數(shù)值分析 第一章緒論

數(shù)值計算方法第一章緒論應(yīng)用問題舉例1.湖水在夏天會出現(xiàn)分層現(xiàn)象，接近湖面溫度較高，越往下溫度變低，這種上熱下冷的現(xiàn)象影響了水的對流和混合過程，使得下層水域缺氧，導(dǎo)致水生魚類的死亡。如果把水溫看成深度的函數(shù)T(x)，有某個湖的觀測數(shù)據(jù)如下：深度（M）46674195014221634水溫（oC）7.044.283.402.542.13

根據(jù)這些數(shù)據(jù)，希望合理地估計出其它深度（如500米，600米，1000米…）處的水溫，也就是說我們可根據(jù)給定的數(shù)據(jù)能求出T(x)。2、鋁制波紋瓦的長度問題

建筑上用的一種鋁制波紋瓦是用一種機(jī)器將一塊平整的鋁板壓制而成的.假若要求波紋瓦長4英尺,每個波紋的高度(從中心線)為1英寸,且每個波紋以近似2π英寸為一個周期.求制做一塊波紋瓦所需鋁板的長度L.

這個問題就是要求由函數(shù)f(x)=sinx

給定的曲線從x=0到x=48英寸間的弧長L.由微積分學(xué)我們知道,所求的弧長可表示為:上述積分稱為第二類橢圓積分,它不能用普通方法來計算.數(shù)值計算方法的意義、內(nèi)容與方法軟件的核心就是算法。20世紀(jì)最偉大的科學(xué)技術(shù)發(fā)明---計算機(jī)

計算機(jī)是對人腦的模擬，它強(qiáng)化了人的思維智能；算法猶如樂譜，軟件猶如CD盤片，而硬件如同CD唱機(jī)。數(shù)值計算方法是計算數(shù)學(xué)的一個主要組成部分.“什么是數(shù)值計算方法？”數(shù)值計算方法又稱計算方法或數(shù)值分析，是一門與計算機(jī)應(yīng)用密切結(jié)合的實用性很強(qiáng)的數(shù)學(xué)課程，它專門研究各種數(shù)學(xué)問題的一類近似解法——數(shù)值方法，即從一組原始數(shù)據(jù)（如模型中的某些參數(shù)）出發(fā)，按照確定的運(yùn)算規(guī)則進(jìn)行有限步運(yùn)算，最終獲得數(shù)學(xué)問題數(shù)值形式的滿足精度要求的近似解。數(shù)值計算方法課程主要討論如何構(gòu)造求數(shù)學(xué)模型近似解的算法，討論算法的數(shù)學(xué)原理、誤差和復(fù)雜性，配合程序設(shè)計進(jìn)行計算試驗并分析試驗結(jié)果。

與純數(shù)學(xué)的理論方法不同，用數(shù)值計算方法所求出的結(jié)果一般不是解的精確值或者準(zhǔn)確的解析表達(dá)式，而是所求真解的某些近似值或近似曲線。數(shù)值計算方法的主要特點借助計算機(jī)提供切實可行的數(shù)學(xué)算法.想的精確度;收斂且穩(wěn)定;誤差可以分析或估計.所提出的算法必須具有：可靠的理論分析;理時間復(fù)雜性好__指節(jié)省時間；空間復(fù)雜性好__指節(jié)省存儲量。計算復(fù)雜性好

通過數(shù)值實驗證明算法行之有效.采用“近似替代”方法→逼近采用“構(gòu)造性”方法采用“離散化”方法

把求連續(xù)變量的問題轉(zhuǎn)化為求離散變量的問題采用“遞推化”方法

復(fù)雜的計算歸結(jié)為簡單過程的多次重復(fù)，易于用循環(huán)結(jié)構(gòu)來實現(xiàn)（迭代法）。采用各種搜索方法構(gòu)造數(shù)值算法主要手段如何學(xué)好數(shù)值計算方法？1.認(rèn)識建立算法和對每個算法進(jìn)行理論分析是基本任務(wù)，主動適應(yīng)“公式多”的特點；

