高等教育《最優(yōu)控制理論》課件第四章

最優(yōu)控制理論選用教材：王朝珠、秦化淑最優(yōu)控制理論科學(xué)出版社教學(xué)參考書：系統(tǒng)最優(yōu)化及控制符曦機(jī)械工業(yè)出版社最優(yōu)控制—理論與應(yīng)用解學(xué)書清華大學(xué)出版社最優(yōu)控制理論第四章極小值原理及其應(yīng)用

用古典變分法解最優(yōu)控制問題時(shí),假定u(t)不受限制,從而得到最優(yōu)控制應(yīng)滿足實(shí)際上在工程問題中,控制變量總有一定的限制.設(shè)控制變量被限制在某一閉集內(nèi)即u(t)滿足滿足限制條件的u(t)稱為容許控制，由于δu不能是任意的,的條件已不存在第四章極小值原理及其應(yīng)用用古典變分法解最優(yōu)控制問題時(shí),4-1.連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的極小值原理設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為:初始條件Ω為有界閉集,不等式約束為G為m維連續(xù)可微的向量函數(shù),系統(tǒng)從x0轉(zhuǎn)移到終端狀態(tài)x(tf)，tf未給定,終端狀態(tài)x(tf)滿足等式約束M為q維連續(xù)可微向量函數(shù),性能指標(biāo):最優(yōu)控制問題就是要尋找最優(yōu)容許控制u(t)使J為極小4-1.連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的極小值原理設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為:初始條件令于是,系統(tǒng)方程為:終端時(shí)刻tf未給定,終端約束要求確定最優(yōu)控制使性能指標(biāo)為極小令于是,系統(tǒng)方程為:終端時(shí)刻tf未給定,終端約束要求引入拉格朗日乘子向量λ及Γ,寫出增廣性能指標(biāo)泛函令哈密而頓函數(shù)為拉格朗日純量函數(shù)則引入拉格朗日乘子向量λ及Γ,寫出增廣性能指標(biāo)泛函令哈密而頓函對(duì)Jα取一階變分得令可得增廣性能指標(biāo)泛函取極值的必要條件為歐拉方程對(duì)Jα取一階變分得令可得增廣性能指標(biāo)泛函取極值的必要條件橫截條件:把Φ的表達(dá)式代入歐拉方程:橫截條件:由歐拉方程和橫截條件知,最優(yōu)軌線橫截條件:把Φ的表達(dá)式代入歐拉方程:橫截條件:由歐拉方程和以上為使性能指標(biāo)Jα取極值的必要條件,為使性能指標(biāo)為極小,還必須滿足維爾斯特拉斯函數(shù)沿最優(yōu)軌線非負(fù)的條件,即:或:上式表明,沿最優(yōu)軌線函數(shù)H相對(duì)最優(yōu)控制u*(t)取絕對(duì)極小值,這是極小值原理的一個(gè)重要結(jié)論.00-λ*以上為使性能指標(biāo)Jα取極值的必要條件,為使性能指標(biāo)為極小,還上式表明,在有不等式約束的情況下,沿最優(yōu)軌線不再成立上式表明,在有不等式約束的情況下,沿最優(yōu)軌線不再成立定理:(極小值原理)設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為控制u(t)是有第一類間斷點(diǎn)的分段連續(xù)函數(shù),屬于p維空間中的有界閉集Ω,滿足不等式約束:在終端時(shí)刻tf未知的情況下,為使?fàn)顟B(tài)自初態(tài)轉(zhuǎn)移到滿足邊界條件的終態(tài),并使性能指標(biāo)達(dá)極小值.設(shè)哈密而頓函數(shù)為定理:(極小值原理)設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為控制u(t)是有第一則最優(yōu)控制u*(t),最優(yōu)軌線x*(t)和最優(yōu)伴隨向量λ*(t)必須滿足下列條件:(1).沿最優(yōu)軌線滿足正則方程:式中Γ是與時(shí)間t無關(guān)的拉格朗日乘子向量,其維數(shù)與G相同,若G中不包含x,則:(2)橫截條件及邊界條件:則最優(yōu)控制u*(t),最優(yōu)軌線x*(t)和最優(yōu)伴隨向量λ*((3)在最優(yōu)軌線x*(t)上與最優(yōu)控制u*(t)相對(duì)應(yīng)的H函數(shù)取絕對(duì)極小值,即并且沿最優(yōu)軌線,下式成立上述條件與不等式約束下的最優(yōu)控制的必要條件相比較,橫截條件及端點(diǎn)邊界條件沒有改變,僅這一條件不成立,而代之以與最優(yōu)控制相對(duì)應(yīng)的函數(shù)為絕對(duì)極小,其次是正則方程略有改變,僅當(dāng)G中不包含x時(shí),方程才不改變.(3)在最優(yōu)軌線x*(t)上與最優(yōu)控制u*(t)相對(duì)應(yīng)的H函當(dāng)t0和x(t0)給定,根據(jù)tf給定或自由,x(tf)給定,自由或受約束等不同情況下所導(dǎo)出的最優(yōu)解必要條件列表如下:tf給定

