時(shí)間序列分析總復(fù)習(xí)

§6診斷與檢驗(yàn)完成模型的識(shí)別與參數(shù)估計(jì)后，應(yīng)對(duì)估計(jì)結(jié)果進(jìn)行診斷與檢驗(yàn)，以求發(fā)現(xiàn)所選用的模型是否合適。若不合適，應(yīng)該知道下一步作何種修改。這一階段主要檢驗(yàn)擬合的模型是否合適。一是檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛥?shù)的估計(jì)值是否具有顯著性；二是檢驗(yàn)殘差序列的隨機(jī)性。參數(shù)估計(jì)值的顯著性檢驗(yàn)是通過t檢驗(yàn)完成的，而模型擬合的優(yōu)劣以及殘差序列隨機(jī)性的判別可按下列方法進(jìn)行：散點(diǎn)圖法（SCATTERPLOT）作對(duì)和對(duì)的散點(diǎn)圖，進(jìn)行獨(dú)立性分析；相關(guān)系數(shù)法（CORRELATION）估計(jì)相關(guān)系數(shù)法：計(jì)算和對(duì)的相關(guān)函數(shù)及的自相關(guān)函數(shù)；F檢驗(yàn)法（F-TEST）F檢驗(yàn)法：把的獨(dú)立性檢驗(yàn)問題轉(zhuǎn)化成模型擬合是否充分的問題，從而可以利用前面所介紹的F-統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行有關(guān)的檢驗(yàn)問題；卡方檢驗(yàn)法（F-TEST）是用Box-Pierce(1970)提出的Q統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行檢驗(yàn)完成的。將的自相關(guān)函數(shù)記為，自協(xié)方差函數(shù)記為，則（1）（2）可以證明，當(dāng)N很大時(shí)，并且這k個(gè)量近似為相互獨(dú)立的正態(tài)分布，于是檢驗(yàn)序列的獨(dú)立性問題轉(zhuǎn)化為檢驗(yàn)（3）式中，，假設(shè)，則在原假設(shè)成立的條件下，有（4）若擬合的模型合適，統(tǒng)計(jì)量Q=N（5）近似服從2(K-p-q)分布，其中N表示樣本容量，rk表示用殘差序列計(jì)算的自相關(guān)系數(shù)值，K表示自相關(guān)系數(shù)的個(gè)數(shù)，p表示模型自回歸部分的最大滯后值，q表示移動(dòng)平均部分的最大滯后值。這時(shí)的零假設(shè)（H0）是“殘差序列是白噪聲過程”。用殘差序列計(jì)算Q統(tǒng)計(jì)量的值。顯然若擬合的模型不合適，殘差序列中必含有其他成份，Q值將很大，反之Q值將很小。判別規(guī)則是：若Q<2(K-p-q)，則接受H0。若Q>2(K-p-q)，則拒絕H0。其中表示檢驗(yàn)水平。殘差序列的獨(dú)立正態(tài)性或者依據(jù)或者依據(jù)Jarque-Bera檢驗(yàn)：；或者依據(jù)非參數(shù)的檢驗(yàn)方法。按照原則應(yīng)該有即檢驗(yàn)這個(gè)的絕對(duì)值是否有95.5%個(gè)小于2，若有，則獨(dú)立；否則，可判定不獨(dú)立。實(shí)例【例4-3】某市1985-1994年各月工業(yè)生產(chǎn)總值。以1985-1993年數(shù)據(jù)建模，1994年數(shù)據(jù)留作檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷念A(yù)測(cè)效果。第一步：零均值化與平穩(wěn)化第二步：模型識(shí)別大致可以將模型識(shí)別為AR類。第三步：模型定階AR（1）或AR（2）第四步：參數(shù)估計(jì)第五步：診斷檢驗(yàn)【例4-4】某車站1993-1997年各的列車運(yùn)行數(shù)量共60個(gè)數(shù)據(jù)，試建立其時(shí)間序列模型。第一步：零均值化與平穩(wěn)化水平序列顯然是不平穩(wěn)的，對(duì)水平序列作一階差分，得到差分序列是平穩(wěn)的，并且也是零均值的。，第二步：模型識(shí)別SPACF呈現(xiàn)出拖尾性，SACF呈現(xiàn)出截尾性拖尾性與截尾性在本例中已經(jīng)不是十分明顯，模型的建立并沒有唯一的標(biāo)準(zhǔn)答案，模型只有優(yōu)劣之分，沒有對(duì)錯(cuò)之別。