四種命題與充要條件

歐陽德創(chuàng)編 歐陽德創(chuàng)編 2021.03.07歐陽德創(chuàng)編 2021.03.07常用邏輯用語與充要條件時間：2021.03.07創(chuàng)作：歐陽德【高考考情解讀】1.本講在高考中主要考查集合的運算、充要條件的判定、含有一個量詞的命題的真假判斷與否定，常與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、立體幾何、解析幾何、數(shù)列等知識綜合在一起考查.2.試題以選擇題、填空題方式呈現(xiàn)，考查的基礎知識和基本技能，題目難度中等偏下．1．命題的定義用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句叫做命題.其中判斷為真的語句叫真命題，判斷為假的語句叫假命題.2．四種命題及其關系⑴原命題為“若P則q”，則它的逆命題為若q則p；否命題為若［p則1q；逆否命題為若［q則1p.⑵原命題與它的逆否命題等價；逆命題與它的否命題等價.四種命題中原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假，遇到復雜問題正面解決困難的，采用轉(zhuǎn)化為反面情況處理，即，可以轉(zhuǎn)化為判斷歐陽德創(chuàng)編 歐陽德創(chuàng)編 2021.03.07歐陽德創(chuàng)編 歐陽德創(chuàng)編 2021.03.07它的逆否命題的真假．命題真假判斷的方法：(1)對于一些簡單命題，若判斷其為真命題需推理證明．若判斷其為假命題只需舉出一個反例．(2)對于復合命題的真假判斷應利用真值表．(3)也可以利用“互為逆否命題”的等價性，判斷其逆否命題的真假．3．充分條件與必要條件的定義(1)若p=q且qP,則p是q的充分非必要條件.(2)若q=P且Pq,則P是q的必要非充分條件.(3)若pnq且qnP,則P是q的充要條件.⑷若Pq且qP,則P是q的非充分非必要條件.設集合A二{x|x滿足條件p},B={x|x滿足條件q},則有⑴若AuB，則p是q的充分條件，若AnB，則p是q的充分不必要條件；⑵若BuA，則p是q的必要條件，若BnA,則p是q的必要不充分條件；⑶若A二B,則p是q的充要條件；⑷若AB,且BA,則p是q的既不充分也不必要條件．2．充分、必要條件的判定方法⑴定義法，直接判斷若p則q、若q則p的真假.(2)傳遞法．⑶集合法：若p以集合A的形式出現(xiàn)，q以集合B的形式出現(xiàn)，即A={x|p(x)},B={x|q(x)},則①若A&B,則P是q的充分條件；②若BuA,則p是q的必要條件；③若A二B,則p是q的充要條件.⑷等價命題法：利用AoB與］BonA,BoA與1AoiB,AoB與］BQ］A的等價關系，對于條件或結論是否定式的命題，一般運用等價法，利用原命題和逆否命題是等價的這個結論,有時可以準確快捷地得出結果,是反證法的理論基礎．1．簡單的邏輯聯(lián)結詞⑴命題中的“且”、“或”、“非”叫作邏輯聯(lián)結詞.(2)簡單復合命題的真值表：pqipiqp或qp且qi（p或q）i（p且q）ip或iqip且iq真真假假真真假假假假真假假真真假假真真假假真真假真假假真真假假假真真假假真直真直2.全稱〈量詞與存在量詞(1)常見的全稱量詞有“任意一個”“一切”“每一個”“任給”“所有的”等.(2)常見的存在量詞有“存在一個”“至少有一個”“有些”“有一個”“某個”“有的”等.3．全稱命題與特稱命題(1)含有全稱量詞的命題叫全稱命題.(2)含有存在量詞的命題叫特稱命題.4命題的否定(1)全稱命題的否定是特稱命題；特稱命題的否定是全稱命題■(2)p或q的否定：非p且非q；p且q的否定：非p或非q.注：.邏輯聯(lián)結詞“或”的含義邏輯聯(lián)結詞中的“或”的含義，與并集概念中的“或”的含義相同.如儀€人或xcB”，是指：xcA且x隹B；x隹A且xcB;xcA且xcB三種情況.再如“p真或q真”是指：p真且q假；p假且q真；p真且q真三種情況..