相似三角形習(xí)題精講及答案

PAGE2每個(gè)學(xué)生都應(yīng)該用的“超級(jí)學(xué)習(xí)筆記”□小郎錄題每個(gè)學(xué)生都應(yīng)該用的“超級(jí)學(xué)習(xí)筆記”□小郎錄題PAGE1每個(gè)學(xué)生都應(yīng)該用的每個(gè)學(xué)生都應(yīng)該用的““超級(jí)學(xué)習(xí)筆記”相似三角形習(xí)題精講及答案相似三角形是初中幾何的重要內(nèi)容，包括相似三角形的性質(zhì)、判定定理及其應(yīng)用，是中考必考內(nèi)容，以相似三角形為背景的綜合題是常見的熱點(diǎn)題型，所以掌握好相似三角形的基礎(chǔ)知識(shí)至關(guān)重要，本講就如何判定三角形相似，以及應(yīng)用相似三角形的判定、性質(zhì)來解決與比例線段有關(guān)的計(jì)算和證明的問題進(jìn)行探索。一、如何證明三角形相似例1、如圖：點(diǎn)G在平行四邊形ABCD的邊DC的延長線上,AG交BC、BD于點(diǎn)E、F，則△AGD∽∽。分析：關(guān)鍵在找“角相等”，除已知條件中已明確給出的以外，還應(yīng)結(jié)合具體的圖形，利用公共角、對(duì)頂角及由平行線產(chǎn)生的一系列相等的角。本例除公共角∠G外,由BC∥AD可得∠1=∠2，所以△AGD∽△EGC。再∠1=∠2（對(duì)頂角），由AB∥DG可得∠4=∠G，所以△EGC∽△EAB。評(píng)注：（1）證明三角形相似的首選方法是“兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似”。（2）找到兩個(gè)三角形中有兩對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，便可按對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的順序準(zhǔn)確地把這一對(duì)相似三角形記下來。例2、已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是角平分線，求證：△ABC∽△BCD分析：證明相似三角形應(yīng)先找相等的角，顯然∠C是公共角，而另一組相等的角則可以通過計(jì)算來求得。借助于計(jì)算也是一種常用的方法。證明：∵∠A=36°，△ABC是等腰三角形，∴∠ABC=∠C=72°又BD平分∠ABC，則∠DBC=36°在△ABC和△BCD中，∠C為公共角，∠A=∠DBC=36°∴△ABC∽△BCD例3：已知，如圖，D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)連結(jié)ED、AD，以BC為邊在△ABC外作∠CBE=∠ABD，∠BCE=∠BAD求證：△DBE∽△ABC分析：由已知條件∠ABD=∠CBE，∠DBC公用。所以∠DBE=∠ABC，要證的△DBE和△ABC，有一對(duì)角相等，要證兩個(gè)三角形相似，或者再找一對(duì)角相等，或者找夾這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例。從已知條件中可看到△CBE∽△ABD，這樣既有相等的角，又有成比例的線段，問題就可以得到解決。證明：在△CBE和△ABD中，∠CBE=∠ABD,∠BCE=∠BAD∴△CBE∽△ABD∴=即：=在△DBE和△ABC中∠CBE=∠ABD,∠DBC公用∴∠CBE+∠DBC=∠ABD+∠DBC∴∠DBE=∠ABC且=∴△DBE∽△ABC（2）本例的關(guān)鍵是證明△MAE∽△MDA，這種具有特殊關(guān)系（有一個(gè)公共角和一條公共邊）的三角形的相似，在解題中應(yīng)用很多，應(yīng)從下面兩個(gè)方面深刻理解：命題1如圖，如果∠1=∠2，那么△ABD∽△ACB，AB2=ADAC。命題2如圖，如果AB2=ADAC，那么△ABD∽△ACB，∠1=∠2。例3：如圖△ABC中，AD為中線，CF為任一直線，CF交AD于E，交AB于F，求證：AE：ED=2AF：FB。分析：圖中沒有現(xiàn)成的相似形，也不能直接得到任何比例式，于是可以考慮作平行線構(gòu)造相似形。怎樣作？觀察要證明的結(jié)論，緊緊扣住結(jié)論中“AE：ED”的特征，作DG∥BA交CF于G，得△AEF∽△DEG，。與結(jié)論相比較，顯然問題轉(zhuǎn)化為證。