第43講數(shù)列的通項公式（原卷版）

第43講數(shù)列的通項公式1、正確選用方法求數(shù)列的通項公式(1)對于遞推關(guān)系式可轉(zhuǎn)化為an＋1＝an＋f(n)的數(shù)列，通常采用累加法(逐差相加法)求其通項公式．(2)對于遞推關(guān)系式可轉(zhuǎn)化為eq\f(an＋1,an)＝f(n)的數(shù)列，并且容易求數(shù)列{f(n)}前n項的積時，采用累乘法求數(shù)列{an}的通項公式．(3)對于遞推關(guān)系式形如an＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0)的數(shù)列，采用構(gòu)造法求數(shù)列的通項．2、避免2種失誤(1)利用累乘法，易出現(xiàn)兩個方面的問題：一是在連乘的式子中只寫到eq\f(a2,a1)，漏掉a1而導(dǎo)致錯誤；二是根據(jù)連乘求出an之后，不注意檢驗a1是否成立．(2)利用構(gòu)造法求解時應(yīng)注意數(shù)列的首項的正確求解以及準(zhǔn)確確定最后一個式子的形式．1、（2023?北京）數(shù)列滿足，下列說法正確的是A．若，則是遞減數(shù)列，，使得時， B．若，則是遞增數(shù)列，，使得時， C．若，則是遞減數(shù)列，，使得時， D．若，則是遞增數(shù)列，，使得時，2、（2022?浙江）已知數(shù)列滿足，，則A． B． C． D．3、（2023?甲卷（理））已知數(shù)列中，，設(shè)為前項和，．（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和．4、（2021?乙卷（理））記為數(shù)列的前項和，為數(shù)列的前項積，已知．（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求的通項公式．5、（2021?新高考Ⅰ）已知數(shù)列滿足，（1）記，寫出，，并求數(shù)列的通項公式；（2）求的前20項和．1、（2022年江蘇省淮安市高三模擬試卷）已知數(shù)列{an}中的首項a1＝2，且滿足，則此數(shù)列的第三項是（）A.1 B. C. D.2、（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考一模）寫出一個同時滿足下列條件①②的等比數(shù)列{}的通項公式＝___．①；②3、根據(jù)下列條件，確定數(shù)列{an}的通項公式．(1)a1＝2，an＋1＝an＋3n；(2)a1＝2，an＋1＝2an＋3n.考向一有an遞推關(guān)系研究數(shù)列的通項例3、根據(jù)下列條件，確定數(shù)列{an}的通項公式．(1)a1＝1，an＋1＝3an＋2；(2)a1＝1，an＝eq\f(n－1,n)·an－1(n≥2)；(3)a1＝2，an＋1＝an＋3n＋2.變式1、（2022年河北省張家口高三模擬試卷）已知數(shù)列的前n項和為，若，且，則下列說法確的是（）A.為單調(diào)遞增數(shù)列B.C.D.當(dāng)時，數(shù)列的前n項和滿足變式2、（2022年河北省張家口高三模擬試卷）已知正項數(shù)列滿足．（1）求數(shù)列的通項公式；變式3、（2021年八省適應(yīng)性考試）已知各項都為正數(shù)的數(shù)列滿足．（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）若，，求的通項公式．方法總結(jié)：給出了兩種不同形式的遞推關(guān)系，經(jīng)常采取其它方法：取倒數(shù)后，相鄰兩項的差是一個等比數(shù)列，迭加即可；變形為eq\f(an＋1,an)＝eq\f(3n－2,3n＋2)，再用累乘處理，累加、累乘是遞推數(shù)列的基本而常用的方法，考查我們的觀察、變形和轉(zhuǎn)化的能力，需要牢固掌握．考向二由Sn與an的遞推關(guān)系求通項公式例2、（2022年廣州番禺高三模擬試卷）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的首項，前項和為，且．（1）求數(shù)列的通項公式；變式1、（2022年福建省福州市高三模擬試卷）已知數(shù)列的前項和為，且滿足，等差數(shù)列中，，.（1）求數(shù)列，通項公式；變式2、（2022年福建省永泰縣高三模擬試卷）已知正項數(shù)列的前項和為，且和滿足：.（1）求的通項公式；變式3、（2023·河北唐山·統(tǒng)考三模）設(shè)為數(shù)列的前項和，，.(1)求數(shù)列的通項公式；方法總結(jié)：an與Sn關(guān)系的應(yīng)用(1)僅含有Sn的遞推數(shù)列或既含有Sn又含有an的遞推數(shù)列，一般利用公式Sn－Sn－1＝an(n≥2)實施消元法，將遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為僅含an的關(guān)系式或僅含Sn的關(guān)系式，即“二者消元留一象”．(2)究竟消去an留Sn好，還是消去Sn留an好？取決于消元后的代數(shù)式經(jīng)過恒等變形后能否得到簡單可求的數(shù)列關(guān)系，如等差數(shù)列關(guān)系或等比數(shù)列關(guān)系，若消去an留Sn可以得到簡單可求的數(shù)列關(guān)系，那么就應(yīng)當(dāng)消去an留Sn，否則就嘗試消去Sn留an，即“何知去留誰更好，變形易把關(guān)系找”．(3)值得一提的是：數(shù)列通項公式an求出后，還需要驗證數(shù)列首項a1是否也滿足通項公式，即“通項求出莫疏忽，驗證首項滿足否”?？枷蛉龢?gòu)造等差、等比數(shù)列研究通項例3、（2023·江蘇·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列滿足，，．(1)證明：是等比數(shù)列；(2)證明：存在兩個等比數(shù)列，，使得成立．變式1、（2022年河北省高三大聯(lián)考模擬試卷）已知數(shù)列，滿足，，且，（1）求，的值，并證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列，的通項公式．變式2、（2022·福建省詔安縣高三模擬試卷）已知數(shù)列的前n項和為，且，，．（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項公式；方法總結(jié)：構(gòu)造等差、等比數(shù)列求通項，常見形式一：an＋1＝pan＋q(p，q為常數(shù)，p≠0，p≠1)，常利用待定系數(shù)構(gòu)造，可化為an＋1＋x＝p(an＋x)，從而解出x＝eq\f(q,p－1).常見形式二：an＋1＝pan＋qn(p，q為常數(shù)，p≠0，p≠1，q≠0)，可以通過兩邊同時除以qn＋1，得eq\f(an＋1,qn＋1)＝eq\f(p,q)·eq\f(an,qn)＋eq\f(1,q)，換元bn＝eq\f(an,qn)，即轉(zhuǎn)化形式一．1、（2022·福建省詔安縣高三模擬試卷）設(shè)數(shù)列的前n項和為，寫出的一個通項公式________，滿足下面兩個條件：①是單調(diào)遞減數(shù)列；②是單調(diào)遞增數(shù)列.2、（2022年河北省張家口高三模擬試卷）已知數(shù)列中，，則_______________．3、（2022·福建省高三模擬試卷）已知數(shù)列滿足，，則的前n項和為___________.4、（2022年江蘇省淮安市高三模擬試卷）南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中出現(xiàn)了如圖所示的形狀，后人稱為“三角垛”．“三角垛”的最上層有個球，第二層有個球，第三層有個球，…，設(shè)各層球數(shù)構(gòu)成一個數(shù)列，則（）A. B. C. D.5、（2022年廣東省高三大聯(lián)考模擬試卷）大衍數(shù)列來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項都代表太