1.1隨機事件及其運算

隨機現(xiàn)象有沒有規(guī)律？怎樣獲得其規(guī)律？擲硬幣試驗高爾頓板試驗試驗序號12345672315124222521252418272512492562472512622580.40.60.21.00.20.40.80.440.500.420.480.360.540.5020.4980.5120.4940.5240.5160.500.502

將一枚硬幣拋擲5次、50次、500次,各做7遍,觀察正面出現(xiàn)的次數(shù)nH及頻率f.波動更小隨n的增大,頻率

f呈現(xiàn)出穩(wěn)定性1.1隨機現(xiàn)象拋硬幣試驗高爾頓(Galton)板試驗試驗?zāi)Ｐ腿缦滤?自上端放入一小球,任其自由下落,在下落過程中當(dāng)小球碰到釘子時,從左邊落下與從右邊落下的機會相等.碰到下一排釘子時又是如此.最后落入底板中的某一格子.1.1隨機現(xiàn)象請看動畫演示1.1隨機現(xiàn)象

隨機現(xiàn)象在一次觀察中出現(xiàn)什么結(jié)果具有偶然性，但大量試驗或觀察中,結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的規(guī)律性如何來刻劃隨機現(xiàn)象?結(jié)論－－統(tǒng)計規(guī)律性。對隨機現(xiàn)象進行大量重復(fù)的觀測或?qū)嶒灒P(guān)注的主要內(nèi)容：1.有哪些可能的結(jié)果------事件；2.結(jié)果出現(xiàn)的可能性大小------概率。第一章隨機事件與概率1.1隨機事件及其運算1.1.1隨機試驗對隨機現(xiàn)象進行的觀測或?qū)嶒灲y(tǒng)稱為隨機試驗.1.在相同條件下可以重復(fù)進行.2.每次試驗的可能結(jié)果不止一個,并且能事先明確試驗的所有可能結(jié)果.3.每次試驗之前不能確定哪一個結(jié)果會出現(xiàn).例1

在相同條件下擲一枚均勻的硬幣，觀察正反兩面出現(xiàn)的情況.例2

從學(xué)校西門口乘車到市百貨樓，觀察所遇到的紅燈次數(shù).例3從一批燈泡中任取一只,測試其壽命.隨機試驗的例子研究隨機現(xiàn)象,就是要研究:(1)可能有哪些結(jié)果------事件.(2)每個事件發(fā)生的可能性大小--------概率.1.1.2樣本空間(SamplingSpace)例1：拋一枚硬幣,觀察正面H、反面T出現(xiàn)的情況.則樣本空間為其中ω1－－正面H朝上，ω2－－反面T朝上.樣本空間也可表示為Ω

={H,T}Ω={ω1，ω2}隨機試驗E的一切可能基本結(jié)果組成的集合稱為樣本空間,記為Ω={ω}.ω表示基本結(jié)果,又稱為樣本點(SamplingPoint).例2：將一枚硬幣拋擲三次,觀察正面H、反面T出現(xiàn)的情況.例3：將一枚硬幣拋擲三次,觀察正面H出現(xiàn)的次數(shù).例4：拋一粒骰子,觀察出現(xiàn)的點數(shù).Ω2={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}Ω3={0,1,2,3}Ω4={1,2,3,4,5,6}則樣本空間為則樣本空間為則樣本空間為例7記錄某地一晝夜的最高溫度和最低溫度.則樣本空間為例5記錄電話交換臺一分鐘內(nèi)接到的呼喚次數(shù).則樣本空間為例6在一批燈泡中任意抽取一只,測試它的壽命.則樣本空間為Ω5={0,1,2,3,…}Ω6={t|t≥0}Ω7={(x,y)|T0≤x≤y≤T1}這里x表示最低溫度,y表示最高溫度.例8盒中有3個白球（編號為1,2,3）和2個紅球（編號為4,5），從中依次取出兩球.（1）觀察兩球的顏色.則樣本空間為（2）觀察出現(xiàn)的號碼.則樣本空間為（3）觀察白球的個數(shù).則樣本空間為Ω={白白，白紅，紅白，紅紅}Ω={12,13,14,15,

