人工智能原理非經(jīng)典邏輯課件

人工智能原理

第3章非經(jīng)典邏輯

1人工智能原理

第3章非經(jīng)典邏輯1

本章內(nèi)容

3.1非經(jīng)典邏輯簡介

3.2模態(tài)邏輯

3.3知道邏輯和信念邏輯

3.4多值邏輯

3.5模糊邏輯

參考書目第3章非經(jīng)典邏輯2 本章內(nèi)容

3.1非經(jīng)典邏輯簡介

3.2模態(tài)邏3.1非經(jīng)典邏輯簡介

不同邏輯的約定

經(jīng)典邏輯和非經(jīng)典邏輯的區(qū)別

廣義模態(tài)邏輯第3章非經(jīng)典邏輯33.1非經(jīng)典邏輯簡介

不同邏輯的約定

經(jīng)典邏輯和非經(jīng)典邏邏輯語言的約定如前一章所示,邏輯作為一種知識表示,可稱之為形式化的語言.不同的邏輯在表示客觀世界時有各自的特點(約定)若干邏輯語言的約定第3章非經(jīng)典邏輯語言本體論約定(世界中存在的)認識論約定(智能體對事實的相信)命題邏輯一階邏輯時序邏輯概率理論模糊邏輯事實事實、對象、關(guān)系事實、對象、關(guān)系、時間事實事實、真實度

[0,1]真/假/未知(擴展)真/假/未知真/假/未知信度

[0,1]已知區(qū)間值4邏輯語言的約定如前一章所示,邏輯作為一種知識表示,可稱之為形經(jīng)典邏輯與非經(jīng)典邏輯的區(qū)別(1)人工智能研究把邏輯作為重現(xiàn)智能的手段，其應用是廣泛而深入的經(jīng)典邏輯（命題邏輯和一階邏輯）在長期的實踐中逐漸暴露出對許多應用領(lǐng)域力不從心，促使新的邏輯流派不斷涌現(xiàn)經(jīng)典邏輯和非經(jīng)典邏輯之間的主要區(qū)別：(1)演繹還是歸納？Bacon等倡導的歸納法打破了演繹方法的一統(tǒng)天下，歸納邏輯在AI中也有重要地位第3章非經(jīng)典邏輯5經(jīng)典邏輯與非經(jīng)典邏輯的區(qū)別(1)人工智能研究把邏輯作為重現(xiàn)智經(jīng)典邏輯與非經(jīng)典邏輯的區(qū)別(2)(2)二值還是多值？經(jīng)典的二值邏輯描述能力不足，是對客觀世界的過分簡單的抽象，提出多值和模糊邏輯(3)是否遵守傳統(tǒng)數(shù)理邏輯運算法則？如排中律、否定之否定、狄摩根律甚至恒等律在一些非經(jīng)典邏輯（多值邏輯）中不再成立(4)是否引進額外算子？經(jīng)典邏輯只能回答絕對是非判斷的問題，但面臨“可能、必然、應該”等問題時就顯得無能為力，需要引入額外的模態(tài)算子，即模態(tài)邏輯第3章非經(jīng)典邏輯6經(jīng)典邏輯與非經(jīng)典邏輯的區(qū)別(2)(2)二值還是多值？經(jīng)典的二經(jīng)典邏輯與非經(jīng)典邏輯的區(qū)別(3)(5)單調(diào)還是非單調(diào)？經(jīng)典邏輯的信念是已知的事實（定理）是充分可信的，不會隨著新事實的發(fā)現(xiàn)而使舊事實變假。所謂單調(diào)的。實際上這不符合客觀認識規(guī)律，因為新的事實推翻舊的真理的情況時常發(fā)生。這是認識的非單調(diào)性經(jīng)典邏輯是演繹的、二值的、單調(diào)的，而不遵守其中的一個原則，就是非經(jīng)典的非經(jīng)典邏輯缺少統(tǒng)一的理論體系，各種方法有較大的區(qū)別第3章非經(jīng)典邏輯7經(jīng)典邏輯與非經(jīng)典邏輯的區(qū)別(3)(5)單調(diào)還是非單調(diào)？經(jīng)典邏非經(jīng)典邏輯與模態(tài)邏輯我們選擇一些具有邏輯形式、采用經(jīng)典邏輯語法框架的非經(jīng)典邏輯加以介紹:部分廣義模態(tài)邏輯包括模態(tài)邏輯、知道邏輯、信念邏輯多值邏輯模糊邏輯模態(tài)邏輯是在經(jīng)典邏輯的框架下引入模態(tài)算子（也叫模態(tài)詞），模態(tài)詞的不同解釋導致不同的模態(tài)邏輯第3章非經(jīng)典邏輯8非經(jīng)典邏輯與模態(tài)邏輯我們選擇一些具有邏輯形式、采用經(jīng)典邏輯語廣義模態(tài)邏輯(1)相對于“可能/必然”的解釋，其他對模態(tài)詞的不同解釋，就得到了廣義模態(tài)邏輯。較老的有：真理論模態(tài)邏輯

關(guān)于“必然”的模態(tài)邏輯，模態(tài)算子的解釋：“必然、可能”，標準的模態(tài)邏輯認識論模態(tài)邏輯

關(guān)于“知道”的模態(tài)邏輯，模態(tài)算子的解釋：“知道、認可”，知道邏輯道義論模態(tài)邏輯

關(guān)于“應該”的模態(tài)邏輯，模態(tài)算子的解釋：“應該、允許”，信念邏輯第3章非經(jīng)典邏輯9廣義模態(tài)邏輯(1)相對于“可能/必然”的解釋，其他對模態(tài)詞的廣義模態(tài)邏輯(2)較新的有：經(jīng)驗論模態(tài)邏輯

關(guān)于經(jīng)驗的模態(tài)邏輯，模態(tài)詞：“一貫、偶然、經(jīng)驗地、有先例地”時序邏輯

關(guān)于時間次序(狀態(tài)演變次序)的模態(tài)邏輯，模態(tài)詞：“永遠、將會、下個、直到”第3章非經(jīng)典邏輯10廣義模態(tài)邏輯(2)較新的有：第3章非經(jīng)典邏輯103.2模態(tài)邏輯

模態(tài)邏輯的語法

命題模態(tài)邏輯系統(tǒng)/T系統(tǒng)及其性質(zhì)