證明：過D點(diǎn)作DG∥AB交FC于G則△AEF∽△DEG。（平行于三角形一邊的直線截其它兩邊或兩邊的延長線所得三角形與原三角形相似）（1）∵D為BC的中點(diǎn)，且DG∥BF∴G為FC的中點(diǎn)則DG為△CBF的中位線，（2）將（2）代入（1）得：評(píng)注：（1）為了得到比例式，通常用過一點(diǎn)作某一直線的平行線的方法，在作平行線時(shí)必須注意緊扣與結(jié)論有關(guān)的線段。（2）在探索證題思路的過程中，我們可以采取“做做比比，比比做做”的方法，即構(gòu)造相似形，寫出比例式時(shí)要始終注意待證結(jié)論中的有關(guān)線段，并及時(shí)與待證結(jié)論中的有關(guān)線段進(jìn)行比較，以便確定下一步需要解決什么問題。三、如何用相似三角形證明兩角相等、兩線平行和線段相等。例1：已知：如圖E、F分別是正方形ABCD的邊AB和AD上的點(diǎn)，且。求證：∠AEF=∠FBD分析：要證角相等，一般來說可通過全等三角形、相似三角形，等邊對(duì)等角等方法來實(shí)現(xiàn)，本題要證的兩個(gè)角分別在兩個(gè)三角形中，可考慮用相似三角形來證，但要證的兩個(gè)角所在的三角形顯然不可能相似（一個(gè)在直角三角形中，另一個(gè)在斜三角形中），所以證明本題的關(guān)鍵是構(gòu)造相似三角形，證明：作FG⊥BD，垂足為G。設(shè)AB=AD=3k則BE=AF=k，AE=DF=2k，BD=∵∠ADB=450，∠FGD=900∴∠DFG=450∴DG=FG=∴BG=∴又∠A=∠FGB=900∴△AEF∽△GBF∴∠AEF=∠FBD評(píng)注：本例是通過構(gòu)造一對(duì)相似三角形，而證明兩個(gè)角相等，而證明兩個(gè)三角形相似又運(yùn)用了代數(shù)法，設(shè)參數(shù)，計(jì)算邊長，從而證明兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例。運(yùn)用代數(shù)法解幾何題一般在遇到正方形和正三角形的條件時(shí)效果很好，同學(xué)們可以試試看。例2、在平行四邊形ABCD內(nèi)，AR、BR、CP、DP各為四角的平分線，求證：SQ∥AB，RP∥BC分析：要證明兩線平行較多采用平行線的判定定理，但本例不具備這樣的條件，故可考慮用比例線段去證明。利用比例線段證明平行線最關(guān)鍵的一點(diǎn)就是要明確目標(biāo)，選擇適當(dāng)?shù)谋壤€段。要證明SQ∥AB，只需證明AR：AS=BR：DS。證明：在△ADS和△ARB中。∵∠DAR=∠RAB=∠DAB，∠DCP=∠PCB=∠ABC∴△ADS∽△ABR但△ADS≌△CBQ，∴DS=BQ，則，∴SQ∥AB，同理可證，RP∥BC例3、已知A、C、E和B、F、D分別是∠O的兩邊上的點(diǎn)，且AB∥ED，BC∥FE，求證：AF∥CD分析：要證明AF∥CD，已知條件中有平行的條件，因而有好多的比例線段可供利用，這就要進(jìn)行正確的選擇。其實(shí)要證明AF∥CD，只要證明即可，因此只要找出與這四條線段相關(guān)的比例式再稍加處理即可成功。證明：∵AB∥ED，BC∥FE∴，∴兩式相乘可得：例4、直角三角形ABC中，∠ACB=90°，BCDE是正方形，AE交BC于F，F(xiàn)G∥AC交AB于G，求證：FC=FG分析：要證明FC=FG，從圖中可以看出它們所在的三角形顯然不全等，但存在較多的平行線的條件，因而可用比例線段來證明。要證明FC=FG，首先要找出與FC、FG相關(guān)的比例線段，圖中與FC、FG相關(guān)的比例式較多，則應(yīng)選擇與FC、FG都有聯(lián)系的比作為過渡，最終必須得到（“？”代表相同的線段或相等的線段），便可完成證明。證明：∵FG∥AC∥BE，∴△ABE∽△AGF則有而FC∥DE∴△AED∽△AFC則有∴又∵BE=DE（正方形的邊長相等）∴，即GF=CF。例5、Rt△ABC銳角C的平分線交AB于E，交斜邊上的高AD于O，過O引BC的平行線交AB于F，求證：AE=BF證明：∵CO平分∠C，∠2=∠3，故Rt△CAE∽R(shí)t△CDO，∴又OF∥BC，∴又∵Rt△ABD∽R(shí)t△CAD，∴，即∴AE=BF。評(píng)注：應(yīng)用比例線段證明兩直線平行或兩線段相等時(shí)，（1）要注意如果相關(guān)的比例式