勾股定理中等難度題集(50道含答案)

勾股定理中等難度題集(50道含答案)第1頁（共1頁）1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，點(diǎn)P為邊AN上一動(dòng)點(diǎn)（且點(diǎn)P不與點(diǎn)A，B重合），PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，點(diǎn)M為EF中點(diǎn)，則PM的最小值為（）A． B． C． D． 2．四個(gè)全等的直角三角形按圖示方式圍成正方形ABCD，過各較長直角邊的中點(diǎn)作垂線，圍成面積為S的小正方形EFGH．已知AM為Rt△ABM較長直角邊，AM=2EF，則正方形ABCD的面積為（）A．14S B．13S C．12S D．11S 3．如圖，由四個(gè)邊長為1的小正方形構(gòu)成一個(gè)大正方形，連接小正方形的三個(gè)頂點(diǎn)，可得到△ABC，則△ABC中AC邊上的高是（）A． B． C． D． 4．如圖，四邊形ABCD中，∠ABC=90°，AC=BD，AC⊥BD，若AB=4，AD=5，則DC的長（）A．7 B． C． D．2 5．如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=5．分別以AB、AC、BC為邊在AB的同側(cè)作正方形ABEF，ACPQ，BDMC，四塊陰影部分的面積分別為S1，S2，S3，S4．則S1+S2+S3+S4等于（）A．13 B．14 C．15 D．16 6．如圖，在△ABC中，∠A=90°，P是BC上一點(diǎn)，且DB=DC，過BC上一點(diǎn)P，作PE⊥AB于E，PF⊥DC于F，已知：AD：DB=1：3，BC=，則PE+PF的長是（）A． B．6 C． D． 7．如圖，正方形ABCD邊長為2，從各邊往外作等邊三角形ABE、BCF、CDG、DAH，則四邊形AFGD的周長為（）A．4+2+2 B．2+2+2 C．4+2+4 D．2+2+4 8．如圖，在△ABC中，D、E分別是BC、AC的中點(diǎn)．已知∠ACB=90°，BE=4，AD=7，則AB的長為（）A．10 B．5 C．2 D．2 9．如圖△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠BAC=120°，點(diǎn)D在BC邊上，且BD＜DC，以AD為邊作正三角形ADE，當(dāng)△ABC的面積是25，△ADE的面積是7時(shí)，BD與DC的比值是（）A．3：4 B．3：5 C．1：2 D．2：3 10．已知等邊三角形ABC邊長為2，兩頂點(diǎn)A、B分別在平面直角坐標(biāo)系的x軸負(fù)半軸、y軸的正半軸上滑動(dòng)，點(diǎn)C在第四象限，連結(jié)OC，則線段OC長的最小值是．11．如圖，在△ABC中，AB=AC=6，BC=7，E是BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），△DEF≌△ABC，其中點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)D，E．當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)時(shí)DE邊始終經(jīng)過點(diǎn)A．設(shè)EF與AC相交于點(diǎn)G，當(dāng)△AEG是等腰三角形時(shí)，BE的長為．12．如圖，在四邊形ABCD中，∠ADC=60°，∠ABC=30°，且AD=CD，連接BD，若AB=2，BD=，則BC的長為．13．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=6，點(diǎn)D、E分別是BC、AD的中點(diǎn)，AF∥BC交CE的延長線于F，則△AFC的面積為．14．如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，分別以AB、BC、AC為邊作正方ABED、BCFK、ACGH，再作Rt△PQR，使∠R=90°，點(diǎn)H在邊QR上，點(diǎn)D、E在邊PR上，點(diǎn)G、F在邊PQ上，則PQ的長為．15．如圖，水平距離為80米（BC=80米）的A，B兩村莊隔著一條小河，并且河寬15米，A與河l1的距離為40米，B與河l2的距離為20米，為了方便行人之間來往，現(xiàn)在要在兩條小河上各建一條垂直于河岸的橋，那么A，B兩村莊來往的最短路程是米．16．如圖，四邊形ABCD中，AC，BD是對(duì)角線，△ABC是等邊三角形，∠ADC=30°，若CD=6，BD=6.5，則AD=．17．四邊形ACBD中，AC=BC，∠ACB=90°，∠ADB=30°，AD=6，CD=7，則BD=．18．如圖，在△ABC中，AB=BC=6，AO=BO，P是射線CO上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∠AOC=60°，則當(dāng)△PAB為直角三角形時(shí)，AP的長為．19．如圖，A（1，0），B（0，1），若△ABO是一個(gè)三角形臺(tái)球桌，從O點(diǎn)擊出的球經(jīng)過C、D兩處反彈正好落在A洞，則C的坐標(biāo)是．20．如圖，是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形圍成的．若兩直角邊AC=4，BC=6，現(xiàn)將四個(gè)直角三角形中邊長為6的直角邊分別向外延長一倍，延長后得到下圖所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，則該“數(shù)學(xué)風(fēng)車”所圍成的總面積是．21．如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=．分別以AB，AC，BC為邊，向外作正方形ABDE，正方形ACFG，正方形BCMN，連接GE，DN．則圖中陰影的總面積是．22．如圖，△ABC是直角三角形，記BC=a，分別以直角三角形的三邊向外作正方形ABDE，正方形ACFG，正方形BCMN，過點(diǎn)C作BA邊上的高CH并延長交正方形ABDE的邊DE于K，則四邊形BDKH的面積為．（用含a的式子表示）23．如圖，在△ABC中，AB=5，AC=3，BC=4，D是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，BE⊥AD，交其延長線于點(diǎn)E，EF⊥AC，交其延長線于點(diǎn)F，則AF的最大值為．24．如圖，△ABC中，AB=AC=5，BC=2，以AC為邊在△ABC外作等邊三角形ACD，連接BD，則BD=．25．如圖，點(diǎn)P是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接PA，PB，PC，PA：PB：PC=3：4：5，以AC為邊作△AP′C≌△APB，連接PP′，則有以下結(jié)論：①△APP′是等邊三角形；②△PCP′是直角三角形；③∠APB=150°；④∠APC=105°．其中一定正確的是．（把所有正確答案的序號(hào)都填在橫線上）26．如圖，正方形ABDE、CDFI、EFGH的面積分別為25、9、16，△AEH、△BDC、△GFI的面積分別為S1、S2、S3，則S1+S2+S3=．27．如圖所示，在等邊三角形ABC中，BC邊上的高AD=10，E是AD上一點(diǎn)，現(xiàn)有一動(dòng)點(diǎn)P沿著折線A﹣E﹣C運(yùn)動(dòng)，在AE上的速度是4單位/秒，在CE上的速度是2單位/秒，則點(diǎn)P從A到C的運(yùn)動(dòng)過程中至少需秒．28．在一張直角三角形紙片中，分別沿兩直角邊上一點(diǎn)與斜邊中點(diǎn)的連線剪去兩個(gè)三角形，得到如圖所示的四邊形，則原直角三角形紙片的斜邊長是．29．如圖，在四邊形ABCD中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，則BD的長為．30．如圖，要使寬為2米的矩形平板車ABCD通過寬為2米的等寬的直角通道，平板車的長不能超過米．31．如圖，在△ABC中，AB=AC=2，點(diǎn)P在BC上．若點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)，則m=AP2+BP?PC的值為；若BC邊上有100個(gè)不同的點(diǎn)P1，P2，…，P100，且mi=APi2+BPi?PiC（i=1，2，…，100），則m=m1+m2+…+m100的值為．32．圖（1）是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形圍成的．在Rt△ABC中，若直角邊AC=6cm，BC=5cm，將四個(gè)直角三角形中邊長為6的直角邊分別向外延長一倍，得到圖（2）所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”．則①圖中小正方形的面積為；②若給這個(gè)“數(shù)學(xué)風(fēng)車”的外圍裝飾彩帶，則需要彩帶的長度至少是．33．勾股定理有著悠久的歷史，它曾引起很多人的興趣．1955年希臘發(fā)行了二枚以勾股圖為背景的郵票．所謂勾股圖是指以直角三角形的三邊為邊向外作正方形構(gòu)成，它可以驗(yàn)證勾股定理．在右圖的勾股圖中，已知∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4．作△PQR使得∠R=90°，點(diǎn)H在邊QR上，點(diǎn)D，E在邊PR上，點(diǎn)G，F(xiàn)在邊PQ上，那么△PQR的周長等于．34．如圖平面直角坐標(biāo)系中，已知三點(diǎn)A（0，7），B（8，1），C（x，0）．（1）求線段AB的長；（2）請(qǐng)用含x的代數(shù)式表示AC+BC的值；（3）根據(jù)（2）中得出的規(guī)律和結(jié)論，直接寫出代數(shù)式﹣的最大值．35．如圖，AD∥BC，AC⊥AB，AB=3，AC=CD=2．（1）求BC的長；（2）求BD的長．36．如圖，△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，AB=，AC=，AD=3，求BC的長及△ABC的面積．37．