shù)值無窮湊近于某個(gè)確立的常數(shù)A，表示f(x)A能任意小，在此相同能夠經(jīng)過對于隨意給定的正數(shù)，f(x)A表示.而xx0能夠表示為0xx0（>0），表現(xiàn)了x湊近x0的程度.由此獲得函數(shù)f(x)在xx時(shí)0函數(shù)極限的精準(zhǔn)定義：定義8函數(shù)f(x)在x0的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有定義.對于隨意給定的正數(shù)，總存在正數(shù)，當(dāng)x知足不等式0xx0時(shí)，函數(shù)f(x)知足不等式f(x)A，稱A為函數(shù)f(x)在xx0時(shí)的極限.記作limf(x)A或f(x)A(xx0).xx0定義8簡單表述為：limf(x)A0,0,當(dāng)0xx0時(shí),有f(x)A.xx0函數(shù)f(x)在xx0時(shí)極限為A的幾何解說：o對0，當(dāng)xU(x0,)時(shí)，曲線yf(x)位于直線yA和yA之間，如圖1-17：圖1-17例7證明limCC,C為常數(shù).xx0證明因?yàn)閒(x)ACC0,對0，對0，當(dāng)0xx0時(shí)，都有f(x)A,故limCC.xx0例8證明limx212.x1x1證明因?yàn)閒(x)Ax212x1,x1對0，要使f(x)A，即x1.取，當(dāng)0xx0時(shí)，都有f(x)A,故limx212.x1x1在函數(shù)的極限中，xx0既包括x從左邊向x0湊近，又包括從右邊向x0湊近.所以，在求分段函數(shù)在分界點(diǎn)x0處的極限時(shí)，因?yàn)樵趚0處雙側(cè)函數(shù)式子不一樣，只好分別議論.x左邊向x0湊近的情況，記作xx0.x從右邊向x0湊近的情況，記作xx0.在定義8中，若把空心鄰域0xx0改為x0xx0，則稱A為函數(shù)f(x)在xx0時(shí)的左極限.記作limf(x)A或f(x0)A.xx0近似地，若把空心鄰域0xx0改為x0xx0，則稱A為函數(shù)f(x)在xx0時(shí)的右極限.記作limf(x)A或f(x0)A.xx0我們把左極限和右極限統(tǒng)稱為單側(cè)極限.依據(jù)f(x)在xx0時(shí)極限的定義推出f(x)在xx0時(shí)的極限存在的充要條件是左、右極限都存在而且相等，即：limf(x)Alimf(x)limf(x)A.xx0xx0xx0例9議論函數(shù)x,x0f(x)01x,x當(dāng)x0時(shí)f(x)極限不存在.解函數(shù)圖形（圖1-18）以下：圖1-18f(x)載x0處的左極限為limf(x)lim(x)0；x0x0右極限為limf(x)lim(1x)1.x0x0因?yàn)閘imf(x)limf(x)，故limf(x)不存在.x0x0x0函數(shù)的極限的性質(zhì)類比數(shù)列極限的性質(zhì)，能夠推得函數(shù)極限的性質(zhì).因?yàn)楹瘮?shù)極限自變量的變化趨勢有不同的形式，下邊僅以limf(x)為代表議論.xx0性質(zhì)1（獨(dú)一性）若limf(x)A，則極限值是獨(dú)一的.xx0性質(zhì)2（局部有界性）若limf(x)A，若存在常數(shù)M0及0，當(dāng)0xx0xx0時(shí)，有f(x)M.性質(zhì)3（保號性）若limf(x)A，且A0（或A0），若存在0，當(dāng)xx00xx0時(shí)，有f(x)0（或f(x)0）.