可能世界

模態(tài)邏輯的語義/模態(tài)邏輯的模型

標準模型及模型中關(guān)系第3章非經(jīng)典邏輯113.2模態(tài)邏輯

模態(tài)邏輯的語法

命題模態(tài)邏輯系統(tǒng)/T模態(tài)邏輯的提出實際上，模態(tài)邏輯的歷史和經(jīng)典邏輯一樣長，最先由Aristotle提出波斯海戰(zhàn)問題：明天波斯和雅典將發(fā)生海戰(zhàn)對于明天才知道真假的命題，經(jīng)典邏輯無法回答是或否1918年美國Lewis在研究實質(zhì)蘊涵悖論時重新提出模態(tài)邏輯根源：p→q經(jīng)典定義：p→q等價于?p∨qLewis提出用嚴格蘊涵來定義：p→q等價于“不可能(p∧?q)”，引出了“可能”問題第3章非經(jīng)典邏輯12模態(tài)邏輯的提出實際上，模態(tài)邏輯的歷史和經(jīng)典邏輯一樣長，最先由模態(tài)邏輯的算子模態(tài)邏輯的語法和系統(tǒng)模態(tài)算子必然算子：□A稱為必然A可能算子：

A稱為可能A□﹁(A→B)表示A必然不能推出B；同樣﹁

(A→B)表示A不可能推出B第3章非經(jīng)典邏輯13模態(tài)邏輯的算子模態(tài)邏輯的語法和系統(tǒng)第3章非經(jīng)典邏輯13模態(tài)邏輯的合式公式模態(tài)邏輯的合式公式：(1)任何一個一階謂詞演算（命題演算）的合式公式都是模態(tài)邏輯的合式公式；(2)若A是模態(tài)邏輯的合式公式，則□A是合式公式；(3)若A是模態(tài)邏輯的合式公式，則

A是合式公式；(4)若A和B是模態(tài)邏輯的合式公式，﹁A，A∨B，A∧B，A→B，A≡B(←→)都是合式公式；(5)除此以外再無別的合式公式。第3章非經(jīng)典邏輯14模態(tài)邏輯的合式公式模態(tài)邏輯的合式公式：第3章非經(jīng)典邏輯14命題模態(tài)邏輯命題模態(tài)邏輯系統(tǒng)定義：一組稱為公理的命題模態(tài)合式公式和一組推導規(guī)則取如下形式：且該合式公式組在此推導規(guī)則下封閉，則這些公理和推導規(guī)則構(gòu)成一個命題模態(tài)邏輯系統(tǒng)命題模態(tài)邏輯系統(tǒng)包括T系統(tǒng)，也稱NSK(正規(guī)系統(tǒng))，以及Lewis引入的5個模態(tài)邏輯系統(tǒng)S1～S5第3章非經(jīng)典邏輯15命題模態(tài)邏輯命題模態(tài)邏輯系統(tǒng)第3章非經(jīng)典邏輯15T系統(tǒng)(1)T系統(tǒng)的定義T系統(tǒng)中邏輯運算定義：3個基本邏輯聯(lián)結(jié)詞(運算符)為﹁、∨、□，其他邏輯運算符為： (1)A→B定義為﹁A∨B (2)A∧B定義為﹁(﹁A∨﹁B) (3)A≡B定義為(A→B)∧(B→A) (4)

A定義為﹁□﹁A第3章非經(jīng)典邏輯16T系統(tǒng)(1)T系統(tǒng)的定義第3章非經(jīng)典邏輯16T系統(tǒng)(2)引入嚴格蘊含符

和嚴格等價符=，并規(guī)定：若A、B為合式公式，則A

B也是合式公式；若A、B為合式公式，則A=B也是合式公式.即(5)A

B定義為□(A→B) (6)A=B定義為(A

B)∧(B

A)第3章非經(jīng)典邏輯17T系統(tǒng)(2)引入嚴格蘊含符和嚴格等價符=，并規(guī)定：若A、BT系統(tǒng)(3)T系統(tǒng)的公理系統(tǒng)(與∨、□、→有關(guān)) (1)T1：(A∨A)→A (2)T2：A→A∨B (3)T3：A∨B→B∨A (4)T4：(A→B)→((C∨A)→(C∨B)) (5)T5：□A→A (6)T6：□(A→B)→(□A→□B)(對于NSK系統(tǒng)來說，則加上所有永真式)第3章非經(jīng)典邏輯18T系統(tǒng)(3)T系統(tǒng)的公理系統(tǒng)(與∨、□、→有關(guān))第3章非經(jīng)T系統(tǒng)(4)T系統(tǒng)的推導規(guī)則(1)代入規(guī)則：若p是A中變量，A為合式公式，且能被T公理系統(tǒng)證明(記作├A)，B為任一合式公式，用B代入A中的p得到A’，則有├A’(2)分離規(guī)則：由├A→B和├A，得├B(3)必然規(guī)則：由├A得├□A(NSK中只把(2)列為推導規(guī)則，公理系統(tǒng)亦不同，但等價)第3章非經(jīng)典邏輯19T系統(tǒng)(4)T系統(tǒng)的推導規(guī)則第3章非經(jīng)典邏輯19T系統(tǒng)(5)T系統(tǒng)是最弱的命題模態(tài)系統(tǒng)，即T系統(tǒng)中成立的公理和推導規(guī)則，在其他命題模態(tài)系統(tǒng)中也成立T系統(tǒng)的性質(zhì)：(共17條)(1)A→

A(2)(A=B)→(□A≡□B)(3)□(A∧B)≡(□A∧□B)(4)□(A≡B)≡(A=B)第3章非經(jīng)典邏輯20T系統(tǒng)(5)T系統(tǒng)是最弱的命題模態(tài)系統(tǒng)，即T系統(tǒng)中成立的公理T系統(tǒng)(6)(5)□A≡﹁

﹁A(6)﹁

(A∨B)≡(﹁

A∧﹁

B)(7)

(A∨B)≡(

A∨

B)(8)(A<B)→(

A→

B)(9)(□A∨□B)→□(A∨B)(10)

(A∧B)→(

A∧

B)(11)(﹁A<A)≡□A(12)(A<﹁A)≡□﹁A第3章非經(jīng)典邏輯21T系統(tǒng)(6)(5)□A≡﹁

﹁A第3章非經(jīng)典邏輯21T系統(tǒng)(7)(13)((A<B)∨(﹁A<B))≡□B(14)((A<B)∧(A<﹁B))≡□﹁B(15)□A→(B<A)(16)□﹁A→(A<B)(17)□A→(

B→

(A∧B))第3章非經(jīng)典邏輯22T系統(tǒng)(7)(13)((A<B)∨(﹁A<B))≡□B第例子：性質(zhì)的證明(1)選證其中2條作為練習例1(1)之證明：A→

