數(shù)值分析 第一章緒論

數(shù)值計(jì)算方法第一章緒論應(yīng)用問(wèn)題舉例1.湖水在夏天會(huì)出現(xiàn)分層現(xiàn)象，接近湖面溫度較高，越往下溫度變低，這種上熱下冷的現(xiàn)象影響了水的對(duì)流和混合過(guò)程，使得下層水域缺氧，導(dǎo)致水生魚(yú)類(lèi)的死亡。如果把水溫看成深度的函數(shù)T(x)，有某個(gè)湖的觀測(cè)數(shù)據(jù)如下：深度（M）46674195014221634水溫（oC）7.044.283.402.542.13

根據(jù)這些數(shù)據(jù)，希望合理地估計(jì)出其它深度（如500米，600米，1000米…）處的水溫，也就是說(shuō)我們可根據(jù)給定的數(shù)據(jù)能求出T(x)。2、鋁制波紋瓦的長(zhǎng)度問(wèn)題

建筑上用的一種鋁制波紋瓦是用一種機(jī)器將一塊平整的鋁板壓制而成的.假若要求波紋瓦長(zhǎng)4英尺,每個(gè)波紋的高度(從中心線)為1英寸,且每個(gè)波紋以近似2π英寸為一個(gè)周期.求制做一塊波紋瓦所需鋁板的長(zhǎng)度L.

這個(gè)問(wèn)題就是要求由函數(shù)f(x)=sinx

給定的曲線從x=0到x=48英寸間的弧長(zhǎng)L.由微積分學(xué)我們知道,所求的弧長(zhǎng)可表示為:上述積分稱為第二類(lèi)橢圓積分,它不能用普通方法來(lái)計(jì)算.數(shù)值計(jì)算方法的意義、內(nèi)容與方法軟件的核心就是算法。20世紀(jì)最偉大的科學(xué)技術(shù)發(fā)明---計(jì)算機(jī)

計(jì)算機(jī)是對(duì)人腦的模擬，它強(qiáng)化了人的思維智能；算法猶如樂(lè)譜，軟件猶如CD盤(pán)片，而硬件如同CD唱機(jī)。數(shù)值計(jì)算方法是計(jì)算數(shù)學(xué)的一個(gè)主要組成部分.“什么是數(shù)值計(jì)算方法？”數(shù)值計(jì)算方法又稱計(jì)算方法或數(shù)值分析，是一門(mén)與計(jì)算機(jī)應(yīng)用密切結(jié)合的實(shí)用性很強(qiáng)的數(shù)學(xué)課程，它專(zhuān)門(mén)研究各種數(shù)學(xué)問(wèn)題的一類(lèi)近似解法——數(shù)值方法，即從一組原始數(shù)據(jù)（如模型中的某些參數(shù)）出發(fā)，按照確定的運(yùn)算規(guī)則進(jìn)行有限步運(yùn)算，最終獲得數(shù)學(xué)問(wèn)題數(shù)值形式的滿足精度要求的近似解。數(shù)值計(jì)算方法課程主要討論如何構(gòu)造求數(shù)學(xué)模型近似解的算法，討論算法的數(shù)學(xué)原理、誤差和復(fù)雜性，配合程序設(shè)計(jì)進(jìn)行計(jì)算試驗(yàn)并分析試驗(yàn)結(jié)果。

與純數(shù)學(xué)的理論方法不同，用數(shù)值計(jì)算方法所求出的結(jié)果一般不是解的精確值或者準(zhǔn)確的解析表達(dá)式，而是所求真解的某些近似值或近似曲線。數(shù)值計(jì)算方法的主要特點(diǎn)借助計(jì)算機(jī)提供切實(shí)可行的數(shù)學(xué)算法.想的精確度;收斂且穩(wěn)定;誤差可以分析或估計(jì).所提出的算法必須具有：可靠的理論分析;理時(shí)間復(fù)雜性好__指節(jié)省時(shí)間；空間復(fù)雜性好__指節(jié)省存儲(chǔ)量。計(jì)算復(fù)雜性好

通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)證明算法行之有效.采用“近似替代”方法→逼近采用“構(gòu)造性”方法采用“離散化”方法

把求連續(xù)變量的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求離散變量的問(wèn)題采用“遞推化”方法

復(fù)雜的計(jì)算歸結(jié)為簡(jiǎn)單過(guò)程的多次重復(fù)，易于用循環(huán)結(jié)構(gòu)來(lái)實(shí)現(xiàn)（迭代法）。采用各種搜索方法構(gòu)造數(shù)值算法主要手段如何學(xué)好數(shù)值計(jì)算方法？1.認(rèn)識(shí)建立算法和對(duì)每個(gè)算法進(jìn)行理論分析是基本任務(wù)，主動(dòng)適應(yīng)“公式多”的特點(diǎn)；