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC的頂點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C在x軸的正半軸上，且BC⊥OC于點(diǎn)C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，2），AB=4，∠B=60°，點(diǎn)D是線段OC上一點(diǎn)，且OD=4，連接AD．（1）求證：△AOD是等邊三角形；（2）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（3）在x軸上求一點(diǎn)P，使△OBP為等腰三角形．38．在△ABC中，AB、BC、AC三邊的長分別為，，，求這個(gè)三角形的面積．小明同學(xué)在解答這道題時(shí)，先畫一個(gè)正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長為1），再在網(wǎng)格中畫出格點(diǎn)△ABC（即△ABC三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)處），如圖1所示．這樣不需求△ABC的高，而借用網(wǎng)格就能計(jì)算出它的面積．（1）△ABC的面積為．（2）若△DEF的三邊DE、EF、DF長分別為，，，請(qǐng)?jiān)趫D2的正方形網(wǎng)格中畫出相應(yīng)的△DEF，并求出△DEF的面積為．（3）在△ABC中，AB=2，AC=4，BC=2，以AB為邊向△ABC外作△ABD（D與C在AB異側(cè)），使△ABD為等腰直角三角形，則線段CD的長為．39．如圖，在等腰△ACE中，已知CA=CE=2，AE=2c，點(diǎn)B、D、M分別是邊AC、CE、AE的中點(diǎn)，以BC、CD為邊長分別作正方形BCGF和CDHN，連結(jié)FM、FH、MH．（1）求△ACE的面積；（2）試探究△FMH是否是等腰直角三角形？并對(duì)結(jié)論給予證明；（3）當(dāng)∠GCN=30°時(shí)，求△FMH的面積．40．如圖，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M為EF中點(diǎn)，求AM的最小值．41．閱讀下列材料：小明遇到一個(gè)問題：在△ABC中，AB，BC，AC三邊的長分別為、、，求△ABC的面積．小明是這樣解決問題的：如圖1所示，先畫一個(gè)正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長為1），再在網(wǎng)格中畫出格點(diǎn)△ABC（即△ABC三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)處），從而借助網(wǎng)格就能計(jì)算出△ABC的面積．他把這種解決問題的方法稱為構(gòu)圖法．參考小明解決問題的方法，完成下列問題：（1）圖2是一個(gè)6×6的正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長為1）．①利用構(gòu)圖法在答卷的圖2中畫出三邊長分別為、、的格點(diǎn)△DEF；②計(jì)算①中△DEF的面積為；（直接寫出答案）（2）如圖3，已知△PQR，以PQ，PR為邊向外作正方形PQAF，正方形PRDE，連接EF．①判斷△PQR與△PEF面積之間的關(guān)系，并說明理由．②若PQ=，PR=，QR=3，直接寫出六邊形AQRDEF的面積為．42．如圖所示，在△ABC中，AB=5，AC=13，BC邊上的中線AD=6，求BC的長．43．探究下列幾何題：（1）如圖（1）所示，在△ABC中，CP⊥AB于點(diǎn)P，求證：AC2﹣BC2=AP2﹣BP2；（2）如圖（2）所示，在四邊形ABCD中，AC⊥BD于點(diǎn)P，猜一猜AB，BC，CD，DA之間有何數(shù)量關(guān)系，并用式子表示出來（不用證明）；（3）如圖（3）所示，在矩形ABCD中，P是其內(nèi)部任意一點(diǎn)，試猜想AP，BP，CP，DP之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明．44．設(shè)a，b，c，d都是正數(shù)．求證：+＞．45．如圖：四邊形ABCD中，AD=DC，∠ABC=30°，∠ADC=60°．試探索以AB、BC、BD為邊，能否組成直角三角形，并說明理由．46．已知：如圖1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D為AB中點(diǎn)，DE、DF分別交AC于E，交BC于F，且DE⊥DF．（1）如果CA=CB，求證：AE2+BF2=EF2；（2）如圖2，如果CA＜CB，（1）中結(jié)論AE2+BF2=EF2還能成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．47．（1）如圖1，AD是△ABC邊BC上的高．①求證：AB2﹣AC2=BD2﹣CD2；②已知AB=8，AC=6，M是AD上的任意一點(diǎn)，求BM2﹣CM2的值；（2）如圖2，P是矩形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，若PA=3，PB=4，PC=5，求PD的值．48．如圖，A，B兩個(gè)工廠位于一段直線形河的異側(cè)，A廠距離河邊AC=5km，B廠距離河邊BD=1km，經(jīng)測(cè)量CD=8km，現(xiàn)準(zhǔn)備在河邊某處（河寬不計(jì)）修一個(gè)污水處理廠E．（1）設(shè)ED=x，請(qǐng)用x的代數(shù)式表示AE+BE的長；（2）為了使兩廠的排污管道最短，污水廠E的位置應(yīng)怎樣來確定此時(shí)需要管道多長？（3）通過以上的解答，充分展開聯(lián)想，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，請(qǐng)你猜想的最小值為．49．閱讀下面材料，并解決問題：（1）如圖（1），等邊△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，若點(diǎn)P到頂點(diǎn)A，B，C的距離分別為3，4，5，則∠APB=，由于PA，PB不在一個(gè)三角形中，為了解決本題我們可以將△ABP繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△ACP′處，此時(shí)△ACP′≌這樣，就可以利用全等三角形知識(shí)，將三條線段的長度轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中從而求出∠APB的度數(shù)．（2）請(qǐng)你利用第（1）題的解答思想方法，解答下面問題：已知如圖（2），△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F為BC上的點(diǎn)且∠EAF=45°，求證：EF2=BE2+FC2．50．閱讀下列材料：小明遇到這樣一個(gè)問題：已知：在△ABC中，AB，BC，AC三邊的長分別為、、，求△ABC的面積．小明是這樣解決問題的：如圖1所示，先畫一個(gè)正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長為1），再在網(wǎng)格中畫出格點(diǎn)△ABC（即△ABC三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)處），從而借助網(wǎng)格就能計(jì)算出△ABC的面積．他把這種解決問題的方法稱為構(gòu)圖法．請(qǐng)回答：（1）圖1中△ABC的面積為；參考小明解決問題的方法，完成下列問題：（2）圖2是一個(gè)正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長為1）．①利用構(gòu)圖法在答題卡的圖2中畫出三邊長分別為、、的格點(diǎn)△DEF；②計(jì)算△DEF的面積為．（3）如圖3，已知△ABC，以AB，AC為邊向外作正方形ABDE，ACFG，連接EG．若AB=，BC=，AC=，則六邊形BCFGED的面積為．

一．選擇題（共9小題）1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，點(diǎn)P為邊AN上一動(dòng)點(diǎn)（且點(diǎn)P不與點(diǎn)A，B重合），PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，點(diǎn)M為EF中點(diǎn)，則PM的最小值為（）A． B． C． D． 【分析】首先證明四邊形CEPF是矩形，因?yàn)镸是EF的中點(diǎn)，推出延長PM經(jīng)過點(diǎn)C，推出EF=CP，可得PM=EF=PC，求出PC的最小值可得PM的最小值．【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=5，AC=3，∴BC==4，∵PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，∴∠PEC=∠PFC=∠EPF=90°，∴四邊形CEPF是矩形，∵M(jìn)是EF的中點(diǎn)，∴延長PM經(jīng)過點(diǎn)C，∴EF=CP，PM=EF=PC，當(dāng)PC⊥AB時(shí)，PC=，∴PM的最小值為，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理、直角三角形的斜邊上的高的求法，注意當(dāng)CP⊥AB時(shí)，CP最?。?．四個(gè)全等的直角三角形按圖示方式圍成正方形ABCD，過各較長直角邊的中點(diǎn)作垂線，圍成面積為S的小正方形EFGH．已知AM為Rt△ABM較長直角邊，AM=2EF，則正方形ABCD的面積為（）A．14S B．13S C．12S D．11S 【分析】設(shè)AM=2a．BM=b．則正方形ABCD的面積=4a2+b2，由題意可知EF=（2a﹣b）﹣2（a﹣b）=2a﹣b﹣2a+2b=b，由此即可解決問題．【解答】解：設(shè)AM=2a．BM=b．