固體物理學概念和習題答案

固體物理學》概念和習題固體物理基本概念和思考題：給出原胞的定義。答：最小平行單元。給出維格納-賽茨原胞的定義。答：以一個格點為原點，作原點與其它格點連接的中垂面（或中垂線），由這些中垂面（或中垂線）所圍成的最小體積（或面積）即是維格納-賽茨原胞。二維布喇菲點陣類型和三維布喇菲點陣類型。請描述七大晶系的基本對稱性。請給出密勒指數(shù)的定義。典型的晶體結(jié)構(gòu)（簡單或復式格子，原胞，基矢，基元坐標）。給出三維、二維晶格倒易點陣的定義。請給出晶體衍射的布喇格定律。給出布里淵區(qū)的定義。晶體的解理面是面指數(shù)低的晶面還是指數(shù)高的晶面？為什么？寫出晶體衍射的結(jié)構(gòu)因子。請描述離子晶體、共價晶體、金屬晶體、分子晶體的結(jié)合力形式。寫出分子晶體的雷納德-瓊斯勢表達式，并簡述各項的來源。請寫出晶格振動的波恩-卡曼邊界條件。請給出晶體彈性波中光學支、聲學支的數(shù)目與晶體原胞中基元原子數(shù)目之間的關系以及光學支、聲學支各自的振動特點。（晶體含N個原胞，每個原胞含p個原子，問該晶體晶格振動譜中有多少個光學支、多少個聲學支振動模式？）16.給出聲子的定義請描述金屬、絕緣體熱容隨溫度的變化特點。在晶體熱容的計算中，愛因斯坦和德拜分別做了哪些基本假設。簡述晶體熱膨脹的原因。請描述晶體中聲子碰撞的正規(guī)過程和倒逆過程。分別寫出晶體中聲子和電子分別服從哪種統(tǒng)計分布（給出具體表達式）？請給出費米面、費米能量、費米波矢、費米溫度、費米速度的定義。寫出金屬的電導率公式。給出魏德曼-夫蘭茲定律。簡述能隙的起因。請簡述晶體周期勢場中描述電子運動的布洛赫定律。請給出在一級近似下，布里淵區(qū)邊界能隙的大小與相應周期勢場的傅立葉分量之間的關系。給出空穴概念。29?請寫出描述晶體中電子和空穴運動的朗之萬（Langevin）方程。描述金屬、半導體、絕緣體電阻隨溫度的變化趨勢。解釋直接能隙和間接能隙晶體。請說明本征半導體與摻雜半導體的區(qū)別。請解釋晶體中電子的有效質(zhì)量的物理意義。給出半導體的電導率。說明半導體的霍爾效應與那些量有關。請解釋德哈斯-范阿爾芬效應。什么叫費米液體？請給出純金屬的電導率隨溫度的關系。請解釋刃位錯、螺位錯、晶界和小角晶界并畫出示意圖。請列出順磁性、抗磁性的主要區(qū)別。請列出鐵磁性固體的主要特征。請列出亞鐵磁性與反鐵磁性的主要區(qū)別。什么是格波和聲子？晶體中聲子有多少種可能的量子態(tài)？44.請說明Debye熱容量模型的基本假設，為什么說Debye熱容量模型在低溫下是正確的？45.什么是近自由電子近似和緊束縛近似？46.請用能帶論解釋晶體的導電性，并試述導體、半導體、絕緣體能帶的特點？47.什么是n型半導體和p型半導體？什么是本征半導體？48.試分析晶格熱振動引起晶體熱膨脹的原因以及限制聲子自由程的原因。固體物理學》習題注意：固體物理習題集（黃波等編寫）上波矢q的定義（q=1/入）與課堂上所用的波矢k相差2n（k=2n/入）；另外習題集上的量綱多采用厘米克秒制，注意其與國際單位制之間的轉(zhuǎn)換1.在14種布喇菲格子中，為什么沒有底心四方、面心四方和底心立方格子？n圏代n圏代農(nóng)舊匸軸時視肝觀瘧到的體心匹方的骼點.井亦：樓點②丹離由搟點①組成的如匸8?則點陣溝hLL：如閣所示.為E經(jīng)忡長的bCGjg它足飾此四月點牢如圖⑹G用皿氣卷同樣的直肌只足觀媒兇瀚度托同.圖中①構(gòu)感四店百心辭點』^—4-面心拮點啊的押禽肝二JL”如(7工"=二,.則點.卉？JCg對丁一軀的廠血圖⑹2-E是很?軸仲設后的點陣，因此相同閔點陣從「門足體己點PE.從宀」若足而心點.陣-吉質(zhì)上相同，都祿人畔社四方點昨"2＞奘似的底業(yè)四占和佶單囚方足同一刊點陣°防底叭也F不再；1冇工去對做屯所￡下呑在：2.