拖尾性與截尾性在本例中已經(jīng)不是十分明顯，模型的建立并沒有唯一的標(biāo)準(zhǔn)答案，模型只有優(yōu)劣之分，沒有對(duì)錯(cuò)之別。第三步：模型定階可以驗(yàn)證SACF呈現(xiàn)出3階截尾性，因而可以初步識(shí)別為MA(3)。第四步：參數(shù)估計(jì)第五步：診斷檢驗(yàn)【本章思考題】1．對(duì)于零均值化的處理方式；2．如何進(jìn)行模型的識(shí)別與定階，最佳準(zhǔn)則函數(shù)的構(gòu)造考慮了哪兩點(diǎn)；3．模型的適應(yīng)性檢驗(yàn)包括哪些內(nèi)容；4．時(shí)間序列模型建立的過程；【作業(yè)】P125：3、5平穩(wěn)時(shí)間序列預(yù)測(cè)本章論述平穩(wěn)時(shí)間序列的預(yù)測(cè)，學(xué)習(xí)的重點(diǎn)是條件期望預(yù)測(cè)。序言預(yù)測(cè)就是根據(jù)現(xiàn)在與過去序列的樣本取值，對(duì)未來某一時(shí)刻的隨機(jī)變量進(jìn)行估計(jì)。問題的提出平面M可能的預(yù)測(cè)：（1）預(yù)測(cè)表達(dá)式是時(shí)間序列過去取值的線性組合；（2）具有最小的預(yù)測(cè)方差。平面M問題的求解對(duì)于作一平穩(wěn)的時(shí)間序列模型，我們都可以將它轉(zhuǎn)化成移動(dòng)平均過程：由于是相互正交的，因而形成平面M的一組正交基。預(yù)測(cè)函數(shù)（2）式意味著可由線性表出，因此可由正交基線性表出：因而，求解的問題就轉(zhuǎn)化為求解。而是在平面M上的正投影相對(duì)于平面M的一組正交基的坐標(biāo)，比較容易求解。解之得這是從幾何角度解決了預(yù)測(cè)的問題，還可以從代數(shù)角度上解決，詳見教材P128。：這是從幾何角度解決了預(yù)測(cè)的問題，還可以從代數(shù)角度上解決，詳見教材P128。注：由于該預(yù)測(cè)使得與的均方誤差最小，因而將其稱為最小均方誤差預(yù)測(cè)。綜上所述，的最小均方誤差預(yù)測(cè)預(yù)測(cè)誤差預(yù)測(cè)誤差為：方差為：由（7）式可以看出步線性最小方差預(yù)測(cè)誤差的方差和預(yù)測(cè)步長(zhǎng)有關(guān)，而與預(yù)測(cè)的時(shí)間起點(diǎn)t無關(guān)，這一點(diǎn)也體現(xiàn)了預(yù)測(cè)的平穩(wěn)性質(zhì)。同時(shí)預(yù)測(cè)的步長(zhǎng)越長(zhǎng)，預(yù)測(cè)誤差的方差也越大，即預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性越差。表各種預(yù)測(cè)方法及其特點(diǎn)方法時(shí)間范圍適用情況應(yīng)做工作定性預(yù)測(cè)法短、中、長(zhǎng)期對(duì)缺乏歷史統(tǒng)計(jì)資料或趨勢(shì)面臨轉(zhuǎn)折的事件進(jìn)行預(yù)測(cè)需做大量的調(diào)查研究工作一元線性回歸預(yù)測(cè)法短、中期自變量與因變量?jī)蓚€(gè)變量之間存在著線性關(guān)系為兩個(gè)變量收集歷史數(shù)據(jù)，此項(xiàng)工作是此預(yù)測(cè)中最費(fèi)時(shí)的事情多元線性回歸預(yù)測(cè)法短、中期因變量與兩個(gè)以上的自變量之間存在著線性關(guān)系為所有變量收集歷史數(shù)據(jù)是此項(xiàng)工作是此預(yù)測(cè)中最費(fèi)時(shí)的事情非線性回歸預(yù)測(cè)法短、中期因變量與一個(gè)自變量或多個(gè)其它自變量之間存在著某種非線性關(guān)系必須收集歷史數(shù)據(jù)，并用幾個(gè)非線性模型試驗(yàn)趨勢(shì)外推法中期到長(zhǎng)期當(dāng)被預(yù)測(cè)項(xiàng)目的有關(guān)變量用時(shí)間表示時(shí)，用非線性回歸只需要因變量的歷史資料，但用趨勢(shì)圖作試探時(shí)很費(fèi)時(shí)間分解分析法短期適用于一次性的短期預(yù)測(cè)或在使用其它預(yù)測(cè)方法前消除季節(jié)變動(dòng)的因素只需要序列的歷史資料移動(dòng)平均法短期不帶季節(jié)變動(dòng)的反復(fù)預