命題的否定與否命題“否命題”是對原命題“若p,則q”的條件和結論分別加以否定而得到的命題，它既否定其條件，又否定其結論；“命題的否定”即“非P”，只是否定命題p的結論.命題的否定與原命題的真假總是對立的，即兩者中有且只有一個為真，而原命題與否命題的真假無必然聯(lián)系．3．含一個量詞的命題的否定全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題．1.(2013?皖南八校)命題“若一個數(shù)是負數(shù)，則它的平方是正數(shù)”的逆命題是( )A.“若一個數(shù)是負數(shù)，則它的平方不是正數(shù)”B.“若一個數(shù)的平方是正數(shù)，則它是負數(shù)”C.“若一個數(shù)不是負數(shù)，則它的平方不是正數(shù)”D.“若一個數(shù)的平方不是正數(shù)，則它不是負數(shù)”解析依題意得原命題的逆命題是：若一個數(shù)的平方是正數(shù)，則它是負數(shù).選B.2.(2012?湖北)命題“存在一個無理數(shù)，它的平方是有理數(shù)”的否定是( )A.任意一個有理數(shù)，它的平方是有理數(shù)B.任意一個無理數(shù)，它的平方不是有理數(shù)C.存在一個有理數(shù)，它的平方是有理數(shù)D.存在一個無理數(shù)，它的平方不是有理數(shù)答案B解析這是一個特稱命題，特稱命題的否定不僅僅要否定結論而且要將相應的存在量詞“存在一個”改為全稱量詞“任意一個"，故選B。2.已知a,b,CCR,命題“若a+b+c=3,貝ij。2+b2+C2>3”的否命題是 ）A.若a+b+cw3,貝ijQ2+b2+C2<3B.若a+b+c=3,貝ijQ2+b2+C2<3C.若a+b+cw3,貝iJa2+b2+C243D.若Q2+b2+C243,貝ija+b+c=3答案A解析從“否命題”的形式入手,但要注意“否命題”與“命題的否定”的區(qū)別.命題的否命題是原命題的條件與結論分別否定后組成的命題,所以A正確.【山東省臨沂市某重點中學2014屆高三9月月考】命題“若函數(shù)/G）二log%（°〉0,0豐1）在其定義域內(nèi)是減函a數(shù)，則log2<0.”的逆否命題是（）aA.若log2>0,則函數(shù)f（x）=log%（a〉0,a豐1）在其定義aa域內(nèi)不是減函數(shù)B-若log2<0,則函數(shù)f(x)=logx(a>0,a豐1)在其定義aa域內(nèi)不是減函數(shù)C,若叫2>0,則函數(shù)f(x)=logx(a>0,a01)在其定義aa域內(nèi)是減函數(shù)D若log2<0，則函數(shù)f(x)=logx(a>0,a豐1)在其定義aa域內(nèi)是減函數(shù)【答案】A【解析】先對命題取逆,然后取否可得“若10取2之。,則函數(shù)rco=金式白:口,口h1)在其定義域內(nèi)不是減函數(shù)，選乩命題“若x,y都是偶數(shù)，則x+y也是偶數(shù)”的逆否命題是( )A.若x+y是偶數(shù)，則x與y不都是偶數(shù)B.若x+y是偶數(shù)，則x與y都不是偶數(shù)C.若x+y不是偶數(shù)，則x與y不都是偶數(shù)D.若x+y不是偶數(shù)，則x與y都不是偶數(shù)答案C解析由于“x,y都是偶數(shù)”的否定表達是“x,y不都是偶數(shù)”，"x+y是偶數(shù)”的否定表達是“x+y不是偶數(shù)”,故原命題的逆否命題為“若x+y不是偶數(shù)，則x,y不都是偶數(shù)”，故選C.5.與命題“若QCM,則XM”等價的命題是（）A.若Q隹M,貝ijb隹MB,若b隹M,貝iJqcMC.若Q隹M,貝iJbcMD.若bcM,貝ijQ隹M解析：因為原命題只與逆否命題是等價命題，所以只需寫出原命題的逆否命題即可.故骸.答案：D4.下列命題中為真命題的是 ）A.命題“若x>y,則x>|y|"的逆命題B.命題“若x>l,則X2>1”的否命題C.