在六角晶系中常用4個指數(shù)(h,k,i,l)來表示，如圖，前三個指數(shù)表示晶面族中最靠近原點的晶面在互成120°的共平面軸a,a,a上的截距為：a/h,a/k,a/i，第1231234個指數(shù)表示該晶面在六重軸c上截距為c/l證明：i=-(h+k)并將下列用(h,k,l)表示的晶面改用(h,k,i,l)表示：(001)(33)(10)(33)(100)(010)^3)0答：根據(jù)幾何學可知，三維空間獨立的坐標軸最多不超過三個。前三個指數(shù)中只有兩個是獨立的，它們之間存在以下關系:i=-(h+k)o(0001),(1323),(1100),(3213),(1010),(0110),(2133)o3?證明理想六角密堆積結(jié)構(gòu)的c/a比是^=1.633，如

果c/a值比這個值大得多，可以把晶體視為由原子密集平面所組成，這些面是疏松堆垛的。A7I址明］如右圈序示.從懇內(nèi)總近鄰原于間砸為祥?A7I址明］如右圈序示.從懇內(nèi)總近鄰原于間砸為祥?而相鄰兩層的總近舞聯(lián)子阿和為：d豈心時崗蟲理想密坯極站構(gòu)，此時冇；”由此弊Hh二冃r=->1.633時,則廳示原子平而的懇阿不較理懸站和的上的距大,禺此忌閉雉朝鄧夠緊密；在單晶硅中，哪個晶面的原子面密度最大？在面心立方晶格中，哪個晶面的原子面密度最大？答：單晶硅中，晶面上的原子密度是(111)>(110)>(100)；面心立方晶格中，晶面原子排列密度(111)>(100)>(110)。如圖的兩種正六邊形(邊長為a)平面格子是布喇菲格子還是復式格子？應如何選取其基矢和原胞？答：個)是布喇菲格子,(切是復式格子2222設心=ak丄V3十*1rIK2￡a：)_4兀(a/3：1?1石十+/mV滋一M-■117六角空間點陣，六角空間點陣的基矢可以取為：(1)證明：原胞的體積是(2)證明：倒易點陣的基矢是：月=(2)證明：倒易點陣的基矢是：月=輕走+更y1/3QCLZ；亠_；因此直接點陣就是它本身的點陣，但軸經(jīng)過了轉(zhuǎn)動；(3)描述并繪出六角空間點陣的第一布里淵區(qū)S：根據(jù)正格矢與倒格矢之間的關系，可得1二塔于為斗右“7門h：i一迺2那么倒格子朗基矢粉=呼1=芝心竺l^(axb)o7?證明第一布里淵區(qū)的體積是的體積。此處▼「是晶體初基晶胞證明,根據(jù)正.倒格子之間的關系.2兀|込;c血］幾是正格子初基原胞的林機第一布■里淵區(qū)的閣映就為倒格子原胞的林機即8.金剛石的晶體結(jié)構(gòu)是一類典型的結(jié)構(gòu)，如果晶胞是慣用立方體，基元由八個原子組成；給出這個基元的結(jié)構(gòu)因子；求結(jié)構(gòu)因子的諸零點并證明金剛石結(jié)構(gòu)所允許的反射滿足h+k+l=4n,且所有指數(shù)都是偶數(shù)，n是任何整數(shù)；否則所有指數(shù)都是奇數(shù)。體心立方、面心立方晶胞的結(jié)構(gòu)因子和消光條件。［如：面心立方晶體慣用晶胞基元包含幾個原子，寫出其基元原子的位置和其衍射的結(jié)構(gòu)因子，并給出消光條件］9?如果a表示晶格常數(shù)，0表示入射光束與衍射光束之間的交角，證明對于簡

單立方晶格，式中（hkI）為密勒指數(shù)，射光波長10.畫出體心立方和面心立方晶體結(jié)構(gòu)的金屬在（100）,（110）,（111）為入面上的原子排列11.單立方晶格，式中（hkI）為密勒指數(shù)，射光波長10.畫出體心立方和面心立方晶體結(jié)構(gòu)的金屬在（100）,（110）,（111）為入面上的原子排列11.若一晶體的總互作用能可表示為試求:⑴平衡間距r0；⑵結(jié)合能W；（3）體彈性模量;(4)若m=2,n=10,r°=3,W=4eV,求a、P的值。M：⑴由平齢件（讐）=簫一豈亠得平阿間距<2）將理輝并品悴0加冇'貫他原亍対果一個原子的和互作川則系統(tǒng)總的內(nèi)能為對朋有原子求和（皿=弓陸）=缶〔1_?）