(yù)測(cè)只需要因變量的歷史資料，但初次選擇權(quán)數(shù)時(shí)很費(fèi)勁指數(shù)平滑法短期具有或不具有季節(jié)變動(dòng)的反復(fù)預(yù)測(cè)只需因變量的歷史資料，是一切反復(fù)預(yù)測(cè)中最簡(jiǎn)單的方法，但建立模型所費(fèi)的時(shí)間與自適應(yīng)過濾不相上下自適應(yīng)過濾法短期適用于趨勢(shì)形態(tài)的性質(zhì)隨時(shí)間而變化，而且沒有季節(jié)變動(dòng)的反復(fù)預(yù)測(cè)只需要因變量的歷史資料，但制定并檢查模型規(guī)格很費(fèi)時(shí)間博克斯—詹金斯法短期適用于任何序列的發(fā)展形態(tài)的一種高級(jí)預(yù)測(cè)方法計(jì)算過程復(fù)雜、繁瑣景氣預(yù)測(cè)法短、中期適用于時(shí)間序列趨勢(shì)延續(xù)及轉(zhuǎn)折預(yù)測(cè)收集大量歷史資料和數(shù)據(jù)并需進(jìn)行大量計(jì)算灰色預(yù)測(cè)法短、中期適用于時(shí)間序列的發(fā)展呈指數(shù)型趨勢(shì)收集對(duì)象的歷史數(shù)據(jù)狀態(tài)空間模型和卡爾漫濾波短、中期適用于各類時(shí)間序列的預(yù)測(cè)收集對(duì)象的歷史數(shù)據(jù)并建立狀態(tài)空間模型實(shí)際中預(yù)測(cè)值的計(jì)算前面從理論得到時(shí)間序列的步最小方差預(yù)測(cè)包含無窮項(xiàng)求和，而實(shí)際中我們只可能有有限的數(shù)據(jù)，因此，只能用充分多項(xiàng)的有窮和近似，即因?yàn)楦窳趾瘮?shù)是指數(shù)衰減的，T的取值只要使小于允許的值即可。（8）中的格林函數(shù)可遞推計(jì)算；隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)也可遞推計(jì)算詳見王振龍：《時(shí)間序列分析》P129。。詳見王振龍：《時(shí)間序列分析》P129。第二節(jié)條件期望預(yù)測(cè)條件期望預(yù)測(cè)的實(shí)質(zhì)：它是根據(jù)差分方程形式來進(jìn)行預(yù)測(cè)，該算法直接從所建立的模型出發(fā)能夠求出步線性最小方差預(yù)測(cè)的值。條件期望所謂條件期望，是指在一定條件下的期望值。例如，在已知的條件下，的期望值稱為的條件期望，記為：或。它具有如下的性質(zhì)：性質(zhì)1：性質(zhì)2：性質(zhì)3：性質(zhì)1表明：條件期望滿足線性運(yùn)算法則；性質(zhì)2表明：現(xiàn)在或過去觀察值的條件期望是其本身，未來取值的條件期望是其預(yù)測(cè)值；性質(zhì)3表明：現(xiàn)在或過去的殘差的條件期望是它的估計(jì)值，未來殘差的條件期望則為零。用模型的逆轉(zhuǎn)形式進(jìn)行預(yù)測(cè)任一ARMA模型可用逆轉(zhuǎn)形式來表示，即將xt表示為過去觀測(cè)值的線性組合再加一個(gè)隨機(jī)擾動(dòng)： 用差分方程形式進(jìn)行預(yù)測(cè)AR（1），MA（1）的預(yù)測(cè)詳見教材P130。下面以ARMA(1,1)模型為例具體介紹預(yù)測(cè)方法。其他形式時(shí)間序列模型的預(yù)測(cè)方法與此類似。設(shè)對(duì)時(shí)間序列樣本{xt},t=1,2,…,T，所擬合的模型是 上式中at需要通過遞推計(jì)算。······即當(dāng)l>1時(shí)，預(yù)測(cè)值滿足模型自回歸部分差分方程利用做為初始值，解此差分方程得預(yù)測(cè)值為 ARMA(m,n)模型的預(yù)測(cè) ①一步預(yù)測(cè)(l=1)②二步預(yù)測(cè)(l=2)③步預(yù)測(cè)當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)其中對(duì)于,?；瑒?dòng)平均部分全部消失，預(yù)測(cè)值滿足自回歸部分的差分方程。結(jié)論：對(duì)一般的ARMA(n,m)模型，自回歸部分決定了預(yù)測(cè)函數(shù)的形式，而滑動(dòng)平均部分用于確定預(yù)測(cè)函數(shù)中的系數(shù)。