2.注重各章建立算法的問(wèn)題的提法，搞清問(wèn)題的基本提法，逐步深入；

3.理解每個(gè)算法建立的數(shù)學(xué)背景，數(shù)學(xué)原理和基本線索，對(duì)最基本的算法要非常熟悉；

4.認(rèn)真進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的訓(xùn)練，學(xué)習(xí)各章算法完全是為用于實(shí)際計(jì)算，必須真會(huì)算。威爾金森（JamesHardy.Wilkinson，1919-1986），Wilkinson是數(shù)值分析和數(shù)值計(jì)算的開(kāi)拓者和奠基人。1940年，開(kāi)始研究彈道的數(shù)學(xué)模型與數(shù)值計(jì)算。1946年成為T(mén)uring的助手，協(xié)助設(shè)計(jì)PilotACE計(jì)算機(jī)。1969年他當(dāng)選為英國(guó)皇家學(xué)會(huì)院士；1970年工業(yè)和應(yīng)用數(shù)學(xué)會(huì)(s1am)授予他馮·諾伊曼獎(jiǎng)；1987年他獲得美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)的chauvenet獎(jiǎng)。著名的美國(guó)阿爾貢國(guó)家實(shí)驗(yàn)室曾聘威爾金森為榮譽(yù)高級(jí)研究員并兩次向他授獎(jiǎng)。

Wilkinson在數(shù)值分析研究領(lǐng)域作出了杰出貢獻(xiàn)，是數(shù)值計(jì)算的早期開(kāi)拓者，其工作加速了數(shù)字計(jì)算機(jī)(在科學(xué)計(jì)算中)的使用。他研究的主要問(wèn)題是線性代數(shù)方程組和矩陣特征值問(wèn)題的數(shù)值解法，特別是他的向后誤差分析法(backwarderroranalysis)的創(chuàng)造性工作奠定了數(shù)值分析和數(shù)值計(jì)算早期的理論基礎(chǔ)。

1975年J.H.Wilkinson成為第五位圖靈獎(jiǎng)獲得者。教材及參考資料清華大學(xué)出版社《數(shù)值分析》

李慶揚(yáng)王能超易大義編數(shù)值分析機(jī)械工業(yè)出版社

NumericalAnalysis

DavidKincaidWardCheney著浙江大學(xué)《數(shù)值分析》華中科技大學(xué)《數(shù)值分析》一、誤差來(lái)源與分類(lèi)在建立數(shù)學(xué)模型過(guò)程中,要將復(fù)雜的現(xiàn)象抽象歸結(jié)為數(shù)學(xué)模型,往往要忽略一些次要因素的影響,而對(duì)問(wèn)題作一些簡(jiǎn)化,因此和實(shí)際問(wèn)題有一定的區(qū)別.—模型誤差在建模和具體運(yùn)算過(guò)程中所用的數(shù)據(jù)往往是通過(guò)觀察和測(cè)量得到的,由于精度的限制,這些數(shù)據(jù)一般是近似的,即有觀測(cè)誤差求近似解——方法誤差(截?cái)嗾`差）例如，當(dāng)函數(shù)用Taylor多項(xiàng)式

近似代替時(shí)，數(shù)值方法的截?cái)嗾`差是在與0之間截?cái)嗾`差的大小直接影響計(jì)算結(jié)果的精度和計(jì)算工作量，是數(shù)值計(jì)算中必須考慮的一類(lèi)誤差.機(jī)器字長(zhǎng)有限——

舍入誤差

用計(jì)算機(jī)、計(jì)算器和筆算，都只能用有限位小數(shù)來(lái)代替無(wú)窮小數(shù)或用位數(shù)較少的小數(shù)來(lái)代替位數(shù)較多的有限小數(shù)，如：四舍五入后……在數(shù)值計(jì)算方法中，主要研究截?cái)嗾`差和舍入誤差（包括初始數(shù)據(jù)的誤差）對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響！二、誤差的概念1、絕對(duì)誤差與絕對(duì)誤差限例:若用以厘米為最小刻度的尺子去量桌子的長(zhǎng)，大約為1.56米，求1.56米的絕對(duì)誤差。1.56米的絕對(duì)誤差=？不知道！定義：設(shè)是準(zhǔn)確值，為

的一個(gè)近似值，稱是近似值的絕對(duì)誤差,簡(jiǎn)稱為誤差。

但實(shí)際問(wèn)題往往可以估計(jì)出不超過(guò)某個(gè)正數(shù)，即則稱為絕對(duì)誤差限，有了絕對(duì)誤差限就可以知道的范圍為即落在內(nèi)。在應(yīng)用上，常常采用下列寫(xiě)法來(lái)刻劃的精度。例1設(shè)x

=

=3.1415926…近似值x*=3.14,它的絕對(duì)誤差是0.0015926…，有

例3而近似值x*

=3.1415，它的絕對(duì)誤差是0.0000926…，有

x-x*=0.0000926…

0.0001=0.110-3可見(jiàn)，絕對(duì)誤差限不是唯一的，但越小越好??

