21凹凸反轉(zhuǎn)-原卷版

第21講凹凸反轉(zhuǎn)知識(shí)與方法說(shuō)到凹凸反轉(zhuǎn)這個(gè)方法，估計(jì)有不少同學(xué)也是略知一二．在2014年，全國(guó)1卷（理科）導(dǎo)數(shù)壓軸就考到一個(gè)比較復(fù)雜的恒成立證明問(wèn)題，當(dāng)年官方標(biāo)答的解法就用了凹凸反轉(zhuǎn)．在本講中，我們將詳細(xì)介紹一下這個(gè)方法．題型及處理方法：題型1：式子比較復(fù)雜的恒成立證明例如，要證明，而這里又比較復(fù)雜，直接分析其單調(diào)性與值域比較困難，這時(shí)可以考慮將通過(guò)一些手段等價(jià)轉(zhuǎn)化為，如果此時(shí)可以容易求出最小值與最大值，而且容易得出（或者且），那么就可以說(shuō)明，即．題型2：比較復(fù)雜的恒成立（存在）求參這里為了更為通俗易懂，咱們以一個(gè)簡(jiǎn)單的例子來(lái)說(shuō)明這個(gè)方法的原理．例如，，成立，則a的取值范圍為_(kāi)_____．對(duì)于此題，如果將原式轉(zhuǎn)為，可以很容易判斷出和單調(diào)性，且可以發(fā)現(xiàn)他們都在處取得極值（如上圖所示），所以要使原不等式成立，只需即可，即，．不難看出，這種做法其實(shí)就是將原式等價(jià)變形，使得不等號(hào)左右兩側(cè)函數(shù)形成“頂對(duì)頂”的情形，進(jìn)而解出參數(shù)范圍．而如何構(gòu)造出這樣的“頂對(duì)頂”函數(shù)，這就需要對(duì)常見(jiàn)的函數(shù)圖像有一些了解．在這一講，我們會(huì)簡(jiǎn)單介紹一些常見(jiàn)的函數(shù)模型作為引導(dǎo)．常用基本函數(shù)模型：基本模型圖像部分同類(lèi)型函數(shù)舉例基本模型圖像部分同類(lèi)型函數(shù)舉例這里只給出了部分函數(shù)，可以對(duì)初學(xué)者起引導(dǎo)作用，而在實(shí)際解導(dǎo)數(shù)壓軸題的時(shí)候，所用到的函數(shù)模型，遠(yuǎn)不止這些．例如對(duì)勾函數(shù)，二次函數(shù)，三角函數(shù)，或者各種組合函數(shù)，只要研究起來(lái)比較方便，都可以用來(lái)解題．凹凸反轉(zhuǎn)法屬于一個(gè)嘗試性方法，對(duì)于基本方法難以處理的形式復(fù)雜的式子，可以考慮使用此法．但要想靈活應(yīng)用，就得熟知各種基本函數(shù)模型和一些基礎(chǔ)的極限知識(shí)，要在短時(shí)間內(nèi)湊出口凸函數(shù)，并且要在短時(shí)間內(nèi)判斷出此法能否成功解題．典型例題【例1】設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為．（1）求a，b．（2）證明：．【例2】已知函數(shù)．（1）求曲線在點(diǎn)（0，-1）處的切線方程；（2）證明：當(dāng)時(shí)，．【例3】當(dāng)時(shí)，證明：．【例4】已知函數(shù)，其中e=2.71828…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）對(duì)恒成立，記，證明：．【例5】已知函數(shù)，，（1）求的最小值；（2）證明：對(duì)一切，都有成立．強(qiáng)化訓(xùn)練1．已知函數(shù)．（1）設(shè)是的極值點(diǎn)．求a，并求的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：當(dāng)時(shí)，．2．已知函數(shù)．（1）設(shè)是的極值點(diǎn)，求m，并討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，證明．3．設(shè)函數(shù)．（1）討論的導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．（2）證明：當(dāng)時(shí)．4．已知函數(shù)，，為的導(dǎo)數(shù)，且．證明：（1）在內(nèi)有唯一零點(diǎn)．（2）．5．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小值；（2）證明：．6．若，，求a的取值范圍．7．已知，證明：．