ARMA(n,m)模型的預(yù)測(cè)區(qū)間由于，所以的分布完全由所決定按照原則，得到l步預(yù)測(cè)的68.3%和95.5%的預(yù)測(cè)區(qū)間分別為：和在實(shí)際計(jì)算過程中，理論上的用預(yù)測(cè)的穩(wěn)定性格林函數(shù)與預(yù)測(cè)值滿足同樣的關(guān)系式，由第三章的內(nèi)容可知格林函數(shù)描述了系統(tǒng)的記憶性，而預(yù)測(cè)所依賴的正是這種記憶性，因而預(yù)測(cè)值的變化趨勢(shì)與格林函數(shù)的變化是一致的，預(yù)測(cè)的穩(wěn)定性依賴于格林函數(shù)的穩(wěn)定性或系統(tǒng)的穩(wěn)定性。實(shí)例【例4-5】利用例4-1所建立的模型進(jìn)行預(yù)測(cè)，詳見教材P133、P134。解：（1）實(shí)際計(jì)算，見教材P135；（2）軟件中的預(yù)測(cè)預(yù)測(cè)和模擬（一）在估計(jì)的單方程基礎(chǔ)上進(jìn)行預(yù)測(cè)；（二）合并成多方程模型進(jìn)行預(yù)測(cè)（solve）；（三）幾種指數(shù)平滑預(yù)測(cè)法。1．單個(gè)估計(jì)方程的預(yù)測(cè)有兩種方法：其一，Dynamic法，利用滯后左手變量以前的預(yù)測(cè)值計(jì)算當(dāng)前樣本區(qū)間的預(yù)測(cè)；其二，Static法，使用的是實(shí)際值而不是預(yù)測(cè)值。NOTE：兩種方法在多步預(yù)測(cè)的第一步給出相同的結(jié)果，當(dāng)方程中不含滯后被解釋變量和ARMA項(xiàng)時(shí)，二者相同。2．預(yù)測(cè)的標(biāo)準(zhǔn)差和置信區(qū)間。預(yù)測(cè)誤差來源于：方程的新息（殘差）未知；系數(shù)的不確定性。3．預(yù)測(cè)精度與預(yù)測(cè)評(píng)價(jià)預(yù)測(cè)研究的一個(gè)重要任務(wù)是為各具物色的不同預(yù)測(cè)對(duì)象尋找合適的預(yù)測(cè)方法，使得預(yù)測(cè)結(jié)果具有更高的可靠性和精確度。預(yù)測(cè)精度的一般含義是指預(yù)測(cè)模型擬合的好壞程度，即由預(yù)測(cè)模型所產(chǎn)生的模擬值與歷史實(shí)際值擬合程度的優(yōu)劣。對(duì)于時(shí)間序列預(yù)測(cè)，研究者可以利用歷史數(shù)據(jù)的一部分建立模型。然后預(yù)測(cè)其余的歷史數(shù)據(jù)，以便更直觀地研究預(yù)測(cè)精度。但對(duì)于預(yù)測(cè)用戶而言，預(yù)測(cè)未來的精度是重要的，至于該預(yù)測(cè)模型過去的預(yù)測(cè)精度如何則沒有什么意義。在對(duì)話框中選擇了ForecastEvaluation，并且被預(yù)測(cè)變量在預(yù)測(cè)期內(nèi)有實(shí)際值，那么得到一個(gè)評(píng)價(jià)預(yù)測(cè)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果。這個(gè)結(jié)果包括：均方根預(yù)測(cè)誤差、平均絕對(duì)預(yù)測(cè)誤差、平均相對(duì)預(yù)測(cè)誤差和Theil不等系數(shù)及其分解。指標(biāo)①①、②和③屬于絕對(duì)指標(biāo)，其它屬于相對(duì)指標(biāo)建議使用。①平方和誤差：；②平均絕對(duì)誤差：；③均方根誤差：；④平均絕對(duì)百分比誤差一般認(rèn)為如果MAPE的值低于10，則認(rèn)為預(yù)測(cè)精度較高。：；一般認(rèn)為如果MAPE的值低于10，則認(rèn)為預(yù)測(cè)精度較高。⑤均方百分比誤差：；⑥Theil不等系數(shù)根據(jù)均方誤差的分解，還可以定義三個(gè)與希爾不等系數(shù)相關(guān)的指標(biāo)。偏差率BP反映了預(yù)測(cè)值均值和實(shí)際值均值間的差異；方差率VP反映了它們標(biāo)準(zhǔn)差的差異；協(xié)變率CP反映了剩余的誤差。值得說明的是：CP=1-BP-VP，當(dāng)預(yù)測(cè)是比較理想時(shí)，均方誤差大多數(shù)集中在協(xié)變率上，而其余兩項(xiàng)都很小。：根據(jù)均方誤差的分解，還可以定義三個(gè)與希爾不等系數(shù)相關(guān)的指標(biāo)。