醫(yī)科數(shù)學(xué)：第二節(jié) 定積分

1第三章一元函數(shù)積分學(xué)第一節(jié)不定積分第二節(jié)定積分

一、定積分的概念二、定積分的性質(zhì)三、定積分的計(jì)算第三節(jié)反常積分第四節(jié)定積分的應(yīng)用2一、定積分的概念1.曲邊梯形的面積A由連續(xù)曲線y=f(x)≥0與直線x=a、x=b、y=0所圍成的平面圖形，稱為曲邊梯形．3一、定積分的概念下面，通過(guò)四步來(lái)計(jì)算曲邊梯形的面積：在[a,b]內(nèi)任意插入個(gè)分點(diǎn)將[a,b]分成n個(gè)小區(qū)間，每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為對(duì)應(yīng)得到n個(gè)小曲邊梯形．(1)分割：4一、定積分的概念(2)近似代替：在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)小曲邊梯形的面積可近似地用以為底、為高的小矩形面積來(lái)代替．即，則5一、定積分的概念(3)求和：將上述n個(gè)小矩形面積加起來(lái)，即得所求曲邊梯形面積的近似值6一、定積分的概念(4)取極限：記，則表示每個(gè)小區(qū)間長(zhǎng)度都趨于零．這時(shí)，所求曲邊梯形面積的精確值為7一、定積分的概念2.變速直線運(yùn)動(dòng)的路程

S設(shè)某物體作變速直線運(yùn)動(dòng)，已知速度函數(shù)v=v(t)≥0是時(shí)間間隔[T1,T2]上的連續(xù)函數(shù)，求這段時(shí)間內(nèi)物體所經(jīng)過(guò)的路程．與前例類似，有：(1)分割：在[T1,T2]內(nèi)任意插入個(gè)分點(diǎn)將[T1,T2]分成n個(gè)小區(qū)間，每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為對(duì)應(yīng)得到n個(gè)小時(shí)間段．8一、定積分的概念(2)近似代替：在每一個(gè)小時(shí)間段任意取一點(diǎn)，以近似代替各時(shí)刻的速度，則每小段路程的近似值為(3)求和：將上述n段小路程加起來(lái)，即得所求總路程的近似值上上9一、定積分的概念(4)取極限：記，表示每個(gè)小區(qū)間長(zhǎng)度都趨于零．這時(shí)，所求總路程的精確值為則10一、定積分的概念3.細(xì)菌繁殖總量Q設(shè)細(xì)菌的繁殖速率為r=r(t)，且r(t)是時(shí)間間隔[T1,T2]上的連續(xù)函數(shù)，求這段時(shí)間內(nèi)的細(xì)菌繁殖總量Q．類似可得：細(xì)菌繁殖總量的精確值為雖然前面各例所反映的實(shí)際意義不同，但都?xì)w結(jié)為求一個(gè)結(jié)構(gòu)相同的和式的極限問(wèn)題，這個(gè)和式的極限即為定積分．11(

)，一、定積分的概念定義3-3設(shè)函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上有定義，取分點(diǎn)將[a,b]分成n個(gè)小區(qū)間．在每個(gè)小區(qū)間上，任取一點(diǎn)作和式12一、定積分的概念

如果不論對(duì)[a,b]如何劃分，如何選取，只要當(dāng)時(shí)，的極限存在，則稱此極限值為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分（definiteintegral），記為，即前面的實(shí)例可用定積分表示為對(duì)13一、定積分的概念注意：定積分的值，對(duì)定積分補(bǔ)充定義：只與被積函數(shù)和積分區(qū)間有關(guān)，而與積分變量所用的記號(hào)無(wú)關(guān)，即14一、定積分的概念

定積分的幾何意義（曲邊梯形的面積）15一、定積分的概念

定積分的幾何意義（曲邊梯形的面積）

如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的定積分存在，則稱f(x)在[a,b]上可積．16(2)若f(x)在閉區(qū)間[a,b]上有界，且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則f(x)在[a,b]上可積．例如：一、定積分的概念(1)若f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),則f(x)在[a,b]上可積.函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上可積的充分條件：17一、定積分的概念例1.

用定義計(jì)算定積分解：性質(zhì)18一、定積分的概念或19二、定積分的性質(zhì)性質(zhì)1證：20二、定積分的性質(zhì)性質(zhì)２證：性質(zhì)３證：21二、定積分的性質(zhì)性質(zhì)422二、定積分的性質(zhì)性質(zhì)5若在區(qū)間[a,b]上有，則23二、定積分的性質(zhì)推論１.若在閉區(qū)間[a,b]上有f(x)≥0或f(x)≤0，則推論２.若a<b，則證：由可得故24二、定積分的性質(zhì)推論３.若M、m是函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的最大值和最小值，則證：由25

若f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在[a,b]上至少存在一點(diǎn)ξ，使得二、定積分的性質(zhì)性質(zhì)６證：由得積分中值定理26二、定積分的性質(zhì)稱為連續(xù)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的平均值．其幾何意義是：27三、定積分的計(jì)算

1.微積分基本定理(1)積分上限函數(shù)若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則是[a,b]的一個(gè)函數(shù)，記為，稱為積分上限函數(shù)，或變上限函數(shù)，或變上限積分．28

(1)積分上限函數(shù)定理3-4

設(shè)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則積分上限在[a,b]上可導(dǎo)，且即是f(x)的一個(gè)原函數(shù)．由此可見(jiàn)，任何連續(xù)函數(shù)都有原函數(shù)．函數(shù)29(1)積分上限函數(shù)（證明）30(1)積分上限函數(shù)（推論）推論.若f(t)連續(xù)，a(x)、b(x)可導(dǎo)，則特別地：31(1)積分上限函數(shù)（推論證明）例題32(1)積分上限函數(shù)（推論證明２）33(1)積分上限函數(shù)（例題）例1.