21,23,24,25,31,32,34,35,

41,42,43,45,51,52,53,54}Ω={0,1,2}樣本空間由試驗?zāi)康亩◣c說明：1.樣本空間中的元素可以是數(shù)也可以不是數(shù)。2.樣本空間分類離散樣本空間連續(xù)樣本空間樣本點的個數(shù)為有限或可列個樣本點的個數(shù)為不可列無限個樣本空間例1、2、3、4、5、8.例6、7.1.1.3隨機事件(randomevent)通俗地講，試驗中可能發(fā)生也可能不發(fā)生的結(jié)果，稱為隨機事件.例購買體育彩票一張，“中特等獎”、“中獎”、“中三等獎”均為隨機事件.一般地，試驗的若干樣本點組成的集合，稱為隨機事件，簡稱為事件.常用大寫字母A,B,C,…表示.試驗的樣本空間Ω與事件A的關(guān)系?集合的角度：全集與子集，例1將一枚硬幣拋擲三次,觀察正面H、反面T出現(xiàn)的情況.用集合表示下列事件.A2={HHH,TTT}（2）事件A2={三次出現(xiàn)同一面},則A1={HHH,HHT,HTH,HTT}（1）事件A1={第一次出現(xiàn)的是正面H},則A3={HHT，HTH，THH}（3）事件A3={出現(xiàn)二次正面},則1.1.3隨機事件Ω={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}例2:在一批燈泡中任意抽取一只,測試它的壽命.事件B:“壽命小于1000小時”,則B={t|0≤t<1000}例3:記錄某地一晝夜的最高溫度和最低溫度.事件C:“最高溫度與最低溫度相差10度”,則C={(x,y)|y-x

=10,T0≤x≤y≤T1}思考：說事件A發(fā)生意味著什么？什么條件下說某事件A發(fā)生？在每次試驗中都不發(fā)生的事件，稱為不可能事件(Impossibleevent)，記為

.※

稱事件A發(fā)生，當(dāng)且僅當(dāng)A中的某個樣本點出現(xiàn).例擲一粒骰子，記A,B,C分別表示“出現(xiàn)大點”,“出現(xiàn)幺點”，“出現(xiàn)偶數(shù)點”.若出現(xiàn)6點，則事件A,C均發(fā)生，但事件B不發(fā)生.※在每一次試驗中都發(fā)生的事件，稱為必然事件（CertainEvent),記為Ω.1.1.4隨機變量(randomvariable)直觀定義隨試驗結(jié)果的不同而變化的量稱為隨機變量.通常用大寫字母X,Y,Z,…表示.例1:拋一粒骰子,記X為出現(xiàn)的點數(shù)，則X是一個隨機變量.（1）事件“出現(xiàn)3點”可用“X=3”表示.（2）事件“出現(xiàn)的點數(shù)不小于3”可用“X≥3”表示.例2:拋二粒骰子的樣本空間為：記X、Y分別為第一、二粒骰子出現(xiàn)的點數(shù)，則：

（1）事件“點數(shù)之和等于5”可表示為（2）事件“最大點數(shù)為6”可表示為事件表示法1.語言法例1:拋一粒骰子,觀察出現(xiàn)的點數(shù).記X為出現(xiàn)的點數(shù)，則樣本空間為事件A：“出現(xiàn)的點數(shù)不小于3”＝{1,2,3,4,5,6}A={3,4,5,6}A={X≥3}語言描述集合法隨機變量法2.集合法3.隨機變量法1.1.5事件間的關(guān)系(Relationofevents)設(shè)試驗E的樣本空間為Ω

,A,B,Ak(k=1,2,…)是事件.1.1.5.1包含關(guān)系若事件A發(fā)生必導(dǎo)致事件B發(fā)生，則稱事件B包含事件A.記作A

B.BAΩBA

B例1:拋一粒骰子，事件A=“出現(xiàn)4點”，B=“出現(xiàn)偶數(shù)點”

.

則A

B.例2:記T為電視機的壽命,令

A={壽命超過10000小時}={T|

T>10000}，

B={壽命超過20000小時”}={T|

T>20000}.

則B

A.1.1.5.2相等關(guān)系即A

B且B

A

A＝B.例1拋二粒骰子，A={二粒骰子點數(shù)之和為奇數(shù)}，B={二粒骰子的點數(shù)為一奇一偶}.若事件A發(fā)生必然導(dǎo)致B發(fā)生，而且B發(fā)生必然導(dǎo)致A發(fā)生，則稱事件A與B相等.記作A=

B.則A=

B.1.1.5.3互不相容(Incompatibleevents)

若事件A與事件B不能同時發(fā)生,則稱事件A與B互不相容

.

