2024屆云南省尋甸縣第五中學高一數學第一學期期末預測試題含解析

2024屆云南省尋甸縣第五中學高一數學第一學期期末預測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知a＝20.1，b＝log43.6，c＝log30.3，則（）A.a＞b＞c B.b＞a＞cC.a＞c＞b D.c＞a＞b2．已知向量且，則x值為（）.A.6 B.-6C.7 D.-73．中國傳統(tǒng)文化中很多內容體現了數學的“對稱美”．如圖所示的太極圖是由黑白兩個魚形紋組成的圓形圖案，充分體現了相互變化、對稱統(tǒng)一的形式美、和諧美．給出定義：能夠將圓(為坐標原點)的周長和面積同時平分的函數稱為這個圓的“優(yōu)美函數”．給出下列命題：①對于任意一個圓，其“優(yōu)美函數”有無數個；②函數可以是某個圓的“優(yōu)美函數”；③正弦函數可以同時是無數個圓的“優(yōu)美函數”；④函數是“優(yōu)美函數”的充要條件為函數的圖象是中心對稱圖形A.①④ B.①③④C.②③ D.①③4．已知函數的圖象的對稱軸為直線，則（）A. B.C. D.5．若集合，，則（）A. B. C. D.6．“”是“冪函數在上單調遞增”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7．下列不等關系中正確的是（）A. B.C. D.8．已知函數，若函數有4個零點，則的取值范圍為（）A. B.C. D.9．若函數f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|）的部分圖象如圖所示，將函數f（x）的圖象向左平移1個單位長度后，得到函數g（x）的圖象，則g（x）＝（）A.2cosx B.2sinxC.2cosx D.2sinx10．將函數圖象向左平移個單位，所得函數圖象的一條對稱軸的方程是A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．函數的定義域為__________.12．集合，，則__________.13．若冪函數圖像過點，則此函數的解析式是________.14．各條棱長均相等的四面體相鄰兩個面所成角的余弦值為___________.15．已知函數f（x）=lg（x2+2ax-5a）在[2，+∞）上是增函數，則a的取值范圍為______16．函數f(x)=sinx-2cosx+的一個零點是，則tan=_________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知冪函數在上單調遞增，函數（1）求實數m的值；（2）當時，記的值域分別為集合，若，求實數k的取值范圍18．中國茶文化博大精深，小明在茶藝選修課中了解到，不同類型的茶葉由于在水中溶解性的差別，達到最佳口感的水溫不同.為了方便控制水溫，小明聯(lián)想到牛頓提出的物體在常溫環(huán)境下溫度變化的冷卻模型：如果物體的初始溫度是，環(huán)境溫度是，則經過時間（單位：分）后物體溫度將滿足：，其中為正的常數.小明與同學一起通過多次測量求平均值的方法得到初始溫度為98℃的水在19℃室溫中溫度下降到相應溫度所需時間如表所示：從98℃下降到90℃所用時間1分58秒從98℃下降到85℃所用時間3分24秒從98℃下降到80℃所用時間4分57秒（1）請依照牛頓冷卻模型寫出冷卻時間（單位：分）關于冷卻水溫（單位：℃）函數關系，并選取一組數據求出相應的值（精確到0.01）.（2）“碧螺春”用75℃左右的水沖泡可使茶湯清澈明亮，口感最佳.在（1）的條件下，水煮沸后在19℃室溫下為獲得最佳口感大約冷卻___________分鐘左右沖泡，請在下列選項中選擇一個最接近的時間填在橫線上，并說明理由.A.5B.7C.10（參考數據：，，，，）19．計算下列各式的值：（1）；（2）.20．設函數且是奇函數求常數k值；若，試判斷函數的單調性，并加以證明；若已知，且函數在區(qū)間上的最小值為，求實數m的值21．在平面直角坐標系xOy中，已知圓x2+y2-12x+32=0的圓心為Q，過點P（0，2）且斜率為k的直線l與圓Q相交于不同的兩點A，B，記AB的中點為E（Ⅰ）若AB的長等于，求直線l的方程；（Ⅱ）是否存在常數k，使得OE∥PQ？如果存在，求k值；如果不存在，請說明理由