偏差率BP反映了預(yù)測(cè)值均值和實(shí)際值均值間的差異；方差率VP反映了它們標(biāo)準(zhǔn)差的差異；協(xié)變率CP反映了剩余的誤差。值得說明的是：CP=1-BP-VP，當(dāng)預(yù)測(cè)是比較理想時(shí)，均方誤差大多數(shù)集中在協(xié)變率上，而其余兩項(xiàng)都很小。4．預(yù)測(cè)圖第三節(jié)實(shí)時(shí)修正預(yù)測(cè)問題的提出任何模型的建立都是依據(jù)當(dāng)時(shí)的條件，即現(xiàn)有的信息量決定了模型的表達(dá)形式。隨著時(shí)間的推移，不斷地有新信息產(chǎn)生，原有的模型可能不能反應(yīng)現(xiàn)實(shí)的情況，要想真實(shí)再現(xiàn)時(shí)間序列的變化趨勢(shì)，有必要重新建立時(shí)間序列模型。然而，前面的學(xué)習(xí)發(fā)現(xiàn)，時(shí)間序列模型的建立過程比較復(fù)雜，有沒有一種新辦法能夠解決無須重新建立模型就能夠準(zhǔn)確地刻劃新形式下時(shí)間序列的變化趨勢(shì)?；卮鹗强隙ǖ?，實(shí)時(shí)修正預(yù)測(cè)就是在原先預(yù)測(cè)結(jié)果的基礎(chǔ)之上，加進(jìn)一些新的信息，就能得到與重新建立模型進(jìn)行預(yù)測(cè)等價(jià)的效果。具體做法對(duì)于一個(gè)ARMA過程，由（5）得：（6）（7）（6）式反應(yīng)了在時(shí)刻，對(duì)未來進(jìn)行步預(yù)測(cè)，為在新息產(chǎn)生條件下的預(yù)測(cè)結(jié)果；（7）式反應(yīng)了在時(shí)刻，對(duì)未來進(jìn)行步預(yù)測(cè)，為沒有考慮新息時(shí)的預(yù)測(cè)結(jié)果；同時(shí)由（6）式和（7）式，我們還可以得到如下結(jié)論：（8）式中，為一步預(yù)測(cè)誤差。（8）式表明：新的預(yù)測(cè)值是在舊的預(yù)測(cè)值基礎(chǔ)上加一個(gè)修正項(xiàng)，而這一修正項(xiàng)比例于舊的一步預(yù)測(cè)誤差，比例系數(shù)隨預(yù)測(cè)超前步數(shù)而變化。實(shí)例【例4-6】對(duì)例4-5，假如我們已知道觀測(cè)值，試計(jì)算和。解：可列表計(jì)算表實(shí)時(shí)修正預(yù)測(cè)計(jì)算過程超前期123……格林函數(shù)0.790.4040.145預(yù)測(cè)特性95%置信區(qū)間只要預(yù)測(cè)的步數(shù)沒有改變，預(yù)測(cè)誤差的標(biāo)準(zhǔn)差就不會(huì)發(fā)生變化。只要預(yù)測(cè)的步數(shù)沒有改變，預(yù)測(cè)誤差的標(biāo)準(zhǔn)差就不會(huì)發(fā)生變化。4.8026.126.42tXt2493.78原點(diǎn)2504.582513.000.2132.7872521.3621.1942530.4160.332540.029第四節(jié)指數(shù)平滑預(yù)測(cè)——ARMA模型特例1．問題的提出由前面的討論，我們已經(jīng)知道，預(yù)測(cè)值實(shí)際上是過去的觀察值及部分預(yù)測(cè)值的一種平滑，特別是超前一步預(yù)測(cè)值是，的一種平滑，那么指標(biāo)平滑預(yù)測(cè)與ARMA模型預(yù)測(cè)之間到底存在著什么樣的聯(lián)系。2．指數(shù)平滑預(yù)測(cè)設(shè)有時(shí)間序列，對(duì)其未來發(fā)展變化趨勢(shì)作預(yù)測(cè)。①最樸素的動(dòng)態(tài)思想認(rèn)為現(xiàn)象的未來行為和現(xiàn)在的行為有關(guān)，因而用現(xiàn)在值作為下一期的預(yù)測(cè)；②序列的預(yù)測(cè)值用平均值來代替；③在取所有資料的平均數(shù)不盡合理時(shí)，利用了“移動(dòng)平均數(shù)”；④作同等的權(quán)重不合適，指數(shù)平滑法作為權(quán)數(shù)，，（9）由于（9）中不再是加權(quán)平均數(shù)，因而用作為權(quán)數(shù)，這時(shí)有預(yù)測(cè)公式為：（10）（10）為著名的指數(shù)加權(quán)移動(dòng)平均數(shù)（EWMA），它有兩個(gè)極為重要的公式：（11）（12）（11）式表明下期的預(yù)測(cè)值是本期實(shí)際與本期預(yù)測(cè)的加權(quán)平均數(shù)；（12）式使用的倍數(shù)的預(yù)測(cè)誤差對(duì)模型加以修正。