性質(zhì)4（夾逼準(zhǔn)則）設(shè)、、是三個(gè)函數(shù)，若存在0，當(dāng)0xx0f(x)g(x)h(x)時(shí)，有g(shù)(x)f(x)h(x)，limg(x)limh(x)A，xx0xx0則limf(x)A.xx0無量大與無量小在研究函數(shù)的變化趨勢時(shí)，常常會碰到兩種特別情況：一是函數(shù)的極限為零，二是函數(shù)的絕對值無窮增大，即是本節(jié)議論的無量小和無量大，以limf(x)為代表議論.xx0無量小若limf(x)0，則稱函數(shù)f(x)為xx0時(shí)的無量小.xx0比如lim(x21)0，則x21是x1時(shí)的無量小.lim10，則1是x時(shí)的x1xxx無量小.在此需要指出的是：（1）無量小不是很小的數(shù)，它表示當(dāng)xx0時(shí)，f(x)的絕對值能夠隨意小的函數(shù).（2）在說一個(gè)函數(shù)是無量小時(shí)，必定要指明自變量的變化趨勢.同一函數(shù)，在自變量的不一樣變化趨勢下，極限不必定為零；在常數(shù)里面.（3）0是獨(dú)一的無量小.無量大函數(shù)f(x)在x0的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有定義.對于隨意給定的正數(shù)M，總存在正數(shù)，當(dāng)x知足不等式0xx0時(shí)，函數(shù)值f(x)知足不等式f(x)M，則稱函數(shù)f(x)為xx0時(shí)的無量大.依據(jù)函數(shù)極限的定義，當(dāng)xx0時(shí)無量大的函數(shù)f(x)極限是不存在的.為了便于表達(dá)函數(shù)的這一性態(tài)，習(xí)慣上稱作函數(shù)的極限是無量大，記作limf(x).xx0若把定義中f(x)M改為f(x)M(或f(x)M)，稱函數(shù)極限為正無量大（或負(fù)無量大），記作limf(x)(或limf(x)).xx0xx0在此，相同注意無量大不是很大的數(shù)，不可以和很大的數(shù)混作一談.比如因?yàn)閘im1，1為x0時(shí)的無量大，如圖1-19.x0xx圖1-19從圖形上看，當(dāng)x0時(shí)，曲線y1x0.無窮湊近于直線x一般地，若limf(x)，則直線xx0為曲線yf(x)的鉛直漸近線.xx0在上例中，x0是曲線y1的鉛直漸近線.x無量小的性質(zhì)性質(zhì)1limf(x)A充要條件是f(x)A，此中為xx0時(shí)的無量小.xx0證明limf(x)A0，0，當(dāng)0xx0時(shí)，都有xx0f(x)A.令f(x)A，則，即lim0，說明為xx0時(shí)的無量小.xx0此時(shí)f(x)A.性質(zhì)2在自變量的同一變化過程中，若f(x)為無量大，則1為無量小；若f(x)為f(x)無量小，且f(x)0，則1為無量大.f(x)比如因?yàn)閘im(x1)0，則lim1.1x1x1x性質(zhì)3有限個(gè)無量小的和是無量小.性質(zhì)4有界函數(shù)與無量小的乘積是無量小.例10求極限limxsin1.x0x解因?yàn)閟in11，是有界函數(shù)，而limx0.由性質(zhì)4得limxsin10.xx0x0x推論1常數(shù)與無量小的乘積是無量小.推論2有限個(gè)無量小的乘積是無量小.習(xí)題1-2依據(jù)數(shù)列的變化趨勢，求以下數(shù)列的極限：（1）an(1)n1（2）an2n(1)nn2；2n；（3）annsinn；（4）ann1.2n1依據(jù)數(shù)列極限的定義，證明：（1）lim10；（2）limn112.nnn3n13（3）limn21（4）limsinn0.n1；nnn3.設(shè)limana，求證limana.nn4.設(shè)數(shù)列an有界，limbn0，求證limanbn0.nn依據(jù)函數(shù)極限的定義，證明：（1）limx244；（2）lim2x13；x2x2x2（3）lim1x21；（4）limsinx0.2x2x2xx6.求以下函數(shù)在指定點(diǎn)處的左、右極限，并判斷在改點(diǎn)處極限能否存在.