則正方形ABCD的面積=4a2+b2由題意可知EF=（2a﹣b）﹣2（a﹣b）=2a﹣b﹣2a+2b=b，∵AM=2EF，∴2a=2b，∴a=b，∵正方形EFGH的面積為S，∴b2=S，∴正方形ABCD的面積=4a2+b2=13b2=13S，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正方形的性質(zhì)、勾股定理、線段的垂直平分線的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．3．如圖，由四個(gè)邊長為1的小正方形構(gòu)成一個(gè)大正方形，連接小正方形的三個(gè)頂點(diǎn)，可得到△ABC，則△ABC中AC邊上的高是（）A． B． C． D． 【分析】作BD⊥AC于D，根據(jù)勾股定理求出AC的長，再利用三角形的面積公式求出△ABC中AC邊上的高即可．【解答】解：作BD⊥AC于D，如圖所示：∵小正方形的邊長為1，∴AC==，∵S△ABC=2×2﹣×1×1﹣×2×1﹣×2×1=1.5，∴S△ABC=×AC×BD=××CD=1.5，解得：CD=．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了勾股定理以及三角形的面積；根據(jù)題意得出△ABC的面積等于正方形面積減去其他3個(gè)三角形的面積是解決問題的關(guān)鍵．4．如圖，四邊形ABCD中，∠ABC=90°，AC=BD，AC⊥BD，若AB=4，AD=5，則DC的長（）A．7 B． C． D．2 【分析】如圖作DH⊥BA交BA的延長線于H．首先證明△ABC≌△DHB，推出DH=AB=4，利用勾股定理求出AH、BD，即可解決問題；【解答】解：如圖作DH⊥BA交BA的延長線于H．∵AC⊥BD，∴∠BEC=∠ABC=∠H=90°，∵∠BDH+∠HBD=90°，∠CAB+∠ABD=90°，∴∠CAB=∠HDB，∵AC=BD，∴△ABC≌△DHB，∴AB=DH=4，在Rt△BDH中，∵DH=4，AD=5，∴AH==3，∴AC=BD===，BC==7，∴BE==，DE=，EC==，在Rt△EDC中，DC==，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理的應(yīng)用，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．5．如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=5．分別以AB、AC、BC為邊在AB的同側(cè)作正方形ABEF，ACPQ，BDMC，四塊陰影部分的面積分別為S1，S2，S3，S4．則S1+S2+S3+S4等于（）A．13 B．14 C．15 D．16 【分析】過F作AM的垂線交AM于G，通過證明S1+S2+S3+S4=Rt△ABC的面積×3，依此即可求解．【解答】解：∵圖中S4=SRt△ABC．S3=S△FPT，∴S1+S3=SRt△ABC．S2的左上方的頂點(diǎn)為F，過F作AM的垂線交AM于G，可證明Rt△AGF≌Rt△ABC，而圖中Rt△GFK全等于①，∴S2=SRt△ABC．S1+S2+S3+S4=（S1+S3）+S2+S4=Rt△ABC的面積+Rt△ABC的面積+Rt△ABC的面積=Rt△ABC的面積×3=2×5÷2×3=15．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理的知識(shí)，有一定難度，解題關(guān)鍵是將勾股定理和正方形的面積公式進(jìn)行靈活的結(jié)合和應(yīng)用．6．如圖，在△ABC中，∠A=90°，P是BC上一點(diǎn)，且DB=DC，過BC上一點(diǎn)P，作PE⊥AB于E，PF⊥DC于F，已知：AD：DB=1：3，BC=，則PE+PF的長是（）A． B．6 C． D． 【分析】作PM⊥AC于點(diǎn)M可得矩形AEPM，易證△PFC≌△CMP，得到PE+PF=AC，在直角△ABC中，根據(jù)勾股定理就可以求得．【解答】解：（1）作PM⊥AC于點(diǎn)M，可得矩形AEPM∴PE=AM，利用DB=DC得到∠B=∠DCB∵PM∥AB．∴∠B=∠MPC∴∠DCB=∠MPC又∵PC=PC．∠PFC=∠PMC=90°∴△PFC≌△CMP∴PF=CM∴PE+PF=AC∵AD：DB=1：3∴可設(shè)AD=x，DB=3x，那么CD=3x，AC=2x，BC=2x∵BC=∴x=2∴PE+PF=AC=2×2=4．（2）連接PD，PD把△BCD分成兩個(gè)三角形△PBD，△PCD，S△PBD=BD?PE，S△PCD=DC?PF，S△BCD=BD?AC，所以PE+PF=AC=2×2=4．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】解決本題的關(guān)鍵是作出輔助線，把所求的線段轉(zhuǎn)移到一條線段求解．7．如圖，正方形ABCD邊長為2，從各邊往外作等邊三角形ABE、BCF、CDG、DAH，則四邊形AFGD的周長為（）A．4+2+2 B．2+2+2 C．4+2+4 D．2+2+4 【分析】連接AG，分別求出∠ABF和∠FCG的度數(shù)，再根據(jù)AB=BC=FC，求證△ABF≌△FCG，可得AF=FG，同理AF=AG，設(shè)AB中點(diǎn)為K，連GK，可得△AKG為直角三角形，再利用由勾股定理求得AG，然后即可求得四邊形AFGD的周長．【解答】解：連接AG，那么等腰三角形ABF頂角∠ABF=90°+60°=150°，等腰三角形FCG頂角∠FCG=360°﹣90°﹣2×60°=150°又AB=BC=FC，所以△ABF≌△FCG，∴AF=FG．同理AF=AG，設(shè)AB中點(diǎn)為K，連GK，可得△AKG為直角三角形，∴AK=1，KG=2+，由勾股定理得AG====+．四邊形AFGD的周長為：AF+FG+GD+DA=2（+）+2×2=4+2+2．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，此題有一定難度，屬于難題．8．如圖，在△ABC中，D、E分別是BC、AC的中點(diǎn)．已知∠ACB=90°，BE=4，AD=7，則AB的長為（）A．10 B．5 C．2 D．2 【分析】設(shè)EC=x，DC=y，則直角△BCE中，x2+4y2=BE2=16，在直角△ADC中，4x2+y2=AD2=49，解方程組可求得x、y，在直角△ABC中，AB=．【解答】解：設(shè)EC=x，DC=y，∠ACB=90°，∴在直角△BCE中，CE2+BC2=x2+4y2=BE2=16在直角△ADC中，AC2+CD2=4x2+y2=AD2=49，解得x=，y=1．在直角△ABC中，AB===2，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的靈活運(yùn)用，考查了中點(diǎn)的定義，本題中根據(jù)直角△BCE和直角△ADC求DC．BC的長度是解題的關(guān)鍵．9．如圖△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠BAC=120°，點(diǎn)D在BC邊上，且BD＜DC，以AD為邊作正三角形ADE，當(dāng)△ABC的面積是25，△ADE的面積是7時(shí)，BD與DC的比值是（）A．3：4 B．3：5 C．1：2 D．2：3 【分析】根據(jù)△ABC的面積，可以計(jì)算AF，BF，設(shè)DF=x，根據(jù)△ADE的面積計(jì)算x的值，根據(jù)BD=BF﹣DF，CD=CF+DF即可計(jì)算BD，CD長度，即可計(jì)算BD：CD．【解答】解：作AF⊥BC，∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠ABC=30°，即AB=2AF．BF=AF=AF．△ABC的面積為×BC×AF=25，計(jì)算得：AF=5，BF=5．設(shè)DF=x，則AD=，根據(jù)正三角形面積計(jì)算公式S=AD×（）=AD2=7，計(jì)算得：x=，∴BD=BF﹣DF=4，CD=CF+FD=6，故BD：CD=2；3，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的運(yùn)用，考查了三角形面積的計(jì)算，本題中根據(jù)正三角形ADE計(jì)算DF是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共24小題）10．已知等邊三角形ABC邊長為2，兩頂點(diǎn)A、B分別在平面直角坐標(biāo)系的x軸負(fù)半軸、y軸的正半軸上滑動(dòng)，點(diǎn)C在第四象限，連結(jié)OC，則線段OC長的最小值是﹣1．【分析】利用等邊三角形的性質(zhì)得出C點(diǎn)位置，進(jìn)而求出OC的長．【解答】解：如圖所示：過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，當(dāng)點(diǎn)C，O，E在一條直線上，此時(shí)OC最短，∴△ABC是等邊三角形，∴CE過點(diǎn)O，E為BD中點(diǎn)，則此時(shí)EO=AB=1，故OC的最小值為：OC=CE﹣EO=BCsin60°﹣×AB=﹣1．故答案為：﹣1．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了勾股定理以及等邊三角形的性質(zhì)，得出當(dāng)點(diǎn)C，O，E在一條直線上，此時(shí)OC最短是解題關(guān)鍵．11．如圖，在△ABC中，AB=AC=6，BC=7，E是BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），△DEF≌△ABC，其中點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)D，E．當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)時(shí)DE邊始終經(jīng)過點(diǎn)A．設(shè)EF與AC相交于點(diǎn)G，當(dāng)△AEG是等腰三角形時(shí)，BE的長為1或．【分析】首先由∠AEF=∠B=∠C，且∠AGE＞∠C，可得AE≠AG，然后分別從AE=EG與AG=EG去分析，注意利用全等三角形與相似三角形的性質(zhì)求解即可求得答案．