2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題仿真題

第第#頁2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題仿真題考試吋間：考試用時(shí)：120分鐘全卷滿分：150分?？荚図樌?、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1龍已知集合A={x\y=ln（a-1）},集合B={y|y= ,x>-2］，則AAB=（ ）2A?（1,4） B?［1,4） C?0 D?（4,+?>）下而是關(guān)于復(fù)數(shù)2=—斗仃為虛數(shù)單位）的命題，其中假命題為（ ）lzl=V2 B?r=2/C.z的共轆復(fù)數(shù)為C.z的共轆復(fù)數(shù)為1+iD.z的虛部為-13?從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，則抽得的第TOC\o"1-5"\h\z一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為（ ）1 3 3 2A.— B.— C.— D.—10 5 10 5若向呈“，〃滿足l“l(fā)=l, 且（“+〃）丄“，則"與方的夾角為（ ）A.2兀B.——C.A.2兀B.——C.—D.5兀已知直線/詁為雙曲線M:二一匚=1@>0">0）的兩條漸近線，若厶厶與圓N:crZ?-TOC\o"1-5"\h\z（—2）2+b=l相切，雙曲線M離心率的值為（ ）A.— C.V3 D.3 3 3十九世紀(jì)下半葉集合論的創(chuàng)立，奠立了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).著劃的“康托三分集“是數(shù)學(xué)理性思維的構(gòu)造產(chǎn)物，具有典型的分形特征，其操作過程如下：將閉區(qū)間［OJ］均分為三段，12 1 2去掉中間的區(qū)間段（—,一），記為第一次操作；再將剩下的兩個(gè)區(qū)間［0,-］,［-,1］分別均分33 3 3為三段，并各自去掉中間的區(qū)間段，記為第二次操作：…，如此這樣，每次在上一次操作的基礎(chǔ)上，將剩下的各個(gè)區(qū)間分別均分為三段，同樣各自去掉中間的區(qū)間段.操作過程不斷地進(jìn)行下去，以至無窮，剩下的區(qū)間集合即是“康托三分集"?若使去掉的各區(qū)間長度之和不小

9于一，則需要操作的次數(shù)〃的最小值為（9于一，則需要操作的次數(shù)〃的最小值為（10A.5 B?6)(參考數(shù)據(jù)：lg2=0.3010,lg3=0.4771)C?7 D?87?已知銳角MBC中，角ABC所對的邊分別為a,b,c,若MBC的而積罟則sin（2A-C）的取值范用是（ ）A.(―1J)B.8.設(shè)函數(shù)/心）"A.(―1J)B.8.設(shè)函數(shù)/心）"一1,Z(x)=e?r 1 j2|>/iW=-sin2^x,a.=—,/=0,1,2,…，99.記人=庭匕）-￡（如+虛仏）一產(chǎn)（砧+…+|￡（伽）一￡（俶押=123,則（）B?厶<厶<人C?/j</3<12二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列命題正確的是（ ）已知xgR,貝「X—llvl“是*>0“的充分不必要條件根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖判斷出兩個(gè)變量線性相關(guān)，由最小二乘法求得英回歸直線方程為y=0.3x-//i,若樣本中心點(diǎn)為（心一2.8）,則m=4c.若隨機(jī)變量X~B（1OO，P）,且E（X）=20，則召X+1卜5D.已知函數(shù)/（X）是左義在R上的偶函數(shù)，且在［0.2）上單調(diào)遞減，/（1）=0,則不等式f（log2兀）>°的解集為（一$210.已知函數(shù)10.已知函數(shù)f(x)=2cos(iyiv+(p)ty>0J^I<—的圖象上，對稱中心與對稱軸2醫(yī)的最小距離昭，則下列結(jié)論正確的是‘）A.函數(shù)/（x）A.函數(shù)/（x）的一個(gè)對稱點(diǎn)為當(dāng)xe［-.-］時(shí)，函數(shù)/(x)的最小值為一巧62若sin4a-cos4a=-^, ae(0,彳)),則/(a+f的值為~~要得到函數(shù)/(x)的圖象，只需要將g(x)=2cos2x的圖象向右平移蘭個(gè)單位11?如圖直角梯形ABCD中，AB//CD.佔(zhàn)丄BC,BC=CD=-AB=\,E為AB中2點(diǎn).以DE為折痕把△/!￡)￡：折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P的位置，且PC=$則( )A.平而PED丄平而PCDC.二蒯―心的大小罟A.平而PED丄平而PCDC.二蒯―心的大小罟12.下列不等式中正確的是( )A.In3v>/Jln2PC丄BDD.PC與平而PED所成角的正切值為匹22^<15 D.3^1n2>8三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分?在‘2仮+吉)的展開式中，常數(shù)項(xiàng)等于 .已知正數(shù)x,y滿足4xy-x-4y=0,則x+y的最小值為 .15?如圖，四棱錐P—ABCD的底而是邊長為1的正方形，點(diǎn)E是棱PD上一點(diǎn)，PE=3ED,若PF=APC且滿足BF//平WiACE,則兄= 16?已知拋物線x2=4y,點(diǎn)居［-1,1牡過M作拋物線的兩條切線AM?MB,其中4B為切點(diǎn)，直線43與y軸交于點(diǎn)P,則備的取值范用是 ?四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（本小題滿分10分）在①cos（ -B）=￡+cosB,②“sinA+c（sinC-siivl）=/?sinB,③一=tanA+tanB3 2 bcosA這三個(gè)條件中，任選一個(gè)，補(bǔ)充在下而問題中.問題：在△ABC中，“，kc分別為角A,B,C所對的邊，b=2jj， ?（1） 求角B：（2） 求"+2c的最大值.（本小題滿分12分）已知數(shù)列仏｝中，q=l,勺+產(chǎn)一an+'（1） 求證：、丄為等比數(shù)列，并求｛?｝的通項(xiàng)公式：u2J（2） 數(shù)列｛乞｝滿足仇=（3"—1）?帶?“”，求數(shù)列仏｝的前n項(xiàng)和為7；.2（本小題滿分12分）某建筑工地上有一個(gè)旗桿CF（與地而垂直），英正南、正西方向各