2.注重各章建立算法的問題的提法，搞清問題的基本提法，逐步深入；

3.理解每個算法建立的數(shù)學(xué)背景，數(shù)學(xué)原理和基本線索，對最基本的算法要非常熟悉；

4.認(rèn)真進(jìn)行數(shù)值計算的訓(xùn)練，學(xué)習(xí)各章算法完全是為用于實際計算，必須真會算。威爾金森（JamesHardy.Wilkinson，1919-1986），Wilkinson是數(shù)值分析和數(shù)值計算的開拓者和奠基人。1940年，開始研究彈道的數(shù)學(xué)模型與數(shù)值計算。1946年成為Turing的助手，協(xié)助設(shè)計PilotACE計算機(jī)。1969年他當(dāng)選為英國皇家學(xué)會院士；1970年工業(yè)和應(yīng)用數(shù)學(xué)會(s1am)授予他馮·諾伊曼獎；1987年他獲得美國數(shù)學(xué)會的chauvenet獎。著名的美國阿爾貢國家實驗室曾聘威爾金森為榮譽(yù)高級研究員并兩次向他授獎。

Wilkinson在數(shù)值分析研究領(lǐng)域作出了杰出貢獻(xiàn)，是數(shù)值計算的早期開拓者，其工作加速了數(shù)字計算機(jī)(在科學(xué)計算中)的使用。他研究的主要問題是線性代數(shù)方程組和矩陣特征值問題的數(shù)值解法，特別是他的向后誤差分析法(backwarderroranalysis)的創(chuàng)造性工作奠定了數(shù)值分析和數(shù)值計算早期的理論基礎(chǔ)。

1975年J.H.Wilkinson成為第五位圖靈獎獲得者。教材及參考資料清華大學(xué)出版社《數(shù)值分析》

李慶揚(yáng)王能超易大義編數(shù)值分析機(jī)械工業(yè)出版社

NumericalAnalysis

DavidKincaidWardCheney著浙江大學(xué)《數(shù)值分析》華中科技大學(xué)《數(shù)值分析》一、誤差來源與分類在建立數(shù)學(xué)模型過程中,要將復(fù)雜的現(xiàn)象抽象歸結(jié)為數(shù)學(xué)模型,往往要忽略一些次要因素的影響,而對問題作一些簡化,因此和實際問題有一定的區(qū)別.—模型誤差在建模和具體運(yùn)算過程中所用的數(shù)據(jù)往往是通過觀察和測量得到的,由于精度的限制,這些數(shù)據(jù)一般是近似的,即有觀測誤差求近似解——方法誤差(截斷誤差）例如，當(dāng)函數(shù)用Taylor多項式

近似代替時，數(shù)值方法的截斷誤差是在與0之間截斷誤差的大小直接影響計算結(jié)果的精度和計算工作量，是數(shù)值計算中必須考慮的一類誤差.機(jī)器字長有限——

舍入誤差

用計算機(jī)、計算器和筆算，都只能用有限位小數(shù)來代替無窮小數(shù)或用位數(shù)較少的小數(shù)來代替位數(shù)較多的有限小數(shù)，如：四舍五入后……在數(shù)值計算方法中，主要研究截斷誤差和舍入誤差（包括初始數(shù)據(jù)的誤差）對計算結(jié)果的影響！二、誤差的概念1、絕對誤差與絕對誤差限例:若用以厘米為最小刻度的尺子去量桌子的長，大約為1.56米，求1.56米的絕對誤差。1.56米的絕對誤差=？不知道！定義：設(shè)是準(zhǔn)確值，為

的一個近似值，稱是近似值的絕對誤差,簡稱為誤差。

但實際問題往往可以估計出不超過某個正數(shù)，即則稱為絕對誤差限，有了絕對誤差限就可以知道的范圍為即落在內(nèi)。在應(yīng)用上，常常采用下列寫法來刻劃的精度。例1設(shè)x

=

=3.1415926…近似值x*=3.14,它的絕對誤差是0.0015926…，有

例3而近似值x*

=3.1415，它的絕對誤差是0.0000926…，有

x-x*=0.0000926…

0.0001=0.110-3可見，絕對誤差限不是唯一的，但越小越好??