命題“若x=l,貝1JX2+X-2=0”的否命題D.命題“若X2>0,則x>l”的逆否命題答案A解析對于A,其逆命題：若x>|y|,則x>y,是真ryy>0命題，這是因為x>[y|=] ，必有x>y；-yy<。對于B,否命題：若x&1,則X2&1,是假命題.如x二-5,X2=25>1；對于C,其否命題：若xwl,則IJx2+x—2w0,因為x=—2時，X2+X—2=0,所以是假命題；對于D,若x2>0,則ijx>0或x<0,不一定有x>1,因此原命題的逆否命題是假命題，故選A.2.已知命題P：3ncN,2n>1000,則1p為( )．A.VncN,2n&1000B.VncN,2n>1000C.3ncN,2n&1000D.3ncN,2nv1000解析特稱命題的否定是全稱命題.即P：3XCM,p(x),貝卜p：VxeM,np(x).故選A.答案A4.(2012?湖北改編)命題“存在x0c[RQ,X0CQ”的否定是( )A.存在x0Dc/CRQ,x0CQB.存在x0€CRQ,x0DC/QC.任意xDc/CRQ,x3CQD.任意xcCRQ,x3DC/Q答案D解析“存在”的否定是“任意”，x3CQ的否定是x3DC/Q.命題“存在x0CCRQ,xgcQ”的否定是“任意xcCQ,xaDc/Q”，故應選D.R1.(2011?安徽)命題“所有能被2整除的整數(shù)都是偶數(shù)”的否定是()．．A.所有不能被2整除的整數(shù)都是偶數(shù)B.所有能被2整除的整數(shù)都不是偶數(shù)C.存在一個不能被2整除的整數(shù)是偶數(shù)D.存在一個能被2整除的整數(shù)不是偶數(shù)答案D解析由于全稱命題的否定是特稱命題，本題“所有能被2整除的整數(shù)都是偶數(shù)”是全稱命題，其否定為特稱命題“存在一個能被2整除的整數(shù)不是偶數(shù)”．2.(2012?遼寧改編)已知命題P：對任意X1,X2CR,(f(X2)—f(x1))?(X2—xM0,則1p是()A.存在x1,x2€R,(f(x2)-f(xi))(x2-x1)<0B.對任意x1,x2cR,(f(x2)-f(xi))(x2-xi)<0C.存在x1,X2CR,f(X2)-f(xJ)(X2-xJ<0D.對任意x1,X2CR,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<o答案C解析^p：存在x1,x2€R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0.2.(2012?安徽)命題“存在實數(shù)x,使x>1”的否定．．是( )A.對任意實數(shù)X,都有x>1B.不存在實數(shù)x,使x&1C.對任意實數(shù)x，都有X&1D.存在實數(shù)X,使X&1答案C解析利用特稱命題的否定是全稱命題求解．“存在實數(shù)x,使x>1”的否定是“對任意實數(shù)X,都有X<1”.故選C.11．給出以下三個命題：①若ab<0,貝ija<0或b<0;②在aABC中，若sinA二sinB,則A二B；③在一元二次方程ax2+bx+c=0中，若b2—4ac<0,則方程有實數(shù)根.其中原命題、逆命題、否命題、逆否命題全都是真命題的是( )A.①B.②C.③D.②③答案(1)A(2)B解析(1)不等式2x2＋x－1>0的解集為<xx>2或x<—1>,故由x>1=2x2+x—1>0,但2x2I J+x—l>0D=/x>1,故選A.⑵在aABC中，由正弦定理得sinA二sinBoa=b=A二B.故選B.6．下列結論：①若命題p：存在xcR,tanx=l；命題q：對任意xcR,X2-x+1>0.則命題“p且-|q"是假命題；②已知直線L：ax+3y-1=0,l2：x+by+l=0,則Lll2的充要條件是；=-3;③命題“若x2-3x+2=0,則ijx=l”的逆否命題：“若xwl,則x2-3x+2w0”.其中正確結論的序號為.答案①③解析①中命題P為真命題，命題q為真命題，所以p且］q為假命題，故①正確；②當b=a=0時，有11112,故②不正確；③正確.