有一標(biāo)桿BE、DG（均與地面垂直，B,D在地面上,CF>GD）,長度分別為

Inn4m,在地而上有一基點(diǎn)A（點(diǎn)A在B點(diǎn)的正西方向，也在￡>點(diǎn)的正南方向上），且B4=BC=2m,且A,E,F,G四點(diǎn)共面.（I）求基點(diǎn)A觀測旗桿頂端F的距離及仰角0的正切值：（1【）若旗桿上有一點(diǎn)M,使得直線與地而ABCD所成的角為蘭，試求4平面ABM與平而AEFG所成銳二面角的正弦值.（本小題滿分12分）已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓節(jié)+心，點(diǎn)d,M.N為C上的動點(diǎn)，O,M.N三點(diǎn)共線，直線DM,DN的斜率分別為何人（?込工°）.（1） 證明：?人=一；：-41 19（2） 當(dāng)直線DM過點(diǎn)（1,0）時(shí)，求兩+亓二P"的最小值:（本小題滿分12分）泄向越野起源于歐洲，是一種借助地圖、指南針，在一個(gè)劃左的區(qū)域內(nèi)，通過對地形地貌的判斷.設(shè)il?合理路線到達(dá)各個(gè)目標(biāo)點(diǎn)位，最后到達(dá)終點(diǎn)的運(yùn)動.湖南青奠定向體育發(fā)展有限公司為了推廣立向活動，對學(xué)生群體進(jìn)行左向越野的介紹和培訓(xùn)，并對初步了解了立向活動的學(xué)生是否會參加左向越野活動進(jìn)行調(diào)查.隨機(jī)抽取了200位中小學(xué)生進(jìn)行調(diào)査，得到如下數(shù)據(jù)：準(zhǔn)備參加龍向越野的小學(xué)生有80人，不準(zhǔn)備參加泄向越野的小學(xué)生有40人，準(zhǔn)備參加定向越野的中學(xué)生有40人.（1）完成下列2x2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有97.5%的把握認(rèn)為這200位參與調(diào)査的中小學(xué)生是否準(zhǔn)備參加立向越野與中學(xué)生、小學(xué)生年齡有關(guān).準(zhǔn)備參加左向越野不準(zhǔn)備參加左向越野合計(jì)小學(xué)生中學(xué)生合計(jì)（2）為了儲備左向后備力量，備戰(zhàn)全國賽，提高會員泄向水平，俱樂部將小學(xué)生會員分組進(jìn)行比賽.兩人一組，每周進(jìn)行一輪比賽，每小組兩人每人跑兩張地圖（跑一張地圖視為一次），達(dá)到教練設(shè)左的成績標(biāo)準(zhǔn)的次數(shù)之和不少于3次稱為“優(yōu)秀小組小超與小紅同一小4組，小超"、紅達(dá)到教練設(shè)左的成績標(biāo)準(zhǔn)的概率分別為兒，P.且門+幾=三，理論上至少要進(jìn)行多少輪比賽，才能使得小超、小紅小組在比賽中獲得“優(yōu)秀小組”次數(shù)的期望值達(dá)到16次？并求此時(shí)〃|,必的值.n=a+b+c+d?n[ad-be)1n=a+b+c+d?(a+/?)(?+c)(c+d)(b+d)P(K2>ka)0.500.250.050.0250.0100.4551.3233.8405.0246.635