x-x*=0.0015926…0.002=0.210-2例2又近似值x*

=3.1416，它的絕對(duì)誤差是0.0000074…，有

x-x*=0.0000074…0.000008=0.810-5只用絕對(duì)誤差還不能說(shuō)明數(shù)的近似程度,例如甲打字每100個(gè)錯(cuò)一個(gè),乙打字每1000個(gè)錯(cuò)一個(gè),他們的誤差都是錯(cuò)一個(gè),但顯然乙要準(zhǔn)確些,這就啟發(fā)我們除了要看絕對(duì)誤差外,還必須顧及量的本身。2、相對(duì)誤差與相對(duì)誤差限定義：設(shè)是準(zhǔn)確值，是近似值，是近似值的誤差，通常取為近似值的相對(duì)誤差，記作，稱

一般情況下是不知道的，怎么辦？事實(shí)上，當(dāng)較小時(shí)是的二次方項(xiàng)級(jí),故可忽略不計(jì).相應(yīng)地，若正數(shù)滿足

則稱為的相對(duì)誤差限。例4.

甲打字每100個(gè)錯(cuò)一個(gè)，乙打字每1000個(gè)錯(cuò)一個(gè)，求其相對(duì)誤差解：根椐定義:甲打字時(shí)的相對(duì)誤差

乙打字時(shí)的相對(duì)誤差3、有效數(shù)字定義：如果則說(shuō)近似表示準(zhǔn)確到小數(shù)后第位，并從這由上述定義第位起直到最左邊的非零數(shù)字之間的一切數(shù)字都稱為有效數(shù)字，并把有效數(shù)字的位數(shù)稱為有效位數(shù)。定義:若近似值的誤差限是某一位的半個(gè)單位,一般來(lái)說(shuō)，有位有效數(shù)字。則稱其中，是1到9中的一個(gè)數(shù)字；是0到9中一個(gè)數(shù)字；為整數(shù)，且該位到的左邊第一位非零數(shù)字共有位,就說(shuō)有位有效數(shù)字。解：3.141592…=0.3141592…×3.142=0.3142×

m=1|π-3.142|=|0.3141592…×-0.3142×

|＜0.000041×＜0.0005=×

m–n=1–n

=-3所以n=4，具有4位有效數(shù)字.例5.3.142作為π的近似值時(shí)有幾位有效數(shù)字.

-3.141=0.3141592…101

-0.3141101

≤0.0000592101

<0.005=1/210-2

m=1,m-n=1-n=-2,

所以n=3具有3位有效數(shù)字.例6.當(dāng)取3.141作為的近似值時(shí)再如3.1416作為

的近似值時(shí)

-3.1416=0.3141592…101-0.31416101

≤0.00000074101

＝0.0000074<0.00005<0.510-4

m-n=1-n=-4,所以n=5。因此，x*=

3.1416有5位有效數(shù)字。關(guān)于有效數(shù)字說(shuō)明：①用四舍五入取準(zhǔn)確值的前n位x*作為近似值,則x*必有n位有效數(shù)字。如3.142作為的近似值有4位有效數(shù)字，而3.141有3位有效數(shù)字.②有效數(shù)字相同的兩個(gè)近似數(shù)，絕對(duì)誤差不一定相同。例如，設(shè)x1*=12345,設(shè)x2*=12.345,兩者均有5位有效數(shù)字但絕對(duì)誤差不一樣

x-x1*=x-12345≤0.5=1/2100

x-x2*=x-12.345≤0.0005=1/210-3③把任何數(shù)乘以10p(p=0,1,…)不影響有效位數(shù).4、誤差限與有效數(shù)字的關(guān)系定理1：

對(duì)于用式表示的近似數(shù)，若具有位有效數(shù)字，則其相對(duì)誤差為:證:∵x*

=0.a1a2…an10m

∴

x*

≥a110m-1

又∵x*具有n位有效數(shù)字,則

x-x*

≤1/210m-n一般應(yīng)用中可以取

r*=1/2a110-(n-1),n越大,

r*越小∴有效數(shù)字越多，相對(duì)誤差就越小.例7:取3.14作為的四舍五入的近似值時(shí)，求其相對(duì)誤差限。解：3.14=0.314101a1=3m=1∵四舍五入的近似值,其各位都是有效數(shù)字∴n=3

r*=1/2a110-(n-1)=1/2*310-2=0.17%定理2:若近似數(shù)x*=0.x1x2…xn10m相對(duì)誤差

則該近似數(shù)具有n位有效數(shù)字.證:∵x*=0.x1x2…xn10m

∴

x*≤(x1+1)10m-1由有效數(shù)字定義可知,x*具有n位有效數(shù)字。證畢