（1）f(x)x0處；cosx,x00處；，在x（2）f(x)x,x，在xx10（3）f(x)xsin1,x00處.x，在x1x2,x07.指出以下函數(shù)在什么狀況下是無量小，什么狀況下是無量大.（1）f(x)x1（2）f(x)lnx；x；11（3）f(x)cotx；（4）f(x)ex.求以下函數(shù)的極限.（1）lim21；（2）lim2x1；x2xx2xx（3）limx2cos1；（4）limarctanx.x0xxx9.求函數(shù)f(x)1的圖形的漸近線.1x210.利用極限存在準(zhǔn)則證明：（1）lim111；（2）limnnn1；n222nnn1n2nn2（3）數(shù)列an11an的極限存在；2（4）數(shù)列a12，an11an1的極限存在.2an第3節(jié)極限的運(yùn)算本節(jié)議論極限的求法，主要內(nèi)容是極限的四則運(yùn)算、復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法例，以及利用這些法例，求某些特定函數(shù)的極限.因?yàn)楹瘮?shù)極限自變量的變化趨勢有不一樣的形式，下邊僅以limf(x)為代表議論.xx0極限的四則運(yùn)算法例定理1假如fxAgxB，則lim(),lim()xx0xx0（1）limf(x)g(x)AB；xx0（2）limf(x)g(x)AB；xx0（3）若B0，則limf(x)A.xx0g(x)B證明只證limf(x)g(x)AB.xx0因?yàn)閘imfx)Ag(x)B，則xx0xx0f(x)A，g(x)B,此中和是xx0時(shí)的無量小.于是f(x)g(x)AB(AB)().因?yàn)槿耘f是xx0時(shí)的無量小，則limf(x)g(x)AB.xx0其余狀況近似可證.注：本定理可推行到有限個(gè)函數(shù)的情況.例1求lim32x5.x2x解lim325lim32limlim53lim2limlim5x2xxx2xx2xx2x2xx2xx234-2515.例2求limx2x2x3.x12x22x3limx22x3limx22limx3解limx1x1x16.x2limx2limx2x1x1x1注：在運(yùn)用極限的四則運(yùn)算的商運(yùn)算時(shí)，分母的極限B0.但有時(shí)分母的極限B0，這時(shí)就不可以直策應(yīng)用商運(yùn)算了.例3求limx1.x1x1解因?yàn)閘im(x1)0，分母中極限為0，故不可以用四則運(yùn)算計(jì)算.x1x1lim(x1)0x1因?yàn)閘im1lim(x1)0，依據(jù)無量小的性質(zhì)，知x1x2x1x1lim.x1x1例4求limx222x1.x1x1解因?yàn)閤1時(shí)，分子、分母的極限都為0，記作0型.分子分母有公因子x1，可約去公因子x10，所以limx22x1lim(x1)2limx100.x1x21x1(x1)(x1)x1x12總結(jié)：在求有理函數(shù)除法limP(x)的極限時(shí)，x0Q(x)（1）當(dāng)Q(x)0時(shí)，應(yīng)用極限四則運(yùn)算法例，P(x)P(x0)；Q(x0)xx0Q(x)（2）當(dāng)Q(x)0，且P(x)0時(shí)，由無量小的性質(zhì)，P(x)；limxx0Q(x)（3）當(dāng)Q(x0)0，且P(x0)0時(shí)，約去使分子、分母同為零的公因子xx0，再使用四則運(yùn)算求極限.例5求lim3x22x3.2x2x5x7解因?yàn)閤時(shí)，分子、分母的極限都為，記作型.