3．指數(shù)平滑與ARMA模型的關(guān)系結(jié)論：指數(shù)平滑預(yù)測(cè)與ARMA（1，1）模型在時(shí)的特殊情況下的預(yù)測(cè)等價(jià)。填空題1、拿到一個(gè)觀察值序列之后，首先要對(duì)它的平穩(wěn)性和純隨機(jī)性進(jìn)行檢驗(yàn)，這兩個(gè)重要的檢驗(yàn)稱為序列的預(yù)處理。2、白噪聲序列具有性質(zhì)純隨機(jī)性和方差齊性。3、平穩(wěn)AR（p）模型的自相關(guān)系數(shù)有兩個(gè)顯著的性質(zhì)：一是拖尾性；二是呈負(fù)指數(shù)衰減。4、MA(q)模型的可逆條件是：MA(q)模型的特征根都在單位圓內(nèi)，等價(jià)條件是移動(dòng)平滑系數(shù)多項(xiàng)式的根都在單位圓外。5、AR（1）模型的平穩(wěn)域是。AR（2）模型的平穩(wěn)域是二、單項(xiàng)選擇題1、頻域分析方法與時(shí)域分析方法相比（D）A前者要求較強(qiáng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，分析結(jié)果比較抽象，不易于進(jìn)行直觀解釋。B后者要求較強(qiáng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，分析結(jié)果比較抽象，不易于進(jìn)行直觀解釋。C前者理論基礎(chǔ)扎實(shí)，操作步驟規(guī)范，分析結(jié)果易于解釋。D后者理論基礎(chǔ)扎實(shí)，操作步驟規(guī)范，分析結(jié)果易于解釋。2、下列對(duì)于嚴(yán)平穩(wěn)與寬平穩(wěn)描述正確的是（D）A寬平穩(wěn)一定不是嚴(yán)平穩(wěn)。B嚴(yán)平穩(wěn)一定是寬平穩(wěn)。C嚴(yán)平穩(wěn)與寬平穩(wěn)可能等價(jià)。D對(duì)于正態(tài)隨機(jī)序列，嚴(yán)平穩(wěn)一定是寬平穩(wěn)。3、純隨機(jī)序列的說法，錯(cuò)誤的是（B）A時(shí)間序列經(jīng)過預(yù)處理被識(shí)別為純隨機(jī)序列。B純隨機(jī)序列的均值為零，方差為定值。C在統(tǒng)計(jì)量的Q檢驗(yàn)中，只要QQUOTE時(shí)，認(rèn)為該序列為純隨機(jī)序列，其中m為延遲期數(shù)。D不同的時(shí)間序列平穩(wěn)性檢驗(yàn)，其延遲期數(shù)要求也不同。4、關(guān)于自相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)，下列不正確的是（D）A.規(guī)范性；B.對(duì)稱性；C.非負(fù)定性；D.唯一性。5、對(duì)矩估計(jì)的評(píng)價(jià)，不正確的是（A）A.估計(jì)精度好；B.估計(jì)思想簡(jiǎn)單直觀；C.不需要假設(shè)總體分布；D.計(jì)算量?。ǖ碗A模型場(chǎng)合）。6、關(guān)于ARMA模型，錯(cuò)誤的是（C）AARMA模型的自相關(guān)系數(shù)偏相關(guān)系數(shù)都具有截尾性。BARMA模型是一個(gè)可逆的模型C一個(gè)自相關(guān)系數(shù)對(duì)應(yīng)一個(gè)唯一可逆的MA模型。DAR模型和MA模型都需要進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)。7、MA（q）模型序列的預(yù)測(cè)方差為下列哪項(xiàng)（B）A、B、C、D、8、ARMA(p,q)模型的平穩(wěn)條件是（B）A.的根都在單位圓外；B.的根都在單位圓外；C.的根都在單位圓內(nèi)；D.的根都在單位圓內(nèi)。9、利用自相關(guān)圖判斷一個(gè)時(shí)間序列的平穩(wěn)，下列說法正確的是（A）A自相關(guān)系數(shù)很快衰減為零。B自相關(guān)系數(shù)衰減為零的速度緩慢。C自相關(guān)系數(shù)一直為正。