<35體超怖積認尸=腫?站中N兇原T數(shù)?r鮎e砧櫛結(jié)構(gòu)翎節(jié):fi黃的常數(shù)體彈性模込K=(V~lv^體彈性模込K=(V~lv^}12.（黃昆教材2.612.（黃昆教材2.6）用雷納德-瓊斯勢計算Ne在體心立方和面心立方結(jié)構(gòu)中的結(jié)合能之比。其屮N為|譏怖屮的總原于數(shù)a山平if乗仲山平if乗仲au可和2442代入書中給出的數(shù)堀me=0.003lek.cr=2.74/i.me=12.13.4^'=14.45-A^cc1,Afc<:=12.25.轉(zhuǎn)（黃昆教材2.7）對于也，從氣體的測量得到雷納德-瓊斯勢中的參數(shù)為：￡=50x10-23J，a=2.96A，計算一摩爾氫原子結(jié)合成面心立方固體分子氫時的結(jié)合能。(A=12.13,A=14.45)（固體物理習題集1.15和黃昆教材1.11）證明六角晶體的介電常數(shù)張量為

FlC0i亍0=主0<23='：：'柿ri珀-J一-()'I~FlC0i亍0=主0<23='：：'柿l：：l―r0l：：l―叩菲||“一0000（固體物理習題集2.1）ap?。◤Sj=I_|_設兩原子間的互作用能可表示為：式中，第一項為引力能；第二項為排斥能；a、p均為正常數(shù)。證明，要使這兩原子系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，必須n>m。（固體物理習題集2.2）ap'II設兩原子間的互作用能可由：表述。若m=2,n=10，而且兩原子構(gòu)成穩(wěn)定的分子，其核間距離為：3x1O-iom,離解能為4eV試計算：⑴a和p；（2）使該分子分裂所必須的力和當分裂發(fā)生時原子核間的臨界間距；（3）使原子間距比平衡距離減少10%時所需要的壓力。（固體物理習題集2.11）Ane2u（K）=A——ia——有一晶體，平均每對離子的互作用能為：式中，R是最RR近鄰離子間距；a是馬德隆常數(shù)；入、A為常數(shù)。若n=10,a=7.5,平衡時最近鄰n距離R°=2.81x10-10m。求由2N=2x1022個離子組成的這種晶體平衡時的總互作用能。（固體物理習題集2.21）設LiF晶體（NaCl結(jié)構(gòu)）的總互作用能可寫成:，式中，N、Z、R分別代表晶體的離子總數(shù)、任一離子的最近鄰數(shù)和離子間的最短間距；a是馬德隆常數(shù)；入、P為參量。求平衡時最近鄰間距R、總結(jié)合能U和體積彈性模00量B的表達式。（固體物理習題集2.32）設NaCl晶體的互作用能可表示為：式中的N、R、p、A分別為晶體中的離子數(shù)、近鄰離子間距、排斥核半徑和排斥能參數(shù)。實驗測定，NaCl晶體近鄰離子的平衡間距R0=2.82x1O-i0m,體積彈性模量K=2.4x10iidyn/cm2,已知NaCI結(jié)構(gòu)的馬德隆常數(shù)a=1.7476,試求NaCI晶體的排斥核半徑p和排斥能參數(shù)A。20.2N個正負離子組成一個一維鏈晶體。平衡時兩個最近鄰正負離子間距為R。試0證：⑴該晶體的馬德隆常數(shù)為M=2ln2（2）自然平衡狀態(tài)下的結(jié)合能為。_q+q0-~~9—?——0—?——O—?——G-2Ro-Ro0Ro2F?q證鍛，擔一了口王口兩和齋二叩習卅列貧無限衣羽高m色啟三一為賈亍件妾譽離二（這樣馬德隆常數(shù)中的正負號可以這樣取,即遇正離子取正號,遇員離子取負號兒用『表亍?！父叨g即雋，于是2-=工‘旦=2[丄丄十D+_」廠y廠2「3廠4「麗邊棧囚—2^囚勿仔蘭看両-r目爭距窩一；的有干，一十在參芝戾子右面，一-，在三右面.1-p—-I-歳對一辺敦和忙忘乘厶m1-p—-I-a=2[1—丄十丄―23當++=n2/.J-2x221.