用x2去除分子及分母，即3x22x33233limlimxx2257.x2x5x7x22xx2例6求（1）limx31；（2）lim5x3.5x22x73x2x1xx解（1）用x3去除分子及分母，得x3111lim5x27lim5x3.x2xx27xx2x3（2）用x2去除分子及分母，求極限得5x353limlimxx20.2x111x3xx3xx2總結(jié)：型的函數(shù)極限的一般規(guī)律是：當(dāng)a00，b00，m和n為正整數(shù)，則a0,nmlima0xna1xn1anb0m.b0xmb1xm1bm0,nx,nm例7求lim13.1x1x3x1解這是型，能夠先通分，再計(jì)算.lim13limx2x2(x2)(x1)1x1x3x)(1xx2)limx)(1xx2)x1x1(1x1(1limx21.xx2x11例8求limx1x.x解這是型無理式，能夠先進(jìn)行有理化，再計(jì)算.limx1x10.limxxx1x兩個(gè)重要極限sinxlim1x0x作單位圓（圖1-20）,圖1-20取圓心角AOBx，設(shè)0x，由圖1-20可知，2AOB的面積扇形AOB的面積AOD的面積，即1sinx1x1tanx，222整理，得sinxxtanx.不等式兩邊同時(shí)除以sinx，取倒數(shù)，得cosxsinxx1.當(dāng)x取值范圍換成區(qū)間,0，不等式符號不改變.2當(dāng)x0時(shí)，limcosx1，有夾逼準(zhǔn)則知x0limsinx1.x0xsinx注意：在利用lim1求函數(shù)的極限時(shí)，要注意使用條件：x0x（1）極限是0型；（2）式中帶有三角函數(shù)；（3）limsin1中的變量一致，都趨00向于0.例9求limtanx.0x解tanxsinx1sinxlim1limlimcosxlim111.x0xx0xx0xx0cosx例10求limsin3x.0sin2x解limsin3xlimsin3x2x33limsin3xlim13113.x0sin2xx03xsin2x22x03xx0sin2x221cosx2x例11.求limx2x02sin2xxsinx21cosx1sin21121解lim222.limx2limxlimx12x0x0x22x022x0222xlim11exn考慮xn（正整數(shù)）的情況.記an11，下邊證明an是單一有界數(shù)列.n因?yàn)?n1n(n1)12n(n1)(n2)13an11nnn2!n3!nn(n1)(n2)1n1n!n1111111112111121n1.2!n3!nnn!nnn近似地，n1111111an11111121n12!n13!n1n11121n.n1!n11n11n比較an和an1的睜開式，除前兩項(xiàng)外，an的每一項(xiàng)都小于an1的對應(yīng)項(xiàng)，且an1比an多了最后的正數(shù)項(xiàng)，所以anan1，即an是單一遞加數(shù)列.因?yàn)閍n1111111112111121n12!n3!nnn!nnn11111111112!3!12122122212221n!1n111111111213.222232n1111122即an是有界數(shù)列.n由極限存在準(zhǔn)則知，當(dāng)n時(shí)，an11e來表示,的極限存在，往常用字母n即n1lim1e.nx能夠證明，當(dāng)x取實(shí)數(shù)而趨勢（或）時(shí)，函數(shù)11的極限也存在，且等于xe.故當(dāng)x時(shí)，xlim11e.x令1t，當(dāng)x時(shí)，t0，上式可變成x1lim1tte，t0x故極限lim1e的另一種形式是1x1lim1xxe.x01x注意：在利用lim1e求函數(shù)極限時(shí)，要注意使用條件：xx111（1）極限是型；（2）lim1e中的變量一致，且括號e和lim10內(nèi)1與括號右上角處互為倒數(shù).x例12求lim12.x2x2解lim1lim1xxxxx4x例13求lim.x3x