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解題分析】直接判斷范圍，比較大小即可.【題目詳解】，，，故a＞b＞c.故選：A.2、B【解題分析】利用向量垂直的坐標表示可以求解.【題目詳解】因為，，所以，即；故選：B.【題目點撥】本題主要考查平面向量垂直的坐標表示，熟記公式是求解的關鍵，側重考查數學運算的核心素養(yǎng).3、D【解題分析】根據定義分析，優(yōu)美函數具備的特征是，函數關于圓心（即坐標原點）呈中心對稱.【題目詳解】對①，中心對稱圖形有無數個，①正確對②，函數是偶函數，不關于原點成中心對稱.②錯誤對③，正弦函數關于原點成中心對稱圖形，③正確.對④，充要條件應該是關于原點成中心對稱圖形，④錯誤故選D【題目點撥】仔細閱讀新定義問題，理解定義中優(yōu)美函數的含義，找到中心對稱圖形，即可判斷各項正誤.4、A【解題分析】根據二次函數的圖像的開口向上，對稱軸為，可得，且函數在上遞增，再根據函數的對稱性以及單調性即可求解.【題目詳解】二次函數的圖像的開口向上，對稱軸為，且函數在上遞增，根據二次函數的對稱性可知，又，所以，故選：A【題目點撥】本題考查了二次函數的單調性以及對稱性比較函數值的大小，屬于基礎題.5、C【解題分析】根據交集直接計算即可.【題目詳解】因為，，所以，故選：C6、A【解題分析】由冪函數的概念，即可求出或，再根據或均滿足在上單調遞增以及充分條件、必要條件的概念，即可得到結果.【題目詳解】若為冪函數，則，解得或，又或都滿足在上單調遞增故“”是“冪函數在上單調遞增”的充分不必要條件故選：A.7、C【解題分析】對于A，作差變形，借助對數函數單調性判斷；對于C，利用均值不等式計算即可判斷；對于B，D，根據不等式的性質及對數函數單調性判斷作答.【題目詳解】對于A，，而函數在單調遞增，顯然，則，A不正確；對于B，因為，所以，故，B不正確；對于C，顯然，，，C正確；對于D，因為，所以，即，D不正確.故選：C8、C【解題分析】轉化為兩個函數交點問題分析【題目詳解】即分別畫出和的函數圖像，則兩圖像有4個交點所以，即故選：C9、A【解題分析】觀察函數圖像，求得，再結合函數圖像的平移變換即可得解.詳解】解：由圖可知,，即，又，所以，即，又由圖可知，所以，又，即即，將函數f（x）的圖象向左平移1個單位長度后，得到函數g（x）的圖象，則，故選：A.【題目點撥】本題考查了利用函數圖像求解析式，重點考查了函數圖像的平移變換，屬基礎題.10、C【解題分析】將函數圖象向左平移個單位得到，令，當時得對稱軸為考點：三角函數性質二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】解不等式即可得出函數的定義域.【題目詳解】對于函數，有，解得.因此，函數的定義域為.故答案為：.12、【解題分析】通過求二次函數的值域化簡集合,再根據交集的概念運算可得答案.【題目詳解】因為,,所以.故答案為:【題目點撥】本題考查了交集的運算,考查了求二次函數的值域,搞清楚集合中元素符號是解題關鍵,屬于基礎題.13、【解題分析】先用待定系數法設出函數的解析式，再代入點的坐標，計算出參數的值即可得出正確選項.【題目詳解】設冪函數的解析式為，由于函數圖象過點，故有，解得，所以該函數的解析式是，故答案為：.