（固體物理習題集3.5）已知由N個相同原子組成的一維單原子晶格格波的密度可以表示為式中wm是格波的最高頻率。求證它的振動模總數(shù)恰好等N22.（固體物理習題集3.8）設有一維原子鏈（如圖），第2n個原子與第2n+1個原子之間的恢復力常數(shù)為P，第2n個原子與第2n-1個原子之間的恢復力常數(shù)為卩（卩＜?。設兩種原子的質(zhì)量相等，最近鄰原子間距均為a,試求晶格振動的振動譜以及波矢q=0和q=±L/4a時的振動頻率。2n-l2n2n+lB對BBs23.（固體物理習題集3.14）設有一維雙原子鏈，鏈上最近鄰原子間的恢復力常數(shù)交錯地等于P和10P。若兩種原子的質(zhì)量相等，并且最近鄰間距為a/2,試求在波矢k=0和k=n/a處的3（k），并畫出其色散關系曲線。Us-1V￡-iU3v3U3-1p10(3plOp總r總r的運功77程應是即mx-2n=廡嘰“u|Ji—1血』y應丄乂11—QGj*ij1i—i.J*h)扌格披解，令扌格披解，令列=&，從」:B有非零解的系數(shù)行列式等于零的條件可得他一硏一屁加尹門+嚴％皿+10廠計巧卜0可解岀亦=并卜-"計+1）n戸議頭吳孫下圖f7=0EJ,=I?"片二■松L=0q=±—3寸，cos^t?=—1!q=p20&6‘=V2（x^24.（固體物理習題集3.21）考慮一個由相同原子組成的二維正方格子的橫振動。設原子質(zhì)量為M,點陣常數(shù)為a,最近鄰原子間的恢復力常數(shù)為0,試求：1）格波的色散關系；（2）長波極限下格波的傳播速度25.邊長為L的正方形二維晶體，含N個原胞，試求：（1）該點陣振動的模式密度D（3）；（2）德拜截止頻率VD和德拜溫度0D；（3）點陣振動內(nèi)能表達式和低溫下比熱表達式。（其中）（固體物理習題集3.30）已知一個頻率為3的諧振動在溫度T下的平均能量i試用愛因斯坦模型求出由N個原子組成的單原子晶體晶格振動的總能量，并求其在高溫和低溫極限情況下的表達式。（固體物理習題集3.53）設一維原子鏈中，兩原子的互作用能由下式表示式中x為相鄰原子間距。求原子鏈的線脹系數(shù)a28.（固體物理習題集3.56）設某離子晶體中離子間的互作用能

式中，B為待定常數(shù)；r為近鄰離子間距。求該離子晶體的線脹系數(shù)。已知近鄰離子的平衡間距為3x1O-1om。嗆=1.3SlxlO-1%^/Z4穢2"29.具有簡立方結(jié)構(gòu)的晶體，原子間距為2A，由于晶體中非諧作用的存在，一但個沿［1,1,0］方向傳播的波矢為1.3x10i0m-1的聲子同另一個波矢大小相等，沿［1,-1,0］方向傳播的聲子相互作用，合并成第三個聲子，試求新形成的第三個聲子的波矢。30.（固體物理習題集5.10）已知金屬銫的EF=1.55eV，求每立方厘米的銫晶體中所含的平均電子數(shù)。31.（固體物理習題集3.14）證明：在T=0K時，費米能級E0f處的能態(tài)密度為式中N為金屬中的自由電子總數(shù)證明：在丘空間屮，在周期性邊界條件下，以丘為半.徑的球內(nèi),電子的數(shù)目為(記及門社八4■汀3n=2V——K3閔此’dn=V■8^^dKtK-己知□Fl取廣的能星-為：￡--——.代入門)式得’2m(1)(2^02;dn=4^-V、E~dE同此電子按照能屋井布的狀態(tài)密度:..thi(2^.)2；N(E)-——-4.tV-―EJdEh為T=OK時，仝部電于處丁-費米球內(nèi)「設費米球半徑為則応總數(shù)劃4頁1N=2V■——KF=2V■33ir(4)3h用W試除(3)式’井稍加整理便得到下式：1E丫FF)3/V3運上式是以遜子的赍米能級為參承的能態(tài)密度表達式.肖E=E；時即得:叱)=釜32.(固體物理習題集5.16)證明：低溫下金屬中電子氣的費米能其中為絕對零度的費米能，n為電子濃度。33.