北師大數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第2章第4課時(shí)函數(shù)的奇偶性與周期性

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精【A級(jí)】基礎(chǔ)訓(xùn)練1．對(duì)任意實(shí)數(shù)x，下列函數(shù)為奇函數(shù)的是（)A．y＝2x－3 B．y＝－3x2C．y＝ln5x D．y＝－|x｜c(diǎn)osx解析:A為非奇非偶函數(shù)，B、D為偶函數(shù)，C為奇函數(shù)．設(shè)y＝f（x）＝ln5x＝xln5，∴f（－x)＝－xln5＝－f(x）．答案：C2．(2012·高考福建卷）設(shè)函數(shù)D(x)＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（1，x為有理數(shù)，，0,x為無(wú)理數(shù)，)）則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(）A．D（x)的值域?yàn)閧0，1｝ B．D（x)是偶函數(shù)C．D（x)不是周期函數(shù) D．D(x）不是單調(diào)函數(shù)解析：A：函數(shù)值只有兩個(gè)：0和1，正確；B：若x為有理數(shù)，則－x也為有理數(shù)，則D(－x)＝D（x)；若x是無(wú)理數(shù)，則－x也是無(wú)理數(shù)，則D(－x)＝D（x）,所以D(x）是偶函數(shù)，正確;C:對(duì)于任意有理數(shù)T,f（x＋T）＝f(x）(若x是無(wú)理數(shù)，則x＋T也是無(wú)理數(shù)；若x是有理數(shù)，則x＋T也是有理數(shù)),不正確；D：取任意兩個(gè)數(shù)值x1，x2,D（x1）與D(x2)的大小不確定,故不存在單調(diào)性，正確．答案:C3．定義在R上的偶函數(shù)f（x)，對(duì)任意x1，x2∈［0，＋∞）（x1≠x2)，有eq\f（fx2－fx1，x2－x1）〉0，則（)A．f（3)<f（－2）〈f(1） B．f(1)<f（－2)〈f(3)C．f（－2)<f（1）<f(3） D．f(3)<f(1）〈f（－2）解析：∵f（x)是偶函數(shù),∴f（－2）＝f(2)，又∵eq\f(fx2－fx1，x2－x1）〉0(x1，x2∈［0,＋∞)），∴f（x)是［0，＋∞）上的增函數(shù)，∴f（1）〈f（2)＝f（－2)〈f（3）．答案:B4．設(shè)函數(shù)f(x)＝x(ex＋ae－x）(x∈R）是偶函數(shù),則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_______．解析：因?yàn)閒（x）是偶函數(shù)，所以恒有f（－x)＝f（x)，即－x(e－x＋aex)＝x（ex＋ae－x)，化簡(jiǎn)得x（e－x＋ex）（a＋1）＝0。因?yàn)樯鲜綄?duì)任意實(shí)數(shù)x都成立，所以a＝－1。答案：－15．函數(shù)f（x)在R上為奇函數(shù)，且x>0時(shí)，f(x）＝eq\r（x）＋1,則當(dāng)x〈0時(shí)，f（x）＝________.解析：∵f(x)為奇函數(shù)，x〉0時(shí)，f（x)＝eq\r(x)＋1，∴當(dāng)x〈0時(shí),－x>0,f（x）＝－f（－x）＝－(eq\r(－x）＋1),即x〈0時(shí)，f（x)＝－（eq\r（－x）＋1）＝－eq\r(－x)－1。答案：－eq\r（－x）－16．設(shè)f(x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f(x＋2)·f(x)＝－1,f(－1）＝2，則f(2013)＝________.解析：由已知f(x＋2）＝－eq\f（1，fx)，∴f（x＋4)＝－eq\f(1，fx＋2)＝f(x)，∴f（x）的周期為4。∴f（2013)＝f(503×4＋1)＝f（1)＝－f（－1)＝－2.答案：－27．設(shè)定義在［－2,2］上的奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，2］上單調(diào)遞減,若f(m）＋f（m－1)>0，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解：由f(m）＋f（m－1）>0，得f(m）〉－f(m－1)，即f（1－m）〈f(m)．又∵f(x)在［0,2］上單調(diào)遞減且f(x）在［－2,2]上為奇函數(shù)，∴f（x)在［－2,2]上為減函數(shù)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2≤1－m≤2，,－2≤m≤2，，1－m>m，))即eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(－1≤m≤3，,－2≤m≤2，,m<\f(1,2)，））解得－1≤m<eq\f(1，2)。8．已知函數(shù)f（x)對(duì)任意的實(shí)數(shù)x滿(mǎn)足：f（x＋1）＝－eq\f(1,fx），且當(dāng)x∈[－1，1］時(shí),f（x)＝x2.(1)求f（2012）；（2)確定函數(shù)y＝f（x）的圖像與函數(shù)y＝|lgx|的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．