【解答】解：∵∠AEF=∠B=∠C，且∠AGE＞∠C，∴∠AGE＞∠AEF，∴AE≠AG；當(dāng)AE=EG時(shí)，則△ABE≌△ECG，∴CE=AB=6，∴BE=BC﹣EC=7﹣6=1，當(dāng)AG=EG時(shí)，則∠GAE=∠GEA，∴∠GAE+∠BAE=∠GEA+∠CEG，即∠CAB=∠CEA，又∵∠C=∠C，∴△CAE∽△CBA，∴=，∴CE==，∴BE=7﹣=；∴BE=1或．故答案為：1或．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．12．如圖，在四邊形ABCD中，∠ADC=60°，∠ABC=30°，且AD=CD，連接BD，若AB=2，BD=，則BC的長為．【分析】將△ADB以D為旋轉(zhuǎn)中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，使A與C點(diǎn)重合，B與E點(diǎn)重合，連接BE，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∴∠ABD=∠CED，∠A=∠ECD，AB=CE，DB=DE，易得△DBE為等邊三角形，則DB=BE，根據(jù)周角的定義和四邊形內(nèi)角和定理得∠ECB=360°﹣∠BCD﹣∠DCE=360°﹣∠BCD﹣∠A=360°﹣（360°﹣∠ADC﹣∠ABC）=60°+30°=90°，則△ECB為直角三角形，根據(jù)勾股定理得EC2+BC2=BE2，利用等線段代換可得BD2=AB2+BC2，再代入計(jì)算即可求解．【解答】解：如圖，將△ADB以D為旋轉(zhuǎn)中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，使A與C點(diǎn)重合，B與E點(diǎn)重合，連接BE，∴∠ABD=∠CED，∠A=∠ECD，AB=CE，DB=DE，又∵∠ADC=60°，∴∠BDE=60°，∴△DBE為等邊三角形，∴DB=BE，又∴∠ECB=360°﹣∠BCD﹣∠DCE=360°﹣∠BCD﹣∠A=360°﹣（360°﹣∠ADC﹣∠ABC）=60°+30°=90°，∴△ECB為直角三角形，∴EC2+BC2=BE2，∴BD2=AB2+BC2．∴BC==．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等，即對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理．13．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=6，點(diǎn)D、E分別是BC、AD的中點(diǎn)，AF∥BC交CE的延長線于F，則△AFC的面積為6．【分析】由于AF∥BC，從而易證△AEF≌△DEC（AAS），所以AF=CD，從而可證四邊形AFBD是平行四邊形，所以S四邊形AFBD=2S△ABD，又因?yàn)锽D=DC，所以S△ABC=2S△ABD，所以S四邊形AFBD=S△ABC，再根據(jù)等底等高的三角形面積等于平行四邊形面積的一半即可求出答案．【解答】解：∵AF∥BC，∴∠AFC=∠FCD，在△AEF與△DEC中，，∴△AEF≌△DEC（AAS）．∴AF=DC，∵BD=DC，∴AF=BD，∴四邊形AFBD是平行四邊形，∴S四邊形AFBD=2S△ABD，又∵BD=DC，∴S△ABC=2S△ABD，∴S四邊形AFBD=S△ABC，∵∠BAC=90°，AB=4，AC=6，∴S△ABC=AB?AC=×4×6=12，∴S四邊形AFBD=12，∴△AFC的面積為12÷2=6．故答案為：6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行四邊形的性質(zhì)與判定，涉及全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，綜合程度較高．14．如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，分別以AB、BC、AC為邊作正方ABED、BCFK、ACGH，再作Rt△PQR，使∠R=90°，點(diǎn)H在邊QR上，點(diǎn)D、E在邊PR上，點(diǎn)G、F在邊PQ上，則PQ的長為2+7．【分析】首先證明△ABC≌△GFC（SAS），利用全等三角形的性質(zhì)可得：∠CGF=∠BAC=30°，在直角△ABC中，根據(jù)三角函數(shù)即可求得AC，進(jìn)而由等邊三角形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)及三角函數(shù)就可求得QR的長，在直角△QRP中運(yùn)用三角函數(shù)即可得到RP、進(jìn)而可求出PQ的長．【解答】解：延長BA交QR于點(diǎn)M，連接AR，AP．在△ABC和△GFC中，∴△ABC≌△GFC（SAS），∴∠CGF=∠BAC=30°，∴∠HGQ=60°，∵∠HAC=∠BAD=90°，∴∠BAC+∠DAH=180°，又∵AD∥QR，∴∠RHA+∠DAH=180°，∴∠RHA=∠BAC=30°，∴∠QHG=60°，∴∠Q=∠QHG=∠QGH=60°，∴△QHG是等邊三角形．AC=BC?tan60°=，則QH=HA=HG=AC=，在直角△HMA中，HM=AH?sin60°=×=，AM=HA?cos60°=，在直角△AMR中，MR=AD=AB=2．∴QR=++2=+，∴QP=2QR=2+7．故答案為：2+7．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理和含30度角的直角三角形以及全等三角形的判定和性質(zhì)，題目的綜合性較強(qiáng)，難度較大，正確運(yùn)用三角函數(shù)以及勾股定理是解決本題的關(guān)鍵．15．如圖，水平距離為80米（BC=80米）的A，B兩村莊隔著一條小河，并且河寬15米，A與河l1的距離為40米，B與河l2的距離為20米，為了方便行人之間來往，現(xiàn)在要在兩條小河上各建一條垂直于河岸的橋，那么A，B兩村莊來往的最短路程是115米．【分析】在AC上取一點(diǎn)A′，使得AA′=15，連接BA′交l2于F，作EF⊥l1垂足為E，連接AE．則AE+EF+FB的值最?。窘獯稹拷猓涸贏C上取一點(diǎn)A′，使得AA′=15，連接BA′交l2于F，作EF⊥l1垂足為E，連接AE．則AE+EF+FB的值最?。逜A′=EF，AA′∥EF，∴四邊形AA′FE是平行四邊形，∴AE=A′F，在Rt△A′BC中，BA′===100米，∴AE+EF+FB=BA′+AA′=115米．故答案為115．【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理的應(yīng)用、兩點(diǎn)之間線段最短、平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型．16．如圖，四邊形ABCD中，AC，BD是對(duì)角線，△ABC是等邊三角形，∠ADC=30°，若CD=6，BD=6.5，則AD=．【分析】在CD外側(cè)作等邊△CDE，連接AE，易證∠ACE=∠BCD，進(jìn)而可以證明△ACE≌△BCD，可得AE=BD，在Rt△ADE中根據(jù)勾股定理可以求得DE的長，即可解題．【解答】解：在CD外側(cè)作等邊△CDE，連接AE，則∠ADE=90°，DE=DC，∠DCE=60°，∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACE=∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS）∴AE=BD=6.5，∵在Rt△ADE中，DE2=AE2﹣AD2=BD2﹣AD2=6.52﹣AD2=62，∴AD=，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證△ACE≌△BCD是解題的關(guān)鍵．17．四邊形ACBD中，AC=BC，∠ACB=90°，∠ADB=30°，AD=6，CD=7，則BD=10．【分析】作AH⊥BD于H，CN⊥BD于N，CM⊥HA于M，則四邊形CMHN是矩形．首先證明△BCN≌△ACM，四邊形CMHN是正方形，設(shè)CN=a．構(gòu)建方程求出a即可解決問題；【解答】解：作AH⊥BD于H，CN⊥BD于N，CM⊥HA于M，則四邊形CMHN是矩形．∵∠BCA=∠MCN=90°，∴∠BCN=∠MCA，∵∠CNB=∠M=90°，BC=CA，∴△BCN≌△ACM，∴CM=CN，BN=AM，∴四邊形CMHN是正方形，設(shè)CN=a．在Rt△AHD中，AD=6，∠ADH=30°，∴AH=3，DH=3，在Rt△CND中，∵CN2+DN2=CD2，∴a2+（a+3）2=（7）2，整理得：2a2+6a﹣71=0，解得a=或（舍棄），∴AM=BN=，∴BD=BN+NH+DH=++3=10，【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、正方形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．18．如圖，在△ABC中，AB=BC=6，AO=BO，P是射線CO上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∠AOC=60°，則當(dāng)△PAB為直角三角形時(shí)，AP的長為3或3或3．【分析】利用分類討論，當(dāng)∠ABP=90°時(shí)，如圖2，由對(duì)頂角的性質(zhì)可得∠AOC=∠BOP=60°，易得∠BPO=30°，易得BP的長，利用勾股定理可得AP的長；當(dāng)∠APB=90°時(shí)，分兩種情況討論，情況一：如圖1，利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半得出PO=BO，易得△BOP為等邊三角形，利用銳角三角函數(shù)可得AP的長；易得BP，利用勾股定理可得AP的長；情況二：如圖3，利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半可得結(jié)論．