A證明過程

(1)□﹁A→﹁A (公理T5及代入規(guī)則) (2)﹁□﹁A∨﹁A (

定義) (3)﹁A∨﹁□﹁A (公理T3) (4)A→

A (

定義及

定義)第3章非經(jīng)典邏輯23例子：性質(zhì)的證明(1)選證其中2條作為練習第3章非經(jīng)典邏輯例2(9)之證明 (□A∨□B)→□(A∨B)

(1)├□A∨□B (前提) (2)□A→A (公理T5) (3)□B→B (公理T5) (4)A→A∨B (公理T2) (5)B→A∨B (公理T2及T3) (6)├□A→A∨B (由(2)、(4)) (7)├□B→A∨B (由(3)、(5)) (8)├A∨B (推導公理(A→C,B→C,A∨B)→C) (9)├□(A∨B) (必然規(guī)則)第3章非經(jīng)典邏輯例子：性質(zhì)的證明(2)24例2(9)之證明 (□A∨□B)→□(A∨B)第3章非可能世界和模態(tài)邏輯語義可能世界和模態(tài)邏輯的語義可能世界：模態(tài)邏輯的基本思想是在經(jīng)典邏輯當中引入可能和必然2個模態(tài)算子Leibnitz給出了最初的可能世界的適當解釋：世界不只一個，除了現(xiàn)實世界以外，還有許多可能世界；其命題的真假取決于在哪個世界中對它進行考察,即真假(真理)標準隨可能世界而轉(zhuǎn)移在給定的可能世界上定義模態(tài)邏輯的語義第3章非經(jīng)典邏輯25可能世界和模態(tài)邏輯語義可能世界和模態(tài)邏輯的語義第3章非經(jīng)典模態(tài)邏輯的模型定義模態(tài)命題邏輯的語義：取決于它的模型模態(tài)邏輯的模型：三元組M=(W，R，V)稱為模態(tài)邏輯的一個模型，其中W是可能世界的非空集合，V是對W中各個可能世界的真值指派(賦值映射：對每個合式公式證明其在每個可能世界中的真假值)，R是附加于此模型之上的其他關(guān)系，可以為空第3章非經(jīng)典邏輯26模態(tài)邏輯的模型定義模態(tài)命題邏輯的語義：取決于它的模型第3章模態(tài)邏輯的真值指派對可能世界的真值指派應滿足以下條件：(1)TRUE在所有可能世界中為真；(2)FALSE在所有可能世界中為假；(3)A在可能世界

中為真，當且僅當﹁A可能世界

中為假；(4)A∨B、A∧B、A→B、A≡B在可能世界

中為真的定義同普通邏輯的定義。注意：□、

在何時為真隨著模型的真值指派而定第3章非經(jīng)典邏輯27模態(tài)邏輯的真值指派對可能世界的真值指派應滿足以下條件：第3章兩種模態(tài)邏輯模型公式A在模型M的可能世界

中為真，記作|=M

A，(M可省略)；如果在所有可能世界中為真，則記作|=MA。存在多種不同的語義模型Leibnitz模型標準模型第3章非經(jīng)典邏輯28兩種模態(tài)邏輯模型公式A在模型M的可能世界中為真，記作|=MLeibnitz模型(1)Leibnitz模型的定義：如果規(guī)定(1)|=M

□A當且僅當|=MA(所有可能世界)；(2)|=M

A當且僅當

W，使得|=M

A，M=(W,V,R)(可以簡記為

M)，則此模型稱為Leibnitz模型。在Leibnitz模型中，下列若干公式成立(性質(zhì)，一個定理)：第1組：□A→A

A≡□

A第3章非經(jīng)典邏輯29Leibnitz模型(1)Leibnitz模型的定義：如果規(guī)Leibnitz模型(2)第2組：□A≡﹁

﹁A

A≡﹁□﹁A

﹁A≡﹁□A □﹁A≡﹁

A第2組公式在模態(tài)邏輯的所有模型中均成立，而其余兩組未必第3組：(□A∨□B)→□(A∨B) (□A∧□B)≡□(A∧B)

(A∧B)→(

A∧

B) (

A∨

B)≡

(A∨B) □(A→B)→(□A→□B)第3章非經(jīng)典邏輯30Leibnitz模型(2)第2組：□A≡﹁

﹁A

A≡﹁□Leibnitz模型性質(zhì)的證明(1)下面給出對第1組公式的證明，其他兩組可依此類推第1組公式：□A→A，

A≡□

A證明：對于第1個公式，該式左邊表示對所有可能世界，皆有|=

A成立，右邊表示對于一個未顯式說明的可能世界，|=

A成立，故可從左邊推到右邊。第3章非經(jīng)典邏輯31Leibnitz模型性質(zhì)的證明(1)下面給出對第1組公式的證Leibnitz模型性質(zhì)的證明(2)對于第2個公式，左邊表示存在一個可能世界，有|=

A成立；右邊表示對于所有皆有|=M

A。根據(jù)定義，其含義為，使|=M

A成立；因為與無關(guān)，所以“對于所有”可去掉。因為都是表示存在一個可能世界，所以用或符號都沒有關(guān)系。因此，左右表示是相同的(P→P)，即知從左可推到右。反過來，利用性質(zhì)1，可證從右到左?！畹?章非經(jīng)典邏輯32Leibnitz模型性質(zhì)的證明(2)對于第2個公式，左邊表示標準模型(1)標準模型的定義:若R定義了模型M=(W,R,V)中W×W上的一個二元關(guān)系，且定義模態(tài)算子為：(1)|=M

□A當且僅當對每個使

R

W成立的

有|=MβA成立；(2)|=M

A當且僅當

W滿足關(guān)系

R

，有|=MβA成立則M稱為標準模型第3章非經(jīng)典邏輯33標準模型(1)標準模型的定義:第3章非經(jīng)典邏輯33標準模型(2)這里R理解為可達到關(guān)系，即:□A為真，當且僅當從目前所在的可能世界

出發(fā)，在能夠到達的一切可能世界

中，A皆為真；

A為真，當且僅當從目前所在的可能世界

出發(fā)，能夠到達某個可能世界

，在此

中A為真。第3章非經(jīng)典邏輯34標準模型(2)這里R理解為可達到關(guān)系，即:第3章非經(jīng)典邏輯標準模型(3)注意：此處未對R限定任何條件，因此在Leibnitz模型中成立的公式(定理)，此處不成立。例如當R不具備自反性質(zhì)時，□A→A不成立例子:A表示享福，R父子關(guān)系，□A表示子孫享福，由于αRα不成立，所以本人未必A(即子孫享福未必本人享福)第3章非經(jīng)典邏輯35標準模型(3)注意：此處未對R限定任何條件，因此在Leibn標準模型(4)[定理](1)|=M

