總體平均數(shù)的估計

第六章

總體平均數(shù)的估計一、概率與概率分布隨機事件:

在一定條件下有可能發(fā)生也有可能不發(fā)生的事件。例如：投擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面；隨機抽一張撲克牌，抽出來是紅桃概率的定義概率是用來描述一隨機事件出現(xiàn)可能性大小的統(tǒng)計指標，其值介于0和1之間，值越大表示這一隨機事件發(fā)生的可能性越大。

概率的定義概率的兩種定義：

（1）統(tǒng)計定義：對隨機事件進行n次觀測，其中某一事件A出現(xiàn)的次數(shù)m與n的比值，當n趨于無窮大時，這一比值趨于以固定的常數(shù)P，將這一常數(shù)P稱為事件A發(fā)生的概率。（2）古典定義：在下列條件下（a）試驗的每一種可能結果是有限的；（b）每一個基本事件出現(xiàn)的可能性相等；如果基本事件的總數(shù)為n，事件A包含m個基本事件，則事件A的概率為m/n。概率的基本性質(zhì)任何一個事件出現(xiàn)的概率都是非負的；必然事件的概率為1；不可能事件的概率為0；任何一個隨機事件的概率介于0和1之間。概率的基本定理大數(shù)定律在隨機現(xiàn)象中每次出現(xiàn)的結果具有偶然性，但在大量重復中往往出現(xiàn)必然的結果。由于大數(shù)定律的作用，在統(tǒng)計時必須把教育現(xiàn)象作為一個整體來研究，選取大量數(shù)據(jù)，才能從數(shù)量上反映事物變化的規(guī)律。

小概率原理概率很小的隨機事件在一次試驗中幾乎不可能發(fā)生。一般認為概率在.05以下的隨機事件是概率很小的隨機事件。加法定理：兩個互不相容的事件A、B之和的概率等于兩個事件概率之和，即：

P(A+B)=P(A)+P(B)

互不相容事件：如果A發(fā)生，則B一定不發(fā)生，如果B發(fā)生，則A一定不發(fā)生，乘法定理：兩個獨立事件同時出現(xiàn)的概率等于兩事件概率的乘積。獨立事件：一個事件是否出現(xiàn)對另外一個事件不產(chǎn)生影響。

二、正態(tài)分布1、正態(tài)分布曲線的特點兩邊對稱；中央最高；永不和底相交2、正態(tài)分布又稱為常態(tài)分布，是連續(xù)隨機變量概率分布的一種，其密度函數(shù)為：

正態(tài)分布的形態(tài)取決于兩個參數(shù)，即平均數(shù)和標準差。正態(tài)分布曲線頂峰的位置在平均數(shù)上，平均數(shù)的決定正態(tài)分布的位置；標準差決定正態(tài)分布曲線的形狀。正態(tài)分布對稱分布，算術平均數(shù)、中數(shù)和眾數(shù)相等正態(tài)分布下數(shù)據(jù)與標準差有一定數(shù)量關系：

包含所有數(shù)據(jù)的68.26％

包含所有數(shù)據(jù)的95％

包含所有數(shù)據(jù)的99％

3、標準正態(tài)分布平均數(shù)＝0標準差＝1標準正態(tài)分布曲線表的查找（1）從z值查面積（2）從面積查z值三、總體平均數(shù)的估計（一）區(qū)間估計的理論用數(shù)軸上的一段距離表示未知參數(shù)可能落入的范圍，并指出落入該范圍的概率有多大的一類參數(shù)估計的方法。區(qū)間估計是根據(jù)樣本分布的理論，解釋總體參數(shù)某置信區(qū)間可能的概率樣本平均數(shù)的次數(shù)分布中心極限定理總體平均數(shù)的區(qū)間估計－1.96<<+1.96

－2.58<<+2.58/nXZsm-=（二）大樣本總體平均數(shù)區(qū)間估計的過程置信區(qū)間

＋1.96

＋2.581.96：.05顯著性水平的置信區(qū)間所需的z的臨界值，記為z0.05/22.58：.01顯著性水平的置信區(qū)間所需的z的臨界值，記為z0.01/2區(qū)間估計計算步驟（1）計算樣本平均數(shù)和樣本標準差（如果總體標準差已知，則不用計算樣本標準差）；（2）計算標準誤：（總體方差已知）

或（總體方差未知）（3）確定置信區(qū)間或顯著性水平（0.05或

0.01）（4）查表得到臨界值（5）計算置信區(qū)間：

樣本標準差越大，樣本容量越小，平均數(shù)的誤差就越大，置信區(qū)間就越長，估計就越不準確；樣本標準差越小，樣本容量越大，平均數(shù)的誤差就越小，置信區(qū)間就越短，估計就越準確；樣本容量在30以上，即大樣本，才能使用以上方法進行總體平均數(shù)的區(qū)間估計。（三）小樣本平均數(shù)的分布t分布也是一種理論分布，這種分布，當樣本容量接近無窮大時，它是正態(tài)分布；當n>30時接近正態(tài)分布；當n<30時不接近正態(tài)分布，而是左右對稱，高狹峰的分布，且是分布形狀隨樣本容量n-1的變化而變化的一族分布；n-1是指t分布的自由度；t分布以t值為橫坐標，分布曲線兩邊對稱，中央點是t＝0點，在此點曲線最高，兩側逐漸下降，無限延長最終不與底相交。t值表的使用小樣本總體平均數(shù)區(qū)間估計的步驟：兩個置信區(qū)間：＋t0.05/2

＋t0.01/2樣本平均數(shù)的區(qū)間估計例1：已知某校的一次考試全體考生成績總體方差＝100，從中抽得5位考生的成績?yōu)?5，83，94，70，88，試求全體考生成績均值的95％和99％的置信區(qū)間。95%的置信區(qū)間[71.23,88.77]99%的置信區(qū)間[68.46,91.54]例2：某校對高中一年級學生進行英語水平測試，測試后從中抽取的9個考生的