【解答】解：當(dāng)∠APB=90°時(shí)（如圖1），∵AO=BO，∴PO=BO，∵∠AOC=60°，∴∠BOP=60°，∴△BOP為等邊三角形，∵AB=BC=6，∴AP=AB?sin60°=6×=3；當(dāng)∠ABP=90°時(shí)（如圖2），∵∠AOC=∠BOP=60°，∴∠BPO=30°，∴BP===3，在直角三角形ABP中，AP==3；如圖3，∵AO=BO，∠APB=90°，∴PO=AO，∵∠AOC=60°，∴△AOP為等邊三角形，∴AP=AO=3，故答案為3或3或3．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了勾股定理，含30°直角三角形的性質(zhì)和直角三角形斜邊的中線，分類討論，數(shù)形結(jié)合是解答此題的關(guān)鍵．19．如圖，A（1，0），B（0，1），若△ABO是一個(gè)三角形臺(tái)球桌，從O點(diǎn)擊出的球經(jīng)過C、D兩處反彈正好落在A洞，則C的坐標(biāo)是（，）．【分析】應(yīng)先作出點(diǎn)O及點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)，過兩個(gè)點(diǎn)的直線與直線AB的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)．【解答】解：如圖所示，∵點(diǎn)O關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)是O′（1，1），點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)是A′（﹣1，0）設(shè)AB的解析式為y=kx+b，∵（1，0），（0，1）在直線上，∴，解得k=﹣1，∴AB的表達(dá)式是y=1﹣x，同理可得O′A′的表達(dá)式是y=+，兩個(gè)表達(dá)式聯(lián)立，解得x=，y=．故答案為：（，）．【點(diǎn)評(píng)】考查對(duì)稱的知識(shí)；根據(jù)作相關(guān)點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)得到點(diǎn)D的位置是解決本題的關(guān)鍵．20．如圖，是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形圍成的．若兩直角邊AC=4，BC=6，現(xiàn)將四個(gè)直角三角形中邊長為6的直角邊分別向外延長一倍，延長后得到下圖所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，則該“數(shù)學(xué)風(fēng)車”所圍成的總面積是100．【分析】由題意∠ACB為直角，利用勾股定理求得外圍中一條邊，又由BC延伸一倍，從而求得風(fēng)車的一個(gè)輪子，進(jìn)一步求得四個(gè)．【解答】解：在直角三角形ACB中，AB=62+42=213，中間小正方形的面積：213×213﹣6×4÷2×4=52﹣48=4，4+（6+6）×4÷2×4=4+96=100．故答案為：100【點(diǎn)評(píng)】本題是勾股定理在實(shí)際情況中應(yīng)用，并注意隱含的已知條件來解答此類題．21．如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=．分別以AB，AC，BC為邊，向外作正方形ABDE，正方形ACFG，正方形BCMN，連接GE，DN．則圖中陰影的總面積是2．【分析】如圖將△GAE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△KAB．首先證明S△ABK=S△ABC=S△AGE，同理可證S△BDN=S△ABC，推出S△AEG+S△BDN=2?S△ABC，由此即可解決問題．【解答】解：如圖將△GAE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△KAB．∵∠GAC=∠EAB=90°，∴∠GAE+∠CAB=180°，∵∠GAE=∠KAB，∴∠KAB+∠CAB=180°，∴C、A、K共線，∵AG=AK=AC，∴S△ABK=S△ABC=S△AGE，同理可證S△BDN=S△ABC，∴S△AEG+S△BDN=2?S△ABC=2××2×=2．故答案為2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是勾股定理、正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題．22．如圖，△ABC是直角三角形，記BC=a，分別以直角三角形的三邊向外作正方形ABDE，正方形ACFG，正方形BCMN，過點(diǎn)C作BA邊上的高CH并延長交正方形ABDE的邊DE于K，則四邊形BDKH的面積為a2．（用含a的式子表示）【分析】由射影定理得到BC2=BH?BA，即BH?BA=a2，再由矩形面積公式即可得到結(jié)論．【解答】解：∵BC⊥AC，CH⊥BA，∴BC2=BH?BA，即BH?BA=a2，∵四邊形ABDE是正方形，∴BD=BA，∴四邊形BDKH的面積=BH?BD=BH?BA=a2，故答案為：a2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了射影定理，正方形的性質(zhì)，矩形面積，由射影定理得到BC2=BH?BA是解題的關(guān)鍵．23．如圖，在△ABC中，AB=5，AC=3，BC=4，D是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，BE⊥AD，交其延長線于點(diǎn)E，EF⊥AC，交其延長線于點(diǎn)F，則AF的最大值為4．【分析】由AB=5、AC=3、BC=4可得出∠ACB=90°，以AB為直徑作⊙O，則點(diǎn)C、E在圓上，作BC的平行線切⊙O于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥AC的延長線于點(diǎn)F，此時(shí)AF最長，連接OE，過點(diǎn)O作OM⊥AC于點(diǎn)M，根據(jù)OE⊥EF、OE⊥EF、EF⊥AF可得出四邊形OEFM為矩形，進(jìn)而可得出MF的長度，再根據(jù)點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)利用三角形中位線的性質(zhì)可得出AM的長度，由AF=AM+MF可求出AF的最大值．【解答】解：∵AB=5，AC=3，BC=4，∴AB2=AC2+BC2，∴∠ACB=90°．以AB為直徑作⊙O，則點(diǎn)C、E在圓上，作BC的平行線切⊙O于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥AC的延長線于點(diǎn)F，此時(shí)AF最長，連接OE，過點(diǎn)O作OM⊥AC于點(diǎn)M，如圖所示．∵OM⊥AC，∠ACB=90°，∴OM∥BC．∵點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，∴點(diǎn)M為AC的中點(diǎn)，∴AM=AC=．∵EF切⊙O為點(diǎn)E，∴OE⊥EF，∴OE∥MF，∴四邊形OEFM為矩形，∴MF=OE=AB=，∴AF=AM+ME=4．故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的逆定理、切線的性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)以及矩形的判定與性質(zhì)，通過作切線找出AF最長時(shí)點(diǎn)E的位置是解題的關(guān)鍵．24．如圖，△ABC中，AB=AC=5，BC=2，以AC為邊在△ABC外作等邊三角形ACD，連接BD，則BD=+2．【分析】根據(jù)已知條件得到AB=AC=AD，于是得到點(diǎn)B，C，D在以A為圓心，AB為半徑的圓上，根據(jù)圓周角定理得到∠CBD=∠CAD=30°，∠BDC=BAC，過A作AE⊥BC于E，過C作CF⊥BD于F，得到∠CAE=∠BCD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DF=AE，CF=CE=1，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【解答】解：∵AB=AC=5，△ABC是等邊三角形，∴AC=AD=5，∴AB=AC=AD，∴點(diǎn)B，C，D在以A為圓心，AB為半徑的圓上，∵∠CAD=60°，∴∠CBD=∠CAD=30°，∠BDC=BAC，過A作AE⊥BC于E，過C作CF⊥BD于F，∴∠CAE=，∠AEC=∠CFD=90°，∴∠CAE=∠BCD，在△ACE與△DCF中，，∴△AEC≌△DFC，∴DF=AE，CF=CE=1，∴BF=，∴DF==2，∴BD=BF+DF=+2．故答案為：+2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．25．如圖，點(diǎn)P是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接PA，PB，PC，PA：PB：PC=3：4：5，以AC為邊作△AP′C≌△APB，連接PP′，則有以下結(jié)論：①△APP′是等邊三角形；②△PCP′是直角三角形；③∠APB=150°；④∠APC=105°．其中一定正確的是①②③．（把所有正確答案的序號(hào)都填在橫線上）【分析】先運(yùn)用全等得出AP′=AP，∠CAP′=∠BAP，從而∠PAP′=∠BAC=60°，得出△PAP′是等邊三角形，∠AP′P=60°，PP′=AP，再運(yùn)用勾股定理逆定理得出∠PP′C=90°，由此得解．【解答】解：△ABC是等邊三角形，則∠BAC=60°，又△AP'C≌△APB，則AP=AP′，∠PAP′=∠BAC=60°，∴△APP'是正三角形，①正確；又PA：PB：PC=3：4：5，∴設(shè)PA=3x，則：PP′=PA=3x，P′C=PB=4x，PC=5x，根據(jù)勾股定理的逆定理可知：△PCP'是直角三角形，且∠PP′C=90°，②正確；又△APP'是正三角形，∴∠AP′P=60°，∴∠APB=150°③正確；錯(cuò)誤的結(jié)論只能是∠APC=105°．故答案為①②③．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了勾股定理的逆定理、全等三角形的性質(zhì)以及等邊三角形的知識(shí)，解決本題的關(guān)鍵是能夠正確理解題意，由已知條件，聯(lián)想到所學(xué)的定理，充分挖掘題目中的結(jié)論是解題的關(guān)鍵．