(本小題滿分12分)丄

已知f(x)=ln(l+x)+2cosx-(1+x)2,g(x)=cosx-1+ax2.(I)證明：當(dāng)an丄時(shí)，g(x)>o恒成立；2(I【)確定/(x)在(一1,龍)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).13. 160 14.413. 160 14.44215.一316.參考答案一、選擇題題號123456789101112答案ACDCBBCDABBCDABDAC二、填空題=2+cosB,石J=2+cosB,石J彳尋占cosB4^^sinB=4"+cosB,22227T1sin（_T）17?解：(1)選擇①：由cos即誓*sinB-寺cosB=*‘即&TOC\o"1-5"\h\z7T 兀5兀 .兀7V 兀因?yàn)?<BVm所以,故 =—,所以B=—.0 00 0 0 S選擇②：由于asinA+c（sinC-sinA）=Z?sinB,由正弦泄理可得</2+c2-b2=ac,2. 2,2I 冗2ac由余弦泄理，可得cosB=af=寺因?yàn)?<B5所以B=—.2ac選擇③：因?yàn)?^-=tanA+tanB,由正弦左理可得衛(wèi)笛=-^^，bcosA bcosAsinDCOsAI（譏1+［加_sinA十sinB二sinAcQsB'cosAsinB二sin（加B） sinC'ccosAcosB cosAcosB cosAcosBcosAcasBV§c ▲門VSsinC sinC由 =tanA+tanB,叫得——= ,bcosA sinBcosAcosAcosd因?yàn)閟inC>0,所以taiiB=^3，因?yàn)?<B<m所以8=孚?

b 2^3⑵在△磁中，由⑴及心屈辰缶盤廠亟=4,故a=4sinA,c=4sinC,所以2兀a+2c=4siii4+8sinC=4sinA+8sin(—=4V7sin(A+(p),因?yàn)?o-A)=4siii4+4^/§cosA+4sinA=8siii4+4^/§co&A且＜p為銳角，所以存在角A使得A+(p=-y,所18.【解答】證明：(1)由an+1-^73-A)=4siii4+4^/§cosA+4sinA=8siii4+4^/§co&A且＜p為銳角，所以存在角A使得A+(p=-y,所18.【解答】證明：(1)由an+1-^73<0,得丄仝★子an+lan n???數(shù)列以尋為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列2 尹pw—夢“譏J⑵“弋J)貴皆(30氏」n2n3n-l2匚廠所以叮1令尬十3＞＜存??心1)＞＜命曲命T才=1＞＜斗十2＞＜占十…十(etDX-^fxW221222n1 2n兩式相減得學(xué)=韋宀宀十-尸呂〒一口＞＜*=2-畔，22°2l2Z 2戸 2n 211所以Tn=4晉19.【解析】(I)易知平而ABEII平面CDGF,且A、E、F、G四點(diǎn)共面于平［tuAEFG,故AE//GF,同理AG//EF,故AEFG為平行四邊形，故AE=FG,過點(diǎn)G作CF的垂線，垂足為N,則MBE=AGNF,FN=BE=\,FC=4+1=5,AC=2y/2,AF=JaC，+FC1=a/33.tan0= =- . 5分AC2V2 4(II)以A為原點(diǎn)，AB、AD為x,y軸建立直角坐標(biāo)系，MC=2,B(2,0,0),M(2,2,2),