性能指標(biāo)

終端狀態(tài)

正則方程

極值條件

邊界條件與橫截條件

固定

自由

約束

當(dāng)t0和x(t0)給定,根據(jù)tf給定或自由,x(tf)給tf給定

性能指標(biāo)

終端狀態(tài)

正則方程

極值條件

邊界條件與橫截條件

固定

自由

約束

終端狀態(tài)tf給定

性能指標(biāo)

終端狀態(tài)

正則方程

極值條件

邊界條件與橫截條件

固定

自由

約束

終端狀態(tài)tf自由性能指標(biāo)

終端狀態(tài)

正則方程

極值條件

邊界條件與橫截條件

固定

自由

約束

終端狀態(tài)tf自由性能指標(biāo)

終端狀態(tài)

正則方程

極值條件

邊界條件與橫截條件

固定

自由

約束

終端狀態(tài)tf自由性能指標(biāo)

終端狀態(tài)

正則方程

極值條件

邊界條件與橫截條件

固定

自由

約束

終端狀態(tài)例1

設(shè)宇宙飛船質(zhì)量為m,高度為h,垂直速度為v,發(fā)動(dòng)機(jī)推力為u,月球表面的重力加速度設(shè)為常數(shù)g,不帶燃料的飛船質(zhì)量為M,初始燃料的總質(zhì)量為F,飛船的狀態(tài)方程為:要求飛船在月球上實(shí)現(xiàn)軟著陸,即終端約束為發(fā)動(dòng)機(jī)推力u受到約束,試確定u*(t),使飛船由已知初態(tài)轉(zhuǎn)移到要求的終端狀態(tài)并使飛船燃料消耗最少,即使得本題是控制受約束,tf自由,末值型性能指標(biāo),終端受約束的最優(yōu)控制問題.解:例1設(shè)宇宙飛船質(zhì)量為m,高度為h,垂直速度為v,發(fā)動(dòng)機(jī)推力構(gòu)造哈密而頓函數(shù)伴隨方程:橫截條件為待定的拉格朗日乘子,將哈密而頓函數(shù)整理構(gòu)造哈密而頓函數(shù)伴隨方程:橫截條件為待定的拉格朗日乘子有極小值原理知,H相對(duì)u*(t)取極小值,因此最優(yōu)控制律為:上述結(jié)果表明,只有當(dāng)發(fā)動(dòng)機(jī)推理在最大值和零值之間進(jìn)行開關(guān)控制,才有可能在實(shí)現(xiàn)軟著陸的同時(shí)保證燃料消耗最少.有極小值原理知,H相對(duì)u*(t)取極小值,因此最優(yōu)控制律為4-2離散系統(tǒng)極小值原理