26．如圖，正方形ABDE、CDFI、EFGH的面積分別為25、9、16，△AEH、△BDC、△GFI的面積分別為S1、S2、S3，則S1+S2+S3=18．【分析】正方形ABDE、CDFI、EFGH的面積分別為25、9、16，故直角三角形的三邊分別為5、4、3，通過求△DEF的面積求出△BDC，△GFI，△AEH的面積即可．【解答】解：∵DF=DC，DE=DB，且∠EDF+∠BDC=180°，過點(diǎn)A作AI⊥EH，交HE的延長線于點(diǎn)I，∴∠I=∠DFE=90°，∵∠AEI+∠DEI=∠DEI+∠DEF=90°，∴∠AEI=∠DEF，∵AE=DE，∴△AEI≌△DEF（AAS），∴AI=DF，∵EH=EF，∴S△AHE=S△DEF，同理：S△BDC=S△GFI=S△DEF，S△AHE+S△BDC+S△GFI=S1+S2+S3=3×S△DEF，S△DEF=×3×4=6，∴S1+S2+S3=18．故答案為：18．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形各邊相等，且各內(nèi)角等于直角的性質(zhì)，考查了三角形面積的計(jì)算，解本題的關(guān)鍵是找到：S△AHE+S△BDC+S△GFI=3×S△DEF．27．如圖所示，在等邊三角形ABC中，BC邊上的高AD=10，E是AD上一點(diǎn)，現(xiàn)有一動(dòng)點(diǎn)P沿著折線A﹣E﹣C運(yùn)動(dòng)，在AE上的速度是4單位/秒，在CE上的速度是2單位/秒，則點(diǎn)P從A到C的運(yùn)動(dòng)過程中至少需5秒．【分析】如圖，作CH⊥AB于H交AD于E．P沿著折線A﹣E﹣C運(yùn)動(dòng)的時(shí)間=+=（EC+AE）=（EC+EH）=CH，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)CH⊥AB時(shí)，P沿著折線A﹣E﹣C運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最短，由此即可解決問題．【解答】解：如圖，作CH⊥AB于H交AD于E．∵△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，∴∠HAE=30°，∵∠AHE=90°，∴HE=AE，∵P沿著折線A﹣E﹣C運(yùn)動(dòng)的時(shí)間=+=（EC+AE）=（EC+EH）=CH，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)CH⊥AB時(shí)，P沿著折線A﹣E﹣C運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最短，∵CH、AD是等邊三角形的高，∴CH=AD=10，∴P沿著折線A﹣E﹣C運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最時(shí)間=5s．故答案為5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理、垂線段最短、等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．28．在一張直角三角形紙片中，分別沿兩直角邊上一點(diǎn)與斜邊中點(diǎn)的連線剪去兩個(gè)三角形，得到如圖所示的四邊形，則原直角三角形紙片的斜邊長是10或8．【分析】先根據(jù)題意畫出圖形，此題要分兩種情況，再根據(jù)勾股定理求出斜邊上的中線，最后根據(jù)直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半即可求出斜邊的長．【解答】解：①如圖所示：，連接CD，CD==5，∵D為AB中點(diǎn)，∴AB=2CD=10；②如圖所示：，連接EF，EF==4，∵E為AB中點(diǎn)，∴AB=2EF=8．故答案為：10或8．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了勾股定理，圖形的剪拼，解題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)題意畫出圖形，在解題時(shí)要注意分兩種情況畫圖，不要漏解．29．如圖，在四邊形ABCD中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，則BD的長為．【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)，可得∠BAD與∠CAD′的關(guān)系，根據(jù)SAS，可得△BAD與△CAD′的關(guān)系，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得BD與CD′的關(guān)系，根據(jù)勾股定理，可得答案．【解答】解：作AD′⊥AD，AD′=AD，連接CD′，DD′，如圖：∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD，即∠BAD=∠CAD′，在△BAD與△CAD′中，，∴△BAD≌△CAD′（SAS），∴BD=CD′．∠DAD′=90°由勾股定理得DD′=，∠D′DA+∠ADC=90°由勾股定理得CD′=，∴BD=CD′=，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，作出全等圖形是解題關(guān)鍵．30．如圖，要使寬為2米的矩形平板車ABCD通過寬為2米的等寬的直角通道，平板車的長不能超過4米．【分析】如圖，先設(shè)平板手推車的長度不能超過x米，則得出x為最大值時(shí)，平板手推車所形成的三角形CBP為等腰直角三角形．連接PO，與BC交于點(diǎn)N，利用△CBP為等腰直角三角形即可求得平板手推車的長度不能超過多少米．【解答】解：設(shè)平板手推車的長度不能超過x米則x為最大值，且此時(shí)平板手推車所形成的三角形CBP為等腰直角三角形．連接PO，與BC交于點(diǎn)N．∵直角走廊的寬為2m，∴PO=4m，∴NP=PO﹣ON=4﹣2=2（m）．又∵△CBP為等腰直角三角形，∴AD=BC=2CN=2NP=4（m）．故答案為：4【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用以及等腰三角形知識(shí)，解答的關(guān)鍵是由題意得出要想順利通過直角走廊，此時(shí)平板手推車所形成的三角形為等腰直角三角形．31．如圖，在△ABC中，AB=AC=2，點(diǎn)P在BC上．若點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)，則m=AP2+BP?PC的值為4；若BC邊上有100個(gè)不同的點(diǎn)P1，P2，…，P100，且mi=APi2+BPi?PiC（i=1，2，…，100），則m=m1+m2+…+m100的值為400．【分析】第一個(gè)空，由等腰三角形的三線合一性質(zhì)和勾股定理得出AP2+BP?PC=AB2即可；第二個(gè)空，作AD⊥BC于D．根據(jù)勾股定理，得APi2=AD2+DPi2=AD2+（BD﹣BPi）2=AD2+BD2﹣2BD?BPi+BPi2，PiB?PiC=PiB?（BC﹣PiB）=2BD?BPi﹣BPi2，從而求得mi=AD2+BD2，即可求解．【解答】解：若點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)，如圖1所示：AB=AC=2，∴AP⊥BC，BP=CP，∴∠APB=90°，∴AP2+BP?PC=AP2+BP2=AB2=4．若BC邊上有100個(gè)不同的點(diǎn)P1，P2，…，P100，作AD⊥BC于D，則BC=2BD=2CD，如圖2所示．根據(jù)勾股定理，得APi2=AD2+DPi2=AD2+（BD﹣BPi）2=AD2+BD2﹣2BD?BPi+BPi2，又∵PiB?PiC=PiB?（BC﹣PiB）=2BD?BPi﹣BPi2，∴m1=AD2+BD2=AB2=4，∴m1+m2+…+m100=4×100=400．故答案為：4，400．【點(diǎn)評(píng)】此題主要運(yùn)用了勾股定理和等腰三角形三線合一的性質(zhì)；作輔助線構(gòu)造直角三角形是解本題的突破點(diǎn)，另外代入進(jìn)行整理后代換出PC也是同學(xué)們不容易考慮到的．32．圖（1）是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形圍成的．在Rt△ABC中，若直角邊AC=6cm，BC=5cm，將四個(gè)直角三角形中邊長為6的直角邊分別向外延長一倍，得到圖（2）所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”．則①圖中小正方形的面積為1cm2；②若給這個(gè)“數(shù)學(xué)風(fēng)車”的外圍裝飾彩帶，則需要彩帶的長度至少是76cm．【分析】①表示出小正方形的邊長，然后利用正方形的面積公式列式計(jì)算即可得解；②利用勾股定理求出外圍直角三角形的斜邊，然后根據(jù)周長公式列式計(jì)算即可得解．【解答】解：圖①，小正方形的面積=（6﹣5）2=1cm2；圖②，外圍直角三角形的斜邊==13cm，周長=4×（13+6）=4×19=76cm，即，需要彩帶的長度至少是76cm．故答案為：1cm2，76cm．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的證明，讀懂題目信息并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．33．勾股定理有著悠久的歷史，它曾引起很多人的興趣．1955年希臘發(fā)行了二枚以勾股圖為背景的郵票．所謂勾股圖是指以直角三角形的三邊為邊向外作正方形構(gòu)成，它可以驗(yàn)證勾股定理．在右圖的勾股圖中，已知∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4．作△PQR使得∠R=90°，點(diǎn)H在邊QR上，點(diǎn)D，E在邊PR上，點(diǎn)G，F(xiàn)在邊PQ上，那么△PQR的周長等于27+13．