D在相關(guān)圖上，呈現(xiàn)明顯的三角對(duì)稱性。10、利用時(shí)序圖對(duì)時(shí)間序列的平穩(wěn)性進(jìn)行檢驗(yàn)，下列說法正確的是（C）A如果時(shí)序圖呈現(xiàn)明顯的遞增態(tài)勢(shì)，那么這個(gè)時(shí)間序列就是平穩(wěn)序列。B如果時(shí)序圖呈現(xiàn)明顯的周期態(tài)勢(shì)，那么這個(gè)時(shí)間序列就是平穩(wěn)序列。C如果時(shí)序圖總是圍繞一個(gè)常數(shù)波動(dòng)，而且其波動(dòng)范圍有限，那么這個(gè)時(shí)間序列是平穩(wěn)序列。D通過時(shí)序圖不能夠精確判斷一個(gè)序列的平穩(wěn)與否。三、概念解釋1、AR模型的定義具有如下結(jié)構(gòu)的模型稱為階自回歸模型，簡(jiǎn)記為AR（p）2、偏自相關(guān)系數(shù)對(duì)于平穩(wěn)AR(p)序列，所謂滯后k偏自相關(guān)系數(shù)就是指在給定中間k-1個(gè)隨機(jī)變量的條件下，或者說，在剔除了中間k-1個(gè)隨機(jī)變量的干擾之后，對(duì)影響的相關(guān)度量。用數(shù)學(xué)語言描述就是3、MA模型的定義具有如下結(jié)構(gòu)的模型稱為階自回歸模型，簡(jiǎn)記為MP（q）ARMA(p,q)模型的可逆條件：q階移動(dòng)平均系數(shù)多項(xiàng)式的根都在單位圓外，即ARMA(p,q)模型的可逆性完全由其移動(dòng)平滑部分的可逆性決定。四、計(jì)算題1、求平穩(wěn)AR(1)模型的協(xié)方差遞推公式平穩(wěn)AR(1)模型的方差為協(xié)方差函數(shù)的遞推公式為2、計(jì)算下列MA（q）模型的可逆性條件解：逆函數(shù)逆轉(zhuǎn)形式逆函數(shù)、逆轉(zhuǎn)形式3、求ARMA(1,1)模型中未知參數(shù)的矩估計(jì)。解：根據(jù)ARMA模型Green函數(shù)的遞推公式，可以確定該ARMA(1,1)模型的Green函數(shù)為：推導(dǎo)出：則：整理方程組得:考慮可以條件：得到未知參數(shù)矩估計(jì)的唯一解：五．證明題1、證明AR（2）模型的平穩(wěn)的充要條件為且2.設(shè)時(shí)間序列來自過程，滿足,其中,證明其自相關(guān)系數(shù)為 注：為延遲算子，使得；為差分算子，。1.若零均值平穩(wěn)序列，其樣本ACF和樣本PACF都呈現(xiàn)拖尾性，則對(duì)可能建立（B）模型。A.MA(2)B.ARMA(1,1)C.AR(2)D.MA(1)2.下圖是某時(shí)間序列的樣本偏自相關(guān)函數(shù)圖，則恰當(dāng)?shù)哪Ｐ褪牵˙）。A.B.C.D.3.考慮MA(2)模型，則其MA特征方程的根是（C）。（A）（B）（C）（D）4.設(shè)有模型，其中，則該模型屬于（B）。ARMA(2,1)B.ARIMA(1,1,1)C.ARIMA(0,1,1)D.ARIMA(1,2,1)5.AR(2)模型，其中，則（B）。A.B.C.D.對(duì)于一階滑動(dòng)平均模型MA(1):，則其一階自相關(guān)函數(shù)為(C)。A.B.C.D.7.若零均值平穩(wěn)序列，其樣本ACF呈現(xiàn)二階截尾性，其樣本PACF呈現(xiàn)拖尾性，則可初步認(rèn)為對(duì)應(yīng)該建立（B）模型。A.MA(2)B.C.D.ARIMA(2,1,2)8.記為差分算子，則下列不正確的是（C）。A.B.C.D.填空題（每題3分，共24分）；1.若滿足：，則該模型為一個(gè)季節(jié)周期為__12____的乘法季節(jié)模型。2.時(shí)間序列的周期為s的季節(jié)差分定義為：_____________________________。3.設(shè)ARMA(2,1)：則所對(duì)應(yīng)的AR特征方程為________________，其MA特征方程為_____________________。4.已知AR（1）模型為：，則=_______0_____________,偏自相關(guān)系數(shù)=__________________________，=________0__________________（k>1）；5.設(shè)滿足模型：，則當(dāng)滿足________________時(shí)，模型平穩(wěn)。