設(shè)離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為:其中f是連續(xù)可導(dǎo)的n維向量函數(shù),x(k)為n維的狀態(tài)向量序列,u(k)為p維控制向量序列,k表示時(shí)刻tk,終端時(shí)刻tf=tN.設(shè)初始狀態(tài)x(0)=0,終端時(shí)刻tN給定,終端狀態(tài)x(N)自由,控制向量序列u(k)無不等式約束.系統(tǒng)性能指標(biāo)為:要求尋找最優(yōu)控制u*(k),使性能指標(biāo)J為極小.建立增廣指標(biāo)泛函4-2離散系統(tǒng)極小值原理設(shè)離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為:其中f是連式中λ(k+1)為n維拉格朗日乘子向量序列離散哈密而頓函數(shù)序列H為由于x(0)給定,δx(0)=0式中λ(k+1)為n維拉格朗日乘子向量序列離散哈密而頓函數(shù)令可得J取極值的必要條件為:正則方程邊界條件與橫截條件:控制方程:令可得J取極值的必要條件為:正則方程邊界條件與橫截條件*特別的當(dāng)終端狀態(tài)有等式約束時(shí)橫截條件改為:*當(dāng)u(k)有不等式約束時(shí)不成立,此時(shí)最優(yōu)控制序列對(duì)應(yīng)的H函數(shù)序列為絕對(duì)極小值,即:*特別的當(dāng)終端狀態(tài)有等式約束時(shí)橫截條件改為:*當(dāng)u(k)連續(xù)極小值原理離散極小值原理系統(tǒng)性能指標(biāo)極值問題哈密而頓函數(shù)正則方程極值條件控制無約束控制有約束橫截條件(終端時(shí)間給定,終端自由)連續(xù)極小值原理離散極小值原理系統(tǒng)性能指標(biāo)極值問題哈密而頓函數(shù)例2設(shè)離散狀態(tài)方程及邊界條件為試用離散極小值原理求最優(yōu)控制序列使性能指標(biāo)取極小值,并求出最優(yōu)狀態(tài)序列.解伴隨方程控制方程例2設(shè)離散狀態(tài)方程及邊界條件為試用離散極小值原理求最優(yōu)控狀態(tài)方程:狀態(tài)方程:列寫結(jié)果如下列寫結(jié)果如下4-3極小值原理的應(yīng)用1：最小時(shí)間控制(時(shí)間最優(yōu)控制)

設(shè)線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程其中控制向量u(t)受不等式約束尋求最優(yōu)控制u*(t),使系統(tǒng)從已知的初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到終端狀態(tài)，tf自由,并使性能指標(biāo)為極小4-3極小值原理的應(yīng)用設(shè)線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程其中控制向構(gòu)造哈密爾頓函數(shù):根據(jù)極小值原理,最優(yōu)控制的必要條件為:正則方程邊界條件極值條件設(shè)構(gòu)造哈密爾頓函數(shù):根據(jù)極小值原理,最優(yōu)控制的必要條件為:則設(shè)各控制分量相互獨(dú)立,則有在約束條件下的最優(yōu)控制為:由此可知,當(dāng)λ*T(t)bj≠0時(shí),可以找出確定的u*j(t)來,并且它們都為容許控制的邊界值.當(dāng)λ*T(t)bj