x-x*=0.0015926…0.002=0.210-2例2又近似值x*

=3.1416，它的絕對誤差是0.0000074…，有

x-x*=0.0000074…0.000008=0.810-5只用絕對誤差還不能說明數(shù)的近似程度,例如甲打字每100個錯一個,乙打字每1000個錯一個,他們的誤差都是錯一個,但顯然乙要準(zhǔn)確些,這就啟發(fā)我們除了要看絕對誤差外,還必須顧及量的本身。2、相對誤差與相對誤差限定義：設(shè)是準(zhǔn)確值，是近似值，是近似值的誤差，通常取為近似值的相對誤差，記作，稱

一般情況下是不知道的，怎么辦？事實上，當(dāng)較小時是的二次方項級,故可忽略不計.相應(yīng)地，若正數(shù)滿足

則稱為的相對誤差限。例4.

甲打字每100個錯一個，乙打字每1000個錯一個，求其相對誤差解：根椐定義:甲打字時的相對誤差

乙打字時的相對誤差3、有效數(shù)字定義：如果則說近似表示準(zhǔn)確到小數(shù)后第位，并從這由上述定義第位起直到最左邊的非零數(shù)字之間的一切數(shù)字都稱為有效數(shù)字，并把有效數(shù)字的位數(shù)稱為有效位數(shù)。定義:若近似值的誤差限是某一位的半個單位,一般來說，有位有效數(shù)字。則稱其中，是1到9中的一個數(shù)字；是0到9中一個數(shù)字；為整數(shù)，且該位到的左邊第一位非零數(shù)字共有位,就說有位有效數(shù)字。解：3.141592…=0.3141592…×3.142=0.3142×

m=1|π-3.142|=|0.3141592…×-0.3142×

|＜0.000041×＜0.0005=×

m–n=1–n

=-3所以n=4，具有4位有效數(shù)字.例5.3.142作為π的近似值時有幾位有效數(shù)字.

-3.141=0.3141592…101

-0.3141101

≤0.0000592101

<0.005=1/210-2

m=1,m-n=1-n=-2,

所以n=3具有3位有效數(shù)字.例6.當(dāng)取3.141作為的近似值時再如3.1416作為

的近似值時

-3.1416=0.3141592…101-0.31416101

≤0.00000074101

＝0.0000074<0.00005<0.510-4

m-n=1-n=-4,所以n=5。因此，x*=

3.1416有5位有效數(shù)字。關(guān)于有效數(shù)字說明：①用四舍五入取準(zhǔn)確值的前n位x*作為近似值,則x*必有n位有效數(shù)字。如3.142作為的近似值有4位有效數(shù)字，而3.141有3位有效數(shù)字.②有效數(shù)字相同的兩個近似數(shù)，絕對誤差不一定相同。例如，設(shè)x1*=12345,設(shè)x2*=12.345,兩者均有5位有效數(shù)字但絕對誤差不一樣

x-x1*=x-12345≤0.5=1/2100

x-x2*=x-12.345≤0.0005=1/210-3③把任何數(shù)乘以10p(p=0,1,…)不影響有效位數(shù).4、誤差限與有效數(shù)字的關(guān)系定理1：

對于用式表示的近似數(shù)，若具有位有效數(shù)字，則其相對誤差為:證:∵x*

=0.a1a2…an10m

∴

x*

≥a110m-1

又∵x*具有n位有效數(shù)字,則

x-x*

≤1/210m-n一般應(yīng)用中可以取

r*=1/2a110-(n-1),n越大,

r*越小∴有效數(shù)字越多，相對誤差就越小.例7:取3.14作為的四舍五入的近似值時，求其相對誤差限。解：3.14=0.314101a1=3m=1∵四舍五入的近似值,其各位都是有效數(shù)字∴n=3

r*=1/2a110-(n-1)=1/2*310-2=0.17%定理2:若近似數(shù)x*=0.x1x2…xn10m相對誤差

則該近似數(shù)具有n位有效數(shù)字.證:∵x*=0.x1x2…xn10m

∴

x*≤(x1+1)10m-1由有效數(shù)字定義可知,x*具有n位有效數(shù)字。證畢