A≡|=M

﹁□﹁A (2)|=M

□A≡|=M

﹁

﹁A證明：(1)|=M

A等價于存在，R

，使|=M

A；等價于并非對于每個滿足

R

的，都有﹁|=M

A(第2組公式2)；等價于并非對于每個滿足

R

的，都有

|=M

﹁

A；等價于﹁|=M

□﹁A；等價于|=M

﹁

□﹁A第3章非經(jīng)典邏輯36標準模型(4)[定理](1)|=M

A≡|=M﹁□標準模型(5)(2)|=M

□A等價于對于所有滿足

R

的，有|=M

A；等價于不存在一個滿足

R

的，使﹁|=M

A成立；等價于不存在一個滿足

R

的，使|=M

﹁A成立；等價于﹁|=M

﹁A;等價于|=M

﹁

﹁A★第3章非經(jīng)典邏輯37標準模型(5)(2)|=M□A等價于對于所有滿足R的標準模型中的關(guān)系(1)定義:設(shè)R是標準模型M=(W,R,V)中的關(guān)系，則：(1)若對每個α

W，存在β

W，有αRβ，則R稱為序列的(有序的)；(2)若對每個α

W，有αRα，則R稱為自反的；(3)若對每個α、β

W，只要αRβ，有βRα，則R稱為對稱的；(4)若對每個α、β、γ

W，只要αRβ、βRγ，有αRγ，則R稱為傳遞的；(5)若對每個α、β、γ

W，只要αRβ、αRγ，有βRγ，則R稱為歐基里德的。第3章非經(jīng)典邏輯38標準模型中的關(guān)系(1)定義:設(shè)R是標準模型M=(W,R標準模型中的關(guān)系(2)從上述定義可得：若R是歐基里德的，則R是自反的(用2個

R

)、對稱的(自反推出)、傳遞的即是等價的[定理](不同關(guān)系的性質(zhì))(1)若R為序列的，則□A→

A為真；(2)若R為自反的，則□A→A和□A→

A為真；(3)若R為對稱的，則A→□

A為真；(4)若R為傳遞的，則□A→□□A為真；(5)若R為歐基里德的，則

A→□

A為真。第3章非經(jīng)典邏輯39標準模型中的關(guān)系(2)從上述定義可得：第3章非經(jīng)典邏輯39標準模型中的關(guān)系(3)證明：(證→真即前提真蘊涵結(jié)論真)(1)R為序列的，則對每個α

W存在β，有αRβ，由□A定義知|=βA成立，由

A定義知其為真；(2)R為自反的，由αRα可知□A能推出|=

A，因此A為真；同樣可證|=

A，即

A為真；第3章非經(jīng)典邏輯40標準模型中的關(guān)系(3)證明：(證→真即前提真蘊涵結(jié)論真)第3標準模型中的關(guān)系(4)(3)R為對稱的，設(shè)當前世界為，若不存在，使αRβ成立，則□

A成立(僅在當前世界

)；否則，令是使αRβ成立的任意一個可能世界，則由對稱性知βRα成立。由A在中為真可知|=

A成立(β到α)；由的任意性,則可知|=

□

A成立(α到β)；第3章非經(jīng)典邏輯41標準模型中的關(guān)系(4)(3)R為對稱的，設(shè)當前世界為，若標準模型中的關(guān)系(4)(4)R為傳遞的，設(shè)當前世界為，□A表示凡滿足αRβ的β均使|=

A為真(世界)，若有γ使βRγ成立，由傳遞性可知αRγ也成立，即對任意的γ,使|=γA為真(γ世界).按照定義知,在世界中有□A成立，在

世界中有□□A成立；第3章非經(jīng)典邏輯42標準模型中的關(guān)系(4)(4)R為傳遞的，設(shè)當前世界為，標準模型中的關(guān)系(4)(5)R為歐幾里德的，設(shè)當前世界為，

A表示存在，使

R且|=

A為真，又因R和R知有

R(歐幾里德的)，即R為自反的，即說明|=

A為真?，F(xiàn)在設(shè)γ是一個任意的使得

Rγ

成立的可能世界，由Rγ和

R知有γR成立(歐幾里德的)，由

A定義知|=γ

A(|=

A為真)，由γ的任意性知|=

□

A成立(

世界)。 ★第3章非經(jīng)典邏輯43標準模型中的關(guān)系(4)(5)R為歐幾里德的，設(shè)當前世界為3.3知道邏輯和信念邏輯

知道的含義

知道邏輯的表示與層次

群體知道邏輯

信念邏輯的解釋

信念邏輯的表示與層次第3章非經(jīng)典邏輯443.3知道邏輯和信念邏輯

知道的含義

知道邏輯的表示與層知道邏輯研究的對象知道邏輯研究的對象共同發(fā)起攻擊時間取得一致的問題：A、B兩個敵對方交戰(zhàn)，A1、A2占據(jù)兩邊山頭，B軍占據(jù)中間，A1、A2雙方聯(lián)絡必須穿過B，聯(lián)絡員兩邊穿梭，就共同發(fā)起攻擊時間無法取得一致莊子談話問題：人不知魚很高興特點：無休止的循環(huán)下去第3章非經(jīng)典邏輯45知道邏輯研究的對象知道邏輯研究的對象第3章非經(jīng)典邏輯45知道的不同含義實際意義：多個獨立主體構(gòu)成的分布式系統(tǒng)中，每個主體應該知道什么信息，包括知道其他主體知道什么知道的不同含義：(1)某人確切地知道某事：知道某事，則此事必然(2)某人認為某事是真的：僅是其主觀認識第3章非經(jīng)典邏輯46知道的不同含義實際意義：多個獨立主體構(gòu)成的分布式系統(tǒng)中，每個知道邏輯定義知道邏輯定義知道邏輯的模態(tài)算子：知道邏輯引入新的模態(tài)詞--K知道；Z認可或不排除(或用：%表示)這里為簡單起見，以命題知道邏輯為例這兩個模態(tài)算子的關(guān)系與□、

相同，即 KA≡﹁Z﹁A，ZA≡﹁K﹁A第3章非經(jīng)典邏輯47知道邏輯定義知道邏輯定義第3章非經(jīng)典邏輯47知道邏輯表示層次(1)關(guān)于“知道”的4個層次，即：凡人知道邏輯、圣人知道邏輯、超人知道邏輯、上帝知道邏輯，每個層次都有不同的認識能力(1)在凡人知道邏輯中：清楚(知道)自己知道什么KA≡KKA；ZA≡ZZA；ZA≡KZA；ZA≡ZKA(2)在圣人知道邏輯中：圣人不犯錯誤