（固體物理習題集5.22）證明，在T=OK時，金屬中自由電子氣的壓強和體積彈性模量分別為：式中Ef。為T=0K時的費米能；V、N分別代表金屬的體積和自由電子總數(shù)。已知鋰（體心立方結(jié)構(gòu)）的晶格常數(shù)a=3.5x10-iom，費米能Ef°=7.6x10-i9J，試估計鋰中自由電子對體積彈性模量的貢獻。'34.（固體物理習題集5.25）證明：（1）T=0K時，金屬中自由電子的能量密度Eo47TI2kpV~5m式中，kF為費米球半徑，V為金屬體積。（2）金屬中電子的平均能量E0_3l2^N10771

證明：(1)處于k狀態(tài)的自由電子能量為丘二莎-，k為電子液矢。當T=OK時，電子全部占據(jù)費密球內(nèi)各態(tài)°在k空間中，狀態(tài)密度等丁V,計入自旋，在波矢k-k+dk的球殼內(nèi)的狀態(tài)數(shù)為2#(4戚三必)，由此得到，費密球內(nèi)電子的總能量式中氣是費密球半徑口當V比較大時，波矢用在厲空間的分布非常密集，可以看作準連續(xù)，上式的求和可用積分代替,”貞2m由此得到空間能量密度為V5m因為費密球內(nèi)電子的總數(shù)把⑵式代入⑴式便得電子的平均能量3h2k2N當然，上式可應用E；=學二化簡為習慣的表示式35.(固體物理習題集5.12)GG銅的費米能級EF=7.1eV,試計算每單位體積銅的平均電子數(shù)，并與從密度計算得到的電子濃度相比較。已知銅的密度等于8.96g/cm3。此-"E5F-CE2iiE其中：匚=4曲卩耳Ze—時為金屬的邨積，砧為電于的質(zhì)量-由于電于遵循費米分布，丁是在能星區(qū)間E-E+dE中的電子數(shù)為：dN_f{E}dZ-Cf（E）jEdE式屮f（E〕是費米分州函數(shù)匚［tlT莊筆討零度時＜1；CE<Ef)(E>E跖因此電子總數(shù)為:IDfUN=J：仃(E)jEdE=CL『JEdE代入數(shù)據(jù)得：n=8.51022,；cm336.（固體物理習題集問答6.5）—維晶格能量E和波矢k的關系如圖所示。設電子能譜與自由電子相同，試寫出與簡約波矢k=n/2a對應的點A（第一能帶）、B（第二能帶）和C（第三能帶）處的能量。⑴自由電子的能量E」；［,因此—片丄'"||品叫.衣％C!fl；37.(固體物理習題集問答6.7)對簡單立方、體心立方和面心立方晶格，由緊束縛近似導出的能帶底部電子的有效質(zhì)量均可表示為能否據(jù)此斷言：具有這三種結(jié)構(gòu)的晶體，在能帶底部的電子具有同樣大小的有效質(zhì)量？38.(固體物理習題集6.1)證明：在三維晶格中，電子能量在k空間中具有周期性：E(k)二E(k+G)式中，G為任—倒格矢。證明：申(r)=EC(k-G\iCt-gbkg所以：申(r)=YC(k+G-Gba+G0-gbk+G°0定義：G-GTG則有：Q（r）=*（r）0k+G0k所以：E（K）二E（K+G）39.（固體物理習題集6.8）設有一單價金屬，具有簡單立方結(jié)構(gòu)，晶格常數(shù)a=3.345x1O-iom，試求（1）費米球的半徑；（2）費米球到布里淵區(qū)邊界的最短距離。（固體物理習題集6.14）應用緊束縛方法于一維單原子鏈，如只計及最近鄰原子間的相互作用，試證明其S態(tài)芯電子的能帶為E（k）=E+4Jsin2（nak）式中，E為能帶底部的能量，〕為交minmin迭積分。并求能帶的寬度及能帶底部和頂部附近的電子有效質(zhì)量。（固體物理習題集6.20）一矩形晶格，原胞邊長a=2x10-10m，b=4x10-10m，（1）畫出倒格子圖；（2）以廣延圖和簡約圖兩種形式，畫出第一布里淵區(qū)和第二布里淵區(qū)；（3）畫出自由電子的費米面（設每個原胞有兩個電子）。解土（1）因為目~口「—2/1,_-o-h=bj=4A/倒格子基矢為擴二丄f2A4A是布里淵區(qū)的廣延圖。（3）設晶體共有N個原胞，計入自旋后.