x222lim1xx

x22e2.xxx(x3)(1)3解lim4lim11lim11.xx3xx3xx3lim11xx3求lim11例142xx.x012x解lim12xxlim1x0x0

(x3)1131e11e1.x312)1(2)(lim12x2xe2.2xx0無量小的比較引例當(dāng)x0時(shí)，x、x2、3sinx都是無量小，而極限limx20，limx，lim3sinx3.x0xx0x2x0x引例中，在x0時(shí)，三個(gè)函數(shù)都是無量小，但比值的極限結(jié)果不一樣，這反應(yīng)了不一樣的無量小趨于0的速度“快慢”不一樣.定義在xx0時(shí)，(x)和(x)為無量小，（1）假如lim(x)0,則稱(x)是(x)(x)xx0（2）假如lim(x),則稱(x)是(x)(x)xx0

為高階無量小，記作o()；為低階無量??；（3）假如lim(x)(C0),則稱(x)與(x)為同階無量??；Cxx0(x)（4）假如lim(x)0,k0),則稱(x)是對于(x)的k階無量?。籯C(Cxx0(x)（5）假如lim(x)(x)與(x)為等價(jià)無量小，記作~.1,則稱xx0(x)明顯等價(jià)無量小是同階無量小的特別情況，即C1.在上邊的例子中，因?yàn)閘imx20，則當(dāng)x0時(shí)，x2是x的高階無量小，記作x2o(x)；x0x因?yàn)閘imx，則當(dāng)x0時(shí)，x是x2的低階無量??；x0x2因?yàn)閘im3sinx3，則當(dāng)x0時(shí)，3sinx是x的同階無量小；xx0因?yàn)閘imsinx1，則當(dāng)x0時(shí)，sinx是x的等價(jià)無量小.xx0在此，列舉出當(dāng)x0時(shí)，常有的等價(jià)無量小有sinx~x；tanx~x；1cosx~1x2；arcsinx~x；arctanx~x；21ex1~x；ln(1x)~x；n1x1~x.n在上述幾個(gè)無量小的觀點(diǎn)中，最常有的是等價(jià)無量小，下邊給出等價(jià)無量小的性質(zhì)：定理2~的充要條件是o().證明以自變量xx0時(shí)的極限為例.必需性設(shè)~，則limlim1lim10.xx0xx0xx0故o()(xx0)，即o().充分性設(shè)o()，則limlimo()o()，lim11xx0xx0xx0故~(xx0).注：其余自變量的變化趨勢下同上.定理3~，~，且lim存在，則xx0limlim.證明以自變量xx0時(shí)的極限為例.limlimlimlimlimlim.xx0xx0xx0xx0xx0xx0定理3表示，在求兩個(gè)無量小之比的的極限時(shí)，分子或分母都可用等價(jià)無量小來取代.例15求lim1cosx.x0xsinx解當(dāng)x0時(shí)，1cosx~1x2，sinx~x，則2lim1cosx1x21.lim2x0xsinxx0x22例16求lim1xx1.x0e1解當(dāng)x0時(shí)，1x1~1x，ex1~x，則21x11x1.limlim2x0ex1x0x2例17求limtanxx3sinx.x0解（錯(cuò)誤做法）當(dāng)x0時(shí)，sinx~x,tanx~x.則tanxsinxxxlimx3lim30.x0x0x（正確做法）當(dāng)x0時(shí)，sinx~x,tanx~x.則tanxsinxtanx1cosxx1x212lim3lim3lim3.x0xx0xx0xcosx2說明：在代數(shù)和中各等價(jià)無量小不可以分別替代，在因式中能夠用等價(jià)無量小的替代.習(xí)題1-3求以下極限：（1）lim2x2x3；（2）limx21；x1x1x3（3）limx38；（4）limx22x1；x2x2x1x21122111（5）lim1；（6）lim22n；xxxn11133n（7）limx21；（8）limx21x21；3x2x1xx（9）lim16；（10）lim3x1193x2；x3x3x2x（11）limn(n1)(n2)；2n3n（13）limsinkx（k0常數(shù)）；x0x（15）limcosx1；x0xsinx（17）limxcscx；019）limxcot2x；03x（21）lim2x；x22x2（23）lim13xsinx；x0