6.對(duì)于時(shí)間序列為零均值方差為的白噪聲序列，則=___________________________。7.對(duì)于一階滑動(dòng)平均模型MA(1):，則其一階自相關(guān)函數(shù)為_______________________________________________。一個(gè)子集模型是指_形如__模型但其系數(shù)的某個(gè)子集為零的模型_。已知某序列服從MA(2)模型：，若預(yù)測(cè)未來2期的值；求出未來兩期預(yù)測(cè)值的95%的預(yù)測(cè)區(qū)間。解：（1）==（2）注意到，。因?yàn)楣视校?。未來兩期的預(yù)測(cè)值的的預(yù)測(cè)區(qū)間為:，其中。代入相應(yīng)數(shù)據(jù)得未來兩期的預(yù)測(cè)值的的預(yù)測(cè)區(qū)間為：未來第一期為：，即；未來第二期為：，即。設(shè)時(shí)間序列服從AR(1)模型：，其中是白噪聲序列，為來自上述模型的樣本觀測(cè)值，試求模型參數(shù)的極大似然估計(jì)。解：依題意，故無條件平方和函數(shù)為易見(見p113式(7.3.6)）其對(duì)數(shù)似然函數(shù)為所以對(duì)數(shù)似然方程組為，即。解之得。五、計(jì)算題（每小題6分，共12分）判定下列模型的平穩(wěn)性和可逆性。(a)(b)解：（a)其AR特征方程為：，其根的模大于1，故滿足平穩(wěn)性條件，該模型平穩(wěn)。其MA特征方程為：，其根的模大于1，故滿足可逆性條件。該模型可逆。綜上，該模型平穩(wěn)可逆。（b)其AR特征方程為：，其根為，故其根的模為小于1，從而不滿足平穩(wěn)性條件。該模型是非平穩(wěn)的。MA特征方程為：，其有一根的模小于1，故不滿足可逆性條件。所以該模型不可逆。綜上，該模型非平穩(wěn)且不可逆。計(jì)算題（每小題5分，共10分）某AR模型的AR特征多項(xiàng)式如下：寫出此模型的具體表達(dá)式。此模型是平穩(wěn)的嗎?為什么？解：（1）該模型為一個(gè)季節(jié)ARIMA模型，其模型的具體表達(dá)式是（其中B為延遲算子）或者。（2）該模型是非平穩(wěn)的，因?yàn)槠銩R特征方程=0有一根的模小于等于1，故不滿足平穩(wěn)性條件。七、計(jì)算題（此題10分）設(shè)有如下AR(2)過程：，為零均值方差為的白噪聲序列。寫出該過程的Yule-Walker方程，并由此解出；（6分）求的方差。（4分）解答：（a)其Yule-Walker方程（見課本P55公式（4.3.30））為:解之得。(b）由P55公式（4.3.31）得。北京師范大學(xué)珠海分校2008-2009學(xué)年第一學(xué)期期末考試（B卷）答案開課單位：應(yīng)用數(shù)學(xué)系課程名稱：時(shí)間序列分析任課教師：吳春松考試類型：閉卷考試時(shí)間：120分鐘學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)系06級(jí)姓名__________學(xué)號(hào)_____________班級(jí)________題號(hào)一二三四五六總分得分閱卷人試卷說明：（本試卷共4頁，滿分100分）一、填空題（每空3分，共30分）；1.所謂時(shí)間序列分析是指：對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行觀察、研究，找尋它變化發(fā)展的規(guī)律，預(yù)測(cè)它將來的走勢(shì)（就是時(shí)間序列分析）。2.給出一個(gè)簡(jiǎn)單的時(shí)間序列實(shí)例：某同學(xué)一周七天每天花費(fèi)的基本生活費(fèi)15，13，16，17，15，18，20（單位：元）。3.平穩(wěn)時(shí)間序列自相關(guān)圖的特點(diǎn)：平穩(wěn)序列通常具有短期相關(guān)性，用自相關(guān)系數(shù)來描述就是隨著延遲期數(shù)k的增加，平穩(wěn)序列的自相關(guān)系數(shù)會(huì)很快衰減向零。4.已知AR（1）模型為：，則=___0__,偏自相關(guān)系數(shù)=________0.8_____。5.設(shè){為一時(shí)間序列，B為延遲算子，則。6.假設(shè)線性非平穩(wěn)序列{形如：，，則。7