【分析】在直角△ABC中，根據(jù)三角函數(shù)即可求得AC，進(jìn)而由等邊三角形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)及三角函數(shù)就可求得QR的長，在直角△QRP中運(yùn)用三角函數(shù)即可得到RP、QP的長，就可求出△PQR的周長．【解答】解：延長BA交QR于點(diǎn)M，連接AR，AP．∵AC=GC，BC=FC，∠ACB=∠GCF，∴△ABC≌△GFC，∴∠CGF=∠BAC=30°，∴∠HGQ=60°，∵∠HAC=∠BAD=90°，∴∠BAC+∠DAH=180°，又AD∥QR，∴∠RHA+∠DAH=180°，∴∠RHA=∠BAC=30°，∴∠QHG=60°，∴∠Q=∠QHG=∠QGH=60°，∴△QHG是等邊三角形．AC=AB?cos30°=4×=2．則QH=HA=HG=AC=2．在直角△HMA中，HM=AH?sin60°=2×=3．AM=HA?cos60°=．在直角△AMR中，MR=AD=AB=4．∴QR=2+3+4=7+2．∴QP=2QR=14+4．PR=QR?=7+6．∴△PQR的周長等于RP+QP+QR=27+13．故答案為：27+13．【點(diǎn)評(píng)】正確運(yùn)用三角函數(shù)以及勾股定理是解決本題的關(guān)鍵．三．解答題（共17小題）34．如圖平面直角坐標(biāo)系中，已知三點(diǎn)A（0，7），B（8，1），C（x，0）．（1）求線段AB的長；（2）請(qǐng)用含x的代數(shù)式表示AC+BC的值；（3）根據(jù)（2）中得出的規(guī)律和結(jié)論，直接寫出代數(shù)式﹣的最大值．【分析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可求線段AB的長；（2）根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可求線段AC，BC的值，再相加即可求解；（3）由代數(shù)式可得﹣的最大值即為點(diǎn)（0，4）和點(diǎn)（4，1）間的距離，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式即可求解．【解答】解：（1）；（2）AC+BC=+==+；（3）代數(shù)式可得﹣的最大值即為點(diǎn)（0，4）和點(diǎn)（4，1）間的距離，最大值為=5．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查最短路線問題，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，構(gòu)造出符合題意的直角三角形是解題的關(guān)鍵．35．如圖，AD∥BC，AC⊥AB，AB=3，AC=CD=2．（1）求BC的長；（2）求BD的長．【分析】（1）在Rt△ABC中利用勾股定理即可求出BC的長；（2）過點(diǎn)B作BE⊥DC交DC的延長線于點(diǎn)E．根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)得出∠2=∠3，利用角平分線的性質(zhì)得出AB=BE=3，在Rt△BCE中，根據(jù)勾股定理可得EC=2，則ED=4，在Rt△BDE中，利用勾股定理可得BD=5．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∵AC⊥AB，AB=3，AC=2，∴BC==；（2）過點(diǎn)B作BE⊥DC交DC的延長線于點(diǎn)E．∵AC=CD，∴∠1=∠ADC，又∵AD∥BC，∴∠3=∠ADC，∠1=∠2，∴∠2=∠3，又∵AC⊥AB，BE⊥DC，∴AB=BE=3，又由（1）BC=，在Rt△BCE中，由勾股定理可得EC=2；∴ED=2+2=4，在Rt△BDE中，由勾股定理可得BD=5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，等腰三角形、平行線、角平分線的性質(zhì)，掌握各定理是解題的關(guān)鍵．36．如圖，△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，AB=，AC=，AD=3，求BC的長及△ABC的面積．【分析】作輔助線構(gòu)建平行四邊形ABEC，然后根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行且相等及勾股定理的逆定理解答即可．【解答】解：延長AD到E，使DE=AD=3，連接BE，CE．∵D是BC的中點(diǎn)，∴CD=BD，∴四邊形ABEC是平行四邊形，∴AB∥CE，EB=CA=，∵62+（2）2=（4）2，即AE2+AC2=EC2，∴∠EAC=90°，∴CD===，∴BC=2CD=2，∴S△ABC=2S△ACD=2×AC?AD=×3=6．綜上所述，BC的長度為2，△ABC的面積是6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理的逆定理的應(yīng)用、平行四邊形的判定與性質(zhì)．判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可．37．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC的頂點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C在x軸的正半軸上，且BC⊥OC于點(diǎn)C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，2），AB=4，∠B=60°，點(diǎn)D是線段OC上一點(diǎn)，且OD=4，連接AD．（1）求證：△AOD是等邊三角形；（2）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（3）在x軸上求一點(diǎn)P，使△OBP為等腰三角形．【分析】（1）過點(diǎn)A作AM⊥x軸于點(diǎn)M，根據(jù)已知條件，依據(jù)三角函數(shù)求得∠AOM=60°，根據(jù)勾股定理求得OA=4，即可求得．（2）過點(diǎn)A作AN⊥BC于點(diǎn)N，則四邊形AMCN是矩形，在Rt△ABN中，根據(jù)三角函數(shù)求得AN、BN的值，從而求得OC、BC的長，得出點(diǎn)B的坐標(biāo)．（3）利用等腰三角形的特征，分三種情況探討：OB=OP，PO=PB，BO=BP，進(jìn)一步綜合得出答案即可．【解答】解：（1）如圖2，證明：過點(diǎn)A作AM⊥x軸于點(diǎn)M，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，2），∴OM=2，AM=2，∴在Rt△AOM中，tan∠AOM==，∴∠AOM=60°，由勾股定理得，OA==4，∵OD=4，∴OA=OD，∴△AOD是等邊三角形．（2）如圖2，過點(diǎn)A作AN⊥BC于點(diǎn)N，∵BC⊥OC，AM⊥x軸，∴∠BCM=∠CMA=∠ANC=90°∴四邊形ANCM為矩形，∴AN=MC，AM=NC，∵∠B=60°，AB=4，∴在Rt△ABN中，AN=AB?sinB=4×=6，BN=AB?cosB=4×=2，∴AN=MC=6，CN=AM=2，∴OC=OM+MC=2+6=8，BC=BN+CN=2+2=4，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，4）．（3）如圖，連接OB，則OB==4，當(dāng)OB=OP，則P1（4，0），P2（﹣4，0）滿足條件，作OB的垂直平分線交x軸于P3，則P3滿足條件，設(shè)P3（x，0），則x2=（8﹣x）2+（4）2，x=7，P3（7，0）；O關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)P4（16，0）也滿足條件所以在x軸上求一點(diǎn)P，使△OBP為等腰三角形的點(diǎn)有4個(gè)P1（4，0），P2（﹣4，0），P3（7，0），P4（16，0）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用以及勾股定理的應(yīng)用，注意分類討論思想的滲透．38．在△ABC中，AB、BC、AC三邊的長分別為，，，求這個(gè)三角形的面積．小明同學(xué)在解答這道題時(shí)，先畫一個(gè)正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長為1），再在網(wǎng)格中畫出格點(diǎn)△ABC（即△ABC三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)處），如圖1所示．這樣不需求△ABC的高，而借用網(wǎng)格就能計(jì)算出它的面積．（1）△ABC的面積為3.5．（2）若△DEF的三邊DE、EF、DF長分別為，，，請(qǐng)?jiān)趫D2的正方形網(wǎng)格中畫出相應(yīng)的△DEF，并求出△DEF的面積為5．（3）在△ABC中，AB=2，AC=4，BC=2，以AB為邊向△ABC外作△ABD（D與C在AB異側(cè)），使△ABD為等腰直角三角形，則線段CD的長為．【分析】（1）如圖1，運(yùn)用正方形和三角形的面積公式直接求出△ABC的面積，即可解決問題．（2）如圖2，類似（1）中的方法，直接求出△DEF的面積即可解決問題．（3）畫出符合題意的圖形，運(yùn)用勾股定理直接求出即可解決問題．【解答】解：（1）如圖1，△ABC的面積==9﹣3﹣1﹣1.5=3.5，故答案為3.5．（2）如圖2，△DEF的面積=3×4﹣=12﹣2﹣2﹣3=5．故答案為5．（3）如圖3、4、5，分別求出CD的長度如下：CD=2或CD=2或CD=3，故答案為．【點(diǎn)評(píng)】該題主要考查了勾股定理及其應(yīng)用問題；牢固掌握勾股定理是靈活運(yùn)用、解題的基礎(chǔ)和關(guān)鍵．39．如圖，在等腰△ACE中，已知CA=CE=2，AE=2c，點(diǎn)B、D、M分別是邊AC、CE、AE的中點(diǎn)，以BC、CD為邊長分別作正方形BCGF和CDHN，連結(jié)FM、FH、MH．（1）求△ACE的面積；（2）試探究△FMH是否是等腰直角三角形？