例2.例3.例4.醫(yī)科Ⅱ作業(yè)5.習(xí)題三:7(2),8(2),9(2),10,12(1),14(2)(3).34(1)積分上限函數(shù)（練習(xí)題）1.

2.

35練習(xí)題1及答案下一題36練習(xí)題2及答案下一題37練習(xí)題3及答案證明：38二、由定理3-4的條件：f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，和結(jié)論:，能夠得出什么結(jié)論？定積分的問(wèn)題一、定積分的值與哪些因素有關(guān)？是f(x)的一個(gè)原函數(shù)．2.任何連續(xù)函數(shù)都有原函數(shù)．被積函數(shù)和積分區(qū)間．39(２)微積分基本定理

我們知道，按照定義計(jì)算定積分是很困難的，因此需要尋求定積分的計(jì)算方法．牛頓萊布尼茲

牛頓（Newton）和萊布尼茲（Leibniz）把定積分的計(jì)算歸結(jié)為求原函數(shù)的運(yùn)算，得到了微積分基本定理，即牛頓-萊布尼茨公式．它揭示了積分與微分的內(nèi)在聯(lián)系，即它們之間的互逆關(guān)系，從而，完全解決了連續(xù)函數(shù)定積分的計(jì)算問(wèn)題．40(２)微積分基本定理定理3-5設(shè)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，F(xiàn)(x)是

f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則證明：記為41(２)微積分基本定理（例題）例1.例2.醫(yī)科Ⅲ作業(yè)4.習(xí)題三:7(2),8(2),9(2),10,12(1),14(2)(3),15(1)(4).42(２)微積分基本定理（例題）例3.

解：注意：43(２)微積分基本定理（例題）例4.證明證明：44(２)微積分基本定理（例題）例5.用牛頓-萊布尼茨公式證明積分中值定理.設(shè)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在[a,b]上至少存在一點(diǎn)ξ，使得證明：設(shè)F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則45練習(xí)題1及答案證：1.證明：則類似可證：46練習(xí)題2及答案47練習(xí)題3及答案482.定積分的換元積分法定理3-6若(1)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；(2)上單調(diào)且有連續(xù)導(dǎo)數(shù)；(3)對(duì)任意則稱為定積分的換元積分公式．注意：換元必?fù)Q限！利用此公式計(jì)算定積分的方法，稱為定積分的換元積分法．49注意：

2.定積分的換元積分法

注意實(shí)際上502.定積分的換元積分法（例題）例1.512.定積分的換元積分法（例題）例2.或522.定積分的換元積分法（例題）例3.已知函數(shù)f(x)在閉區(qū)間上連續(xù)，證明：故證明：因532.定積分的換元積分法（例題）例4.例5.例6.542.定積分的換元積分法（練習(xí)題1）1.552.定積分的換元積分法（練習(xí)題2）解法一2.562.定積分的換元積分法（練習(xí)題2）解法二2.醫(yī)科Ⅱ作業(yè)6.習(xí)題三:15(1)(4)(7)(8)(10)(12),16,17,18.572.定積分的換元積分法（練習(xí)題3）定積分的分部積分法582.定積分的換元積分法（練習(xí)題4）定積分的分部積分法592.定積分的換元積分法（練習(xí)題4）定積分的分部積分法60練習(xí)題及答案（定積分的換元積分法）設(shè)f(x)在上連續(xù)，證明：證明：61定積分的方法，稱為定積分的分部積分法．3.定積分的分部積分法定理3-7當(dāng)u=u(x)，v=v(x)在閉區(qū)間[a,b]上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)時(shí)有因稱為定積分的分部積分公式．利用此公式計(jì)算故即623.定積分的分部積分法（例題）例1.例2.633.定積分的分部積分法（例題）例3.已知患者服藥后從其尿液中排出藥物的速率為，求在時(shí)間間隔[0,T]內(nèi)，從患者尿液中排出藥物的量解：3.定積分的分部積分法（例題）例4.設(shè)求解：653.定積分的分部積分法（練習(xí)題）證明：若f(x)為連續(xù)函數(shù)，則66練習(xí)題及答案（定積分的分部積分法）證：積分變量法一醫(yī)科Ⅲ作業(yè)5.習(xí)題三:15(7)(8)(10)(12)(14)(19)(20),16,17,18.證明：若f(x)為連續(xù)函數(shù)，則67練習(xí)題及答案（定積分的分部積分法）積分變量證：法二68牛頓(1642–172