【題目點撥】該題考查的是有關應用待定系數法求冪函數的解析式的問題，屬于基礎題目.14、【解題分析】首先利用圖像作出相鄰兩個面所成角，然后利用已知條件求出正四面體相鄰兩個面所成角的兩邊即可求解.【題目詳解】由題意，四面體為正三棱錐，不妨設正三棱錐的邊長為，過作平面，垂足為，取的中點，并連接、、、，如下圖：由正四面體的性質可知，為底面正三角形的中心，從而，，∵為的中點，為正三角形，所以，，所以為正四面體相鄰兩個面所成角∵，∴易得，，∵平面，平面，∴，故.故答案為：.15、【解題分析】利用對數函數的定義域以及二次函數的單調性，轉化求解即可【題目詳解】解：函數f（x）＝lg（x2+2ax﹣5a）在[2，+∞）上是增函數，可得：，解得a∈[﹣2，4）故答案為[﹣2，4）【題目點撥】本題考查復合函數的單調性的應用，考查轉化思想以及計算能力16、##-0.5【解題分析】應用輔助角公式有且，由正弦型函數的性質可得，，再應用誘導公式求.【題目詳解】由題設，，，令，可得，即，，所以，，則.故答案為：三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】（1）由冪函數定義列出方程，求出m的值，檢驗函數單調性，舍去不合題意的m的值；（2）在第一問的基礎上，由函數單調性得到集合，由并集結果得到，從而得到不等式組，求出k的取值范圍.【小問1詳解】依題意得：，∴或當時，在上單調遞減，與題設矛盾，舍去當時，上單調遞增，符合要求，故.【小問2詳解】由（1）可知，當時，函數和均單調遞增∴集合，又∵，∴，∴，∴，∴實數k的取值范圍是.18、（1）；（2）大約冷卻分鐘，理由見解析.【解題分析】（1）根據求得冷卻時間（單位：分）關于冷卻水溫（單位：℃）的函數關系，結合對數運算求得.（2）根據（1）中的函數關系式列方程，由此求得冷卻時間.【小問1詳解】依題意，，，，，，.，依題意，則.若選：從98℃下降到90℃所用時間：1分58秒，即分，則若選：從98℃下降到85℃所用時間：3分24秒，即分，若選：從98℃下降到80℃所用時間：4分57秒，即分，所以.【小問2詳解】結合（1）可知：，依題意，.所以大約冷卻分鐘.19、（1）（2）【解題分析】（1）根據指數運算法則化簡求值；（2）根據指數、對數的運算法則化簡求值.【小問1詳解】【小問2詳解】20、（1）；（2）在上為單調增函數；（3）【解題分析】（1）根據奇函數的定義，恒成立，可得值，也可用奇函數的必要條件求出值，然后用奇函數定義檢驗；（2）判斷單調性，一般由單調性定義，設，判斷的正負（因式分解后判別），可得結論；（3）首先由，得，這樣就有，這種函數的最值求法是用換元法，即設，把函數轉化為二次函數的問題，注意在換元過程中“新元”的取值范圍試題解析：（1）函數的定義域為函數（且）是奇函數，，經檢驗可知，函數為奇函數，符合題意（2）設、為上兩任意實數，且，，，，即函數在上為單調增函數.（3），，解得或且，（）令（），則當時，，解得，舍去當時，，解得考點：函數的奇偶性、單調性，函數的最值21、（Ⅰ）y=-+2或y=-x+2；（Ⅱ）不存在實數滿足題意【解題分析】（Ⅰ）待定系數法，設出直線，再根據已知條件列式，解出即可；（Ⅱ）假設存在常數，將轉化斜率相等，聯(lián)立直線與圓，根據韋達定理，由直線與圓相交可求得范圍．由斜率相等可求得的值，從而可判斷結論【題目詳解】（Ⅰ）圓Q的方程可寫成（x-6）2+y2=4，所以圓心為Q（6，0）設過P（0，2）且斜率為k的直線方程為y=kx+2∵|AB|=，∴圓心Q到直線l的距離d==，∴=，即22k2+15k+2=0，解得k=-或k=-所以，滿足題意的直線l方程為y=-+2或y=-x+2（Ⅱ）將直線l的方程y=x+2代入圓方程得x2+（kx+2）2-12x+32=0整理得（1+k2）x2+4（k-3）x+36=0.①直