AB例A={壽命小于10000小時},B=“壽命大于20000小時”.則事件A與B互不相容.1.1.6.1事件的和（并）(Unionofevents)

“事件A,B

中至少有一個發(fā)生”，稱為事件A與B的和（并）.記作A∪B.1.1.6事件的運算(operationofevents)即A∪B={x|x∈A或x∈B}

BAA∪B注意A∪B={事件A發(fā)生或事件B發(fā)生}

＝{A

發(fā)生,且B不發(fā)生;或A不發(fā)生,且B發(fā)生;或A,B都發(fā)生}A1.1.6.2事件的積（交）(Productofevents)

B“事件A與B都發(fā)生”，稱為事件A與B的積（交）.記作A∩B

或AB即A∩B=AB={x|x∈A，x∈B}1.1.6事件的運算命題若事件A與B互不相容，則AB＝

.反之亦然.AB

“事件A出現(xiàn)而事件B不出現(xiàn)”,稱為事件A與B的差.記作A-B.即圖示A與B的差.

AB

AB1.1.6.3事件的差(Differenceofevents)

1.1.6事件的運算1.1.6.4對立(逆）事件(Oppositeevents)

“事件A不發(fā)生”，稱為A的對立（逆）事件.記作ā.即注1：若事件A,B滿足A∪B=Ω，且AB=

.則稱事件A與B互為對立（逆）事件.AΩ思考：事件A與B互為對立和事件A與B互不相容的關(guān)系？對立事件與互不相容事件的區(qū)別

ABABA、B對立A、B互不相容互不相容對

立1.1.6事件的運算

練習(xí)：

1.將差事件A-B表示成積的形式.2.將和事件A∪B表示成互不相容事件的和.1.6.5事件運算的規(guī)則1.交換律(Exchangelaw)A∪B＝B∪

A，AB＝BA2.結(jié)合律(Combinationlaw)(A∪

B)

∪

C＝A∪(B∪C)，(AB)C＝A(BC)3.分配律(Distributivelaw)(A

∪

B)C＝(AC)∪(BC)，(AB)∪

C＝(A

∪

C)(B

∪C)4.對偶律(Duallaw)例1設(shè)A,B,C表示三個隨機事件,試將下列事件用A,B,C表示出來.(1)A出現(xiàn),B,C不出現(xiàn);(5)三個事件都不出現(xiàn);(2)A,B都出現(xiàn),C不出現(xiàn);(3)三個事件都出現(xiàn);(4)三個事件至少有一個出現(xiàn);(6)不多于一個事件出現(xiàn);1.1.6事件的運算(7)不多于兩個事件出現(xiàn);(8)三個事件至少有兩個出現(xiàn);(9)A,B至少有一個出現(xiàn),C不出現(xiàn);(10)A,B,C中恰好有兩個出現(xiàn).1.1.6事件的運算例2：某人連續(xù)購買彩票，記A,B,C分別為其在第一、二、三次所買的彩票中獎，試解釋下列式子的意義.1.1.6事件的運算第三次未中獎第三次才中獎僅有一次中獎至少中獎二次至多中獎二次至少中獎二次(1)沒有一個是次品;(2)至少有一個是次品;(3)只有一個是次品;1.1.6事件的運算1.設(shè)Ai（i＝1,2,3,4）為工人生產(chǎn)的第i個產(chǎn)品是正品，試用

Ai

表示下列事件練習(xí)(4)至少有三個正品;(5)恰好有三個是次品;1.1.6事件的運算1.設(shè)Ai（i＝1,2,3,4）為工人生產(chǎn)的第i個產(chǎn)品是正品，試用Ai表示下列事件.2.口袋中有10只黑球和5只白球，從中不放回地一只一只摸球，直至摸完。記事件“最后摸出的幾只球全是黑球”為A，事件“最后摸出的一只球是黑球”為B.則事件A與B的關(guān)系如何？A=B.3.從1,2,…,9中可重復(fù)任取n>1次,記A={所取的n個數(shù)字之積能被10整除},則A的對立事件是什么？所取n個數(shù)字中沒有數(shù)字