知道命題為真，則命題為真增加公理：KA→A第3章非經(jīng)典邏輯48知道邏輯表示層次(1)關(guān)于“知道”的4個層次，即：凡人知道邏知道邏輯表示層次(2)(3)在超人知道邏輯中：超人的推理能力繼續(xù)增加公理：K(A→B)→(KA→KB)(加上推理的傳遞規(guī)則，可推出一切被已知知識蘊含的知識)(4)在上帝知道邏輯中：無事不知，洞察一切客觀上為真的命題公理：(├A)→(├KA)（存在A為真，則知道A為真）第3章非經(jīng)典邏輯49知道邏輯表示層次(2)(3)在超人知道邏輯中：超人的推理能力群體知道邏輯認識的主體不只是一個人,而是一群有不同知識的個體，簡稱群體/研究群體類型的知道機制就是群體知道邏輯/研究課題比較難可能的應用：多智能體之間的相互聯(lián)系/分布式體系結(jié)構(gòu)(如網(wǎng)絡)中各主體之間的通訊和協(xié)議/規(guī)劃/網(wǎng)絡游戲在分布式系統(tǒng)推理中，有：“處理器1不能發(fā)送包給處理器2直到1知道2收到了前一個包”Kripke的可能世界模型是探索群體知道邏輯的有效工具第3章非經(jīng)典邏輯50群體知道邏輯認識的主體不只是一個人,而是一群有不同知識的個體群體知道邏輯定義定義:設(shè)有m個個體,編號為1,…,m,另有一個命題集合

={A,B,…},用K1~Km表示m個模態(tài)算子,其中KiP表示第i個個體知道P,以Lm(

)表示群體的最小知識閉包,即

Lm(

)若A∈Lm(

),則﹁A∈Lm(

)若A,B∈Lm(

),則A∧B∈Lm(

)若A∈Lm(

),則KiA∈Lm(

),1≤i≤m其他邏輯運算包括：A∨B定義為﹁(﹁A∧﹁B)/A→B定義為﹁(A∧﹁B)/A≡B定義為(A→B)∧(B→A)第3章非經(jīng)典邏輯51群體知道邏輯定義定義:設(shè)有m個個體,編號為1,…,m,另有一群體知道邏輯的語義基本思想是用可能世界集合來表示：每個個體ai被賦予了一個可能世界集Wi，Wi中每個每個可能世界w都是ai心目中可能的現(xiàn)實世界如：無生命和有生命的火星都是天文學家心目中的可能世界個體ai知道某個事實p的含義是：p在Wi的每個對ai來說是可到達的可能世界中為真。反之，如果p至少在Wi的一個可達世界中為假，則稱ai不知道p。如果p在Wi的所有可達世界中都為假，則稱ai知道非p第3章非經(jīng)典邏輯52群體知道邏輯的語義基本思想是用可能世界集合來表示：第3章非信念邏輯的解釋關(guān)于信念的解釋：至少有3種不同的解釋(1)信念表示尚未被完全證實的知道。此種含義下，只有已經(jīng)被證實(變成知道)的知道和尚未被證實的信念之分，但不存在可能被否證的信念（單調(diào)性）(2)信念表示不一定正確的知道。此種含義下，信念既可以被證實，也可以被否證。如：某學生相信自己能考好，結(jié)果卻砸了鍋(3)信念表示對已有證據(jù)積累的一種函數(shù)，體現(xiàn)了對某個命題的相信程度。此時，信念就是一種概率（不精確程度的其他量），它在證據(jù)積累過程中可以變化，用于專家系統(tǒng)的不精確推理第3章非經(jīng)典邏輯53信念邏輯的解釋關(guān)于信念的解釋：至少有3種不同的解釋第3章非信念邏輯的表示與層次(1)信念邏輯的算子：B表示信念，W表示可接受存在關(guān)系：WA≡﹁B﹁A，BA≡﹁W﹁A信念邏輯的層次(1)凡人信念邏輯中，如下公理是直觀的：

KA→BA BA≡BBA

BA→WA WA≡WWA

WA→ZA第3章非經(jīng)典邏輯54信念邏輯的表示與層次(1)信念邏輯的算子：B表示信念，W表示信念邏輯的表示與層次(2)“理智的”凡人：BA→BKA(若相信A，則一定相信知道A)“鹵莽的”凡人：ZA→BA(若不排除A，則就相信A)“謹慎的”凡人：ZA→WA(若不排除A，則可以接受A)第3章非經(jīng)典邏輯55信念邏輯的表示與層次(2)“理智的”凡人：BA→BKA(若信念邏輯的表示與層次(3)(2)超人信念邏輯，繼續(xù)增加推理規(guī)則：由BA和B(A→C)可知有BC成立或[B(A→C)]→[BA→BC]再加上普通命題邏輯的推理規(guī)則，可推出被已知信念蘊含的所有信念。此時，與知道邏輯中的邏輯全知問題相對應，是邏輯全信問題。應予以避免。(3)上帝信念邏輯，再加上新公理：BA→KA (凡相信者必真，只有上帝可做到)第3章非經(jīng)典邏輯56信念邏輯的表示與層次(3)(2)超人信念邏輯，繼續(xù)增加推理規(guī)知道邏輯和信念邏輯知道和信念相聯(lián)系，如前解釋對于面向現(xiàn)實世界的邏輯推理任務，知道邏輯和信念邏輯提供了可用的形式化表示方法/考慮用模態(tài)邏輯的方法對現(xiàn)實問題建模推理中要避免邏輯全知和邏輯全信問題(即存在A就知道A)第3章非經(jīng)典邏輯57知道邏輯和信念邏輯知道和信念相聯(lián)系，如前解釋第3章非經(jīng)典邏3.4多值邏輯