并對(duì)結(jié)論給予證明；（3）當(dāng)∠GCN=30°時(shí)，求△FMH的面積．【分析】（1）連結(jié)CM，在RT△ACM中，利用勾股定理求出CM的長即可求出△ACE的面積；（2）△FMH是等腰直角三角形，連結(jié)BM，DM，首先證明四邊形四邊形BCDM是邊長1的菱形，設(shè)∠A=α，則∠BMA=∠DME=∠E=∠A=α，∠MDC=2α．利用三角形的內(nèi)角和證明∠FMH=180°﹣∠AMH﹣∠CMH=180°﹣（α+θ）=90°即可；（3）作△HMD的邊MD上的高HQ，則由勾股定理有求出DQ的長，再利用三角形的面積公式即可求出△FMH的面積．【解答】解：（1）連結(jié)CM，∵CA=CE=2，M分別是邊AE的中點(diǎn)，∴CM⊥AE．…（1分）在RT△ACM中，，由勾股定理得，．∴S△ACE=AE?CM=c．…（2分）（2）△FMH是等腰直角三角形．…（3分）證明：連結(jié)BM，DM．∵CA=CE=2，點(diǎn)B、D、M分別是邊AC、CE、AE的中點(diǎn)，∴BC=CD=BM=DM=1．…（4分）∴四邊形BCDM是邊長為1的菱形，∴∠CBM=∠CDM．∴∠CBM+∠FBC=∠CDM+∠HDC，即∠FBM=∠HDM，∴△FBM≌△MDH．…（4分）∴FM=MH，且∠FMB=∠HMD（設(shè)大小為θ）．又設(shè)∠A=α，則∠BMA=∠DME=∠E=∠A=α，∠MDC=2α．在△MDH中，DM=DH=1，∴∠DHM=∠DMH=θ，由三角形內(nèi)角和定理可有：∴∠DHM+∠DMH+∠MDH=180°，得：θ+θ+2α+90°=180°，∴α+θ=45°．…（5分）∴∠FMH=180°﹣∠AMH﹣∠CMH=180°﹣2（α+θ）=90°．∴△FMH是等腰直角三角形．…（6分）（3）在等腰△ACE中，∠ACE=180°﹣2α，又當(dāng)∠GCN=30°時(shí)，∠ACE=360°﹣∠GCN=180°﹣30°=150°從而有：180°﹣2α=150°，又α+θ=45°，得θ=30°，α=15°．…（7分）如圖，作△HMD的邊MD上的高HQ，則由勾股定理有：，，…（8分）∴△FMH的面積．…（9分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的運(yùn)用、菱形的判定、等腰直角三角形的判定、三角形的內(nèi)角和定理以及全等三角形的判定和性質(zhì)，題目的綜合性強(qiáng)難度大．解題的關(guān)鍵是作△HMD的邊MD上的高HQ，構(gòu)造直角三角形．40．如圖，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M為EF中點(diǎn)，求AM的最小值．【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理可以證明∠BAC=90°；根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，則AM=EF，要求AM的最小值，即求EF的最小值；根據(jù)三個(gè)角都是直角的四邊形是矩形，得四邊形AEPF是矩形，根據(jù)矩形的對(duì)角線相等，得EF=AP，則EF的最小值即為AP的最小值，根據(jù)垂線段最短，知：AP的最小值即等于直角三角形ABC斜邊上的高．【解答】解：∵在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，∴AB2+AC2=BC2，即∠BAC=90°．又∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴四邊形AEPF是矩形，∴EF=AP．∵M(jìn)是EF的中點(diǎn)，∴AM=EF=AP．當(dāng)AP⊥BC時(shí)，AP的最小值即為直角三角形ABC斜邊上的高，∴AM的最小值是．【點(diǎn)評(píng)】考查了勾股定理的逆定理，本題綜合運(yùn)用了勾股定理的逆定理、矩形的判定及性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)．要能夠把要求的線段的最小值轉(zhuǎn)換為便于分析其最小值的線段．41．閱讀下列材料：小明遇到一個(gè)問題：在△ABC中，AB，BC，AC三邊的長分別為、、，求△ABC的面積．小明是這樣解決問題的：如圖1所示，先畫一個(gè)正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長為1），再在網(wǎng)格中畫出格點(diǎn)△ABC（即△ABC三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)處），從而借助網(wǎng)格就能計(jì)算出△ABC的面積．他把這種解決問題的方法稱為構(gòu)圖法．參考小明解決問題的方法，完成下列問題：（1）圖2是一個(gè)6×6的正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長為1）．①利用構(gòu)圖法在答卷的圖2中畫出三邊長分別為、、的格點(diǎn)△DEF；②計(jì)算①中△DEF的面積為8；（直接寫出答案）（2）如圖3，已知△PQR，以PQ，PR為邊向外作正方形PQAF，正方形PRDE，連接EF．①判斷△PQR與△PEF面積之間的關(guān)系，并說明理由．②若PQ=，PR=，QR=3，直接寫出六邊形AQRDEF的面積為32．【分析】（1）利用勾股定理借助網(wǎng)格求出即可；（2）六邊形AQRDEF的面積=邊長為的正方形面積+邊長為的正方形面積+△PEF的面積+△PQR的面積，其中兩個(gè)三角形的面積分別用長方形的面積減去各個(gè)小三角形的面積．【解答】解：（1）①如圖所示：②△DEF的面積為4×5﹣×2×3﹣×2×4﹣×2×5=8；（2）①如圖3，△PEF的面積為6×2﹣×1×6﹣×1×3﹣×3×2=，△PQR的面積為×3×3=，∴△PQR與△PEF面積相等；②六邊形AQRDEF的面積為（）2+++（）2=13+9+10=32．故答案為：8；32．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了勾股定理以及三角形面積求法，關(guān)鍵是結(jié)合網(wǎng)格用矩形及容易求得面積的直角三角形表示出所求三角形的面積進(jìn)行解答．42．如圖所示，在△ABC中，AB=5，AC=13，BC邊上的中線AD=6，求BC的長．【分析】延長AD到E使AD=DE，連接CE，證△ABD≌△ECD，求出AE和CE的長，根據(jù)勾股定理的逆定理求出∠E=90°，根據(jù)勾股定理求出CD即可．【解答】解：延長AD到E使AD=DE，連接CE，在△ABD和△ECD中，∴△ABD≌△ECD，∴AB=CE=5，AD=DE=6，AE=12，在△AEC中，AC=13，AE=12，CE=5，∴AC2=AE2+CE2，∴∠E=90°，由勾股定理得：CD==，∴BC=2CD=2，答：BC的長是2．【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、全等三角形的性質(zhì)和判定、三角形的中線等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確地作輔助線，把已知條件轉(zhuǎn)化成一個(gè)直角三角形，題型較好．43．探究下列幾何題：（1）如圖（1）所示，在△ABC中，CP⊥AB于點(diǎn)P，求證：AC2﹣BC2=AP2﹣BP2；（2）如圖（2）所示，在四邊形ABCD中，AC⊥BD于點(diǎn)P，猜一猜AB，BC，CD，DA之間有何數(shù)量關(guān)系，并用式子表示出來（不用證明）；（3）如圖（3）所示，在矩形ABCD中，P是其內(nèi)部任意一點(diǎn)，試猜想AP，BP，CP，DP之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明．【分析】（1）在Rt△ACP和Rt△BPC中利用勾股定理表示CP整理就可以得到；（2）根據(jù)AC⊥BD，分別利用勾股定理表示出AB，BC，CD，DA，再根據(jù)AP、PC、PB、PD就可以得出數(shù)量關(guān)系；（3）構(gòu)造直角三角利用勾股定理表示AP，BP，CP，DP結(jié)合（2）的經(jīng)驗(yàn)，就可以得到它們的關(guān)系．【解答】（1）證明：∵在Rt△ACP中PC2=AC2﹣AP2在Rt△BCP中，PC2=BC2﹣BP2∴AC2﹣BC2=AP2﹣BP2（2）解：∵AB2=AP2+PB2，BC2=BP2+CP2，CD2=CP2+DP2，AD2=DP2+AP2．∴AB2+CD2=AD2+BC2（3）解：PA2+PC2=PB2+PD2證明：過P作EF∥AD交AB，CD于E，F(xiàn)，過P作MN∥AB交AD，BC于M，N則PA2=AM2+PM2，PB2=BN2+PN2，PC2=PN2+NC2，PD2=MD2+PM2∵AM=BN，MD=NC，∴PA2+PC2=PB2+PD2．【點(diǎn)評(píng)】主要考查勾股定理的運(yùn)用，多次運(yùn)用勾股定理，再根據(jù)相等線段得到所需數(shù)量關(guān)系．44．設(shè)a，b，c，d都是正數(shù)．求證：+＞．【分析】構(gòu)建一個(gè)三角形使得其三邊為：+＞的三角形，根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊可以求證．【解答】解：如圖，構(gòu)造一個(gè)邊長為（a+b）、（c+d）的矩形ABCD，在Rt△ABE中，BE=，所以BE=在Rt△BCF中，BF=在Rt△DEF中，EF=在△BEF中，BE+EF＞BF即+＞．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的運(yùn)用，本題中設(shè)計(jì)矩形ABCD并且構(gòu)建三角形BEF是解題的關(guān)鍵．45．如圖：四邊形ABCD中，AD=DC，∠ABC=30°，∠ADC=60°．試探索以AB、BC、BD為邊，能否組成直角三角形，并說明理由．【分析】先以BC為邊作等邊△BCE，連接AE、AC，由于AC=CD，∠ACE=∠DCB，CB=CF，利用SAS易證△DCB≌△ACE，那么AE=CB，而△ABE是直角三角形，根據(jù)勾股定理有AB2+BE2=AE2，等量代換可得AB2+BC2=