AB=(2,0,0)tAM=(2,2,2).設(shè)平而ABM的法向量〃?=(x,”Z),mAB-2a-0, 設(shè)y=],z=_i,取m=(0,1-1),m?AM=2x+2y+2z=0,又E(2,0,l),F(225)，AE=(2,0,1),AF=(2,2,5)>設(shè)平而AEFG的法向Mn=(x,y.z),〃?AE=2x+z=0,_, 設(shè)x=\,貝ijz=-2,y=4,取n=(l,4,-2),n?AF=2x+2y+5z=0，?…10分4+2 J42則cos</n,n>=—^=_==「一，設(shè)平而ABM與平而AEFG所成銳二而角為a,"?血 712分則sina=J1一(弓3)，=12分20?解：(1)證明：設(shè)M,O,N三點(diǎn)共線，且MN在橢圓C上,N關(guān)于原點(diǎn)對稱，設(shè)D(xhyi)>A/(xo,>x))?則N(?xo,-vo)?2222所 _+Vi2=h21P_+)\)2=1?即V12=1-——，)\)2=1-/<04 4 4 4所如也Z15心。汁處1 2所如也Z15心。汁處1 2XJ0x1+x0x|-xq x￡-Xq 4?5分(2)設(shè)DM方程為：y=ky(x-1),即袒k]M_y_k]=0X2k]M_y_k]=0X22-1Ty_18kf消y可得(4ki+l)x2-8kp+4kf-4=0,所以引”曠耐 -2k:,所以弘十坯叫1&1一1)十U尹4k卜4 4kl+1x?rxD_4k1+1XD~XN=所以＜旳廠吋8kf4kj+1-2k]XD~XN=所以＜旳廠吋8kf4kj+1-2k]4k1+1所以IdnI（xD-xN）2+（yD-vH）2=.64kf+4k|_（4kf+l）2']4 ! 2盟（云）十4（孟）212（說）切64+64k2r~2（4+16kp4+4応9 2（4k：+l）二2血|+1_4k：+l當(dāng)且僅當(dāng)匸2,k2=3時(shí)取等,所以兩所以準(zhǔn)備參加泄向越野不準(zhǔn)備參加泄向越野合計(jì)小學(xué)生8040120中學(xué)生404080合計(jì)120802001_1W環(huán)兀尹勺最小值為&21.【解析】（1）由題意得2x2列聯(lián)表如下:因?yàn)殄?00（40x240x40）」.556>5.024,120x80x80x120所以有97.5%的把握認(rèn)為這200位參與訓(xùn)査者是否準(zhǔn)備參加左向越野與年齡有關(guān). 5分（2）他們在一輪游戲中獲“優(yōu)秀小組"的概率為p=（I-卩）c；仏），+C；e）2C力2（1-必）+c；（pjC；（p2）2=2P\p2（卩+“2）-3（卩）2（〃2『，???/?!+/?2=p所以P=￡P(guān)"2-3（卩）2（必）2，

TOC\o"1-5"\h\z4 4 1?/0<p2<1,px+p2=-,：.0<--<1,又OSpSl,-</?j<1,<4A 2 4AP}P2=Pi-y-/?iI可看成關(guān)于Pi的二次函數(shù)，當(dāng)Pj=-時(shí)，(“宀)喚=71 |J 4當(dāng)Pl=-或P|T時(shí),(肋2)仙=亍???尹肋2篤,I4 7 8令t=p、p?、:<—、:?P=h(t)=—3廣4—tf4 16當(dāng)心丁時(shí)，^m=—，他們小組在"輪游戲中獲“優(yōu)秀小組"次數(shù)纟滿足g~B(?p),9 27^(^)max=16，貝川=27,所以理論上至少要進(jìn)行27輪游戲.4 4 2此時(shí)戸+〃2=亍，/^/^2=-＞卩=〃2=3?22.【解析】(I)因?yàn)間(x)為偶函數(shù)，故只需g(x)N0在［0,+oo)上恒成立即可g\x)=-sinx+2ax.gff(x)=-cosx+2a 2分當(dāng)丄，g"(x)nO,g'(x)在(0,+s)上單調(diào)遞增，.?.g'(x)>g(O