真值的擴充/第三值解釋

三值邏輯真值定義

不同的真值解釋與邏輯定律第3章非經(jīng)典邏輯583.4多值邏輯

真值的擴充/第三值解釋

三值邏輯真值真值的擴充真值的重新定義模態(tài)邏輯對命題邏輯和謂詞邏輯的擴充是從語法著手的，首先引入模態(tài)詞(擴充語法成分)，然后定義有關(guān)語義(論域的擴充)，但不改變真值集合；多值邏輯、模糊邏輯則從語義著手，首先擴充真值集合，重新規(guī)定真值聯(lián)結(jié)詞等語言成分的意義，其中真值和語義起主導作用。第3章非經(jīng)典邏輯59真值的擴充真值的重新定義第3章非經(jīng)典邏輯59三值邏輯首先從多值邏輯進行過渡：邏輯系統(tǒng)中真值的個數(shù)允許超過2個，即多值邏輯。除了真T和假F以外，通常要對非真非假作出規(guī)定，一般引入1個值，即U。此為三值邏輯。對U的不同解釋，就得到了不同的三值邏輯系統(tǒng)。第3章非經(jīng)典邏輯60三值邏輯首先從多值邏輯進行過渡：邏輯系統(tǒng)中真值的個數(shù)允許超過不同的真值解釋U有如下一些解釋：(1)不知道，或真值間隙(truthvaluegap)，得到Kleene三值邏輯；(2)無所謂真假，即不能確定真假，得到Lukaciewicz(Luckasiewicz)三值邏輯；(3)非真非假，無意義的矛盾命題、悖論，得到Bochvar三值邏輯(4)半真半假，真假程度存在順序關(guān)系，得到Post三值邏輯第3章非經(jīng)典邏輯61不同的真值解釋U有如下一些解釋：第3章非經(jīng)典邏輯61不同三值邏輯的真值定義(1)真值定義：三值邏輯對T和F的定義與普通邏輯是一樣的，關(guān)鍵對U的含義的定義5種邏輯運算(5種聯(lián)結(jié)詞)所得的結(jié)果第3章非經(jīng)典邏輯4種三值邏輯的否定運算真值定義62不同三值邏輯的真值定義(1)真值定義：三值邏輯對T和F的定義不同三值邏輯的真值定義(2)第3章非經(jīng)典邏輯4種三值邏輯的合取運算真值定義4種三值邏輯的析取運算真值定義63不同三值邏輯的真值定義(2)第3章非經(jīng)典邏輯4種三值邏輯的不同三值邏輯的真值定義(3)第3章非經(jīng)典邏輯4種三值邏輯的蘊含運算真值定義4種三值邏輯的等價運算真值定義64不同三值邏輯的真值定義(3)第3章非經(jīng)典邏輯4種三值邏輯的不同的真值解釋(1)第3章非經(jīng)典邏輯

各個三值邏輯系統(tǒng)的解釋

共同點：排中律和矛盾律皆不成立，即對任意P，有P∨﹁P≠T和P∧﹁P≠F(其驗證只需令P=U)。這很自然，因為只有在二值邏輯系統(tǒng)中，才會有上述定律。除L氏系統(tǒng)外，恒等律也不成立，即P→P和P≡P不為真(驗證同上)，但P氏系統(tǒng)中成立一半((U→U)=F，但(U≡U)=T)。65不同的真值解釋(1)第3章非經(jīng)典邏輯各個三值邏輯系統(tǒng)的解不同的真值解釋(2)第3章非經(jīng)典邏輯Kleene三值邏輯

排中、矛盾、恒等律不成立；P→Q≡﹁P∨Q；DeMorgan定律成立。恒等律不成立帶來的后果不好。例子：如果人們不知道哥德巴赫猜想是否成立，那么能不能推出“人們不知道哥德巴赫猜想是否成立”？答曰：不知道。66不同的真值解釋(2)第3章非經(jīng)典邏輯Kleene三值邏輯6不同的真值解釋(3)第3章非經(jīng)典邏輯Lukaciewicz三值邏輯維持了恒等律；P→Q≠﹁P∨Q；其余同K氏系統(tǒng)。Bochvar三值邏輯排中、矛盾、恒等律不成立；U因為定義為矛盾(悖論)或無意義，因此任何一個公式中只要有一項為U則整個公式等價為U，部分無意義導致整體無意義。67不同的真值解釋(3)第3章非經(jīng)典邏輯Lukaciewicz不同的真值解釋(4)第3章非經(jīng)典邏輯Post三值邏輯排中、矛盾不成立，恒等律成立一半；零冪律(否定之否定)不成立，即： ﹁﹁P≠P，而是﹁﹁﹁P=P(三值循環(huán))DeMorgan定律成立了一半，由真值計算規(guī)則決定非符號﹁理解為對真假程度的減弱，因此形成循環(huán)：﹁T=U→﹁U=F→﹁F=T/寫成符號形式即為：suc(T)=U，suc(U)=F，suc(F)=T68不同的真值解釋(4)第3章非經(jīng)典邏輯Post三值邏輯68不同的真值解釋(5)第3章非經(jīng)典邏輯設(shè)v(P)表示命題公式(三值邏輯)的真值，則： v(T)=T，v(U)=U，v(F)=F

Post三值邏輯有真值計算規(guī)則如下：v(﹁P)=suc(v(P))v(P∨Q)=max(v(P),v(Q))v(P∧Q)=v(﹁(﹁P∨﹁Q))v(P→Q)=v(﹁P∨Q)v(P≡Q)=v((P→Q)∧(Q→P))69不同的真值解釋(5)第3章非經(jīng)典邏輯設(shè)v(P)表示命題公式不同的真值解釋(5)第3章非經(jīng)典邏輯Post三值邏輯當中，DeMorgan定律成立了一半，即v(P∧Q)=v(﹁(﹁P∨﹁Q))(定義)v(U∨F)=U，v(﹁(﹁U∨﹁F))=F

二值到三值，真值三極化越徹底，二值系統(tǒng)中的定律失效越多。Post系統(tǒng)中的﹁運算不再是U為中心的對稱，而是真值間的循環(huán)70不同的真值解釋(5)第3章非經(jīng)典邏輯Post三值邏輯當中，3.5模糊邏輯

非精確刻劃與模糊子集

模糊集合運算及其性質(zhì)

模糊關(guān)系

從多值邏輯到模糊邏輯

Zadeh模糊邏輯

算子模糊邏輯第3章非經(jīng)典邏輯713.5模糊邏輯

非精確刻劃與模糊子集

模糊集合運算及其性問題的非精確刻劃第3章非經(jīng)典邏輯

傳統(tǒng)集合論：

一個元素是否屬于某個集合，回答只有是和否，界限分明。此時，可用特征函數(shù)CA(x)表示x是否屬于A：此時總假定存在一個定義明確的集合U，A是U的子集。U可稱為個體域或基底集。其元素稱為基元。

非精確刻劃:

但現(xiàn)實世界有許多意義不能精確刻劃(內(nèi)涵)、外延不能用傳統(tǒng)集合表示的概念。典型例子：“老年人”包括多大年齡的人？再如：“高個”、“派頭大”、“很大的數(shù)”、“令人遺憾的結(jié)果”等等72問題的非精確刻劃第3章非經(jīng)典邏輯傳統(tǒng)集合論：72模糊子集(1)第3章非經(jīng)典邏輯對非精確劃分的需要引出了模糊邏輯模糊子集(fuzzysubset)的定義：若A={<x,