（12）limx21；x2x214）limtan2x；0x（16）lim3nsinxn（x0常數(shù)）；n3sinxsina（18）lim；xaxa（20）lim12xx；x01x（22）lim1；xx（24）lim2xsinx12arctan.x1xx2.已知limax2bx21，求常數(shù)a,b.x2x13.已知lim

xc

x24，求常數(shù)c.xxc第4節(jié)函數(shù)的連續(xù)性在自然界中，有很多現(xiàn)象都是連續(xù)變化的，如氣溫的變化、河水的流動、植物的生長等.這類現(xiàn)象在函數(shù)關(guān)系上的反應(yīng)，就是函數(shù)的連續(xù)性.函數(shù)連續(xù)的觀點(diǎn)函數(shù)的增量定義1設(shè)變量u從它的一個(gè)值u1變到另一個(gè)值u2，其差u2u1稱作變量u的增量，記作u，即uu2u1.比如，一天中某段時(shí)間[t1,t2]，溫度從T1到T2，則溫度的增量TT2T1.當(dāng)溫度升高時(shí)，T0；當(dāng)溫度降低時(shí)，T0；當(dāng)時(shí)間的改變量tt2t1很細(xì)小時(shí)，溫度的變化T也會很??；當(dāng)t0時(shí)，T0.定義2對于函數(shù)yf(x)，假如在定義區(qū)間內(nèi)自變量從x0變到x，對應(yīng)的函數(shù)值由f(x0)變化到f(x)，則稱xx0為自變量的增量，記作x，即xxx0或xx0x.（1-4-1）f(x)f(x0)為函數(shù)的增量，記作y，即yf(x)f(x0)或yf(x0x)f(x0).（1-4-2）注：增量不必定是正的，當(dāng)初值大于終值時(shí)，增量就是負(fù)的.函數(shù)連續(xù)的觀點(diǎn)設(shè)函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在這鄰域內(nèi)從x0變到x0x時(shí)，函數(shù)增量yf(x0x)f(x0)（圖1-21）.圖1-21假定x0不變，讓x改動，y也隨之變化.假如當(dāng)x無窮變小時(shí)，y也無窮變小.根據(jù)這一特色，給出函數(shù)yf(x)在x0處連續(xù)的觀點(diǎn).定義3設(shè)函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0的某一鄰域內(nèi)有定義，假如limlim()()0，（1-4-3）x0yfx0xfx0x0則稱函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處連續(xù).設(shè)xx0x，則當(dāng)x0時(shí)，即是xx0.而yf(x0x)f(x0)f(x)f(x0)，由y0就是f(x)f(x0)，即limf(x)f(x0).xx0定義3能夠改寫為以下定義：定義4設(shè)函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0的某一鄰域內(nèi)有定義，假如limf(x)f(x0)，（1-4-4）xx0那么就稱函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處連續(xù).由定義4知，函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)，一定知足以下三個(gè)條件：（1）函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處有定義；（2）limf(x)存在，即limf(x)limf(x)；xx0xx0xx0（3）limf(x)f(x0)xx010在x例1議論函數(shù)f(x)xsinx,x0處的連續(xù)性.0,x0解因?yàn)閘imf(x)limxsin10，x0x0x而f(0)0，故limf(x)f(0).x0由連續(xù)性的定義知，函數(shù)f(x)在x0處連續(xù).因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在x0處極限存在等價(jià)于f(x)在x0處左、右極限都存在而且相等，聯(lián)合這一特色，下邊定義左、右連續(xù)的觀點(diǎn).假如limf(x)f(x0)，則稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的左連續(xù).假如limf(x)f(x0)，xx0xx0則稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的右連續(xù).假如函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)，必有l(wèi)imf(x)f(x0)，則有xx0limf(x)limf(x)f(x0)，xx0xx0這說了然函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)，既包括了f(x)在點(diǎn)x0處左連續(xù)，又包括了f(x)在點(diǎn)x0處右連續(xù).定理1函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)的充要條件是函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處既左連續(xù)又右連續(xù).注：此定理常用于判斷分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的連續(xù)性.例2議論函數(shù)x2,x1f(x)1x1,x在x1處的連續(xù)性.解函數(shù)f(x)圖形如圖1-22.圖1-22因?yàn)閘imf()limx21f(1)，故f(x)在x1處左連續(xù).x1xx1limf(x)limx11f(1)，故f(x)在x1處不右連續(xù).x1x1所以由定理1知，函數(shù)f(x)在x1處不連續(xù).以上是介紹函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的觀點(diǎn)，下邊介紹連續(xù)函數(shù)的觀點(diǎn).定義5假如函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù),稱f(x)為(a,b)內(nèi)的連續(xù)函數(shù).假如函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)連續(xù),且在左端點(diǎn)xa處右連續(xù)，在右端點(diǎn)xb處左連續(xù)，則稱f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù).例3證明函數(shù)ysinx在(,)內(nèi)是連續(xù)的.證明任取x0(,)，則yf(x0x)f(x0)sin(x0x)sinx02cosx0xsinx.22因?yàn)閘imy2limcosx0xsinx，x0x022當(dāng)x0時(shí)，由無量小的性質(zhì)知，limy0.x0由定義1，ysinx在x0處連續(xù).而x0是在(,)內(nèi)任取的，故ysinx在(,)內(nèi)是連續(xù)的.近似地，能夠考證ycosx在定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的.函數(shù)的中斷點(diǎn)定義6假如函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處不連續(xù)，則稱f(x)在x0處中斷，x0稱為f(x)的中斷點(diǎn).依據(jù)定義3，函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)一定知足的三個(gè)條件知.換句話說，只需此中一個(gè)條件不知足，函數(shù)f(x)就在x0處中斷.所以f(x)在x0處出現(xiàn)中斷的情況有以下三種：1）在2）在

