第三章-3.1-3.1.1-第一課時-函數的概念(一)

第三章函數的概念與性質[數學文化]——了解數學文化的發(fā)展與應用1.早期函數概念——幾何觀念下的函數十七世紀伽利略(G.Galileo，意，1564～1642)在《兩門新科學》一書中，幾乎全部包含函數或稱為變量關系的這一概念，用文字和比例的語言表達函數的關系.1673年，德國數學家萊布尼茨首次使用“function”(函數)表示“冪”.2.十八世紀函數概念——代數觀念下的函數1718年約翰·貝努利(BernoulliJohann，瑞，1667～1748)在萊布尼茲函數概念的基礎上對函數概念進行了定義；1755年，瑞士數學家歐拉將函數定義為“如果某些變量，以一種方式依賴于另一些變量，我們將前面的變量稱為后面變量的函數.”3.十九世紀函數概念——對應關系下的函數1837年德國數學家狄利克雷提出：“如果對于x的每一個值，y總有一個完全確定的值與之對應，則y是x的函數.”1930年新的現代函數定義為，若對集合M中的任意元素x，總有集合N中的確定的元素y與之對應，則稱在集合M上定義一個函數，記為y＝f(x).元素x稱為自變元，元素y稱為因變元.19世紀70年代以后，隨著集合概念的出現，函數概念又進而用更加嚴謹的集合和對應語言表述，言簡意賅地講述了數學中一個最重要的概念——函數.[讀圖探新]——發(fā)現現象背后的知識函數的概念(圖一)函數的表示(圖二)函數的最值(圖三)函數的奇偶性(圖四)問題1：圖一中青少年的好奇心與其年齡，圖二中每次人口普查的年份與其對應的總人口數是否存在一一對應的關系呢？如何刻畫這些變量間的對應關系呢？問題2：“菊花”煙花設計者為了達到施放煙花的最佳效果，制造時應精心設計煙花達到最高點時爆裂，如何確定煙花爆裂的最佳時刻？問題3：天安門是軸對稱圖形，聯想一下：如何用自然語言描述函數的圖象特征呢？鏈接：圖一、圖二中存在一一對應關系，這種變量間的對應關系常用函數模型來描述，函數可以用圖象法、列表法和解析法來表示；圖三、圖四可以用函數的最值和奇偶性刻畫函數的性質.

3.1函數的概念及其表示3.1.1函數的概念第一課時函數的概念(一)課標要求素養(yǎng)要求1.在初中用變量之間的依賴關系描述函數的基礎上，用集合語言和對應關系刻畫函數，建立完整的函數概念；2.體會集合語言和對應關系在刻畫函數概念中的作用；3.了解構成函數的要素，能求簡單函數的定義域.1.通過對函數概念的理解，提升數學抽象素養(yǎng)；2.通過求簡單函數的定義域，提升數學運算素養(yǎng).教材知識探究某物體從高度為44.1m的空中自由下落，物體下落的距離s(m)與所用時間t(s)的平方成正比，這個規(guī)律用數學式子可以描述為s＝eq\f(1,2)gt2，其中g取9.8m/s2.問題1時間t和物體下落的距離s有何限制？提示0≤t≤3，0≤s≤44.1.問題2時間t(0≤t≤3)確定后，下落的距離s確定嗎？提示確定.問題3下落后的某一時刻能同時對應兩個距離嗎？提示不能.函數的概念注意函數概念中的任意性、唯一性概念一般地，設A，B是非空的實數集，如果對于集合A中的任意一個數x，按照某種確定的對應關系f，在集合B中都有唯一確定的數y和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數三要素對應關系y＝f(x)，x∈A定義域x的取值范圍值域與x對應的y的值的集合{f(x)|x∈A}教材拓展補遺[微判斷]1.函數的定義域和值域一定是無限集合.(×)提示函數的定義域和值域也可能是有限集，如f(x)＝1.2.根據函數的定義，定義域中的任何一個x可以對應著值域中不同的y.(×)提示根據函數的定義，對于定義域中的任意一個數x，在值域中都有唯一確定的數y與之對應.3.在函數的定義中，集合B是函數的值域.(×)提示在函數的定義中，函數的值域是集合B的子集.[微訓練]1.函數y＝eq\r(x－1)的定義域是________.解析只需滿足x－1≥0，∴x≥1.答案{x|x≥1}2.若f(x)＝x2－eq\r(x＋1)，則f(3)＝________.解析f(3)＝9－eq\r(3＋1)＝9－2＝7.答案7[微思考]1.在函數的概念中，如果函數y＝f(x)的定義域與對應關系確定，那么函數的值域確定嗎？提示確定，一一對應.2.如果函數y＝f(x)的定義域、值域確定，那么對應關系確定嗎？提示不確定，例如函數的定義域為A＝{－1，0，1}，值域為B＝{0，1}，則對應關系f(x)＝x2或f(x)＝|x|均可.題型一函數關系的判斷eq\a\vs4\al(關鍵看任意的x，是否有唯一的y對應)【例1】(1)設M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，給出下列四個圖形，其中能表示從集合M到集合N的函數關系的有()A.0個 B.1個C.2個 D.3個(2)已知集合A＝{x|0≤x≤8}，集合B＝{x|0≤x≤4}，則下列對應關系中，不能看作是從A到B的函數關系的是()A.f：x→y＝eq\f(1,8)x B.f：x→y＝eq\f(1,4)xC.f：x→y＝eq\f(1,2)x D.f：x→y＝x解析(1)①錯，x＝2時，在N中無元素與之對應，不滿足任意性.②對，同時滿足任意性與唯一性.③錯，x＝2時，對應元素y＝3N，不滿足任意性.④錯，x＝1時，在N中有兩個元素與之對應，不滿足唯一性.(2)根據函數的定義，對于D，在集合A中的部分元素，在集合B中沒有元素與它對應，故不正確.