A(x)>|x∈U∧

A(x)∈[0,1]}，則A稱為集合U的一個模糊子集。

A(x)稱為x對A的隸屬函數(shù)，或隸屬度、一致性測度模糊子集的支集(supportset)： S={x|x∈U∧

A(x)>0}模糊子集的高度 h(A)=max{

A(x)|<x,

A(x)>∈A}73模糊子集(1)第3章非經(jīng)典邏輯對非精確劃分的需要引出了模糊模糊子集(2)第3章非經(jīng)典邏輯例1：“老年人”的范圍—可用隸屬函數(shù)

old(x)來表示老年人集合這個隸屬函數(shù)表明人從50歲以后開始步入老年。x=55，

old(x)=0.5；x=60，

old(x)=0.8；x=80，

old(x)≈1(0.97) ★74模糊子集(2)第3章非經(jīng)典邏輯例1：“老年人”的范圍—可用模糊子集(3)第3章非經(jīng)典邏輯例2：自然數(shù)集合中“小的數(shù)”，其模糊子集可以用下面的隸屬函數(shù)刻劃：基底集為自然數(shù)，則

min(0)=1(肯定是小的數(shù))

min(1)=100/101

1(就是小的數(shù))

min(10)=0.5(差不多是小的數(shù))

min(100)

0.1(難說是小的數(shù))

min(1000)

0(不能是小的數(shù)) ★75模糊子集(3)第3章非經(jīng)典邏輯例2：自然數(shù)集合中“小的數(shù)”模糊子集(4)第3章非經(jīng)典邏輯

Zadeh給出了模糊子集的另一種表示法—隸屬度/基元表示如模糊子集“青年”=0/15+0.2/16+0.6/17+0.9/18+0.9/19+1/20～25+0.9/26+…可以寫成如下形式(當基底集為有窮)：或(當基底集為無窮)：76模糊子集(4)第3章非經(jīng)典邏輯Zadeh給出了模糊子集的模糊與概率的區(qū)別第3章非經(jīng)典邏輯

模糊與概率的區(qū)別：雖然同屬于非精確描述，但概率現(xiàn)象的每個具體結(jié)果是確定的“非此即彼”；模糊現(xiàn)象的結(jié)果是非確定的“亦此亦彼”模糊的基礎(chǔ)是概率77模糊與概率的區(qū)別第3章非經(jīng)典邏輯模糊與概率的區(qū)別：雖然同模糊集合運算(1)第3章非經(jīng)典邏輯

模糊集合運算(1)空集判斷：設(shè)A為U的模糊子集，當且僅當

x

U，

A(x)=0時，A為空集，記為

；(2)A包含于B：A、B為U的任意模糊子集，對

x

U，

A(x)

B(x)，記為A

B；(3)A等于B：對

x

U，

A(x)=

B(x)，記為A=B；(4)A的補集：

A={<x,1

A(x)>|x

U}78模糊集合運算(1)第3章非經(jīng)典邏輯模糊集合運算78模糊集合運算(2)第3章非經(jīng)典邏輯

(5)A與B的并集：A

B={<x,max(

A(x),

B(x))>|x

U}(6)A與B的交集：A

B={<x,min(

A(x),

B(x))>|x

U}(7)A與B的差集：A

B={<x,min(

A(x),1

B(x))>|x

U}，顯然有

A=U

A79模糊集合運算(2)第3章非經(jīng)典邏輯(5)A與B的并集：7模糊集合運算的性質(zhì)第3章非經(jīng)典邏輯

運算的性質(zhì)(1)交換律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A(2)冪等律：A∪A=A∩A=A(3)分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)(4)狄摩根律：～(A∪B)=～A∩～B

～(A∩B)=～A∪～B(5)A

(B∪C)=(A

B)∩(A

C)A

(B∩C)=(A

B)∪(A

C)(6)A∩B

A

A∪B(7)A

B當且僅當A∩B=A當且僅當A∪B=B80模糊集合運算的性質(zhì)第3章非經(jīng)典邏輯運算的性質(zhì)80例子第3章非經(jīng)典邏輯

證明性質(zhì)(7)作為例子。

證明：由A

B定義知

A(x)

B(x)，所以

A

B=min(

A(x),

B(x))=

A(x)，即A∩B=A；同理，

A

B=max(

A(x),

B(x))=

B(x)，即A∪B=B ★81例子第3章非經(jīng)典邏輯證明性質(zhì)(7)作為例子。81模糊關(guān)系第3章非經(jīng)典邏輯

模糊關(guān)系的定義：

集合U1～Un的笛卡兒乘積U1×…×Un為基底集的任一模糊子集R稱為U1×…×Un間的一個n元模糊關(guān)系(fuzzyrelation)，特別地，Un的任一模糊子集稱為U上的一個n元模糊關(guān)系

模糊關(guān)系的表示：在傳統(tǒng)的有窮二元關(guān)系的表示方法基礎(chǔ)上加上隸屬度數(shù)據(jù)(加權(quán))，作為二元模糊關(guān)系的表示

有向圖方法矩陣方法

82模糊關(guān)系第3章非經(jīng)典邏輯模糊關(guān)系的定義：82模糊關(guān)系的例子第3章非經(jīng)典邏輯

例子：設(shè)U={1,2,3,4,5}，U上“遠小于”關(guān)系可用U2的模糊子集R<<表示，其加權(quán)有向圖和關(guān)系矩陣如下圖所示83模糊關(guān)系的例子第3章非經(jīng)典邏輯例子：設(shè)U={1,2,從多值邏輯到模糊邏輯(1)第3章非經(jīng)典邏輯

把三值邏輯推廣到任意n值邏輯(n≥3)甚至無窮多值邏輯，L氏三值邏輯是構(gòu)造模糊邏輯的最佳基礎(chǔ)(恒等律成立)L氏無窮多值邏輯的真值計算規(guī)則：(1)v(T)=1，v(F)=0(2)v(﹁P)=1-v(P)(3)v(P∧Q)=min(v(P),v(Q))(4)v(P∨Q)=max(v(P),v(Q))(5)v(P→Q)=min(1,1-v(P)+v(Q))(6)v(P≡Q)=min(v(P→Q),v(Q→P))