在簡約布里淵區(qū)中便有2N個狀態(tài)。簡約布昱淵區(qū)的面積/=^x54|=|（^）2而狀態(tài)密度削燈?孚"GN（如1當每個原胞有兩個電予時，晶體電子的總數(shù)為IN=『g（k）x2加血=違N於42.（固體物理習題集8.23，8.24）試證明：如只計及最近鄰原子間的相互作用，用緊束縛方法導出的體心立方晶體的S態(tài)電子的能帶為E(k)二E-A-8J[cos(nak)cos(nak)cos(nak)]0xyz式中〕為交迭積分，試求:1）體心立方晶格能帶的寬度；2）能帶底部和頂部電子的有效質(zhì)量；⑶畫出沿k方向（k二k=0）E（k）和v（k）的曲線。xyzxx解；若只計算最近鄰的相互作用，用緊來縛近似法處理晶體中的百態(tài)電子所得的結(jié)果式川兀用/卜別是參考丘亍以及最近第的位矢”在簡單"方晶格中，有6個最緊鄰，如果取R=0,則這6個最近鄰的坐標是％琥1血0〕;a（-lA0）疏0丄0）」?丄0〕班（W）e（OQ-i〉這里a■是晶搭常數(shù)。對于￡態(tài)電了J交迭積分對各個最近鄰都相等,令-T...n--.T,則得/7\尸人T/i2nHk,-1211a)c,訂TTak-12Fak12nak,-12nak、"6E(k)=E?一八_2./Iqcns"皿、ieg"從.；］在能帶底處,札-比-比-0,對應的能量有最小值7=-A-5J在陡特頂處，叱=口/Fgk「二士「狹:,?二土"加對■應能量有最大值EJE°—A+6J因此能帶的寬度為AE=E-E=12J□asmn_43.（固體物理概念題與習題指導5.14）已知某簡立方晶體的晶格常數(shù)為a,其價電子的能帶：E=Acos(ak)cos(ak)cos(ak)+B(其中常數(shù)A,B>0)xyz已測得帶頂電子的有效質(zhì)量，試求參數(shù)代(1)(2)E=Acos(ak)cos(ak)cos(ak)+B(其中常數(shù)A,B>0)xyz已測得帶頂電子的有效質(zhì)量，試求參數(shù)代(1)(2)試求能帶寬度；(3)試求布里淵區(qū)中心點附近電子的態(tài)密度。假朮A丈「0(1)對」一的"J”E=Aco^^/l)cos(jfc/lf)co￡(^^04-B簡鼠立方昂休屮的m子.英能帶貝址布里淵區(qū)屮心站怖里淵區(qū)屮心.咀子跑有域船雖為tn由此叮知月=2.t;j電子陡也E一2ccs(上嚴)十R.處一rti帶痕和劭底的陡雖陽吒帶寬度為4.<3)也布里淵區(qū)屮匕附邁.上—0,

—BE="?；蛟谛尼獓@心尹⑷=*一（呼口一（訶口—B222|-2卜甘一打U-」■?￡'=￡|2-A；Kf卜.式出庇Ef_irk1.可見左布里淵區(qū)屮心旳近.葦能面是球面一岡此.能益E'fli陡晁E‘4■止E曲零隹而皿朗波火空創(chuàng)休祖対為Z荊應時雖于態(tài)取U說壽W總評亠EM"所以能態(tài)密度為叫￡?)_呼：)_[2(E|2_球一44.（固體物理習題集7.13）設vf，Tf分別為費米面電子的速度和平均自由時間，g（EF）為費米能級處的狀態(tài)密度,證明：對于球形費米面的情況，電導率o=e2vF2Tfg（EF）/345.（固體物理習題集8.1）證明：在一給定溫度下，當電子濃度n二n（p/p）1/2，空穴濃度p二n（p/p）1/2時，半導iheieh體的電導率為極小。這里n是本征載流子濃度，p和M分別為電子和空穴的遷移率。ieh46.（固體物理習題集8.27）實驗得到一鍺樣品不呈現(xiàn)任何霍爾效應。已知鍺中電子遷移率為3500cm2/V?s，空穴遷移率為1400cm2/V-s，問電子電流在該樣品的總電流中所占的比例等于多少？47.（黃昆教材4.12）設有二維正方晶格，晶體勢場為設有二維正方晶格，晶體勢場為用近自由電子近似的微擾論（簡并微擾）近似求出布里淵區(qū)頂角n/a,n/a）處的能隙。