總體平均數(shù)的估計(jì)

第六章

總體平均數(shù)的估計(jì)一、概率與概率分布隨機(jī)事件:

在一定條件下有可能發(fā)生也有可能不發(fā)生的事件。例如：投擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面；隨機(jī)抽一張撲克牌，抽出來是紅桃概率的定義概率是用來描述一隨機(jī)事件出現(xiàn)可能性大小的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)，其值介于0和1之間，值越大表示這一隨機(jī)事件發(fā)生的可能性越大。

概率的定義概率的兩種定義：

（1）統(tǒng)計(jì)定義：對(duì)隨機(jī)事件進(jìn)行n次觀測(cè)，其中某一事件A出現(xiàn)的次數(shù)m與n的比值，當(dāng)n趨于無窮大時(shí)，這一比值趨于以固定的常數(shù)P，將這一常數(shù)P稱為事件A發(fā)生的概率。（2）古典定義：在下列條件下（a）試驗(yàn)的每一種可能結(jié)果是有限的；（b）每一個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等；如果基本事件的總數(shù)為n，事件A包含m個(gè)基本事件，則事件A的概率為m/n。概率的基本性質(zhì)任何一個(gè)事件出現(xiàn)的概率都是非負(fù)的；必然事件的概率為1；不可能事件的概率為0；任何一個(gè)隨機(jī)事件的概率介于0和1之間。概率的基本定理大數(shù)定律在隨機(jī)現(xiàn)象中每次出現(xiàn)的結(jié)果具有偶然性，但在大量重復(fù)中往往出現(xiàn)必然的結(jié)果。由于大數(shù)定律的作用，在統(tǒng)計(jì)時(shí)必須把教育現(xiàn)象作為一個(gè)整體來研究，選取大量數(shù)據(jù)，才能從數(shù)量上反映事物變化的規(guī)律。

小概率原理概率很小的隨機(jī)事件在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生。一般認(rèn)為概率在.05以下的隨機(jī)事件是概率很小的隨機(jī)事件。加法定理：兩個(gè)互不相容的事件A、B之和的概率等于兩個(gè)事件概率之和，即：

P(A+B)=P(A)+P(B)

互不相容事件：如果A發(fā)生，則B一定不發(fā)生，如果B發(fā)生，則A一定不發(fā)生，乘法定理：兩個(gè)獨(dú)立事件同時(shí)出現(xiàn)的概率等于兩事件概率的乘積。獨(dú)立事件：一個(gè)事件是否出現(xiàn)對(duì)另外一個(gè)事件不產(chǎn)生影響。

二、正態(tài)分布1、正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)兩邊對(duì)稱；中央最高；永不和底相交2、正態(tài)分布又稱為常態(tài)分布，是連續(xù)隨機(jī)變量概率分布的一種，其密度函數(shù)為：

正態(tài)分布的形態(tài)取決于兩個(gè)參數(shù)，即平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差。正態(tài)分布曲線頂峰的位置在平均數(shù)上，平均數(shù)的決定正態(tài)分布的位置；標(biāo)準(zhǔn)差決定正態(tài)分布曲線的形狀。正態(tài)分布對(duì)稱分布，算術(shù)平均數(shù)、中數(shù)和眾數(shù)相等正態(tài)分布下數(shù)據(jù)與標(biāo)準(zhǔn)差有一定數(shù)量關(guān)系：

包含所有數(shù)據(jù)的68.26％

包含所有數(shù)據(jù)的95％

包含所有數(shù)據(jù)的99％

3、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布平均數(shù)＝0標(biāo)準(zhǔn)差＝1標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線表的查找（1）從z值查面積（2）從面積查z值三、總體平均數(shù)的估計(jì)（一）區(qū)間估計(jì)的理論用數(shù)軸上的一段距離表示未知參數(shù)可能落入的范圍，并指出落入該范圍的概率有多大的一類參數(shù)估計(jì)的方法。區(qū)間估計(jì)是根據(jù)樣本分布的理論，解釋總體參數(shù)某置信區(qū)間可能的概率樣本平均數(shù)的次數(shù)分布中心極限定理總體平均數(shù)的區(qū)間估計(jì)－1.96<<+1.96

－2.58<<+2.58/nXZsm-=（二）大樣本總體平均數(shù)區(qū)間估計(jì)的過程置信區(qū)間

＋1.96

＋2.581.96：.05顯著性水平的置信區(qū)間所需的z的臨界值，記為z0.05/22.58：.01顯著性水平的置信區(qū)間所需的z的臨界值，記為z0.01/2區(qū)間估計(jì)計(jì)算步驟（1）計(jì)算樣本平均數(shù)和樣本標(biāo)準(zhǔn)差（如果總體標(biāo)準(zhǔn)差已知，則不用計(jì)算樣本標(biāo)準(zhǔn)差）；（2）計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)誤：（總體方差已知）

或（總體方差未知）（3）確定置信區(qū)間或顯著性水平（0.05或

0.01）（4）查表得到臨界值（5）計(jì)算置信區(qū)間：

樣本標(biāo)準(zhǔn)差越大，樣本容量越小，平均數(shù)的誤差就越大，置信區(qū)間就越長(zhǎng)，估計(jì)就越不準(zhǔn)確；樣本標(biāo)準(zhǔn)差越小，樣本容量越大，平均數(shù)的誤差就越小，置信區(qū)間就越短，估計(jì)就越準(zhǔn)確；樣本容量在30以上，即大樣本，才能使用以上方法進(jìn)行總體平均數(shù)的區(qū)間估計(jì)。（三）小樣本平均數(shù)的分布t分布也是一種理論分布，這種分布，當(dāng)樣本容量接近無窮大時(shí)，它是正態(tài)分布；當(dāng)n>30時(shí)接近正態(tài)分布；當(dāng)n<30時(shí)不接近正態(tài)分布，而是左右對(duì)稱，高狹峰的分布，且是分布形狀隨樣本容量n-1的變化而變化的一族分布；n-1是指t分布的自由度；t分布以t值為橫坐標(biāo)，分布曲線兩邊對(duì)稱，中央點(diǎn)是t＝0點(diǎn)，在此點(diǎn)曲線最高，兩側(cè)逐漸下降，無限延長(zhǎng)最終不與底相交。t值表的使用小樣本總體平均數(shù)區(qū)間估計(jì)的步驟：兩個(gè)置信區(qū)間：＋t0.05/2

＋t0.01/2樣本平均數(shù)的區(qū)間估計(jì)例1：已知某校的一次考試全體考生成績(jī)總體方差＝100，從中抽得5位考生的成績(jī)?yōu)?5，83，94，70，88，試求全體考生成績(jī)均值的95％和99％的置信區(qū)間。95%的置信區(qū)間[71.23,88.77]99%的置信區(qū)間[68.46,91.54]例2：某校對(duì)高中一年級(jí)學(xué)生進(jìn)行英語(yǔ)水平測(cè)試，測(cè)試后從中抽取的9個(gè)考生的