答案(1)B(2)D規(guī)律方法1.根據圖形判斷對應關系是否為函數的方法(1)任取一條垂直于x軸的直線l；(2)在定義域內平行移動直線l；(3)若l與圖形有且只有一個交點，則是函數；若在定義域內沒有交點或有兩個或兩個以上的交點，則不是函數.2.判斷一個對應關系是否為函數的方法【訓練1】(1)若函數y＝f(x)的定義域為M＝{x|－2≤x≤2}，值域為N＝{y|0≤y≤2}，則函數y＝f(x)的圖象可能是()(2)已知集合M＝{－1，1，2，4}，N＝{1，2，4}，給出下列四個對應關系：①y＝x2，②y＝x＋1，③y＝x－1，④y＝|x|，其中能構成從M到N的函數是()A.① B.②C.③ D.④解析(1)A中的定義域不是{x|－2≤x≤2}，C中圖形不滿足唯一性，D中的值域不是{y|0≤y≤2}，故選B.(2)只有y＝|x|是符合題意的對應關系，故選D.答案(1)B(2)D題型二求函數值eq\a\vs4\al(求值時，明確函數解析式，代入求值)【例2】已知f(x)＝eq\f(1,1＋x)(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R).(1)求f(2)，g(2)的值；(2)求f[g(3)]的值.解(1)∵f(x)＝eq\f(1,1＋x)，∴f(2)＝eq\f(1,1＋2)＝eq\f(1,3).又∵g(x)＝x2＋2，∴g(2)＝22＋2＝6.(2)∵g(3)＝32＋2＝11，∴f[g(3)]＝f(11)＝eq\f(1,1＋11)＝eq\f(1,12).規(guī)律方法求函數值的方法及關注點(1)方法：①已知f(x)的解析式時，只需用a替換解析式中的x即得f(a)的值；②求f(g(a))的值應遵循由里往外的原則.(2)關注點：用來替換解析式中x的數a必須是函數定義域內的值，否則求值無意義.【訓練2】已知函數f(x)＝eq\f(x＋1,x＋2).(1)求f(2)；(2)求f[f(1)].解(1)∵f(x)＝eq\f(x＋1,x＋2)，∴f(2)＝eq\f(2＋1,2＋2)＝eq\f(3,4).(2)f(1)＝eq\f(1＋1,1＋2)＝eq\f(2,3)，f[f(1)]＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))＝eq\f(\f(2,3)＋1,\f(2,3)＋2)＝eq\f(5,8).題型三求函數的定義域eq\a\vs4\al(定義域是使函數關系式有意義的自變量x的取值范圍)【例3】求下列函數的定義域：(1)y＝(x－1)0＋eq\r(\f(2,x＋1))；(2)y＝eq\f(（x＋1）2,x＋1)＋eq\r(1－x).解(1)要使函數有意義，當且僅當eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1≠0，,\f(2,x＋1)≥0，,x＋1≠0，))解得x>－1且x≠1，所以這個函數的定義域為{x|x>－1且x≠1}.(2)要使函數有意義，自變量x的取值必須滿足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1≠0，,1－x≥0，))解得x≤1且x≠－1，即函數定義域為{x|x≤1且x≠－1}.規(guī)律方法當函數解析式較復雜，要先確定全部限制條件，依次列出不等式或不等式組，再分別求出每個不等式的解集，最后求出這些集合的交集即為函數的定義域.【訓練3】(1)函數f(x)＝eq\f(\r(2x－1),x2－1)的定義域為()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(xx≥\f(1,2)))B.{x|x>1}C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\f(1,2)≤x<1或x>1))D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x－1≤x≤\f(1,2)或x>1))(2)設全集為R，函數f(x)＝eq\r(2－x)的定義域為M，則?RM為()A.{x|x>2} B.{x|x<2}C.{x|x≤2} D.{x|x≥2}解析(1)要使函數有意義，自變量x的取值必須滿足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－1≥0，,x2－1≠0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥\f(1,2)，,x≠±1，))即x≥eq\f(1,2)且x≠1，故選C.(2)自變量x的取值必須滿足2－x≥0，即x≤2，∴M＝{x|x≤2}，∴?RM＝{x|x>2}，故選A.答案(1)C(2)A一、素養(yǎng)落地1.通過本節(jié)課的學習，重點提升數學抽象、數學運算素養(yǎng).2.函數符號“y＝f(x)”是數學中抽象符號之一，“y＝f(x)”僅為y是x的函數的數學表示，不表示y等于f與x的乘積，f(x)也不一定是解析式，還可以是圖表或圖象.二、素養(yǎng)訓練1.下列關于函數y＝f(x)的說法正確的是()①y是x的函數；②x是y的函數；③對于不同的x，y也不同；④f(a)表示x＝a時，f(x)的函數值是一個常數.A.①④ B.②③C.①③ D.②④解析根據函數的定義，對于不同的x，y可以相同，例如f(x)＝1.答案A2.