（本題類似于基特爾教材（7.6））以i'j夜示Q訝-X界的單仕張Q肛&人衷小啊勒久罰的甲曲攵s-恥疔-r-ri+yrrnG=硝+■碣-::（疝、換）簡,民為整數(shù).晶舉嗎能鞏耳珂__斗U臥中耳即）=』，而英他勞能傅氏系數(shù)匕（瓜一司匕（?+工￡他尺—Q皿対他晶舉嗎能鞏耳珂__斗U臥中耳即）=』，而英他勞能傅氏系數(shù)匕（瓜一司匕（?+工￡他尺—Q皿対他￡）9引十％但K-務）十權(quán)仲只?勺]|；K%）一岸辦廠即^=6（'.^=16（11）處的能|裁』利用取口寧|新波近佩T=C（K）^+C（K—6）於?粉皿w_y（ii）、v__M叫時恢軸K_C7（［|）_+%1）,用_門（11}_一斗％11）而并他心K_G（I1）,/<-^（1T）|>G（ll）|,所訂fl：姦頂平而波川似卜上式中只百丐即1卜阡（7；：叩_什一押1;）；「卜卩町一屮_叩廿卜「「；鞏11J由行歹|］式市（2—匸丫-廿‘一。解得—a■丄匕-遼丄〔人nur所耳在（-;--）處的能隙:対g.-ff_=2u.aa48?(黃昆教材5.1)設有一維晶體的電子能帶可以寫成其中，a是晶格常數(shù)，試求：能帶的寬度；電子在波矢k狀態(tài)的速度；能帶底部和能帶頂部的有效質(zhì)量。解：(1jE閃_埜、J&+丄曲如)TOC\o"1-5"\h\zinci88護1.|——eoska--I)]“2a"SE=Nr[ff'<7曲"一2)：—L]4WMF蘭％=厲屮丄)兀時.11電-h+2?ka=2n^時，E込⑹=0監(jiān)帶寛皆E匚齊一近ma打一!一Jh(號血也一—sin2冊)TOC\o"1-5"\h\z冑dkmet4Jr-]m=殳尸=iu(caska-cos2ku}~]_/」2當吋，帶底,宀的^^=--0j,帶頂，M_Sa349?(黃昆教材5.2)晶格常數(shù)為2.5的一維晶格，當外加102V/m和107V/m電場時，試分別估算電子自能帶底運動到能帶頂所需要的時間。解討晶祜范如圧力電龍，屯子在電場作用卜不斷改變狀態(tài),表現(xiàn)為電子在疋空問的迄動,{1品體中電子運動的準經(jīng)典運動；：程用魯=曆則電」寸1比空用前述度竺一竺dih頂—」帶底加距兀故所鬣寸輛十―a.-a總EmF/■：-]02//m吋r_ID\E2-\（rv/m時f一塔^其邊-乙50.（黃昆教材5.6）若已知E（k）二Ak2+c（kk+kk+kk）,導出k二0點上的有效質(zhì)量張量，并找出主軸方xyyzzx向（使用空間旋轉(zhuǎn)矩陣）。解比求導有效質(zhì)雖秋呈2A(?C'1A-XCt-rC2AC|戶-外CIACCC2Aac2#一九A=k=2A-C-2J』2C故求導f」爼兩雖張豆為riA-（：o（）'1U2A-C0'U01A+1C止-"時帥令效嵐武張最為11112A.Q012A-C0I1A-2C接若求主軸力向（2A.Q012A-C0I1A-2C接若求主軸力向（P-枕區(qū)=0ccc~■1■■1■(:CC=。得陽=&卜￡?2—-1CCC\5_-10/u-Z2-二川一&時?fsof)-fUtf；"k-枚干F.込匚^=2A+2C時+同理對得旳■1■0-1甩位化得二個主軸方向51.（黃昆教材6.1）He3的自旋為1/2,是費米子。液體He3在絕對零度附近的密度為0.081g/cm3。計算費米能Ef和費米溫度Tf。解匸處村零度時，匹愎誹融面為球面k,-(0.324V^；f'\1.25xl0f^_l-亠-i.sfixio—52.（黃昆教材6.3）若把銀看成具有球形費米面的單價金屬，計算以下各量：費米能和費米溫度；（2）費米球半徑；（3）費米速度；（4）費米球面的橫截面積；（5）在室溫及低溫時電子的平均自由程。銀的密度等于10.5g/cm3，原子量等于107.87，電阻率等于1.61x10-6°'cm（在295K）0.038x10-6°'cm（在20K）。