所以正確結論的序號為①③..下列命題中正確命題的序號是 .①若ac2>bc2,則ija>b；②若sina=sinB,貝ija二國③“實數(shù)a=0”是“直線x-2ay=l和直線2x-2ay=1平行”的充要條件；④若f(x)=1og2x,則f(|x|)是偶函數(shù).答案①③④解析對于①，ac2>bc2,C2>0,/.a>b正確；對于②，sin30°=sin150°D=/30°=150°,所以②錯誤；對于③，11//12oA1B廣A2B1,即—2a=—4aoa二0且A1c2wA2c1,所以③對；對于④顯然對..已知P(x):X2+2x-m>0,如果p(1)是假命題，p(2)是真命題，則實數(shù)m的取值范圍為.答案[3,8)解析因為p⑴是假命題，所以1+2-mw0,解得m>3；又因為p(2)是真命題，所以4+4—m>0，解得m<8.故實數(shù)m的取值范圍是3&m<8.以下命題是真命題的序號是 .⑴“若f(x)是奇函數(shù)，貝ijf(-x)也是奇函數(shù)”的逆命題；⑵“若x,y是偶數(shù)，則x+y也是偶數(shù)”的否命題；(3)“正三角形的三個內(nèi)角均為60°”的否命題；⑷“若a+b+c=3,則ija2+b2+C2>3”的逆否命題；【解析】對于(4),只需證明原命題為真，va+b+c=3,/.(a+b+c)2=9./.a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=9,從而3(a2+b2+C2)49,，Q2+b2+C2A3成立.【答案】(1)(3)(4)2．下列命題中正確的是( )A.若命題P為真命題，命題q為假命題，則命題“pAq”為真命題B.“sin°二1”是“a=；”的充分不必要條件26C.l為直線，a,B為兩個不同的平面，若HB,aiB,則l//aD.命題“xcR,2x>0”的否定是叼x0cR,2X040”答案D解析對A,只有當p,q全是真命題時，PAq為真；對B,sina=1=。=2如+1或2kn+”，kcZ,2 66故"sina=1”是“a二二”的必要不充分條件；對26C,IB,aiB=l//a或lua；對D,全稱命題的否定是特稱命題，故選》15.給出下列四個命題：①命題“若。=B,貝cosa二cosB”的逆否命題；②叼X0CR,使得X0-x0>O”的否定是：“vxcR,均有*2-*<0”；③命題“x2=4”是“x=-2”的充分不必要條件；④p：ac{a,b,c},q：{a}c{a,b,c},p且q為真命題．其中真命題的序號是 ．(填寫所有真命題的序號)答案①④解析對①，因命題“若。二仇貝|Jcos。=cosB”為真命題，所以其逆否命題亦為真命題，①正確；對②，命題叼X°CR,使得x0—x0>o”的否定應是：“VXCR,均有X2-X40"，故②錯；對③，因由%工4”得x=±2,所以“X2=4”是“x=-2”的必要不充分條件，故③錯；對④，p,q均為真命題，由真值表判定p且q為真命題，故④正確10.給出下列命題：①VXCR,不等式X2+2x>4x-3均成立；②若log2x+logx2>2,則x>1；③“若a>b>0且c<0,貝ijc>c”的逆否命題；④若p且q為假命題，則p,q均為假命題.其中真命題是( )A.①②③B.①②④C①③④D.②③④答案A解析①中不等式可表示為(x-1)2+2>0,恒成立；1②中不等式可變?yōu)閘o%x+ >2,得x>1；③中由2a>b>0,得1<；,而c<0,所以原命題是真命題，則它的逆否命題也為真；④由P且q為假只能得出P,q中至少有一個為假，④不正確.12．給出下列命題：①原命題為真，它的否命題為假；②原命題為真，它的逆命題不一定為真；③一個命題的逆命題為真，它的否命題一定為真；④一個命題的逆否命題為真，它的否命題一定為真；⑤“若m>1,則mx2—2(m+1)x+m+3>0的解集為R”的逆命題.其中真命題是 ．(把你認為正確命題的序號都填在橫線上)解析：原命題為真，而它的逆命題、否命題不一定為真，互為逆否命題同真同假，故①④錯誤，②③正確．又因為不等式mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集為R,