此時U已經(jīng)成為無窮多個真值([0,1]區(qū)間)中的一個84從多值邏輯到模糊邏輯(1)第3章非經(jīng)典邏輯把三值邏輯推廣從多值邏輯到模糊邏輯(2)第3章非經(jīng)典邏輯進一步引入模糊變量和模糊謂詞，使模糊命題邏輯過渡到模糊謂詞邏輯

符號集定義(1)真值：[0,1]內(nèi)所有值(但是一個確定的值)(2)聯(lián)結(jié)符和量詞：5個、2個同普通邏輯；(3)常量：n目函數(shù)常量fn，當n=0時為普通常量；n目謂詞常量Pn(此為模糊謂詞)，當n=0時為普通命題常量(即真值)；(4)變量：普通變量，取值在某個個體域中；模糊變量(真值的變化)，取值在[0,1]區(qū)間。85從多值邏輯到模糊邏輯(2)第3章非經(jīng)典邏輯進一步引入模糊從多值邏輯到模糊邏輯(3)第3章非經(jīng)典邏輯

合式公式定義(1)項：普通常量a、普通變量x、函數(shù)；(2)原子公式：命題常量、模糊變量、n元謂詞常量；合式公式：原子公式、合式公式用聯(lián)結(jié)詞聯(lián)結(jié)的公式、帶量化的合式公式(其中的約束變量為普通變量)。

滿足上述定義的系統(tǒng)可稱之為L氏模糊邏輯86從多值邏輯到模糊邏輯(3)第3章非經(jīng)典邏輯合式公式定義8模糊真與模糊假第3章非經(jīng)典邏輯

永真的：一個合式公式中的普通和模糊變量無論如何取值，該公式的真值均大于或等于

，則稱其為

永真的；反之，若該公式的真值均小于或等于

，則稱其為

永假的。

不是λ永真的，稱之為λ可假的；不是λ永假的，稱之為λ可真的通常一個取值為1/2的永真式稱為模糊真的，同理，取值為1/2的永假式稱為模糊假的。這里真假已經(jīng)是相對的了87模糊真與模糊假第3章非經(jīng)典邏輯永真的：一個合式公式中的Zadeh模糊邏輯(1)第3章非經(jīng)典邏輯

將取值進一步模糊化，而不是一個確定的值。使模糊變量和模糊謂詞的取值為[0,1]區(qū)間上的模糊子集需要引入新的表示方式/此時稱為Z(Zadeh)氏模糊邏輯非形式地描述Zadeh模糊邏輯的真值，從語義上規(guī)定：(1)一元模糊謂詞的真值為U上的模糊子集，n元模糊謂詞為U上的n元模糊關(guān)系(由多個分量組成的模糊子集)，因此賦值映射v：ATOMIC→[0,1]確定了v(P(x1～xn))=a當且僅當

P(x1～xn)=a(a

[0,1],x1～xn

U)88Zadeh模糊邏輯(1)第3章非經(jīng)典邏輯將取值進一步模糊Zadeh模糊邏輯(2)第3章非經(jīng)典邏輯

注意：此處a值不止一個，因為有多個U上對象；即對于每個x值

U，P(x)都對應一個a/多個a值構(gòu)成了一個模糊子集（參見下面關(guān)于大數(shù)的例子）(2)真值聯(lián)結(jié)詞、量詞規(guī)定為模糊真值函數(shù)，擴展v為~v(v上一個波浪線)：~v(

A)=1

v(A)~v(A

B)=max(v(A),v(B))~v(A

B)=min(v(A),v(B))~v(A

B)=max(v(

A),min(v(A),v(B))) =~v(

A

(A

B))89Zadeh模糊邏輯(2)第3章非經(jīng)典邏輯注意：此處a值不Zadeh模糊邏輯(3)第3章非經(jīng)典邏輯~v(

xA)=inf(v(A))，當U為無限集時取下確界；~v(

xA)=min(v(A))，當U為有限集時~v(

xA)=sup(v(A))，當U為無限集時取上確界；~v(

xA)=max(v(A))，當U為有限集時滿足如上規(guī)定的系統(tǒng)稱為Z氏模糊邏輯L氏模糊邏輯和Z氏模糊邏輯的不同之處在于真值取值不同，前者在[0,1]區(qū)間，后者為[0,1]區(qū)間上的模糊子集。90Zadeh模糊邏輯(3)第3章非經(jīng)典邏輯~v(xA)=iZadeh模糊邏輯(4)第3章非經(jīng)典邏輯

Zadeh模糊邏輯的推理規(guī)則這里A和A’、B和B’均為謂詞相同但程度可以不同的模糊謂詞，具體說明參見下例B’真值計算如下：v(B’)=v(A

B)

v(A’)注意：這里使用近似推理規(guī)則，是對語義規(guī)定的，而非形式的91Zadeh模糊邏輯(4)第3章非經(jīng)典邏輯Zadeh模糊邏Z氏模糊邏輯例子(1)第3章非經(jīng)典邏輯

例子：設(shè)P、Q均為U={1,2,3,4,5}上的一元模糊謂詞，P(x)表示：x是大數(shù)；Q(x)表示：x是可取的其對應的模糊子集分別為：

P=0/1+0.1/2+0.3/3+0.9/4+1/5(%表示模糊集合)

Q=0.1/1+0.2/2+0.4/3+0.9/4+1/5則“如果x大，那么x可取”可用公式P(x)

Q(x)表示，且對應的模糊子集為：%(P(x)

Q(x))=1/1+0.9/2+0.7/3+0.9/4+1/592Z氏模糊邏輯例子(1)第3章非經(jīng)典邏輯例子：設(shè)P、Q均為Z氏模糊邏輯例子(2)第3章非經(jīng)典邏輯%(P(x)

Q(x))=1/1+0.9/2+0.7/3+0.9/4+1/5對于上述取值，是按照計算公式v(PQ)=max(v(P),min(v(P),v(Q)))來計算的，當x=1時，v(P

Q)=max(1-0,min(0,0.1))=1/當x=2時，v(P

Q)=max(1-0.1,min(0.1,0.2))=0.9，如此等等

如果令P’(x)表示：x是較大數(shù)/Q’(x)表示：x較可取。此時，P和P’均表示大數(shù)，而其程度分別為“大”和“較大”，同理可說明Q和Q’93Z氏模糊邏輯例子(2)第3章非經(jīng)典邏輯%(P(x)Q(第3章非經(jīng)典邏輯按照模糊邏輯的近似推理規(guī)則有：若%P’=0/1+0.4/2+0.8/3+1/4+1/5(顯然，P’對“大”的認同比P寬松)則%Q’的元素真值計算依次為v(Q’(1))=v(P(1)

Q(1))

v(P’(1))=1*0=0