穿過零點(diǎn)時(shí),u*j(t)由一個(gè)邊界值切換到另一個(gè)邊界值.如果λ*T(t)bj在某一時(shí)間區(qū)間內(nèi)保持為零,則u*j(t)為不確定值,這種情況稱為奇異問題或非平凡問題,相應(yīng)的時(shí)間區(qū)段稱為奇異區(qū)段.當(dāng)整個(gè)時(shí)間區(qū)間內(nèi)不出現(xiàn)奇異區(qū)段時(shí),則稱為非奇異問題或平凡問題,對(duì)于平凡問題,有以下幾個(gè)定義及定理則設(shè)各控制分量相互獨(dú)立,則有在約束條件下的最優(yōu)控制為:①Bang-Bang原理若線性定常系統(tǒng)屬于平凡情況,則其最短時(shí)間控制為u*(t)的各個(gè)分量都是時(shí)間的分段恒值函數(shù),并均取邊界值,稱此為Bang-Bang原理.Bang-Bang原理也適用于下列一類非線性系統(tǒng)①Bang-Bang原理若線性定常系統(tǒng)屬于平凡情況,則其②最短時(shí)間控制存在定理若線性定常系統(tǒng)完全能控,矩陣A的特征值均具有非正實(shí)部,控制變量滿足不等式約束|u(t)|≤M,則最短時(shí)間控制存在.③最短時(shí)間控制的唯一性定理若線性定常系統(tǒng)屬于平凡情況,若時(shí)間最優(yōu)控制存在,則必定是唯一的.④開關(guān)次數(shù)定理若線性定常系統(tǒng)控制變量滿足不等式約束|u(t)|≤M矩陣A的特征值全部為實(shí)數(shù),若最短時(shí)間控制存在.則必為Bang-Bang控制,并且每個(gè)控制分量在兩個(gè)邊界值之間的切換次數(shù)最多不超過n-1次.②最短時(shí)間控制存在定理若線性定常系統(tǒng)完全能控,矩陣A的例3設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為邊界條件:控制變量u(t)的不等式約束|u(t)|≤1性能指標(biāo)求最優(yōu)控制u*(t),使J為最小.例3設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為邊界條件:控制變量u(t)的不等解:由于A具有兩個(gè)零特征值,滿足非正實(shí)部的要求,且系統(tǒng)能控,因而最優(yōu)時(shí)間控制存在,如果系統(tǒng)屬于平凡情況,則最優(yōu)控制是唯一的,開關(guān)換向次數(shù)最多只有一次.伴隨方程解得極值條件解:由于A具有兩個(gè)零特征值,滿足非正實(shí)部的要求,且系統(tǒng)能最優(yōu)控制規(guī)律為當(dāng)u(t)=+1時(shí),狀態(tài)方程的解為:最優(yōu)軌跡方程:當(dāng)u(t)=-1時(shí),狀態(tài)方程的解為:最優(yōu)軌跡方程最優(yōu)控制規(guī)律為當(dāng)u(t)=+1時(shí),狀態(tài)方程的解為:最優(yōu)軌兩族拋物線中,各有半支拋物線引向原點(diǎn),由這兩條半支拋物線所組成的曲線AOB稱為開關(guān)曲線:討論不同初始狀態(tài)的最優(yōu)控制方案,有四種情況綜上所述,最優(yōu)控制規(guī)律為兩族拋物線中,各有半支拋物線引向原點(diǎn),由這兩條半支拋物線所組上述控制規(guī)律的工程實(shí)現(xiàn)方法上述控制規(guī)律的工程實(shí)現(xiàn)方法2:最小燃料消耗控制最小燃料控制問題,性能指標(biāo)對(duì)于雙積分模型的最小燃料消耗控制問題,描述如下:設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為控制約束為2:最小燃料消耗控制最小燃料控制問題,性能指標(biāo)對(duì)于雙積分性能指標(biāo)求最優(yōu)控制,使J為極小,其中tf

給定根據(jù)最優(yōu)控制規(guī)律性能指標(biāo)求最優(yōu)控制,使J為極小,其中tf給定根據(jù)最優(yōu)控伴隨方程為:狀態(tài)方程的解為伴隨方程為:狀態(tài)方程的解為上述方程和邊界條件聯(lián)立,可求出由此可見,最小燃料消耗控制是一種開關(guān)型控制,可采用理想的三位式繼電器作為控制器.上述方程和邊界條件聯(lián)立,可求出由此可見,最小燃料消耗控制是例4已知系統(tǒng)狀態(tài)方程及初始條件為:試求最優(yōu)控制,使性能指標(biāo)取極小值,并分段求出最優(yōu)軌線解本題屬于終端狀態(tài)自由,有末值性能指標(biāo)要求的最小燃料消耗問題由例4已知系統(tǒng)狀態(tài)方程及初始條件