指數(shù)函數(shù)-對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)講義

數(shù)學備課組必修Ⅰ第三章：基本初等函數(shù)（Ⅰ）第三章、基本初等函數(shù)（Ⅰ）第一節(jié)、指數(shù)函數(shù)一、實數(shù)指數(shù)冪及其運算1、指數(shù)概念：即n個a的乘積，叫做a的n次冪，a叫做冪的底數(shù)，n叫做冪的指數(shù)。2、基本公式：；；；；；；；；.例1、計算（1）（2）(3)(4)(5)(0＜a＜1)3、方根的概念：如果存在實數(shù)x,使得，則x叫做a的n次方根。求a的n次方根，叫做把a開n次方，稱作開方運算。正數(shù)a的偶次方根有兩個，它們互為相反數(shù)，分別表示為（a＞0,n為偶數(shù)）；負數(shù)的偶次方根在實數(shù)范圍內不存在；正數(shù)的奇次方根是一個正數(shù)，負數(shù)的奇次方根是一個負數(shù)，都表示為（n為奇數(shù)）；正數(shù)a的正n次方根叫做a的n次算術根；當有意義的時候，叫做根式，n叫做根指數(shù)。二、指數(shù)函數(shù)：一般地，函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)。例2、求定義域和值域（1）(2)（3）(4)三、指數(shù)函數(shù)應用1、圖像變換：(1)平移：“左加右減，上加下減”（2）對稱：與的圖像關于y軸對稱；與的圖像關于x軸對稱；與的圖像關于原點對稱；的圖像是對于的圖像，保留y軸右邊的圖像，y軸右邊的圖像對稱到y(tǒng)軸左邊；的圖像是對于的圖像，保留x軸上方的圖像，x軸下方的圖像對稱到x軸上方。2、比較大?。海?）底數(shù)相同，指數(shù)不同，根據(jù)函數(shù)的單調性比較；（2）底數(shù)不同，指數(shù)相同，根據(jù)函數(shù)的圖像比較；（3）底數(shù)不同，指數(shù)也不同，通過中間值比較；例3、比較大?。?）（2）(3)(4)（5）已知，比較a,b的大小3、指數(shù)型復合函數(shù)：兩種復合形式：和例4、討論的單調性，并求值域。例5、設，求函數(shù)的最大值和最小值。第二節(jié)、對數(shù)與對數(shù)函數(shù)一、對數(shù)1、對數(shù)的概念：對于指數(shù)函數(shù),實數(shù)集R內的任意x，在正實數(shù)集內，都有唯一確定的y與它對應；反之，對于正實數(shù)集內的一個確定的y，在R內也都有唯一的x與它對應。對于冪指數(shù)x，我們也稱之為以a為底y的對數(shù)。例1、（1），我們稱2是以5為底，25的對數(shù)；（2），我們稱是以4為底，的對數(shù)；（3），我們稱-1是以3為底，的對數(shù)。一般地，對于指數(shù)式，我們把“以a為底N的對數(shù)b”記作，即，其中，a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)。2、對數(shù)的性質：對于對數(shù)，具有下列性質：（1），（2）0和負數(shù)沒有對數(shù)，即N＞0；（3）1的對數(shù)為0，即；（4）底的對數(shù)等于1，即。3、常用對數(shù)與自然對數(shù)：（1）常用對數(shù)：以10為底的對數(shù)，就叫做常用對數(shù)，記作。例2、（1）（2）（2）自然對數(shù)：以無理數(shù)e=2.71828……為底的對數(shù)，叫做自然對數(shù)。通常記作。例3、（1）（2）（3）=π4、運算公式：（1），；（2）；（3）；（4）.例4、計算化簡（1）（2）（3）（4）二、對數(shù)函數(shù)1、定義：形如的函數(shù)叫對數(shù)函數(shù)。2、性質：3、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關系（1）比較對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)以及和的圖像，如下（2）當一個函數(shù)是一一映射時，可以把這個函數(shù)的因變量作為一個新函數(shù)的自變量，而把這個函數(shù)的自變量作為新函數(shù)的因變量，我們稱原函數(shù)和新函數(shù)互為反函數(shù)。圖像表現(xiàn)為關于直線y=x對稱。函數(shù)的反函數(shù)通常表示為。例5、求函數(shù)和函數(shù)的反函數(shù)。三、對數(shù)函數(shù)的應用1、定義域、值域問題：（1）對于，確定其定義域，需注意：①a＞0,且a≠1；②g(x)＞0；值域的確定需根據(jù)定義域來判斷。（2）對于，定義域為R，則g(x)＞0恒成立；值域為R，則g（x）可以取到（0，+∞）上的所有數(shù)。例6、判斷定義域（a＞0,且a≠1）（1）(2)（3）（4）例7、已知，（1）若f(x)的定義域為R，求a的范圍（2）若f(x)的值域為R，求a的范圍2、單調性、比較大小對于函數(shù)，要確定其單調性，首先確定0＜a＜1還是a＞1,再確定f(x)的單調性，利用復合函數(shù)的符合法則確定的單調性。利用單調性，結合單調區(qū)間，比較函數(shù)的大小。例8、比較大小（1），（2），（3），，（4），，例9、已知函數(shù)，試確定f(x)的單調遞增區(qū)間。例10、已知在區(qū)間（-∞，-）上是增函數(shù)，求a的范圍。第三節(jié)、冪函數(shù)一、定義：形如的函數(shù)，叫做冪函數(shù)。二、圖像及性質：（1）所有冪函數(shù)在（0，+∞）都有意義，且圖像都經(jīng)過（1,1）點；（2）如果α＞0，①圖像過原點，并且在區(qū)間[0,+∞)上是增函數(shù)，②在第一象限內，0＜α＜1時，圖像上凸，③在第一象限內，α＞1時，圖像下凹；（3）如果α＜0，①冪函數(shù)在（0，+∞）是減函數(shù)，②在第一象限內，當x從右邊趨向于原點時，圖像在y軸右方無限逼近y軸，當x趨近+∞時，圖像在x軸上方無限逼近于x軸，③過（1,1）點后，|α|越大，圖像下落速度越快。例1、比較大小（1）（2）（3）