m>0m>0om>1A=4m+12-4mm+3<00m>1.故⑤正確.答案：②③⑤.設x,ycR,貝ij“X2+y2>9”是“x>3且y>3”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件答案B解析結合圖形與性質(zhì)，從充要條件的判定方法入手.如圖：x2+y2>9表示以原點為圓心，3為半徑的圓上及圓外的點，當X2+y249時，x>3且y43并不一定成立，當x=2,y=3時，x2+y249,但x>3且y>3不成立；而x>3且y43時，x2+y249一定成立，故選B.一個命題的否命題、逆命題、逆否命題是根據(jù)原命題適當變更條件和結論后得到的形式上的命題，解這類試題時要注意對于一些關鍵詞的否定，如本題中等于的否定是不等于，而不是單純的大于、也不是單純的小于.進行充要條件判斷實際上就是判斷兩個命題的真假，這里要注意斷定一個命題為真需要進行證明，斷定一個命題為假只要舉一個反例即可．.“a>0”是“|a|>0”的（ ）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析因為|a|>0=a>0或a<0,所以a>0=|Q|>0,但|Q|>0,9>0,所以a>0是|a|>0的充分不必要條件，故選A..0vx<5是不等式|x-2|v4成立的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析由|x-2|<4,得—2<x<6。0<x<5是-2Vx<6的子集，0<x<5是不等式|x-2|<4成立的充分不必要條件。.（2012?陜西）設a,b€R,i是虛數(shù)單位，則“abb二0”是“復數(shù)a+〒為純虛數(shù)”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件b解析由Q+〒為純虛數(shù)可知a=0,bw0,所以ab=0.而Qb=0「Q=0,且bw0.故選B項..(2012?重慶)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且以2為周期，貝ij“f(x)為[0,1]上的增函數(shù)”是“f(x)為[3,4]上的減函數(shù)”的()A.既不充分也不必要條件.充分而不必要條件C.必要而不充分條件D.充要條件解析,"€[0,1]時，f(x)是增函數(shù)，又,「丫二f(x)是偶函數(shù)，，xc[-1,0]時，f(x)是減函數(shù).當xc[3,4]時，x-4€[-1,0],vT=2,，f(x)=f(x—4).，xc[3,4]時，f(x)是減函數(shù)，充分性成立.反之：xc[3,4]時，f(x)是減函數(shù)，x-4c[-1,0],■/T=2,Af(x)=f(x-4).，xc[-1,0]時，f(x)是減函數(shù).???y二f(x)是偶函數(shù)，，xc[0,i]時，f(x)是增函數(shù)，故選D.8.(2011?天津)設x,ycR,貝ij“x>2且y>2”是僅2+丫2>4”的( )A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件解析因為x>2且y>2=X2+y2>4易證，所以充分性滿足，反之，不成立，如x=y=4，滿足X2+丫2>4,但不滿定>2且y>2,所以x>2且y>2是X2+y2>4的充分而不必要條件，故選擇A.9已知a、b是實數(shù)，貝ij3。<3b是log3avlog3b的（ ）A,充分不必要條件B,必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析由題知，3av3b=a〈b,iog3avlog3b=0vavb.故3av3b是log3avlog3b的必要不充分條件.故選B.110.（2012?天津）設XCR,貝ij“x>2”是“2X2+X—1>0”的（ ）A,充分而不必要條件B,必要而