x0處無定義；xx0處固然有定義，可是limf(x)不存在；xx0（3）在xx0處有定義，limf(x)存在，可是limf(x)f(x0).xx0xx0f(x)在x0處只需切合上述三種情況之一，則函數(shù)f(x)在x0處必中斷.下邊舉例函數(shù)中斷的例子.（1）函數(shù)f(x)10處無定義，所以x0是f(x)1在x的中斷點(diǎn).xx1,x0（2）符號函數(shù)f(x)sgnx0,x0，在x0處，因?yàn)?,x0limf(x)lim(1)1，limf(x)lim11.x0x0x0x0因?yàn)樵趚0處函數(shù)左、右極限不相等，故limf(x)不存在，所以x0是此函數(shù)的中斷點(diǎn).x0sin5x,x0，在x（3）函數(shù)f(x)x0處，因?yàn)?,x0limf(x)limsin5xx5，x0x0而f(0)0,故limf(x)f(0)，x0是此函數(shù)的中斷點(diǎn).x0從上邊的例子看出，函數(shù)f(x)在x0處固然都是中斷，但產(chǎn)生中斷的原由各不相同.根據(jù)這一特色，下邊對中斷點(diǎn)進(jìn)行分類:假如f(x0)與f(x0)都存在，則稱x0為f(x)的第一類中斷點(diǎn)，不然稱為第二類中斷點(diǎn).在第一類中斷點(diǎn)中，假如f(x0)f(x0)，則稱x0為f(x)的可去中斷點(diǎn)；假如f(x0)f(x)，則稱x0為f(x)的跳躍中斷點(diǎn).0在上邊的例子中，在（2）中x0是跳躍中斷點(diǎn)，在（3）中x0是可去中斷點(diǎn).在第二類中斷點(diǎn)中，假如f(x0)與f(x0)起碼有一個(gè)為，則稱x0為f(x)的無量間斷點(diǎn)；假如f(x0)與f(x0)起碼有一個(gè)是不停振蕩的，則稱x0為f(x)的振蕩中斷點(diǎn).在上例（1）中，x0是無量中斷點(diǎn).再如ysin10為函數(shù)的中斷點(diǎn).當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)在-1和1之間出現(xiàn)無窮次的，xx振蕩，如圖1-23：圖1-23則x0為振蕩中斷點(diǎn).初等函數(shù)的連續(xù)性定理2設(shè)函數(shù)f(x)與g(x)在x0處連續(xù)，則其和、差、積、商（分母在x0處函數(shù)值不為零）在x0處也連續(xù).定理3設(shè)函數(shù)yf(x)由yf(u)和u(x)復(fù)合而成.且yf(u)在u0處連續(xù)，u(x)在x0處極限lim(x)u0存在，則xx0limf(x)limfuf(u0)flim(x).xx0uu0xx0注：內(nèi)函數(shù)的極限存在,外函數(shù)在該極限點(diǎn)連續(xù)，則求復(fù)合函數(shù)的極限時(shí)極限符號能夠與外函數(shù)符號交換.例4求limx32.x3x9解yx3由yu和ux3復(fù)合而成.