解：（1）∵對(duì)任意x∈R，都有f（x＋1)＝－eq\f(1，fx），∴f（x＋2）＝f(（x＋1）＋1)＝－eq\f(1，fx＋1)＝－eq\f（1,－\f(1,fx))＝f（x）．∴f（x)是以2為周期的函數(shù),∴f(2012）＝f（2×1006＋0）＝f（0)＝02＝0。(2)根據(jù)f(x）的周期性及f(x）在［－1，1]上的解析式可作圖如下可驗(yàn)證當(dāng)x＝10時(shí)，y＝|lg10|＝1；x〉10時(shí),｜lgx|>1，因此結(jié)合圖像及數(shù)據(jù)特點(diǎn)y＝f(x)與y＝|lgx｜的圖像交點(diǎn)共有10個(gè)．【B級(jí)】能力提升1．(2013·高考山東卷）已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f(x）＝x2＋eq\f（1，x)，則f（－1）＝(）A．2 B．1C．0 D．－2解析：利用奇函數(shù)的性質(zhì)f（－x)＝－f(x）求解．當(dāng)x＞0時(shí)，f(x）＝x2＋eq\f(1，x）,∴f（1）＝12＋eq\f（1，1)＝2?！遞(x)為奇函數(shù)，∴f(－1）＝－f（1)＝－2.答案：D2．（2013·高考浙江卷）已知函數(shù)f(x)＝Acos(ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，φ∈R），則“f（x）是奇函數(shù)"是“φ＝eq\f（π，2)”的(）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件解析：先判斷由f(x)是奇函數(shù)能否推出φ＝eq\f（π，2），再判斷由φ＝eq\f（π，2)能否推出f（x)是奇函數(shù)．若f(x）是奇函數(shù)，則f(0）＝0，所以cosφ＝0，所以φ＝eq\f（π，2)＋kπ(k∈Z）,故φ＝eq\f(π，2）不成立；若φ＝eq\f（π，2），則f(x）＝Acoseq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（ωx＋\f(π,2）））＝－Asin（ωx），f(x)是奇函數(shù)．所以f（x)是奇函數(shù)是φ＝eq\f(π,2)的必要不充分條件．答案:B3．（2013·高考湖北卷)x為實(shí)數(shù)，［x］表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，則函數(shù)f（x）＝x－[x］在R上為（)A．奇函數(shù) B．偶函數(shù)C．增函數(shù) D．周期函數(shù)解析：首先理解題意,畫(huà)出函數(shù)的圖像．函數(shù)的圖像(圖像略）在兩個(gè)整數(shù)之間都是斜率為1的線段（不含終點(diǎn))，故選D。答案：D4．(2012·高考重慶卷)若f（x）＝（x＋a）(x－4）為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a＝________。解析：f(x）＝x2＋（a－4)x－4a為偶函數(shù)，則a∴a＝4.答案：45．已知定義在R上的函數(shù)f(x）滿(mǎn)足f（x）·f（x＋2）＝13,若f（1)＝2，則f（99)＝________.解析：由f(x）·f（x＋2）＝13,得f(x＋2）＝eq\f（13,fx)，∴f(x＋4）＝f[（x＋2）＋2］＝eq\f（13，fx＋2)＝f(x）,∴f（x）是以4為周期的周期函數(shù)，∴f(99）＝f(25×4－1)＝f(－1）＝eq\f（13,f1)＝eq\f（13，2）.答案：eq\f（13，2)6．設(shè)f(x）是(－∞,＋∞)上的奇函數(shù),且f（x＋2)＝－f(x),下面關(guān)于f(x）的判定：其中正確命題的序號(hào)為_(kāi)_______．①f(4）＝0；②f（x)是以4為周期的函數(shù)；③f（x)的圖像關(guān)于x＝1對(duì)稱(chēng)；④f（x）的圖像關(guān)于x＝2對(duì)稱(chēng)．解析：∵f(x＋2)＝－f(x）,∴f（x)＝－f（x＋2)＝－（－f（x＋2＋2)）＝f（x＋4)，即f（x）的周期為4,②正確．∴f(4）＝f（0）＝0(∵f（x）為奇函數(shù)）,即①正確,又∵f(x＋2）＝－f（x）＝f（－x)，∴f(x)的圖像關(guān)于x＝1對(duì)稱(chēng),∴③正確，又∵f（1）＝－f(3)，當(dāng)f（1)≠0時(shí)，顯然f(x）的圖像不關(guān)于x＝2對(duì)稱(chēng)，∴④錯(cuò)誤．答案：①②③7．(創(chuàng)新題）設(shè)函數(shù)f（x)的定義域?yàn)镈,若存在非零實(shí)數(shù)l使得對(duì)于任意x∈M（M?D），有x＋l∈D，且f(x＋l）≥f(x)，則稱(chēng)f(x)為M上的l高調(diào)函數(shù)．(1）如果定義域?yàn)閇－1,＋∞)的函數(shù)f（x)＝x2為[－1，＋∞）上的m高調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2)如果定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）是奇函數(shù),當(dāng)x≥0時(shí)，f(x）＝｜x－a2|－a2,且f（x)為R上的4高調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：(1）f(x）＝x2（x≥－1）的圖像如圖(1)所示，要使得f（－1＋m)≥f（－1），有m≥2；x≥