已知函數f(x)＝eq\f(3,x)，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＝()A.eq\f(1,a) B.eq\f(3,a)C.a D.3a解析feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＝eq\f(3,\f(1,a))＝3a.故選D.答案D3.下列函數中定義域為R的是()A.y＝eq\r(x) B.y＝(x－1)0C.y＝x2＋3 D.y＝eq\f(1,x)解析A中x≥0，B中要求x≠1，D中x≠0.故選C.答案C4.函數f(x)＝eq\f(\r(1－3x),x)的定義域為()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(xx≤\f(1,3))) B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(xx<\f(1,3)))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x0<x≤\f(1,3))) D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(xx<0或0<x≤\f(1,3)))解析要使f(x)有意義，只需滿足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－3x≥0，,x≠0，))即x≤eq\f(1,3)且x≠0，故選D.答案D5.若A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}，下列圖形中能表示以A為定義域，B為值域的函數的是()解析A中值域為{y|0≤y≤2}，故錯誤；C，D中值域為{1，2}，故錯誤，故選B.答案B基礎達標一、選擇題1.下列四個圖形中，是函數圖象的是()A.① B.①③④C.①②③ D.③④解析由每一個自變量x對應唯一一個f(x)可知②不是函數圖象，①③④是函數圖象.答案B2.設f：x→x2是集合A到集合B的函數，如果集合B＝{1}，那么集合A不可能是()A.{1} B.{－1}C.{－1，1} D.{－1，0}解析若集合A＝{－1，0}，則0∈A，但02B，故選D.答案D3.圖中給出的四個對應關系，其中構成函數的是()A.①② B.①④C.①②④ D.③④解析根據函數的定義，可以多對一，或一對一，故選B.答案B4.函數y＝eq\r(1－x)＋eq\r(x)的定義域為()A.{x|x≤1} B.{x|x≥0}C.{x|x≥1或x≤0} D.{x|0≤x≤1}解析由題意可知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－x≥0，,x≥0，))解得0≤x≤1.答案D5.四個函數：①y＝x＋1；②y＝x2；③y＝x2－1；④y＝eq\f(1,x)其中定義域相同的函數有()A.①②③ B.①②C.②③ D.②③④解析①②③中函數的定義域均為R，而④中函數的定義域為{x|x≠0}，故選A.答案A二、填空題6.若f(x)＝eq\f(2x,x2＋2)，則f(1)＝________.解析f(1)＝eq\f(2,1＋2)＝eq\f(2,3).答案eq\f(2,3)7.已知函數f(x)＝eq\r(x－3)，f(a)＝3，則實數a＝____________.解析f(a)＝eq\r(a－3)＝3，∴a＝12.答案128.已知集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，則從A到B的函數f(x)有________個.解析利用列表法確定函數的個數.f(1)44445555f(2)44554455f(3)45454545答案8三、解答題9.2018年是中國高鐵發(fā)展迅速的一年，山東某一高鐵站1～12月份的客流量走勢如圖所示.(1)求對應關系為圖中曲線的函數的定義域與值域；(2)根據圖象，求9月份所對應的客流量.解(1)由走勢圖可知，函數的定義域為{x|1≤x≤12且x∈N*}，值域為{y|100≤y≤160}.(2)由圖形知，9月份所對應的客流量約為100萬人次.10.山東某中學2018級高一同學選科走班情況，選擇人數較多的6個組合分別是組合代碼組合組合人數1物化生5002政史地3003化生地3004物歷地2005物化地2006化生歷150你會怎樣表示這次選科走班人數的情況？用x，y分別表示組合代碼和對應的組合人數，y是x的函數嗎？如果是，那么它的定義域、值域、對應關系分別是什么？解y是x的函數，定義域為{1，2，3，4，5，6}，值域為{150，200，300，500}，對應關系如圖.能力提升11.已知函數f(x)＝eq\r(x＋5)＋eq\f(1,x－2).(1)求函數的定義域；(2)求f(－4)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))的值.解(1)使根式eq\r(x＋5)有意義的實數x的集合是{x|x≥－5}，使分式eq\f(1,x－2)有意義的實數x的集合是{x|x≠2}，所以這個函數的定義域是{x|x≥－5}∩{x|x≠2}＝{x|x≥－5且x≠2}.(2)f(－4)＝eq\r(－4＋5)＋eq\f(1,－4－2)＝1－eq\f(1,6)＝eq\f(5,6).feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(