解1）費密能量磚=￡-（珈如嚴總=（航知嚴5）止士祁以及任渦忖山了的平均白由程電導率（7=電導率（7=—1_（埠）pIfl馳養(yǎng)吋間K呈）二上一%P平均口由擔t=吟鞏硝）心竺匚=芒乞^'uq"pnq^pOK到室溫之間的腿密半處變化很小珞=昭=1.2xlD10獷a-l.6xlC~^C'53.（黃昆教材a-l.6xlC~^C'53.（黃昆教材7.1）InSb的電子有效質(zhì)量me=0.015m（m為電子靜質(zhì)量），介電常數(shù)s=18，晶格常數(shù)a=6.479，試計算：（1）施主的電離能；（2）基態(tài)的軌道半徑；（3）若施主均勻分布，相鄰雜質(zhì)原子的軌道之間發(fā)生交疊時，摻有的施主雜質(zhì)濃度應高于多少？300300300300JJT*<js>⑴由丁施主吐離能耳，量氫原子屯離能E的丁倍，4曲：睿=咬Hl*d4曲：睿=咬Hl*d~?W*f如=HxyA)=6.J11xIQ2(4^6..S1x10\jfj)().0143如夬議的電〉笊氯茅靑執(zhí)逍茨：黃皇杳丫則均勻分（P于如抄■帕討凈質(zhì)液度叫就-応滿斤M—九％:升g爲屮廠你曲冋54.（黃昆教材7.3）已知Si中只含施主雜質(zhì)ND=10i5/cm3。現(xiàn)在40K下測得電子濃度為10i2/cm3,試估算施主雜質(zhì)的電離能。TOC\o"1-5"\h\z艇菌i畑逍電子的濃莊為％=%*僱溫從丁同丈藺為左40忙的陋溫卜.戟流子搐主瓏是0施主激發(fā)到盼帶的電子"花遼種惜配K丫昴卍電干戳目惡肚和空的施宅能繳數(shù)目膽尊=岡此叫=血［】_?。椋┎?評匕佔⑹ItWla和b兩式町再州=―T—5（可1十嚴』石一葩仏丁將U試叩的辰J—Eq仔帶底施主陀級的能量誥，忌然它就是施主的電離ii芝E嚴民-Eq油將此代入⑴井更理再到由十饑W而北如N』300K）=2點xL屮助!巴故育ia^(40K)=Kl^itlO^(40K)=由此叫加腿主射順的電離硝掏55?（黃昆教材7.4）某—n型半導體電子濃度為1XL015/cm3，電子遷移率為1000cm2/Vs，求其電阻率。解僉\1嘰1代?:心叭皿皿廠憶4“"孔氏異常（Kohnanomaly）:假定晶面運動方程siupk^a中平面力?？资袭惓＃↘ohnanomaly）:假定晶面運動方程siupk^a中平面力常Cp=A數(shù)Cp取如下形式Pa，其中A和k。是常數(shù)，而p遍取所有的整數(shù)值。這種形式是對于金屬的預期結(jié)果。利用這個公式和式求出32和d32/dK的表達式，證明K=k時，do/dK是無窮大，于是在k處32對K或003對K的圖形有一條垂直的切線：即在k°處色散關系3（K）有一個扭折。（W.Kohn,Phys.Rev.Lett.2（1959）393曾預言了與此有關的一個效應。）57.（基特爾教材7.2）約化能區(qū)中的自由電子能量。（a）在空點陣近似下考慮面心立方晶體在約化能區(qū)圖式表示中的自由電子能帶，在約化能區(qū)圖式表示中所有的k都變換到第一布里淵區(qū)內(nèi)。粗略繪出［111］方向上的所有能帶的能量，直至相當于布里淵區(qū)邊界k=（2n/a）（1/2,1/2,1/2）處的最低帶能量的6倍。就令這個能量為能量的單位。這個問題表明，為什么帶邊不一定要在布里淵區(qū)中心。當考慮到晶體勢場時，有幾個簡并（能帶交叉）被消除。

58.（基特爾教材7.4）金剛石結(jié)構(gòu)中的勢能。6）試證對于金剛石結(jié)構(gòu)，在G=2A時，一個電子所感受的晶體勢場的傅立葉分量UG為零，其中A是慣用立方晶胞的倒易點陣中的基矢。（b）證明在周期點陣中波動方程通常的一級近似解中與矢量A末端垂直的布里淵區(qū)邊界面上的能隙為零，并且證明在二級近似中該能隙不為零。59.（基特爾教材7.6）正方點陣。考慮在二維情況下具有晶體勢場U（x,y）=-4Ucos（2nx/a）cos（2ny/a）的正方點陣。應用中心方程近似求出布里淵區(qū)角點（n/a,n/a）處的能隙。這個問題只需解一個2>2