且limx31，yu在x29x29x3x2961處連續(xù)，則6limx3limx316x2996.x3x3x26在定理3中，假如把條件lim(x)u0改為u(x)在xx0處連續(xù)，且(x0)u0結(jié)xx0論仍舊成立，即limf(x)flim(x)f(x0).xx0xx0例5求lim225.x0xx解yx22x5由yu和ux22x5復(fù)合而成.ux22x5在x0處連續(xù)，u(0)5；yu在u5處連續(xù)，則limx22x5022055.x0因?yàn)槌醯群瘮?shù)是由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和有限次的復(fù)合構(gòu)成的，聯(lián)合定理2和定理3知，初等函數(shù)在定義區(qū)間是連續(xù)的.定理4初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的.例6求limx293.x2x0解limx293limx293limx211.x0x2x0x2x2x0936例7求limln(1x).x0xln(1x)1ln(111解limlimx)limln(1x)xlnlim(1)xlne1.xxx0x0x0x0例8求limexx1.x0解令ex1t，則xln(1t)，當(dāng)x0時(shí)，t0.則limex1limt11.x0xx0ln(1t)limln(1t)x0t里7、例8也說了然當(dāng)x0時(shí)，ln(1x)~x，ex1~x.例9求lim1cot2x2tan2x.x0解因?yàn)?2tan2cot2x22xecotxln12tanx，當(dāng)x0時(shí)，ln12tan2x~2tan2x，故lim12tan2xcot2x22limcot2xln12tan2x2limcot2xtan2xe2.limecotxln12tanxex0ex0x0x0一般地，形如1u(x)v(x)的函數(shù)稱為冪指函數(shù).假如limu(x)0,limv(x),則lim1u(x)v(x)elimv(x)ln1u(x)elimv(x)u(x).閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)在中已經(jīng)介紹了函數(shù)

y

f(x)

在閉區(qū)間

[a,b]

連續(xù)的觀點(diǎn)，下邊持續(xù)議論閉區(qū)間

[a,b]上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

.最值定理定理

5（最值定理）閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上必定存在最大值和最小值

.此定理說明，假如函數(shù)

f(x)

C[a,b]

，如圖

1-24：圖1-24則起碼存在一點(diǎn)1[a,b]，f(1)m，對x[a,b]，都有f(x)m，則m是f(x)在[a,b]上的最小值.起碼存在一點(diǎn)2[a,b]，f(2)M，對x[a,b]，都有f(x)M，則M是f(x)在[a,b]上的最大值.注：定理5中條件“閉區(qū)間”和“連續(xù)”很重要，假如缺乏一個(gè)，定理5不必定成立.比如，函數(shù)yx在開區(qū)間(0,2)內(nèi)固然連續(xù)，可是沒有最大值和最小值（圖1-25）.x1,0x1